3.1.3 函数的奇偶性-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3.1.3 函数的奇偶性 第 1课时 函数奇偶性的概念 效 果 评 价 1. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的 是 （ ） 2. 设函数 f （ x ）， g （ x ）的定义域都为 R ， 且不是常函数， f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函 数， 则下列结论中正确的是 （ ） A. f （ x ） g （ x ）是偶函数 B. |f （ x ） |g （ x ）是奇函数 C. f （ x ） |g （ x ） | 是奇函数 D. |f （ x ） g （ x ） | 是奇函数 3. 已知 f （ x ） =ax 2 +bx+1 是定义在 ! 3a-2 ， 2a+ 1 3 3 上的偶函数， 则 5a+3b= （ ） A. 5 3 B. 1 3 C. 0 D. - 2 3 4. 已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在 R 上的 偶函数和奇函数， 且 f （ x ） -g （ x ） =x 3 +x 2 +1 ， 则 f （ 1 ） +g （ 1 ） = （ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 5. 若函数 y=f （ x ）的定义域为 R ， 则 y= f （ x ）为偶函数的一个充要条件是 （ ） A． 对任意 x∈R ， 都有 f （ x ） =0 成立 B． 函数 y=f （ x ）的图象关于原点成中心 对称 C． 存在某个 x 0 ∈R ， 使得 f （ -x 0 ） -f （ x 0 ） =0 D． 对任意给定的 x∈R ， 都有 f （ -x ） -f （ x ） =0 6． 函数 f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， 当 x>0 时， f （ x ） =-x+1 ， 则当 x<0 时， f （ x ）的表 达式为 （ ） A． f （ x ） =-x+1 B． f （ x ） =-x-1 C． f （ x ） =x+1 D． f （ x ） =x-1 7． （多选题） 下列函数中， 在其定义域 内既是奇函数又是减函数的有 （ ） A． y=x|x| B． y=-2x C． y= 1 x D． y=-x 3 8. 已知 f （ x ）是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x>0 时， f （ x ） =x 3 +x+1 ， 则 f （ x ）的解析式为 . 9. 定义在 ［ -a ， a ］ （ a>0 ） 上的函数 f （ x ）是奇函数， 且 f （ x ）的最大值为 M ， 最小 值为 m ， 则 M+m 的值等于 . 10. 设 f （ x ）为定义在 R 上的偶函数， 当 0≤x≤2 时， y=x ； 当 x>2 时， y=f （ x ）的图象 是顶点为 P （ 3 ， 4 ） 且过点 A （ 2 ， 2 ） 的抛物 线的一部分 . x y O x y O -1 x y O -1 1 x y O -1 -3 1 3 A B C D 40 第三章 函 数 练 （ 1 ） 求函数 f （ x ）在 （ -∞ ， -2 ）上的解 析式； （ 2 ） 在图中的直角坐标系中画出函数 f （ x ）的图象； （ 3 ） 写出函数 f （ x ）的值域和单调区间 . 提 升 练 习 11. 以下奇偶性判断正确的是 （ ） A. 函数 f （ x ） =x 2 （ -1<x≤1 ） 是偶函数 B. 函数 f （ x ） = 4-x 2 姨 |3-x|-3 是奇函数 C. 函数 f （ x ） = （ x-1 ） x+1 1-x 姨 是偶函数 D. 函数 f （ x ） = -x 2 +2x ， x≤0 ， -x 2 -2x ， x> # 0 是奇函数 12. （多选题） 若 y=f （ x ）（ x∈R ）是奇函 数， 则下列点一定在函数 y=f （ x ）图象上的有 （ ） A. （ 0 ， 0 ） B. （ -a ， -f （ a ）） C. （ -a ， -f （ -a ）） D. （ a ， f （ -a ）） 13. 已知函数 f （ x ） = ax 2 +1 bx+c 是奇函数， 且 f （ 1 ） =3 ， f （ 2 ） =5 ， 则 a= ， b= ， c= . 14. 若函数 f （ x ） = （ x+a ）（ bx+2a ） （常数 a ， b∈R ） 是偶函数， 且它的值域为（ -∞ ， 4 ］， 则该函数的解析式 f （ x ） = . 15. 已知函数 f （ x ）的定义域为 R ， 且对任 意 x ， y∈R ， f （ x+y ） +f （ x-y ） =2f （ x ） f （ y ）， 且 f （ 0 ） ≠0 ， f π 2 2 ' =0. （ 1 ） 求 f （ 0 ）， f （ π ）的值； （ 2 ） 求证： y=f （ x ）是偶函数 . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 x y O 第 10 题图 41 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 若 f （ x ）和 g （ x ）都是奇函数， 且 F （ x ） = f （ x ） +g （ x ） +2 在（ 0 ， +∞ ）上有最大值 8 ， 则在 （ -∞ ， 0 ）上 F （ x ）有 （ ） A. 最小值 -8 B. 最大值 -8 C. 最小值 -6 D. 最小值 -4 2. 设奇函数 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ）上为减函 数， 且 f （ 1 ） =0 ， 则不等式 f （ x ） -f （ -x ） x <0 的解 集为 （ ） A. （ -1 ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） B. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， 1 ） C. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） D. （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ） 3. 已知函数 y=f （ x-1 ） +x 2 是定义在 R 上 的奇函数， 若 f （ -2 ） =1 ， 则 f （ 0 ） = （ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 4. 已知定义在 R 上的奇函数 f （ x ）满足： 对任意的 x 1 ≠x 2 有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 恒成立， 则 不等式 f （ 2x+1 ） +f （ 2-x ） <0 的解集为 （ ） A. 1 3 ， + + $ ∞ B. -∞ ， 1 3 3 & C. （ -3 ， +∞ ） D. （ -∞ ， -3 ） 5. 设 f （ x ）是定义在 R 上的偶函数， 且在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数， 已知 x 1 >0 ， x 2 <0 且 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 那么一定有 （ ） A． x 1 +x 2 <0 B． f （ -x 1 ）· f （ -x 2 ） <0 C． f （ -x 1 ） >f （ -x 2 ） D． x 1 +x 2 >0 6． 如果偶函数 f （ x ）在区间 ［ －3 ， －1 ］ 上 是增函数且有最大值 5 ， 那么 f （ x ）在区间 ［ 1 ， 3 ］ 上是 （ ） A． 增函数且最小值为 －5 B． 增函数且最大值为 5 C． 减函数且最小值为 －5 D． 减函数且最大值为 5 7． 已知函数 f （ x ） =-x 2 +bx+c ， 且 f （ x+1 ）是 偶函数， 则 f （ -1 ）， f （ 1 ）， f （ 2 ）的大小关系是 （ ） A． f （ -1 ） <f （ 1 ） <f （ 2 ） B． f （ 1 ） <f （ 2 ） <f （ -1 ） C． f （ 2 ） <f （ -1 ） <f （ 1 ） D． f （ -1 ） <f （ 2 ） <f （ 1 ） 8． 已知奇函数 y=f （ x ）的图象关于直线 x= 2 对称， 且 f （ m ） =3 ， 则 f （ m-4 ）的值为 （ ） A． 3 B． 0 C． -3 D． 1 3 9． （多选题） 已知函数 f （ x ）是 R 上的奇 函数 ， 且当 x≥0 时 ， f （ x ） =x 2 +x+a-2 ， 则 （ ） A． a=2 B． f （ 2 ） =2 C． f （ x ）是增函数 D． f （ -3 ） =-12 10. 已知 f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数， 且 f （ x ） +g （ x ） = 1 x-1 ， x∈ （ -1 ， 1 ）， 则 f （ x ） = ， g （ x ） = . 提 升 练 习 11. （多选题） 函数 f （ x ）的定义域为 R ， 且 f （ x-1 ）与 f （ x-2 ）都为偶函数， 则 （ ） A. f （ x ）为偶函数 B. f （ x+1 ）为偶函数 C. f （ x+2 ）为奇函数 第 2课时 函数奇偶性的应用 42 第三章 函 数 练 D. f （ x ） =f （ x-2 ） 12. 已知偶函数 f （ x ）在区间［ 0 ， +∞ ）上 单调递增， 则满足 f （ 2x-1 ） <f （ x ）的 x 的取值 范围是 . * 13. 已知 f （ x ）是定义域为（ -∞ ， +∞ ）的 奇函数 ， 满足 f （ 1-x ） =f （ 1+x ） . 若 f （ 1 ） =2 ， 则 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 50 ） = . 14. 已知 f （ x ）是定义在 R 上的不恒为零的 函数， 且对于任意的 a ， b∈R 都满足 f （ ab ） = af （ b ） +bf （ a ） . （ 1 ） 求 f （ 0 ）， f （ 1 ）的值； （ 2 ） 判断 f （ x ）的奇偶性， 并证明你的 结论 . * 15. 已知函数 y=f （ x ）是定义在 R 上的奇 函数， 且当 x≥0 时， f （ x ） =-x 2 +ax. （ 1 ） 若 a=-2 ， 求函数 f （ x ）的解析式； （ 2 ） 若函数 f （ x ）为 R 上的单调递减函数 . ① 求 a 的取值范围； ② 若对任意实数 m ， f （ m-1 ） +f （ m 2 +t ） <0 恒成立， 求实数 t 的取值范围 . 43 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则 -a 2 -2a+1=- 1 4 ， 得 a= 1 2 或 a=- 5 2 （舍去）； ③ 当 a+1≥2 ， 即 a≥1 时， g （ x ） min =g （ 2 ） =2-4a ， 则 2-4a=- 1 4 ， 得 a= 9 16 ， 此时不成立 . 综上可得， a= 1 2 . 提升练习 11. A 【解析】 对 坌x 1 ， x 2 ∈R ， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， ∵x>0 时， f （ x ） <0 ， ∴ f （ x 2 -x 1 ） <0. 又 ∵f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝f （ x 2 -x 1 ） <0 ， ∴ f （ x 2 ） <f （ x 1 ） . ∴f （ x ）是 R 上的单调递减函数 . ∴ f （ x ）在 ［ -3 ， 3 ］上的最小值为 f （ 3 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 2 ） ＝ 3f （ 1 ） ＝3× - 2 3 3 % ＝-2. 故选 A. 12. BCD 【解析】 当 x>1 时， f （ x ） =x+ 4 x +a≥4+a ， 当且仅当 x=2 时， 等号成立； 当 x≤1 时， f （ x ） =x 2 -2ax+9 为二次函数， 要想在 x=1 处取得最小值， 则对称轴要满足 x=a≥1 ， 且 f （ 1 ） ≤4+a ， 即 1-2a+9≤a+4 ， 解得 a≥2. 故选 BCD. 13. ［ 6 ， +∞ ） 【解析 】 原函数可化为 f （ x ） =|x-3|+ |x+3|= -2x ， x≤-3 ， 6 ， -3<x≤3 ， 2x ， x>3 3 ) ) ) ( ) ) ) * ， 函数单调减区间为 （ -∞ ， -3 ］， 单 调增区间为 ［ 3 ， +∞ ）， 值域为 ［ 6 ， +∞ ） . 14. ［ -5 ， 4 ］ 【解析】 作出函数 y=x+4 ， y=x 2 -2x 的 图象如图所示： 根据题意， 当 a≤1 时， a+4≥1-2 ， 解得 a≥-5 ； 当 a>1 时， a+4≥a 2 -2a ， 解得 -1≤a≤4. 综上所述， 实数 a 的取值范围是［ -5 ， 4 ］ . * 15. 解： （ 1 ） 不正确 . 没有考虑到 u 还可以小于 0. 正确解答如下： 令 u＝3＋2x-x 2 ， 则 u＝- （ x-1 ） 2 ＋4≤4. 当 0＜u≤4 时， 1 u ≥ 1 4 ， 即 f （ x ） ≥ 1 4 ； 当 u＜0 时， 1 u ＜0 ， 即 f （ x ） ＜0. ∴ f （ x ） ＜0 或 f （ x ） ≥ 1 4 . 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . （ 2 ） ∵x 2 ＋x＋2＝ x+ 1 2 3 % 2 ＋ 7 4 ≥ 7 4 ， ∴0 ＜y≤ 4 7 ， ∴ 函 数 y ＝ 1 x 2 +x+2 的 最 大 值 为 4 7 当 x＝- 1 2 3 % 时 ， 没有最小值 . （ 3 ） 对于函数 f （ x ） ＝ 1 ax 2 ＋bx＋c （ a＞0 ） . 令 u＝ax 2 ＋bx＋c ， ① 当 Δ＞0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＜0 ； 当 4ac- b 2 4a ≤ u＜ 0 时 ， 1 u ≤ 4a 4ac- b 2 ， 即 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ； 当 u＞0 时 ， 即 f （ x ） ＞0. ∴ f （ x ） ＞0 或 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . ② 当 Δ＝0 时 ， u 有最小值 ， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＝0 ， 结合 f （ x ） ＝ 1 u ， 知 u≠0 ， ∴u＞0 ， 此时 1 u ＞0 ， 即 f （ x ） ＞0 ， f （ x ）既 无最大值， 也无最小值 . ③ 当 Δ＜0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＞0 ， 即 u≥ 4ac-b 2 4a ＞0. ∴0＜ 1 u ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 0＜f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， ∴ 当 x＝- b 2a 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 没有最小值 . 综上， 当 Δ≥0 时， f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . 当 Δ＜0 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 此时 x＝- b 2a ， 没 有最小值 . 3.1.3 函数的奇偶性 第 1 课时 函数奇偶性的概念 学习手册 变式训练 1 ACD 【 解 析 】 ∵f （ -x ） = - 1 x +1 - - 1 x -1 = - 1 x +1 - 1 x -1 3 % ＝-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数， 故 A 正 确； 由 1-x 2 ≥0 ， ｜x+2｜-2≠0 得， -1≤x≤1 且 x≠0 ， 定义 域关于原点对称 ， ∴g （ x ） = 1-x 2 姨 ｜x+2｜-2 = 1-x 2 姨 x+2-2 = 1-x 2 姨 x ， 满足 g （ -x ） =-g （ x ）， 故 g （ x ）是奇函数， 故 B 错误； ∵F （ -x ） =f （ -x ） f （ x ） =F （ x ）， 故 C 正确； 解得定义域为 {-2 ， 2} ， 且 h （ x ） =0 ， ∴ 既是奇函数， 又是偶函数， 故 D 正确 . 故 选 ACD. x y O -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 第 14 题答图 54 参 考 答 案 变式训练 2 C 【解析】 由 f （ x ）是 R 上的偶函数， g （ x ）是 R 上的 奇函数， ∴ f （ -x ） =f （ x ）， g （ -x ） =-g （ x ）， ∴ f （ -x ）· g （ -x ） = -f （ x ） g （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）· g （ x ）为奇函数， 其图象关于原点 对称， A ， B 错误； 由图象可得当 x>0 时， f （ x ） >0 ， g （ x ） >0 ， ∴ f （ x ）· g （ x ） >0 ， D 错误 . 故选 C. 变式训练 3 0 或 1 【解析 】 f （ x ） = （ x+a ） （ x-a 2 ） =x 2 + （ a-a 2 ） x-a 3 ， ∵ 函数 f （ x ）为偶函数， 故二次函数对称轴 - a-a 2 2 =0 ， 解 得 a=0 或 a=1. 变式训练 4 f （ x ） =x 2 +x 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0. ∴ f （ -x ） = （ -x ） 2 - （ -x ）， 即 f （ -x ） =x 2 +x. ∵f （ x ）是偶函数 ， ∴x<0 时 ， f （ x ） = f （ -x ） =x 2 +x. 随堂练习 1. A 【解析】 ∵f （ x ） =x- 1 x 的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 又 ∵f （ -x ） = （ -x ） - 1 -x =- x- 1 x # =-f （ x ）， ∴ f （ x ） =x- 1 x 为奇函数 ， 故 A 正确 ； f （ x ） =x 2 +1 定义域为 R ， ∵f （ 1 ） =1 2 +1 =2 ， f （ -1 ） = （ -1 ） 2 +1 =2 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ） ， ∴ f （ x ） =x 2 +1 不是奇函数， 故 B 错误； f （ x ） =x+1 定义域为 R ， ∵f （ 1 ） =1+1=2 ， f （ -1 ） = （ -1 ） +1=0 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ）， ∴ f （ x ） =x+1 不是奇函数 ， 故 C 错误； f （ x ） =x 定义域为 （ -1 ， 1 ］， 不关于原点对称， ∴ f （ x ） =x ， x∈ （ -1 ， 1 ］ 不是 奇函数， 故 D 错误 . 故选 A. 2. B 【解析】 取 f （ x ） =x （ x-1 ）， 则 f （ 0 ） =0 ， 但 f （ 1 ） = 0 ， f （ -1 ） =2 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ）， ∴ 函数 f （ x ）不是奇函数； 故 “ f （ 0 ） =0 ” 推不出 “函数 f （ x ）为奇函数”， 若函数 f （ x ） 为奇函数， 则 f （ 0 ） =-f （ -0 ）， 即 f （ 0 ） =0 ， 故 “函数 f （ x ）为 奇函数” 能推出 “ f （ 0 ） =0 ” . 故选 B. 3. B 【解析 】 函数的定义域为 {x ｜x≠0} ， 当 x>0 ， f （ x ） =1 ， 则 -x<0 ， ∴ f （ -x ） =-1=-f （ x ）， 当 x<0 ， f （ x ） =-1 ， 则 -x>0 ， ∴ f （ -x ） =1=-f （ x ）， 综上， 对于 坌x∈{x｜x≠0} ， 都有 f （ -x ） =-f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数， 故选 B. 4. D 【解析 】 由于 f （ x ）是偶函数 ， ∴b=0 ， 且 a-9= -2a圯a=3圯a+b=3. 故选 D. 5. BC 【解析 】 ∵y= 1 x 3 的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 且 1 （ -x ） 3 =- 1 x 3 ， ∴y= 1 x 3 是奇函数， 故 A 错误； y= -x 2 +8 的定义域为 R ， 且 - （ -x ） 2 +8=-x 2 +8 ， ∴y=-x 2 +8 是偶 函数 ， 故 B 正确 ； y=-｜x ｜ 的定义域为 R ， 且 -｜-x ｜=-｜x ｜ ， ∴y=-｜x｜ 是偶函数， 故 C 正确； y=-x 的定义域为 R ， 且 - （ -x ） =x ， ∴y=-x 是奇函数， 故 D 错误 . 故选 BC. 6. B 【解析】 依题意得 F （ x ）的定义域为 R ， 且 F （ -x ） = ［（ -x ） 3 -2 （ -x ）］ f （ -x ） = （ -x 3 +2x ） ［ -f （ x ）］ = （ x 3 -2x ） f （ x ） = F （ x ）， ∴F （ x ）为偶函数 . 故选 B. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 选项 A 中的图象关于 x=-1 对称， 故 排除； 选项 C ， D 中的图象所示的函数的定义域不关于 原点对称， 不具有奇偶性， 故排除； 选项 B 中的图象关 于 y 轴对称， 其表示的函数是偶函数 . 故选 B. 2. C 【解析】 ∵f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数， ∴|f （ x ） | 为偶函数， |g （ x ） | 为偶函数 . 再根据两个奇函数的积是偶 函数， 两个偶函数的积还是偶函数， 一个奇函数与一个 偶函数的积是奇函数， 可得 f （ x ） |g （ x ） | 为奇函数 . 故选 C. 3. A 【解析】 ∵f （ x ）为偶函数， ∴ f （ -x ） ＝f （ x ）， 即 ax 2 ＋bx＋1＝ax 2 -bx＋1 ， ∴b＝0. 又 ∵f （ x ）的定义域为 3a-2 ， 2a+ 1 3 ) ， ∴3a-2＋2a＋ 1 3 ＝0 ， ∴a＝ 1 3 . 故 5a＋3b＝ 5 3 . 故选 A. 4. C 【解析】 ∵f （ x ） -g （ x ） ＝x 3 ＋x 2 ＋1 ， ∴ f （ -1 ） -g （ -1 ） ＝ -1＋1＋1=1 ， 又由题意可知 f （ -1 ） ＝f （ 1 ）， g （ -1 ） ＝-g （ 1 ）， ∴ f （ 1 ） ＋g （ 1 ） ＝1. 故选 C. 5. D 【解析】 对任意 x∈R ， 都有 f （ x ） =0 成立， 可得 f （ x ）为偶函数且 f （ x ）为奇函数， 而当 f （ x ）为偶函数时 ， 不一定有对任意 x∈R ， f （ x ） =0 ， ∴A 错误 ； 当函数 y= f （ x ）的图象关于原点成中心对称， 可知 f （ -x ） =-f （ x ）， 函 数 f （ x ）为奇函数， ∴B 错误； 由偶函数的定义可知， 对 于任意 x∈R ， 都有 f （ -x ） =f （ x ）， 即 f （ -x ） -f （ x ） =0 ， ∴ 当 f （ x ）为偶函数时， 任意 x∈R ， f （ -x ） -f （ x ） =0 ， 反之， 当 任意 x∈R ， f （ -x ） -f （ x ） =0 ， 则 f （ x ）为偶函数， ∴C 错误， D 正确 . 故选 D. 6. B 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0 ， f （ -x ） =x+1 ， ∴ f （ x ） = -f （ -x ） =-x-1. 故选 B. 7. BD 【解析 】 函数 y=x ｜x ｜ 是奇函数 ， 但在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增， 故排除 A ； 函数 y=-2x 是 R 上的奇 函数也是减函数， 故 B 正确； 函数 y= 1 x 在定义域上是 奇函数， 但在 （ -∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 在 定义域上不具有单调性， 故排除 C ； 函数 y=-x 3 是 R 上 的奇函数也是减函数， 故 D 正确 . 故选 BD. 8. f （ x ） = x 3 +x+1 （ x>0 ）， 0 （ x=0 ）， x 3 +x-1 （ x<0 0 , , , + , , , - ） 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0 ， ∴ f （ -x ） = （ -x ） 3 + （ -x ） +1=-x 3 -x+1. ∵f （ x ）是奇函数， ∴f （ -x ） =-f （ x ） . ∴-x 3 -x+1=-f （ x ）， 即 f （ x ） =x 3 +x-1. ∴x<0 时， f （ x ） =x 3 +x-1. 又 ∵f （ x ）是奇函数， ∴ f （ 0 ） =0 ， ∴ f （ x ） = x 3 +x+1 （ x>0 ）， 0 （ x=0 ）， x 3 +x-1 （ x<0 ） 0 , , , + , , , - . 9. 0 【解析】 由于 f （ x ）是奇函数， 图象关于原点对 55 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 称， ∴ 最高点和最低点也关于原点对称， ∴M+m=0. 10. 解： （ 1 ） 当 x>2 时， 设 f （ x ） ＝a （ x-3 ） 2 ＋4. ∵f （ x ）的图象过点 A （ 2 ， 2 ）， ∴a （ 2-3 ） 2 ＋4＝2 ， ∴a＝-2 ， ∴ f （ x ） ＝-2 （ x-3 ） 2 ＋4. 设 x∈ （ -∞ ， -2 ）， 则 -x>2 ， ∴ f （ -x ） ＝-2 （ -x-3 ） 2 ＋4. 又 ∵f （ x ）在 R 上为偶函数， ∴ f （ -x ） ＝f （ x ）， ∴ f （ x ） ＝-2 （ -x-3 ） 2 ＋4 ， 即 f （ x ） ＝-2 （ x＋3 ） 2 ＋4 ， x∈ （ -∞ ， -2 ） . （ 2 ） 函数图象如图所示 . （ 3 ） 由图象观察知 f （ x ）的值域为 {y|y≤4}. 单调递 增区间为 （ -∞ ， -3 ］ 和 ［ 0 ， 3 ］； 单调递减区间为 ［ -3 ， 0 ］ 和 ［ 3 ， ＋∞ ） . 提升练习 11. B 【解析】 A 和 C 的定义域不关于原点对称， 不 正确 ； B 的定义域为 ［ -2 ， 0 ） ∪ （ 0 ， 2 ］， 函数可化为 f （ x ） = 4-x 2 姨 -x ， f （ -x ） = 4-x 2 姨 x ， ∴ f （ x ） =-f （ -x ）， f （ x ）为 奇函数， 正确； D 为偶函数 . 故选 B. 12. AB 【解析】 ∵y=f （ x ） （ x∈R ） 是奇函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ） . 又 ∵x∈R ， ∴ 令 x=0 ， 则 f （ -0 ） =-f （ 0 ）， 得 f （ 0 ） = 0 ， ∴ 点 （ 0 ， 0 ）， （ -a ， -f （ a ）） 一定在 y=f （ x ）的图象上 . 故选 AB. 13. 7 2 3 2 0 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） ＝ ax 2 +1 bx+c 是奇函数， ∴ f （ -x ） ＝-f （ x ）， 故 a （ -x ） 2 +1 b （ -x ） +c ＝- ax 2 +1 bx+c ， 即 ax 2 +1 -bx+c ＝- ax 2 +1 bx+c ， ∴-bx＋c＝- （ bx＋c ）， 即 c＝-c ， 解得 c＝0. ∴ f （ x ） ＝ ax 2 +1 bx . 而 f （ 1 ） ＝ a×1 2 +1 b×1 = a+1 b ＝3 ， ∴a＋1＝3b. ① 由 f （ 2 ） ＝5 ， 即 a×2 2 +1 b×2 ＝ 4a+1 2b ＝5. ② 解 ①② 组成的方程组， 得 a= 7 2 ， b= 3 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， 故 a= 7 2 ， b= 3 2 ， c=0 2 ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( . 14. -2x 2 ＋4 【解析】 f （ x ） ＝ （ x＋a ）（ bx＋2a ） ＝bx 2 ＋ （ 2a＋ab ） x＋ 2a 2 是偶函数， ∵ 图象关于 y 轴对称， 值域为（ -∞ ， 4 ］， ∴2a＋ab＝0 ， b<0 ， 2a 2 ＝4 ， ∴ f （ x ） ＝-2x 2 ＋4. 15. （ 1 ） 解 ： ∵ 对任意 x ， y∈R ， f （ x+y ） +f （ x-y ） = 2f （ x ） f （ y ）， ∴ 令 x=y=0 ， 则 f （ 0 ） +f （ 0 ） =2f （ 0 ）· f （ 0 ） . 又 ∵f （ 0 ） ≠0 ， ∴ f （ 0 ） =1. 令 x=y= 仔 2 ， 则有 f （ 仔 ） +f （ 0 ） =2f 仔 2 2 + f 仔 2 2 + ， ∵f 仔 2 2 + =0 ， ∴ f （ 仔 ） +f （ 0 ） =0. ∴ f （ 仔 ） =-1. （ 2 ） 证明： 令 x=0 ， 则 f （ y ） +f （ -y ） =2f （ 0 ）· f （ y ） =2f （ y ）， ∴ f （ -y ） =f （ y ） . ∴y=f （ x ）是偶函数 . 第 2 课时 函数奇偶性的应用 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵ 奇函数 f （ x ）在 ［ 3 ， 7 ］ 上是增函数且 最小值为 5 ， 而奇函数的图象关于原点对称， ∴ f （ x ）在 区间 ［ -7 ， -3 ］ 上为增函数且最大值为 -5. 故选 C. 变式训练 2 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 【解析 】 ∵f （ x ）是偶函数 ， 且 f （ -1 ） =0 ， ∴ f （ 1 ） =f （ -1 ） =0. 又 ∵f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上是减 函数， ∴ f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数 . ① 当 x>0 时， 由 f （ x ） x <0 得 f （ x ） <0 ， 又由于 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上为减函数， 且 f （ 1 ） =0 ， ∴ f （ x ） <f （ 1 ）， 得 x>1. ② 当 x<0 时 ， 由 f （ x ） x <0 得 f （ x ） >0 ， 又 ∵f （ -1 ） =0 ， f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数， ∴ f （ x ） >f （ -1 ）， ∴-1<x<0. 综上所述， 不等式解集为 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 变式训练 3 22 3 【解析】 ∵f （ x ） +g （ x ） =3x 2 - 4x x 2 +9 +5 ， ① ∴ f （ -x ） +g （ -x ） =3x 2 + 4x x 2 +9 +5. ∵f （ x ）为偶函数， g （ x ）为奇函数， ∴ f （ x ） -g （ x ） =3x 2 + 4x x 2 +9 +5 ， ②. 联立 ①② 解得， f （ x ） =3x 2 +5 ， g （ x ） =- 4x x 2 +9 ， ∴ f （ -1 ） +g （ 3 ） =3 （ -1 ） 2 +5- 4×3 3 2 +9 = 22 3 . 变式训练 4 7 【解析】 设 S=f 1 8 2 + +f 2 8 2 + + … +f 7 8 2 + ， 则 S=f 7 8 2 + +f 6 8 2 + + … +f 1 8 2 + ， ∵f 1 2 +x 2 + +f 1 2 -x 2 + =2 ， ∴2S = f 1 8 2 + +f 7 8 2 +8 - + f 2 8 2 + +f 6 8 2 +8 - + … + f 7 8 2 + +f 1 8 2 +8 - =2×7=14 ， S=f 1 8 2 + +f 2 8 2 + + … +f 7 8 2 + =7. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 x y O 第 10 题答图 56 参 考 答 案 随堂练习 1. B 【解析 】 ∵y=f （ x ） +x 是定义在 R 上的偶函数 ， 且 f （ １ ） ＝３ ； ∴ f （ -１ ） -１＝f （ １ ） +１ ； f （ -１ ） -１＝３+１ ； ∴ f （ -1 ） = 5. 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 偶函数的图象关于 y 轴对称， 因此 它的图象与 x 轴的四个交点关于原点对称， 四个交点横 坐标和为 0. 故选 A. 3. D 【解析】 ∵f （ a ） +f （ -a ） =a 3 -3a-2+ （ -a ） 3 -3× （ -a ） - 2=-4 ， ∴ f （ -a ） =-8. 故选 D. 4. B 【解析】 ∵f （ x ）为奇函数， 且在 （ -∞ ， 0 ） 单调 递减， f （ 2 ） =0 ， ∴ f （ -2 ） =0 ， f （ 0 ） =0 ， 且在 （ 0 ， +∞ ） 上 单调递减， ∴ 由 xf （ x ） ≥0 可得 x>0 ， f （ x ） ≥ ≥ 0 或 x<0 ， f （ x ） ≤ ≥ 0 或 x= 0 ， 即 0<x≤2 或 -2≤x<0 或 x=0 ， 即 -2≤x≤2. 故选 B. 5. A 【解析】 偶函数 f （ x ）在区间 ［ 0 ， +∞ ） 上单调 递增 ， 则 f （ x ）在区间 （ -∞ ， 0 ］ 上单调递减 ， 若满足 f （ 2x-1 ） -f 1 3 3 & <0 ， 则 ｜2x-1 ｜< 1 3 ， 可得 - 1 3 <2x-1< 1 3 ， ∴ 1 3 <x< 2 3 ， 即 x∈ 1 3 ， 2 3 3 & . 故选 A. 6. - -x 姨 -1 【解析】 当 x<0 时， 则 -x>0 ， 可得 f （ -x ） = -x 姨 +1. ∵ 函数 f （ x ）为 R 上的奇函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， 可得当 x<0 时 f （ x ） =-f （ -x ） =- -x 姨 -1. 即当 x<0 时， f （ x）= - -x 姨 -1. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 根据题意有 f （ x ） ＋g （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上有 最大值 6 ， 又 ∵f （ x ）和 g （ x ）都是奇函数， ∴ f （ x ） ＋g （ x ）是奇 函数且 f （ x ） ＋g （ x ）在（ -∞ ， 0 ）上有最小值 -6 ， 则 F （ x ）在 （ -∞ ， 0 ）上有最小值 -6＋2＝-4. 故选 D. 2. C 【解析 】 ∵f （ x ）为奇函数 ， f （ x ） -f （ -x ） x <0 ， 即 f （ x ） x <0 ， ∵f （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上为减函数且 f （ 1 ） ＝0 ， ∴ 当 x>1 时， f （ x ） <0. ∵ 奇函数的图象关于原点对称， ∴ 在（ -∞ ， 0 ）上 f （ x ）为减函数且 f （ -1 ） ＝0 ， 即 x<-1 时， f （ x ） >0. 综上， f （ x ） -f （ -x ） x <0 的解集为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， ＋∞ ） . 故选 C. 3. A 【解析】 设 g （ x ） =f （ x-1 ） +x 2 ， ∵ 函数 y=f （ x-1 ） +x 2 是定义在 R 上的奇函数， f （ -2 ） =1 ， ∴g （ -1 ） =f （ -2 ） +1=1+1=2 ， 即 g （ -1 ） =-g （ 1 ） =2 ， 则 g （ 1 ） =-2 ， ∴g （ １ ） =f （ 0 ） +１＝-2 ， 则 f （ 0 ） =-3. 故选 A. 4. D 【解析】 对任意的 x 1 ≠x 2 ， 有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 恒 成立， 可得 f （ x ）是 R 上的增函数， 又 f （ x ）是 R 上的奇函数， ∴ f （ 2x+1 ） <-f （ 2-x ） =f （ x-2 ）， ∴2x+1<x-2 ， 解得 x<-3 ， ∴ 不等式 f （ 2x+1 ） +f （ 2-x ） <0 的解集为 （ -∞ ， -3 ） . 故 选 D. 5. D 【解析】 ∵f （ x ）是定义在 R 上的偶函数， ∴ f （ -x ） =f （ x ） . ∵f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， ∴ f （ -x 1 ） <f （ x 2 ） . 又 ∵f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数， 且 -x 1 <0 ， x 2 <0 ， ∴-x 1 <x 2 ， 即 x 1 +x 2 >0. 故选 D. 6. D 【解析】 ∵f （ x ）为偶函数， 在区间 ［ -3 ， -1 ］ 上 是增函数且有最大值 5 ， ∴ f （ -1 ） ＝5. ∵f （ x ）在 ［ 1 ， 3 ］ 上 的单调性与 ［ -3 ， -1 ］ 上相反， ∴ f （ x ）在 ［ 1 ， 3 ］ 上单 调递减， ∴ f （ 1 ）为最大值， ∴ f （ 1 ） ＝f （ -1 ） ＝5. 故选 D. 7. D 【解析】 ∵f （ x+1 ）是偶函数， ∴ 其对称轴为 x= 0 ， ∴ f （ x ）的对称轴为 x=1. 又二次函数 f （ x ） =-x 2 +bx+c 的 开口向下 ， 根据自变量离对称轴的距离可得 f （ -1 ） < f （ 2 ） <f （ 1 ） . 故选 D. 8. C 【解析】 由函数 y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 对 称， 可得 f （ m ） =f （ 4-m ）， 再结合 y=f （ x ）为奇函数， 可得 f （ m ） =f （ 4-m ） =-f （ m-4 ） =3 ， 则 f （ m-4 ） =-3. 故选 C. 9. ACD 【解析】 f （ x ）是 R 上的奇函数， 故 f （ 0 ） =a- 2=0 ， 得 a=2 ， 故 A 正确； f （ 2 ） =4+2=6 ， 故 B 错误； 当 x≥0 时， f （ x ） =x 2 +x 在 ［ 0 ， +∞ ） 上为增函数， 利用奇函 数的对称性可知， f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ］ 上为增函数， 故 f （ x ） 是 R 上的增函数， 故 C 正确； f （ -3 ） =-f （ 3 ） =-9-3=-12 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 10. x x 2 -1 1 x 2 -1 【解析】 ∵f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶 函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， g （ -x ） =g （ x ） . 则 f （ x ） +g （ x ） = 1 x-1 ， f （ -x ） +g （ -x ） = 1 -x-1 1 - - - - , - - - - . ， 即 f （ x ） +g （ x ） = 1 x-1 ， -f （ x ） +g （ x ） = 1 -x-1 1 - - - - 1 - - - - . ， 两式相减， 解得 f （ x ） = x x 2 -1 ； 两式相加， 解得 g （ x ） = 1 x 2 -1 . 提升练习 11. ABD 【解析】 ∵f （ x-1 ）是偶函数， 故可得 f （ x-1 ） =f （ -x-1 ） ① ， 又 f （ x-2 ）是偶函数， 故可得 f （ x-2 ） =f （ -x-2 ） ② ， 由 ① 可得， f （ x ） =f （ -x-2 ）； 由 ② 可得， f （ x ） =f （ -x-4 ）； 故可得 f （ -x-2 ） =f （ -x-4 ）， 则 f （ x ） =f （ x+2 ）， 故 D 正确； 又 ∵f （ x-1 ）， f （ x-2 ）均为偶函数， 故可得 f （ x+1 ）， f （ x ）是偶函数， 故 A ， B 正确； 故 f （ x+2 ）也是偶函数， 故 C 错误 . 故选 ABD. 12. 1 3 ， 2 3 3 & 【解析】 由题意得 |2x-1|<｜x｜圯｜2x-1｜ 2 < ｜x｜ 2 圯3x 2 -4x+1<0圯 1 3 <x<1. * 13. 2 【解析】 ∵f （ x ）是定义域为（ -∞ ， +∞ ） 的奇函 数， 且 f （ 1-x ） =f （ 1+x ）， ∴ f （ 1+x ） =-f （ x-1 ）， ∴ f （ 3+x ） =-f （ x+1 ） =f （ x-1 ）， ∴T=4. 因此 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 50 ） =12 ［ f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + 57 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 f （ 4 ）］ +f （ 1 ） +f （ 2 ） . ∵f （ ２ ） =f （ 0 ） ＝0 ， f （ 3 ） =-f （ 1 ） =-2 ， f （ 4 ） =f （ 0 ） =0 ， ∴ f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） +f （ 4 ） =0. 从而 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 50 ） =f （ 1 ） =2. 14. 解： （ 1 ） 令 a＝b＝0 ， 则 f （ 0×0 ） ＝0×f （ 0 ） ＋0×f （ 0 ） ＝ 0 ， ∴ f （ 0 ） ＝0. 令 a＝b＝1 ， 则 f （ 1×1 ） ＝f （ 1 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 1 ）， ∴ f （ 1 ） ＝0. （ 2 ） f （ x ）是奇函数 . 理由如下： ∵f （ 1 ） ＝f ［（ -1 ） 2 ］ ＝-f （ -1 ） -f （ -1 ） ＝0 ， ∴ f （ -1 ） ＝0. 令 a＝-1 ， b＝x ， 则 f （ -x ） ＝f （ -1 · x ） ＝-f （ x ） ＋xf （ -1 ） ＝-f （ x ） . 故 f （ x ）为奇函数 . * 15. 解： （ 1 ） 当 x<0 时， -x>0 ， 又 ∵f （ x ）为奇函数， ∴ f （ x ） =-f （ -x ） =- （ -x 2 +2x ） =x 2 -2x ， ∴ f （ x ） = x 2 -2x ， x<0 ， -x 2 -2x ， x≥0 0 . （ 2 ） ① 当 a≤0 时， 对称轴 x= a 2 ≤0 ， ∴ f （ x ） =-x 2 +ax 在［ 0 ， +∞ ）上单调递减 . 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同， ∴ f （ x ）在（ -∞ ， 0 ）上单调递减 . 又 ∵ 在（ -∞ ， 0 ）上 f （ x ） >0 ， 在（ 0 ， +∞ ）上 f （ x ） <0 ， ∴ 当 a≤0 时， f （ x ）为 R 上的单调递减函数 . 当 a>0 时， f （ x ）在 0 ， a 2 2 & 上递增， 在 a 2 ， + 2 & ∞ 上 递减， 不合题意 . ∴ 函数 f （ x ）为单调函数时， a 的取值范围为 a≤0. ②∵f （ m-1 ） +f （ m 2 +t ） <0 ， ∴ f （ m-1 ） <-f （ m 2 +t ） . ∴ f （ x ）是奇函数， ∴ f （ m-1 ） <f （ -t-m 2 ） . 又 ∵f （ x ）为 R 上的单调递减函数， ∴m-1>-t-m 2 恒成立， ∴t>-m 2 -m+1=- m+ 1 2 2 & 2 + 5 4 恒成立， ∴t> 5 4 . 阶段性练习卷 （三） 1. B 【解析 】 由题意得 -2≤2x+1≤3 ， 解得 - 3 2 ≤ x≤1 ， 由 x+1≠0 ， 解得 x≠-1 ， 故函数的定 义 域 是 - 3 2 ， - & 1 1 ∪ （ -1 ， 1 ］ . 故选 B． 2. D 【解析】 ∵x 2 +1≥1 ， ∴0< 1 x 2 +1 ≤1 ， 故选 D. 3. D 【解析】 函数 f （ x ）对定义域内的任意 x ， 均有 f （f （ x ） -x 3 ） =2 ， 则 f （ x ） -x 3 是定值， 令 f （ x ） -x 3 =t ， 则 f （ t ） = t 3 +t=2 ， 解得 t=1 ， ∴ f （ x ） =x 3 +1 ， ∴ f （ 2 ） =2 3 +1=9. 故选 D． 4. A 【解析】 ∵ 函数 f （ x ）满足 f （ x ） +2f 1 x 2 & =2x+1 ① ， ∴ f 1 x 2 & +2f （ x ） = 2 x +1 ②. 联立 ①② ， 得 f （ x ） +2f 1 x 2 & =2x+1 ， f 1 x 2 & +2f （ x ） = 2 x +1 1 , , , , + , , , , - ， 解得 f （ x ） = 4 3x - 2x 3 + 1 3 ， ∴ f （ 2 ） = 4 6 - 4 3 + 1 3 =- 1 3 . 故选 A. 5. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 2 +bx+c 对于任意实数 t 都 有 f（2+t ） =f （ 2-t ）， 则其图象对称轴为 x=2 ， 且 f （ x ）在 ［ 2 ， +∞ ） 上递增 ， 于是得 f （ 2 ） <f （ 3 ） <f （ 4 ）， 而 f （ 1 ） = f （ 3 ）， ∴ f （ 2 ） <f （ 1 ） <f （ 4 ） . 故选 A. 6. B 【解析 】 当 x≥0 时 ， 若 x-1≥1-x 2 ， 则 x≥ 1 ； 当 x<0 时 ， 若 -x-1≥1-x 2 ， 则 x≤-1 . ∴M （ x ） = ｜x｜-1 ， x≥1 或 x≤-1 ， 1-x 2 ， -1<x<1 0 . 若 M （ x ） <1 ， 则当 -1<x<1 时， 1- x 2 <1圯-x 2 <0圯x≠0 ， 即 -1<x<0 或 0<x<1 ； 当 x≥1 或 x≤-1 时， ｜x｜-1<1 ， 解得 -2<x<2 ， 又 x≥1 或 x≤-1 ， ∴-2< x≤-1 或 1≤x<2. 综上所述， -2<x<0 或 0<x<2. 故选 B. 7. BC 【解析】 作出函数 y= x+6 ， x≤0 ， x 2 -2x+2 ， x> > 0 的图象如 图所示 . 由图象可知， 当 y=6 时， 有两个 x 与 y 对应， 故 A 错误； 对 坌y∈ ［ 2 ， 6 ］， 都有两个不同的 x 与之对应， 故 B 正确； 对 坌y∈ （ 1 ， 2 ）， 都有三个不同的 x 与之对应， 故 C 正确； 由图象可知， 对 坌y∈R ， 最多有三个不同的 x 与之对应， 故 D 错误 . 故选 BC. 8. BC 【解析】 ∵f （ x ） = 3+x 4-x = - （ 4-x ） +7 4-x =-1+ 7 4-x ， 由 于 7 4-x ≠0 ， ∴ f （ x ） ≠-1 ， ｜f （ x ） ｜∈ ［ 0 ， +∞ ）， 不存在正数 M ， 使得 ｜f （ x ） ｜≤M 成立， 不满足题意， 故 A 不符合题意； 令 y=4-x 2 ， y≥0 ， 则 f （ x ） = y 姨 ， ∵y=4-x 2 ， 当 x=0 时， 函数 y=4-x 2 的最大值为 y max =4 ， ∴y∈ ［ 0 ， 4 ］， 即 f （ x ） ∈ ［ 0 ， 2 ］， ｜f （ x ） ｜≤2 ， 故 B 符合题意； 令 y=2x 2 -4x+3 （ y≠ 0 ）， 当 x=- -4 2×2 =1 时， 函数 y=2x 2 -4x+3 （ y≠0 ） 有最小 值 ２×1 2 -4×1+3=1 ， 即 2x 2 -4x+3≥1 ， ∴0< 5 2x 2 -4x+3 ≤ 5 1 = 5 ， ∴｜f （ x ） ｜≤5 ， 故函数 f （ x ） = 5 2x 2 -4x+3 为有界函数； 令 t= 4-x 姨 ， t≥0 ， 则 x=4-t 2 ， 即 f （ x ） =-t 2 +t+4 ， t≥0 ， 当 t= 1 2 时， f （ x ） max =- 1 2 2 & 2 + 1 2 +4= 17 4 ， 无最小值， 即 f （ x ） < 17 4 ， ｜f （ x ） ｜∈ ［ 0 ， +∞ ）， 此时不存在正数 M ， 都有 ｜f （ x ） ｜≤ M 成立， 故该函数不是有界函数 ． 故选 BC. x y O -6 -4 -2 2 4 6 4 2 第 7 题答图 58