周周测05 3.1.2-3.1.3函数的单调性与奇偶性（数学人教B版必修第一册）

**基本信息** 以函数单调性与奇偶性为核心，通过心形建筑情境题（第8题）与定义证明题（解答题16-18），实现从基础判断到创新应用的梯度考查，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|单调性判断、奇偶性识别|第8题结合心形建筑情境，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|奇偶性性质、单调性判定|第10题辨析单调性误区，考查数学思维严谨性| |填空|3/15|奇函数求值、单调区间求法|第13题分层考查复合函数单调区间，夯实基础| |解答|5/77|定义证明、图像绘制、恒成立问题|16-18题注重单调性定义证明，19题不等式恒成立考查数学语言表达与问题解决能力|

2026-2027学年高一上学期数学周周测05 3.1.2-3.1.3函数的单调性与奇偶性 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 4．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 6．若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   8．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 10．下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 11．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．且， B．函数在定义域内是减函数 C．当时，的值域为 D．的图象关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是奇函数，当时，，则__________. 13．函数的单调递减区间为______. 14．已知函数是偶函数，则__________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 17．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 18．已知定义在上的函数，且. (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递增； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 19．已知是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测05 3.1.2-3.1.3函数的单调性与奇偶性 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 3．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 4．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据奇偶性可得，则结果可知. 【详解】由题意可知， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故选：B. 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间. 【详解】设，则有且， ，则， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和. 故选：C. 6．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 8．下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 【答案】BD 【分析】应用特殊函数判断A，应用单调性定义判断B，应用偶函数定义判断C，D. 【详解】对于A中，如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减， 但函数在上不是单调递减函数，所以A错误； 对于B中，不妨设，因为，可得， 即，所以函数在上单调递减，所以正确； 对于C中，若是定义在上的函数，设， 可得，所以函数为偶函数，所以C错误； 对于D中，由函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 令，可得，所以为偶函数，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，，则可求得答案. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为： 10．函数的单调递减区间为______. 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2) 函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即， 所以在上单调递增． 【分析】（1）由求出，再由求出，最后再检验. （2）设，对进行适当变形判断符号即可得出函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 则， 经检验，，故是奇函数． 所以． （2）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测05 3.1.2-3.1.3函数的单调性与奇偶性 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 4．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 6．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 8．下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是奇函数，当时，，则__________. 10．函数的单调递减区间为______. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测05 3.1.2-3.1.3函数的单调性与奇偶性 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 3．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 4．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据奇偶性可得，则结果可知. 【详解】由题意可知， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故选：B. 5．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间. 【详解】设，则有且， ，则， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和. 故选：C. 6．若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，根据函数单调性易得. 【详解】解：， 函数的定义域为且在上是减函数， 可得 故选：B. 【点睛】考查求二次函数的值域以及抽象函数单调性的应用，基础题. 7．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 8．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 10．下列说法中正确的有（    ） A．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在上单调递减 B．，且，当时，在上单调递减 C．若是定义在上的函数，则为奇函数 D．若是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则为偶函数 【答案】BD 【分析】应用特殊函数判断A，应用单调性定义判断B，应用偶函数定义判断C，D. 【详解】对于A中，如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减， 但函数在上不是单调递减函数，所以A错误； 对于B中，不妨设，因为，可得， 即，所以函数在上单调递减，所以正确； 对于C中，若是定义在上的函数，设， 可得，所以函数为偶函数，所以C错误； 对于D中，由函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 令，可得，所以为偶函数，所以D正确. 故选：BD. 11．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．且， B．函数在定义域内是减函数 C．当时，的值域为 D．的图象关于对称 【答案】AC 【分析】对于A，直接验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于C，由函数单调性即可验算最值；对于D，根据函数平移变换法则结合反比例函数的对称中心即可验算. 【详解】A，函数中，若且，则，正确； B，函数在上单调递减，在定义域内不单调，错误； C，由选项B知，当时，，即，正确； D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到， 函数图象的对称中心为，因此的图象关于对称． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，，则可求得答案. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为： 13．函数的单调递减区间为______. 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 14．已知函数是偶函数，则__________． 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去除绝对值得到，直接画函数图像即可. （2）结合（1）的图像先分析函数在上的单调性，求出最值即可得到值域； （3）当时，化简得到当时，恒成立；由基本不等式求出最小值为4，所以； 【详解】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 16．已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【答案】(1)，； (2) 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 【分析】（1）将点代入解析式求得，求得解析式，得解； （2）利用函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）略 17．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2) 函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即， 所以在上单调递增． 【分析】（1）由求出，再由求出，最后再检验. （2）设，对进行适当变形判断符号即可得出函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 则， 经检验，，故是奇函数． 所以． （2）略 18．已知定义在上的函数，且. (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递增； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)11 (2)证明：，且， 则， ∵，∴， 由∵，∴， ∴，∴， ∴函数在区间上单调递增； (3)， 【分析】（1）由代入计算，即可得到的值，然后代入计算，即可得到的值； （2）根据题意，由定义法代入计算，即可证明函数的单调性； （3）由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 则，所以. （2）略 （3）∵函数在区间上单调递增. ∴函数在区间上单调递增， ∴，. 19．已知是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的对称性质来求解析式即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性来解不等式，再利用不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题意，得， 令，则，由于是在R上的奇函数， 所以， 则函数的解析式为 （2）由的解析式可知，函数在R上为增函数. ∵是定义在R上的奇函数， ∴，即. 又是增函数，∴， 即对任意的恒成立， ∵， ∴，即. ∴实数k的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $