3.1.2 函数的单调性-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解； 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +2a+2=5 ， 解得 a=-3 或 a=1 （舍 去）， ∴a=-3. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设 y＝ k x ， 由 1＝ k 2 得 k＝2 ， 因此， y 关 于 x 的函数关系式为 y＝ 2 x . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝x 2 ＋bx＋c ， 且 f （ 1 ） ＝0 ， f （ 3 ） ＝0 ， ∴ 1＋b＋c＝0 ， 9＋3b＋c＝0 0 ， 解得 b＝-4 ， c＝3 0 ， 即 f （ x ） ＝x 2 -4x＋3 ， ∴ f （ -1 ） ＝1＋4＋3＝8. 故选 B. 3. A 【解析】 a= ［ -1.01 ］ =-2 ， b= ［ -1 ］ =-1 ， c= ［ 1.5 ］ = 1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 4. D 【解析】 f （ 3 ） ＝ 2 3 ， f （ f （ 3 ）） ＝f 2 3 3 $ ＝ 2 3 3 & 2 ＋1＝ 4 9 ＋1＝ 13 9 . 故选 D. 5. C 【解析】 由表格可得 g （ ３ ） ＝１ ， ∴ f （ g （ ３ ）） =f （ １ ） ＝ ２. 故选 C. 6. BD 【解析 】 令 t=2x-1 ， 则有 x= t+1 2 ， ∴ f （ t ） = 4 t+1 2 3 & 2 = （ t+1 ） 2 . ∴ f （ 3 ） =16 ， f （ -3 ） =4 ， f （ x ） = （ x+1 ） 2 . 故选 BD. 7. AD 【解析】 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +1=10 ， 解得 a= ±3 （舍正 ）； 当 a>0 时， f （ a ） =2a=10 ， 解得 a=5 ， 符合 . 综上， a=-3 或 5. 故选 AD. 8. y=- 3 x +2 【解析】 由题意可设 y-2= k x ， 又 ∵x=3 时， y=1 ， ∴1-2= k 3 ， 即 k=-3 ， 故 y=- 3 x +2. 9. f （ x ） =x 2 -2x 【解析】 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 则 f （ -1 ） =a-b+c=3 ， f （ 3 ） =9a+3b+c=3 ， f （ 1 ） =a+b+c=-1 1 * * * ) * * * + ， 解之得 a=1 ， b=-2 ， c=0 1 * * * ) * * * + ， ∴ f （ x ） =x 2 -2x. 10. 解： （ 1 ） ∵5>4 ， ∴ f （ 5 ） ＝-5＋2＝-3. ∵-3<0 ， ∴ f （ f （ 5 ）） ＝f （ -3 ） ＝-3＋4＝1. ∵0<1<4 ， ∴ f （ f （ f （ 5 ））） ＝f （ 1 ） ＝1 2 -2×1＝-1 ， 即 f （ f （ f （ 5 ））） ＝-1. （ 2 ） 图象如图所示 . f （ x ）的值域为（ -∞ ， 8 ］ . 提升练习 11. C 【解析】 令 t＝ 1-x 1+x ， 解得 x＝ 1-t 1+t ， 代入 f 1-x 1+x 3 & ＝x ， 可得 f （ t ） ＝ 1-t 1+t ， ∴ f （ x ） ＝ 1-x 1+x . 故选 C. 12. x 2 -x＋1 【解析】 ∵f （ x ）是二次函数， 设 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c （ a≠0 ）， 由 f （ 0 ） ＝1 ， 得 c＝1. 由 f （ x＋1 ） -f （ x ） ＝2x ， 得 a （ x＋1 ） 2 ＋b （ x＋1 ） ＋1-ax 2 -bx-1＝ 2x. 整理得 2ax＋ （ a＋b ） ＝2x ， 由系数相等得 2a＝2 ， a＋b＝0 0 ， ∴ a＝1 ， b＝-1 0 . ∴ f （ x ） ＝x 2 -x＋1. 13. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， f （ 1-a ） =2 （ 1-a ） +a=2-a ， f （ 1+a ） =- （ 1+a ） -2a=-3a-1. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴2-a=-3a-1 ， 解得 a=- 3 2 （舍去） . 当 a<0 时， f （ 1-a ） =- （ 1-a ） -2a=-a-1 ， f （ 1+a ） =2 （ 1+ a ） +a=2+3a. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴-a-1=2+3a ， 解得 a=- 3 4 . 综上， a 的值为 - 3 4 . 14. 2 【解析 】 由 f （ x ） ＝x 2 ＋4x＋3 ， f （ ax＋b ） ＝x 2 ＋10x＋ 24 ， 得 （ ax＋b ） 2 ＋4 （ ax＋b ） ＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 即 a 2 x 2 ＋ （ 2ab＋ 4a ） x＋b 2 ＋4b＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 由系数相等得 a 2 ＝1 ， 2ab＋4a＝10 ， b 2 ＋4b＋3＝24 1 * * * ) * * * + ， 解得 a＝-1 ， b＝- 0 7 或 a＝1 ， b＝3 0 ， 则 5a-b＝2. 15. 解 ： ∵x 0 ∈A ， ∴0≤x 0 < 1 2 ， 且 f （ x 0 ） ＝x 0 ＋ 1 2 . 又 ∵ 1 2 ≤x 0 ＋ 1 2 <1 ， ∴x 0 ＋ 1 2 ∈B ， ∴ f （ f （ x 0 ）） ＝2 1-x 0 - 1 2 3 & ＝2 1 2 -x 0 3 & . 又 ∵f （ f （ x 0 ）） ∈A ， ∴0≤2 1 2 -x 0 3 & < 1 2 ， 解得 1 4 ＜x 0 ≤ 1 2 . 又 ∵0≤x 0 ＜ 1 2 ， ∴ 1 4 <x 0 < 1 2 . 3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 函数的单调性及函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 解： 当 a＞0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增， 当 a＜0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递减 . 证明如下： 当 a＞0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， x y O -1 -4 4 -2 （ 4 ， 8 ） 4 第 10 题答图 50 参 考 答 案 ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） >0 ， 即 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增； 当 a＜0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） ＞f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）在（ -1 ， 1 ）上单调递减 . 变式训练 2 D 【解析】 y=-3x+1 为 R 上的减函数， 故 A 错误； y= 2 x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故 B 错误； y=x 2 -4x+5 在 （ -∞ ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， +∞ ） 上单 调递增， 故 C 错误； y=｜x-1｜+2= x+1 ， x≥1 ， 3-x ， x<1 1 ， 则 y=｜x-1｜+ 2 在 （ １ ， +∞ ） 上为增函数， 故 D 正确 . 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）是定义在 ［ -4 ， 4 ］ 上的减 函数， 且 f （ a+1 ） >f （ 2a ）， ∴-4≤a+1<2a≤4 ， 解得 1<a≤2. 故选 C. 变式训练 4 -∞ ， - 1 2 2' 【解析 】 函数 y= 1 x 2 +x+2 的定义域是 （ -∞ ， +∞ ）， 设 u=x 2 +x+2 ， 则函数 u=x 2 +x+2 在 -∞ ， - 1 2 22 上是单调递减的， ∵ 函数 y= 1 u 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递 减 ， ∴ 函数 y= 1 x 2 +x+2 在 -∞ ， - 1 2 22 上是单调递增的 ， ∴ 函数 y= 1 x 2 +x+2 的单调递增区间为 -∞ ， - 1 2 22 . 随堂练习 1. A 【解析】 二次函数 y=-x 2 ， 开口向下， 对称轴为 x=0 ， ∴ 单调增区间为 （ -∞ ， 0 ］ . 故选 A. 2. B 【解析】 f （ x ） =x 2 -2x 的图象是对称轴为 x=- -2 2 =1 ， 开口向上的抛物线， ∴ f （ x ） =x 2 -2x 在 （ -∞ ， 1 ） 上 单调递减， 由选项可知 （ -3 ， 0 ） 哿 （ -∞ ， 1 ）， ∴ f （ x ） = x 2 -2x 在 （ -3 ， 0 ） 上单调递减 . 故选 B. 3. A 【解析】 函数 f （ x ）是 R 上的单调递减函数， 则 埚x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 由减函数定义知， 此命题是真命 题， 即命题： “若甲则乙” 是真命题； 反之， 埚x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 则函数 f （ x ）是 R 上的单调递减函数， 条件 与减函数定义不符， 即命题： “若乙则甲” 是假命题， ∴ 甲是乙的充分不必要条件 . 故选 A. 4. A 【解析 】 由 f （ a ） -f （ b ） a-b >0 ， 知 f （ a ） -f （ b ）与 a-b 同号， 即当 a<b 时， f （ a ） <f （ b ）， 或当 a>b 时， f （ a ） >f （ b ）， ∴ f （ x ）在 R 上是增函数 . 故选 A. 5. BC 【解析】 对 B ， C ， 函数在 （ 0 ， +∞ ） 先减后 增， 故选 BC. 6. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 2 -mx+10 的对称轴为 x= m 2 ， 由于 f （ x ）在 （ -2 ， 1 ） 上是减函数， ∴ m 2 ≥1 ， 即 m≥2. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 根据函数单调性的定义知， 所取两个 自变量必须是同一单调区间内的值时， 才能由该区间上 函数的单调性来比较函数值的大小， 而本题中的 x 1 ， x 2 不在同一单调区间内， 故 f （ x 1 ）与 f （ x 2 ）的大小不能确定 . 故选 D. 2. B 【解析】 y＝3-x ， y＝ 1 x ， y＝-|x＋1| 在 （ 0 ， 2 ）上 都是减函数， 只有 y＝x 2 ＋1 在（ 0 ， 2 ）上是增函数 . 故选 B. 3. D 【解析】 ∵Δy＝f 3 2 +Δ 2 Δ x -f 3 2 2 Δ ＝-3Δx- （ Δx ） 2 ， ∴ Δy Δx ＝ -3Δx- （ Δx ） 2 Δx ＝-3-Δx. 故选 D. 4. D 【解析 】 y=-3x+1 为 R 上的减函数 ， 故 A 错 误； y= 2 x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故 B 错 误； y=x 2 -4x+5 在 （ -∞ ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， +∞ ） 上单调递增， 故 C 错误； y=｜x-1｜+2= x+1 ， x≥1 ， 3-x ， x<1 1 ， 则 y= ｜x-1｜+2 在 （ １ ， +∞ ） 上为增函数， 故 D 正确 . 故选 D. 5. AD 【解析】 任取 x 1 ≠x 2 ， 则 m= f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 = 2x 1 -2x 2 x 1 -x 2 = 2>0 ， 故 A 正确 ； 由二次函数的单调性可得 g （ x ）在 -∞ ， a 2 2 Δ 上单调递减 ， 在 a 2 ， + 2 Δ ∞ 上单调递增， 可 取 x 1 =0 ， x 2 =a ， 则 n= g （ x 1 ） -g （ x 2 ） x 1 -x 2 = g （ 0 ） -g （ a ） 0-a = 0-0 0-a =0 ， 故 B 错误； m=2 ， n= g （ x 1 ） -g （ x 2 ） x 1 -x 2 = （ x 2 1 -ax 1 ） - （ x 2 2 -ax 2 ） x 1 -x 2 = （ x 2 1 -x 2 2 ） -a （ x 1 -x 2 ） x 1 -x 2 =x 1 +x 2 -a ， 则 m=n 不恒成立， 故 C 错误； m=2 ， n=x 1 +x 2 - a ， 若 m=n ， 则 x 1 +x 2 -a=2 ， 只需 x 1 +x 2 =a+2 即可， 故 D 正 确 . 故选 AD. 6. AC 【解析 】 结合图象易知 ， 函数 f （ x ）在区间 ［ -６ ， ４ ］， ［ -1 ， 2 ］， ［ 5 ， 8 ］ 上单调递增 . 故选 AC. 7. ［ -1 ， 0 ］ 【解析 】 由 1 -x 2 ≥0 ， 得 -1≤x≤1 ， ∴ 函数 y= 1 2 1-x 2 姨 的定义域为［ -1 ， 1 ］ . 设 u=1-x 2 ， 当 -1≤x≤0 时， u 是 x 的增函数， 而 y 是 u 的增函数， ∴y 是 x 的增函数； 当 0≤x≤1 时， u 是 x 的减函数， 而 y 是 u 的增函数， ∴y 是 x 的减函数 . ∴y= 1 2 1-x 2 姨 的单调 51 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 增区间是 ［ -1 ， 0 ］ . 8. 0≤a≤1 【解析】 当 a=0 时， f （ x ） =x ， 显然 f （ x ）在 ［ 1 ， +∞ ） 内是增函数 ； 当 a≠0 时 ， a>0 ， - - （ 3a-1 ） 2a ≤1 1 % % % $ % % % & ， ∴0<a≤1. 综上所述， 0≤a≤1. 9. 证明： 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 由 f （ x 2 ） - f （ x 1 ） = （ x 2 2 -2x 2 -3 ） - （ x 2 1 -2x 1 -3 ） = （ x 2 2 -x 2 1 ） -2 （ x 2 -x 1 ） = （ x 2 +x 1 ）（ x 2 - x 1 ） -2 （ x 2 -x 1 ） = （ x 2 -x 1 ）（ x 2 +x 1 -2 ）， ∵x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， x 2 +x 1 -2>0 ， ∴ （ x 2 -x 1 ）（ x 2 +x 1 -2 ） >0 ， 即 f （ x 2 ） >f （ x 1 ）， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， ∴ 函数 y=x 2 -2x-3 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 10. （ 1 ） 解： 由题意知 x＋1≠0 ， 即 x≠-1. ∴ f （ x ）的定义域为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， ＋∞ ） . （ 2 ） 证明： 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， ＋∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝ 2x 2 -1 x 2 +1 - 2x 1 -1 x 1 +1 ＝ （ 2x 2 -1 ）（ x 1 ＋1 ） - （ 2x 1 -1 ）（ x 2 ＋1 ） （ x 2 ＋1 ）（ x 1 ＋1 ） ＝ 3 （ x 2 -x 1 ） （ x 2 ＋1 ）（ x 1 ＋1 ） . ∵x 1 <x 2 ， ∴x 2 -x 1 >0. 又 ∵x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， ＋∞ ）， ∴x 2 ＋1>0 ， x 1 ＋1>0. ∴ f （ x 2 ） -f （ x 1 ） >0 ， ∴ f （ x 2 ） >f （ x 1 ） . ∴ 函数 f （ x ） ＝ 2x-1 x+1 在（ -1 ， ＋∞ ）上是增函数 . 提升练习 11. A 【解析】 对于 ① ， 函数单调性的定义中的 x 1 ， x 2 是任意的， 强调的是任意 ， ① 错误； 对于 ② ， y＝x 2 ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函数， 当 x<0 时是减函数， 从而 y＝ x 2 在其整个定义域上不具有单调性， ② 错误； 对于 ③ ， y＝- 1 x 在整个定义域内不是单调递增函数， 如 -3<5 ， 而 f （ -3 ） >f （ 5 ）， ③ 错误； 对于 ④ ， y＝ 1 x 的单调递减区间不是 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 而是 （ -∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， +∞ ）， 注 意写法， ④ 错误 . 故选 A. 12. A 【解析】 当 x<0 时， 函数 f （ x ） ＝x 2 -ax＋1 是减 函数 ， 解得 a≥0. 当 x≥0 时， 函数 f （ x ） ＝-x＋3a 是减函 数， 分段点 0 处的值应满足 1≥3a ， 解得 a≤ 1 3 ， ∴0≤ a≤ 1 3 . 故选 A. 13. ABC 【解析】 没有强调 x 1 ， x 2 是区间 I 上的任意 两个数， 故 A 错误； 可以举反例， 比如 f （ x ） =x ， g （ x ） = x+1 ， f （ x ） g （ x ）不是增函数， 故 B 错误； y= 1 x 在整个定 义域内不具有单调性， 故 C 错误； D 正确 . 故选 ABC. 14. ［ -1 ， 0 ］ 【解析】 由题意， 可得 f （ 1-2a ） >f （ 3-a ） . ∵f （ x ）在定义域［ 1 ， 4 ］上单调递减， ∴ 1≤1-2a≤4 ， 1≤3-a≤4 ， 1-2a<3-a a % % % , % % % & ， 解得 -1≤a≤0 ， ∴ 实数 a 的取值范围为［ -1 ， 0 ］ . * 15. 解： 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 . ∵ 函数 f （ x ）在（ 1 ， ＋∞ ）上是增函数， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ＝x 1 - a x 1 ＋ a 2 - x 2 - a x 2 + a 2 2 . ＝ （ x 1 -x 2 ） 1+ a x 1 x 2 2 . <0. ∵x 1 -x 2 <0 ， ∴1＋ a x 1 x 2 >0 ， 即 a>-x 1 x 2 . ∵1<x 1 <x 2 ， x 1 x 2 >1 ， ∴-x 1 x 2 <-1 ， ∴a≥-1. ∴a 的取值范围是 ［ -1 ， ＋∞ ） . 第 2 课时 函数的最大值、 最小值 学习手册 变式训练 1 解： f （ x ） ＝-x 2 +4x-1＝- （ x-2 ） 2 +3. 当 t+1≤2 ， 即 t≤1 时， f （ x ）在区间 ［ t ， t+1 ］ 上为增 函数， ∴g （ t ） ＝f （ t+1 ） ＝-t 2 +2t+2 ； 当 t<2<t+1 ， 即 1<t<2 时， g （ t ） ＝f （ 2 ） ＝3 ； 当 t≥2 时 ， f （ x ）在区间 ［ t ， t+1 ］ 上为减函数 ， ∴g （ t ） ＝f （ t ） ＝-t 2 +4t-1. 综上所述， g （ t ） ＝ -t 2 +2t+2 ， t≤1 ， 3 ， 1<t<2 ， -t 2 +4t-1 ， t≥2 a % % % $ % % % & . 变式训练 2 ［ 3 ， +∞ ） 【解析】 由 x-1≥0 得 x≥1 ， 又 ∵y= x-1 姨 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， y=3x 在 ［ 1 ， +∞ ） 上也是增 函数， ∴ f （ x ） =3x+ x-1 姨 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 则 f （ x） min =3 ， ∴ 函数 f （ x ） =3x+ x-1 姨 的值域为 ［ 3 ， +∞ ） . 变式训练 3 2 【解析】 设 t= 1-x 姨 （ t≥0 ）， 则 x=1-t 2 ， ∴ 原函数 可化为 y=-t 2 +2t+1 （ t≥0 ）， 由二次函数性质， 当 t=1 时， 函数取最大值 2. 变式训练 4 B 【解析】 由题可得 y=min{2x-1 ， -x+5}= 2x-1 ， x≤2 ， -x+5 ， x>2 2 ， ∴ 当 x=2 时， y max =3. 故选 B. 随堂练习 1. C 【解析 】 函数 f （ x ） =4x-x 2 =- （ x-2 ） 2 +4 ， 当 x=2 时， 函数 f （ x ）取得最大值 4. 故选 C. 2. D 【解析】 ∵y= 2 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， ∴y= 2 x-1 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递减， 即 y= 2 x-1 在 ［ 2 ， 6 ］ 上 52 参 考 答 案 单调递减， ∴ f （ x ）的最大值为 f （ 2 ） = 2 2-1 =2. 故选 D. 3. B 【解析】 当 a>0 时， y=ax+1 在区间 ［ 1 ， 3 ］ 上 为增函数， 则当 x=3 时， y 取得最大值， 即 3a+1=4 ， 解 得 a=1 ； 当 a<0 时， y=ax+1 在区间 ［ 1 ， 3 ］ 上为减函数， 则当 x=1 时， y 取得最大值， 即 a+1=4 ， 解得 a=3 舍去， ∴a=1. 故选 B. 4. B 【解析】 ∵ “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≤0 ” 为真 命题， 则 “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 ≤a ” . ∵ 当 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 ∈ ［ 1 ， 4 ］， ∴a≥4. ∵ 选项需要 a≥4 的充分不必要条件， ∴ 选项对应的集合是集合 {a｜ a≥4} 的真子集， 则命题 “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≤0 ” 为真命题的一个充分不必要条件可以是 a>4. 故选 B. 5. AC 【解析 】 函数 y=x+1 （ x>-1 ） 的值域为 （ 0 ， +∞ ）， A 正确； 函数 y=x 2 的值域为 ［ 0 ， +∞ ）， B 错误； 函数 y= 1 x （ x>0 ） 的值域为 （ 0 ， +∞ ）， C 正确； 函数 y= 1 x+1 的值域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， D 错误 . 故选 AC. 6. C 【解析】 ∵f （ x ） =x 2 -2x= （ x-1 ） 2 -1 ， ∴ 当 x 0 ∈ ［ -1 ， 2 ］ 时， f （ x 0 ） min =f （ 1 ） =-1 ， f （ x 0 ） max =f （ -1 ） =3 ， 即 f （ x 0 ）值域 为 ［ -１ ， ３ ］ . 又 ∵a>0 ， 则 g （ x ） =ax+2 为增函数， ∴ 当 x 1 ∈ ［ -1 ， 2 ］ 时 ， g （ x 1 ）值域为 ［ -a+2 ， 2a+2 ］ . 要使 坌x 1 ∈ ［ -1 ， 2 ］ ， 埚x 0 ∈ ［ -1 ， 2 ］ ， 使得 f （ x 0 ） =g （ x 1 ）成立 ， 则 ［ -a+2 ， 2a+2 ］ 哿 ［ -1 ， 3 ］， ∴ 2-a≥-1 ， 2a+2≤3 ， a>0 0 * * * ) * * * + ， 解得 0<a≤ 1 2 ， ∴ 实数 a 的取值范围是 0 ， 1 2 2- . 故选 C. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 根据图象的最高点与最低点， 可得函 数的最大、 最小值分别为 f （ 0 ）， f - 3 2 2 . 故选 C. 2. A 【解析】 函数 f （ x ） = 1 x 在区间 ［ 1 ， 2 ］ 是减函 数， ∴x=1 时 f （ x ）有最大值为 1 ， 即 A=1 ， x=2 时 f （ x ）有 最小值 1 2 ， 即 B= 1 2 ， 则 A-B=1- 1 2 = 1 2 . 故选 A. 3. B 【解析】 当 x≥1 时， 函数 f （ x ） ＝ 1 x 为减函数， 此时 f （ x ）在 x＝1 处取得最大值， 最大值为 f （ 1 ） ＝1 ； 当 x< 1 时， 函数 f （ x ） ＝-x 2 ＋2 在 x＝0 处取得最大值， 最大值为 f （ 0 ） ＝2. 综上可得， f （ x ）的最大值为 2. 故选 B. 4. C 【解析】 ∵f （ x ） ＝- （ x-2 ） 2 ＋4＋a ， ∴ 函数 f （ x ）图象的对称轴为直线 x＝2. ∴ f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上单调递增 . 又 ∵f min ＝-2 ， ∴ f （ 0 ） ＝-2 ， 即 a＝-2. ∴f max ＝f （ 1 ） ＝-1＋4-2＝1. 故选 C. 5. C 【解析】 ∵f （ x ） = （ x-1 ） 2 -1 ， ∴ 函数 y=f （ x ）在区间 ［ -1 ， 1 ） 上单调递减 ， 在区间 （ 1 ， 4 ］ 上单调递增 ， ∴ f （ x ） min =f （ １ ） ＝-１. ∵f （ -１ ） ＝3 ， f （ 4 ） =8 ， ∴ f （ x ） max =f （ ４ ） =8. 因此 ， 函数 y=f （ x ）在区间 ［ -1 ， 4 ］ 上的值域为 ［ -1 ， 8 ］ . 故选 C. 6. AB 【解析】 依题意 ， 当 a>0 时 ， y=ax+1 在 x=2 时取得最大值， 在 x=1 时取得最小值， ∴2a+1- （ a+1 ） =2 ， 即 a=2 ； 当 a<0 时， y=ax+1 在 x=1 时取得最大值， 在 x=2 时 取得最小值， ∴a+1- （ 2a+1 ） =2 ， 即 a=-2. 故选 AB. 7. D 【解析 】 f （ x ） ＝ x 2 ， x≥0 ， -x 2 ， x<0 0 ， 画出 f （ x ）的图象可 知， f （ x ）既无最大值又无最小值 . 故选 D. 8. ［ -4 ， 2 ］ 【解析】 ∵f （ x ）的图象经过 P （ -1 ， 2 ）； Q （ 3 ， -4 ） ∴ f （ -１ ） ＝２ ， f （ ３ ） ＝-４ ； 又 ∵f （ x ）的定义域为 ［ -1 ， 3 ］ 且 f （ 0 ）在 ［ -1 ， 3 ］ 上是减函数， ∴ 该函数的值域是 ［ -4 ， 2 ］ . 9. 6 【解析】 在同一平面直角坐标系内， 作出两函 数的图象如下： 由图可知 f （ x ）的图象是图中的实线部分 ， 观察图 像可知此函数的最大值为 6. 10. 解： （ 1 ） 设 f （ x ） =kx+b （ k≠0 ）， 则 3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =3k （ x+1 ） +3b- ［ 2k （ x-1 ） +2b ］ =kx+ 5k+b. ∵3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =x+3 ， ∴kx+5k+b=x+3 ， ∴k=1 且 5k+b=3 ， ∴b=-2 ， ∴ f （ x ） =x-2. （ 2 ） ∵x∈ ［ 1 ， 2 ］ 时， g （ x ） =x 2 -2x-2ax+2=x 2 -2 （ 1+a ） x+2 ， 对称轴 x=a+1. ① 当 a+1≤1 时， 即 a≤0 时， g （ x ） min =g （ 1 ） =1-2a ， 则 1-2a=- 1 4 ， 得 a= 5 8 ， 此时不成立； ② 当 1<a+1<2 ， 即 0<a<1 时， g （ x ） min =g （ a+1 ） =-a 2 - 2a+1 ， x y O 第 7 题答图 x y O y=-x+6 y=-x 2 +4x+6 第 9 题答图 53 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则 -a 2 -2a+1=- 1 4 ， 得 a= 1 2 或 a=- 5 2 （舍去）； ③ 当 a+1≥2 ， 即 a≥1 时， g （ x ） min =g （ 2 ） =2-4a ， 则 2-4a=- 1 4 ， 得 a= 9 16 ， 此时不成立 . 综上可得， a= 1 2 . 提升练习 11. A 【解析】 对 坌x 1 ， x 2 ∈R ， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， ∵x>0 时， f （ x ） <0 ， ∴ f （ x 2 -x 1 ） <0. 又 ∵f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝f （ x 2 -x 1 ） <0 ， ∴ f （ x 2 ） <f （ x 1 ） . ∴f （ x ）是 R 上的单调递减函数 . ∴ f （ x ）在 ［ -3 ， 3 ］上的最小值为 f （ 3 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 2 ） ＝ 3f （ 1 ） ＝3× - 2 3 3 % ＝-2. 故选 A. 12. BCD 【解析】 当 x>1 时， f （ x ） =x+ 4 x +a≥4+a ， 当且仅当 x=2 时， 等号成立； 当 x≤1 时， f （ x ） =x 2 -2ax+9 为二次函数， 要想在 x=1 处取得最小值， 则对称轴要满足 x=a≥1 ， 且 f （ 1 ） ≤4+a ， 即 1-2a+9≤a+4 ， 解得 a≥2. 故选 BCD. 13. ［ 6 ， +∞ ） 【解析 】 原函数可化为 f （ x ） =|x-3|+ |x+3|= -2x ， x≤-3 ， 6 ， -3<x≤3 ， 2x ， x>3 3 ) ) ) ( ) ) ) * ， 函数单调减区间为 （ -∞ ， -3 ］， 单 调增区间为 ［ 3 ， +∞ ）， 值域为 ［ 6 ， +∞ ） . 14. ［ -5 ， 4 ］ 【解析】 作出函数 y=x+4 ， y=x 2 -2x 的 图象如图所示： 根据题意， 当 a≤1 时， a+4≥1-2 ， 解得 a≥-5 ； 当 a>1 时， a+4≥a 2 -2a ， 解得 -1≤a≤4. 综上所述， 实数 a 的取值范围是［ -5 ， 4 ］ . * 15. 解： （ 1 ） 不正确 . 没有考虑到 u 还可以小于 0. 正确解答如下： 令 u＝3＋2x-x 2 ， 则 u＝- （ x-1 ） 2 ＋4≤4. 当 0＜u≤4 时， 1 u ≥ 1 4 ， 即 f （ x ） ≥ 1 4 ； 当 u＜0 时， 1 u ＜0 ， 即 f （ x ） ＜0. ∴ f （ x ） ＜0 或 f （ x ） ≥ 1 4 . 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . （ 2 ） ∵x 2 ＋x＋2＝ x+ 1 2 3 % 2 ＋ 7 4 ≥ 7 4 ， ∴0 ＜y≤ 4 7 ， ∴ 函 数 y ＝ 1 x 2 +x+2 的 最 大 值 为 4 7 当 x＝- 1 2 3 % 时 ， 没有最小值 . （ 3 ） 对于函数 f （ x ） ＝ 1 ax 2 ＋bx＋c （ a＞0 ） . 令 u＝ax 2 ＋bx＋c ， ① 当 Δ＞0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＜0 ； 当 4ac- b 2 4a ≤ u＜ 0 时 ， 1 u ≤ 4a 4ac- b 2 ， 即 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ； 当 u＞0 时 ， 即 f （ x ） ＞0. ∴ f （ x ） ＞0 或 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . ② 当 Δ＝0 时 ， u 有最小值 ， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＝0 ， 结合 f （ x ） ＝ 1 u ， 知 u≠0 ， ∴u＞0 ， 此时 1 u ＞0 ， 即 f （ x ） ＞0 ， f （ x ）既 无最大值， 也无最小值 . ③ 当 Δ＜0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＞0 ， 即 u≥ 4ac-b 2 4a ＞0. ∴0＜ 1 u ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 0＜f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， ∴ 当 x＝- b 2a 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 没有最小值 . 综上， 当 Δ≥0 时， f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . 当 Δ＜0 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 此时 x＝- b 2a ， 没 有最小值 . 3.1.3 函数的奇偶性 第 1 课时 函数奇偶性的概念 学习手册 变式训练 1 ACD 【 解 析 】 ∵f （ -x ） = - 1 x +1 - - 1 x -1 = - 1 x +1 - 1 x -1 3 % ＝-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数， 故 A 正 确； 由 1-x 2 ≥0 ， ｜x+2｜-2≠0 得， -1≤x≤1 且 x≠0 ， 定义 域关于原点对称 ， ∴g （ x ） = 1-x 2 姨 ｜x+2｜-2 = 1-x 2 姨 x+2-2 = 1-x 2 姨 x ， 满足 g （ -x ） =-g （ x ）， 故 g （ x ）是奇函数， 故 B 错误； ∵F （ -x ） =f （ -x ） f （ x ） =F （ x ）， 故 C 正确； 解得定义域为 {-2 ， 2} ， 且 h （ x ） =0 ， ∴ 既是奇函数， 又是偶函数， 故 D 正确 . 故 选 ACD. x y O -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 第 14 题答图 54 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 设（ a ， b ）， （ c ， d ） 都是 f （ x ）的单调增 区间 ， 且 x 1 ∈ （ a ， b ）， x 2 ∈ （ c ， d ）， x 1 <x 2 ， 则 f （ x 1 ）与 f （ x 2 ）的大小关系为 （ ） A. f （ x 1 ） <f （ x 2 ） B. f （ x 1 ） >f （ x 2 ） C. f （ x 1 ） =f （ x 2 ） D. 不能确定 2. 下列函数中， 在区间（ 0 ， 2 ）上为增函 数的是 （ ） A. y=3-x B. y=x 2 +1 C. y= 1 x D. y=-|x+1| 3. 若已知函数 f （ x ） =-x 2 +10 的图象上一 点 3 2 ， 31 4 " # 及邻近一点 3 2 +Δx ， 31 4 +Δ " Δ y ， 则 Δy Δx = （ ） A. 3 B. -3 C. -3- （ Δx ） 2 D. -Δx-3 4. 下列函数中， 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上为 增函数的是 （ ） A． y=-3x+1 B． y= 2 x C． y=x 2 -4x+5 D． y=|x-1|+2 5． （多选题） 已知函数 f （ x ） =2x ， g （ x ） = x 2 -ax ， 对于不相等的实数 x 1 ， x 2 ， 设 m= f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 ， n= g （ x 1 ） -g （ x 2 ） x 1 -x 2 ， 下列命题中的 真命题有 （ ） A． 对于不相等的实数 x 1 ， x 2 ， 都有 m>0 B． 对于任意实数 a 及不相等的实数 x 1 ， x 2 ， 都有 n>0 C． 对于任意实数 a 及不相等的实数 x 1 ， x 2 ， 都有 m=n D． 对于任意实数 a ， 存在不相等的实数 x 1 ， x 2 ， 都有 m=n 6． （多选题） 如图是函数 y=f （ x ）的图象， 则函数 f （ x ）在下列区间单调递增的有 （ ） A． ［ -6 ， 4 ］ B． ［ ２ ， ５ ］ C． ［ -１ ， ２ ］ D． ［ -１ ， ２ ］ ∪ ［ 5 ， 8 ］ 7. 函数 y= 1 2 1-x 2 姨 的单调增区间是 . 8. 函数 f （ x ） =ax 2 - （ 3a-1 ） x+a 2 在［ 1 ， +∞ ） 内是增函数， 则 a 的取值范围是 . 9. 求证 ： 函数 y=x 2 -2x-3 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 3.1.2 函数的单调性 第 1课时 函数的单调性及函数的平均变化率 x y O -6 -4 -1 5 2 8 第 6 题图 36 第三章 函 数 练 10. 已知函数 f （ x ） = 2x-1 x+1 . （ 1 ） 求 f （ x ）的定义域； （ 2 ） 证明： 函数 f （ x ） = 2x-1 x+1 在（ -1 ， +∞ ） 上是增函数 . 提 升 练 习 11. 下列说法： ① 若 x 1 ， x 2 ∈I ， 当 x 1 <x 2 时， f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 则 y＝f （ x ）在 I 上是增函数； ② 函数 y＝x 2 在 R 上是增函数； ③ 函数 y＝－ 1 x 在定义域上是增函数； ④ 函数 y＝ 1 x 的单调 递减区间是 （ －∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， ＋∞ ） . 其中正确 的个数为 （ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 12. 已知函数 f （ x ） = -x+3a ， x≥0 ， x 2 -ax+1 ， x< < 0 是 （ -∞ ， +∞ ）上的减函数， 则实数 a 的取值范 围是 （ ） A. 0 ， 1 3 3 & B. 0 ， 1 3 3 ( C. 0 ， 1 3 &3 D. 0 ， 1 3 (3 13. （多选题） 下列各项错误的有 （ ） A. 若 x 1 ， x 2 ∈I ， 当 x 1 <x 2 时， f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 则 y=f （ x ）在 I 上是减函数 B. 若函数 f （ x ）和 g （ x ）在 R 上是增函数， 则 f （ x ） g （ x ）在 R 上也为增函数 C. 函数 y= 1 x 在定义域上是减函数 D. 若函数 f （ x ）和 g （ x ）在 R 上是增函数， 则 f （ g （ x ））在 R 上也为增函数 14. 已知定义在 ［ 1 ， 4 ］ 上的函数 f （ x ） 是减函数， 则满足不等式 f （ 1-2a ） -f （ 3-a ） >0 的实数 a 的取值范围为 . * 15. 已知函数 f （ x ） =x- a x + a 2 在（ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 求实数 a 的取值范围 . 37 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 函数 f （ x ）的图象如图所示， 则最大 值、 最小值分别为 （ ） A． f 3 2 ! " ， f - 3 2 ! " B． f （ 0 ）， f 3 2 ! " C． f （ 0 ）， f - 3 2 ! " D． f （ 0 ）， f （ 3 ） 2． 已知函数 f （ x ） = 1 x 在区间 ［ 1 ， 2 ］ 上 的最大值为 A ， 最小值为 B ， 则 A-B= （ ） A． 1 2 B． - 1 2 C． 1 D． -1 3. 函数 f （ x ） = 1 x ， x≥1 ， -x 2 +2 ， x< $ & & & & % & & & & ' 1 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 1 3 4. 已知函数 f （ x ） =-x 2 +4x+a ， x∈ ［ 0 ， 1 ］， 若 f （ x ）有最小值 -2 ， 则 f （ x ）的最大值为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 若函数 f （ x ） =x 2 -2x ， x∈ ［ -1 ， 4 ］， 则 f （ x ）的值域为 （ ） A． ［ -1 ， 3 ］ B． ［ -1 ， 16 ］ C． ［ -1 ， 8 ］ D． ［ 3 ， 8 ］ 6. （多选题） 若函数 y=ax+1 在［ 1 ， 2 ］上 的最大值与最小值的差为 2 ， 则实数 a 的值 可以是 （ ） A. 2 B. -２ C. 1 D. 0 7. 设定义在 R 上的函数 f （ x ） ＝x|x| ， 则 f （ x ） （ ） A． 只有最大值 B． 只有最小值 C． 既有最大值， 又有最小值 D． 既无最大值， 又无最小值 8. 已知函数 f （ x ）是定义在区间 ［ -1 ， 3 ］ 上的减函数 ， 且函数 f （ x ）的图象经过点 P （ -1 ， 2 ）， Q （ 3 ， -4 ）， 则该函数的值域是 . 9. 设 f （ x ）为 y=-x+6 和 y=-x 2 +4x+6 中较 小者， 则函数 f （ x ）的最大值为 . 10. 已知 f （ x ）是一次函数， 且满足 3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =x+3. （ 1 ） 求函数 f （ x ）的解析式； （ 2 ） 当 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 时 ， 若函数 g （ x ） = x · f （ x ） -2ax+2 的最小值为 - 1 4 ， 求 a 的值 . 第 2课时 函数的最大值、 最小值 x y O - 3 2 3 2 第 1 题图 38 第三章 函 数 练 提 升 练 习 11. 已知函数 f （ x ）对任意 x ， y∈R ， 总 有 f （ x ） +f （ y ） =f （ x+y ）， 且当 x>0 时， f （ x ） < 0 ， f （ 1 ） =- 2 3 ， 则 f （ x ）在 ［ -3 ， 3 ］ 上的最小 值为 （ ） A. -2 B. -1 C. - 2 3 D. -3 12. （ 多 选 题 ） 已 知 函 数 f （ x ） = x 2 -2ax+9 ， x≤1 ， x+ 4 x +a ， x>1 1 % % % % $ % % % % & ， 若 f （ x ）的最小值为 f （ 1 ）， 则实数 a 的值可以是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 函数 f （ x ） = x 2 -6x+9 姨 + x 2 +6x+9 姨 的 值域为 . 14. 已知函数 f （ x ） = x+4 ， x<a ， x 2 -2x ， x≥a a ， 若对任 意实数 b ， 总存在实数 x 0 ， 使 f （ x 0 ） =b ， 则实 数 a 的取值范围是 . * 15. 请先阅读下面材料， 然后回答问题 . 对应问题： 已知函数 f （ x ） = 1 3+2x-x 2 ， 问 函数 f （ x ）是否存在最大值或最小值 . 若存在， 求出最大值或最小值； 若不存在， 说明理由 . 一个同学给出了如下解答： 令 u=3+2x- x 2 ， 则 u=- （ x-1 ） 2 +4. 当 x=1 时， u 有最大值， u max =4 ， 显然 u 没有最小值 . ∴ 当 x=1 时， f （ x ）有最小值 1 4 ， 没有最 大值 . （ 1 ） 你认为上述解答是否正确？ 若不正 确， 说明理由， 并给出正确的解答 . （ 2 ） 试研究函数 y= 1 x 2 +x+2 的最值情况 . （ 3 ） 对于函数 f （ x ） = 1 ax 2 +bx+c （ a＞0 ）， 试 研究其最值情况 . 39