3.1.1 函数及其表示方法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 下列四种说法中， 不正确的是 （ ） A. 在函数值域中的每一个数， 在定义 域中都至少有一个数与之对应 B. 函数的定义域和值域一定是无限集 C. 定义域和对应关系确定后， 函数的 值域也就确定了 D. 若函数的定义域中只含有一个元素， 则值域也只含有一个元素 2. 下列各个图形中， 不可能是函数 y= f （ x ）的图象的是 （ ） 3. 下列函数中 ， 值域为 （ 0 ， +∞ ）的是 （ ） A. y= x 姨 B. y= 1 x 姨 C. y= 1 x D. y=x 2 +1 4. 若函数 y=x 2 -3x 的定义域为 {-1 ， 0 ， 2 ， 3} ， 则其值域为 （ ） A. {-2 ， 0 ， 4} B. {-2 ， 0 ， 2 ， 4} C. y|y≤- 9 4 4 $ D. {y|0≤y≤3} 5. 已知函数 f （ x ） =x- m x 的图象经过点 （ 5 ， 4 ）， 则实数 m 的值为 （ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 6. （多选题） 下列各组函数表示同一函 数的有 （ ） A. y= x 2 -9 x-3 与 y=x+3 B. y= x 2 姨 -1 与 y=|x|-1 C. y=x 2 +1 与 s=t 2 +1 D. y=2x+1 ， x∈Z 与 y=2x-1 ， x∈Z 7. （多选题） 已知狄利克雷函数 f （ x ） = 1 ， x 是有理数， 0 ， x 是无理数 数 ， 则下列结论正确的有 （ ） A． f （ x ）的定义域为 ［ 0 ， 1 ］ B． f （ x ）的定义域为 R 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第三章 函 数 第 1课时 函数的概念 x y O A x y O B x y O C x y O D 32 第三章 函 数 练 C． f （ x ）的值城为 ［ 0 ， 1 ］ D． f （ x+1 ） =f （ x ） 8． 已知函数 f （ x-1 ） =x 2 +2x+2 ， 则 f （ 2 ） = . 9. 求下列函数的定义域： （ 1 ） f （ x ） =2+ 3 x-2 ； （ 2 ） f （ x ） = （ x-1 ） 0 + 2 x+1 姨 ； （ 3 ） f （ x ） = 3-x 姨 · x-1 姨 ； （ 4 ） f （ x ） = （ x+1 ） 2 x+1 - 1-x 姨 . 10. 求下列函数的值域： （ 1 ） y= x 姨 -1 （ x≥4 ）； （ 2 ） y=2x+1 ， x∈{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ； （ 3 ） y=x+ 2x-1 姨 ； （ 4 ） y=x 2 -2x-3 （ x∈ ［ -1 ， 2 ］） . 提 升 练 习 11. 函数 y= 3 1- 1-x 姨 的定义域为 . 12. 若函数 y=f （ x ）的定义域为 （ 3 ， 7 ］， 则函数 g （ x ） =f （ 4x-1 ）的定义域为 . 13. 函数 y= 1 x 2 +x+1 的值域为 . 14. 函数 f （ x ） = 1 ax 2 +4ax+4 的定义域为 （ -∞ ， +∞ ）， 则实数 a 的取值范围是 . 15． 已知函数 f （ x ） ＝ x+2 x-6 . （ 1 ） 当 x＝4 时， 求 f （ x ）的值； （ 2 ） 当 f （ x ） ＝2 时， 求 x 的值 ． 33 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 已知 y 与 x 成反比， 且当 x=2 时， y= 1 ， 则 y 关于 x 的函数关系式为 （ ） A. y= 1 x B. y=- 1 x C. y= 2 x D. y=- 2 x 2. 已知 f （ x ） =x 2 +bx+c ， 且 f （ 1 ） =0 ， f （ 3 ） = 0 ， 则 f （ -1 ） = （ ） A. 0 B. 8 C. 2 D. -2 3. 函数 f （ x ） = ［ x ］的函数值表示不超过 x 的最大整数， a=f （ -1.01 ）， b=f （ -1 ）， c=f （ 1.5 ）， 则 a ， b ， c 的大小关系是 （ ） A. a<b<c B. b<a=c C. a=b<c D. a<b=c 4. 设函数 f （ x ） = x 2 +1 ， x≤1 ， 2 x ， x>1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 则 f （ f （ 3 ）） 的值为 （ ） A. 1 5 B. 3 C. 2 3 D. 13 9 5. 已知函数 f （ x ）， g （ x ） 分别由下表 给出： 则 f （ g （ 3 ）） = （ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6． （多选题） 已知 f （ 2x-1 ） =4x 2 ， 则下列 结论正确的有 （ ） A． f （ 3 ） =9 B． f （ -3 ） =4 C． f （ x ） =x 2 D． f （ x ） = （ x+1 ） 2 7． （多选题） 已知函数 y= x 2 +1 ， x≤0 ， 2x ， x>0 0 ， 若 f （ a ） =10 ， 则 a 的值可以是 （ ） A． -3 B． 3 C． 0 D． 5 8． 已知 y-2 与 x 成反比例， 当 x=3 时， y=1 ， 则 y 与 x 间的函数关系式为 . 9． 已知二次函数 f （ x ）满足 f （ -1 ） =f （ 3 ） = 3 ， f （ 1 ） =-1 ， 则 f （ x ）的解析式为 . 10. 已知函数 f （ x ） = x+4 ， x≤0 ， x 2 -2x ， 0<x≤4 ， -x+2 ， x>4 4 $ $ $ $ $ ( $ $ $ $ $ % . （ 1 ） 求 f （ f （ f （ 5 ））） 的值； （ 2 ） 画出函数 f （ x ）的图象并写出 f （ x ）的 值域 . 第 2课时 函数的表示方法 x 1 2 3 f （ x ） 2 1 1 g （ x ） 3 2 1 34 第三章 函 数 练 提 升 练 习 11. 设函数 f （ x ）（ x≠-1 ）， 且 f 1-x 1+x x # =x ， 则 f （ x ） 的解析式为 （ ） A. f （ x ） = 1+x 1-x B. f （ x ） = 1+x x-1 C. f （ x ） = 1-x 1+x D. f （ x ） = 2x x+1 12. 已知 f （ x ）是二次函数， 且满足 f （ 0 ） = 1 ， f （ x+1 ） -f （ x ） =2x ， 则 f （ x ） = . 13. 已知实数 a≠0 ， 函数 f （ x ） = 2x+a ， x<1 ， -x-2a ， x≥1 1 . 若 f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， 则 a 的值为 . 14. 已知 a ， b 为常数， 若 f （ x ） =x 2 +4x+3 ， f （ ax+b ） =x 2 +10x+24 ， 则 5a-b= . 15. 设集合 A= 0 ， 1 2 #2 ， B= 1 2 ， 2 ， 1 ， 函 数 f （ x ） = x+ 1 2 ， x∈A ， 2 （ 1-x ）， x∈B B + + + + * + + + + , ， 若 x 0 ∈A ， 且 f （ f （ x 0 ）） ∈A ， 求 x 0 的取值范围 . 35 参 考 答 案 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第 1 课时 函数的概念 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 从集合 M 到集合 N 能构成函数关系时， 对于集合 M={x｜0≤x≤2} 中的每一个 x 值， 在 N={y|0≤ y≤2} 中都有唯一确定的一个 y 值与之对应 . 图象 A 不 满足条件， ∵ 当 1<x≤2 时， N 中没有 y 值与之对应； 图 象 B 不满足条件， ∵ 当 x=2 时 ， N 中没有 y 值与之对 应 ； 图象 C 不满足条件 ， ∵ 对于集合 M 中的每一个 x∈ （ 0 ， 2 ］， 在集合 N 中有 2 个 y 值与之对应， 不满足函 数的定义； 只有 D 中的图象满足对于集合 M 中的每一个 x 值， 在 N 中都有唯一确定的一个 y 值与之对应 . 故选 D. 变式训练 2 B 【解析 】 由题得 x+1≥0 ， x 2 +x≠0 0 ， 解之得 x>-1 且 x≠0. ∴ 函数的定义域为 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） . 故选 B. 变式训练 3 ABD 【解析】 A 选项 y= x 2 姨 =｜x｜ 与函数 y=x 对应法 则不同 ， 不是相同函数 ； B 选项 y= （ x 姨 ） 2 定义域为 ［ 0 ， +∞ ） 与函数 y=x 定义域不同， 不是相同函数； C 选 项 y= x 3 3 姨 =x 与函数 y=x 定义域和对应法则相同， 是相 同函数； D 选项 y= x 2 x 姨 定义域为 （ 0 ， +∞ ） 与函数 y=x 定义域不同， 不是相同函数 . 故选 ABD. 变式训练 4 解： （ 1 ） f （ x ） = 2+x 4-3x = - 1 3 （ 4-3x ） + 10 3 4-3x =- 1 3 + 10 3 （ 4-3x ） ， ∴y≠- 1 3 ， ∴ 该函数的值域为 -∞ ， - 1 3 3 * ∪ - 1 3 ， + + , ∞ . （ 2 ） 由 -x 2 +4x≥0 得 x 2 -4x≤0 ， 解得 0≤x≤4 ， 设 t=-x 2 +4x=- （ x-2 ） 2 +4 ， 则 0≤t≤4 ， ∴y=2- t 姨 ∈ ［ 0 ， 2 ］， 即函数 y=2- - x 2 +4x 姨 的值域 是 ［ 0 ， 2 ］ . 随堂练习 1. D 【解析】 对于 A ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ） 的定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， 故不是同一函数； 对于 B ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ）的定义域为 {x｜x≠0} ， 故不是同 一函数； 对于 C ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ）的定义 域为 {x｜x≠0} ， 故不是同一函数； 对于 D ， 函数 f （ x ）的 定义域为 R ， g （ x ）的定义域为 R ， g （ x ） = x 3 3 姨 =x， f （ x ）和 g （ x ）的定义域和对应关系相同， 故是同一函数 . 故选 D. 2. C 【解析】 由函数 f （ x ） = 3-x 姨 + 1 x+1 有意义可得 3-x≥0 ， x+1≠0 0 ， 解得 x≤3 且 x≠-1 ， ∴ 函数 f （ x ） = 3-x 姨 + 1 x+1 的定义域为 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， 3 ］ . 故选 C. 3. A 【解析】 f （ 3 ） =f （ 2×1+1 ） =1 2 -2×1=-1 ， 故选 A. 第三章 函 数 m=1 ， n=5 0 ， ∴｜m-n｜=4. 11. 3 姨 3 【解析 】 ∵3a -2b +c =0 ， ∴b = 3a+c 2 ， ∴ ac 姨 b = 2 ac 姨 3a+c ≤ 2 ac 姨 2 3 ac 姨 = 3 姨 3 ， 当且仅当 3a=c 取等号 . 12. ［ 9 ， +∞ ） 【解析】 由 a+b≥2 ab 姨 ， 可得 ab= a+b+3≥2 ab 姨 +3 ， 即 ab≥2 ab 姨 +3 ， 整理得 ab-2 ab 姨 -3≥0 ， 即（ ab 姨 -3 ）（ ab 姨 +1 ） ≥0. 又 ∵a>0 ， b>0 ， 解得 ab 姨 ≥3 ， 即 ab∈ ［ 9 ， +∞ ）， 当且仅当 a=b=3 时取等号 . 13. 解： （ 1 ） 由题意， 得 y= 710v v 2 +3v+900 = 710 v+3+ 900 v ≤ 710 3+2 900 姨 = 710 63 ， 当且仅当 v= 900 v ， 即 v=30 时等号成 立 . 此时 y max = 710 63 ≈11.3 （千辆 /h ） . （ 2 ） 由题意 ， 得 710v v 2 +3v+900 >10 ， 整理得 v 2 -68v+ 900<0 ， 即（ v-50 ）（ v-18 ） <0 ， ∴18<v<50. * 14. 解： （ 1 ） ∵ 关于 x 的不等式 ax 2 -5x+ （ b+4 ） >0 的 解集为 {x｜x<2 或 x>3} ， ∴2 和 3 是方程 ax 2 -5x+ （ b+4 ） =0 的 两个实数根， 且 a>0 ， ∴ 2+3= 5 a ， 2×3= b+4 a a 3 3 3 3 2 3 3 3 3 4 ， 解得 a=1 ， b=2 2 . ∴a=1 ， b=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 a=1 ， b=2 2 ， 于是有 1 x+y + 2 z =1 ， 故 x+y+ 2z= ［（ x+y ） +2z ］ 1 x+y + 2 z + * =1+ 2 （ x+y ） z + 2z x+y +4≥5+4=9 ， 当且 仅当 x+y=3 ， z= 2 3 时等号成立， 依题意有 （ x+y+2z ） min ≥2k 2 - 3k+4 ， 即 9≥2k 2 -3k+4 ， 得 2k 2 -3k-5≤0 ， 解得 -1≤k≤ 5 2 ， ∴k 的取值范围是 -1 ， 5 2 2 7 . 47 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 4. D 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） = x-4 mx 2 +4mx+3 的定义域为 R ， 则 坌x∈R ， 有 mx 2 +4mx+3≠0 成立 . 当 m=0 时， 3≠0 成立 ； 当 m≠0 时 ， mx 2 +4mx+3≠0 恒成立 ， 即 mx 2 + 4mx+3=0 不成立， 一元二次方程 mx 2 +4mx+3=0 没有实数 根， 于是得 Δ= （ 4m ） 2 -4 · m · 3=16m 2 -12m<0 ， 解得 0<m< 3 4 ， 综上得 0≤m< 3 4 ， ∴ 实数 m 的取值范围是 0 ， 3 4 4' . 故 选 D. 5. AD 【解析】 令 x=0 ， y=1 ， 代入 f （ x+y ） =f （ x ） f （ y ） 中化简可求出 f （ 0 ） =1 ， 故 A 正确； 令 x=-1 ， y=1 ， 代入 f （ x+y ） =f （ x ） f （ y ）中化简可求出 f （ -1 ） = 1 2 ， 故 B 错误； 令 x=1 ， y=1 ， 可求出 f （ 2 ） =4 ， 再令 x=2 ， y=1 可求出 f （ 3 ） = 8 ， 从而可求出 f （ 2 ） f （ 3 ） =32 ， 故 C 错误； 令 x=9 ， y=1 ， 则有 f （ 10 ） =f （ 9 ） f （ 1 ） =2f （ 9 ）， 故 D 正确 . 故选 AD. 6. 9 4 【解析】 由题意， 函数 f （ x ） =x+ 2-x 姨 ， 令 t= 2-x 姨 ≥0 ， 则 x=2-t 2 ， ∴ f （ t ） =-t 2 +t+2 ， t≥0 ， 根据二次 函数的性质， 可得当 t= 1 2 时， f （ t ） max =f 1 2 2 4 = 9 4 ， 即函 数 f （ x ）的最大值为 9 4 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由函数的定义知， 定义域和值域是非 空数集， 既包括有限集也包括无限集， 故 B 错误 . 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 垂直于 x 轴的直线与函数 y＝f （ x ）的 图象至多有一个交点， 故选 A. 3. B 【解析】 y＝ x 姨 的值域为 ［ 0 ， ＋∞ ）， y＝ 1 x 的值 域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， ＋∞ ）， y＝x 2 ＋1 的值域为［ 1 ， ＋∞ ） . 故选 B. 4. A 【解析】 依题意， 当 x＝-1 时， y＝4 ； 当 x＝0 时， y＝0 ； 当 x＝2 时， y＝-2 ； 当 x＝3 时， y＝0. ∴ 函数 y＝x 2 -3x 的值域为 {-2 ， 0 ， 4} . 故选 A. 5. C 【解析】 由题意可得 4=5- m 5 ， 解得 m=5 ， 故选 C. 6. BC 【解析】 对于 A ， 函数 y= x 2 -9 x-3 与 y=x+3 的定 义域不同； 对于 B ， 函数 y= x 2 姨 -1 与 y=|x|-1 的定义域 与对应法则相同； 对于 C ， 虽然自变量不同， 但不改变 意义， 是同一函数； 对于 D ， 函数 y=2x+1 ， x∈Z 与 y= 2x-1 ， x∈Z 的对应法则不同 . 故选 BC. 7. BD 【解析】 由狄利克雷函数可知， f （ x ）的定义域 为 R ， 值域为 {1 ， 0} ， ∴A ， C 错误， B 正确； 当 x 为有 理数时， x+1 也是有理数， 则 f （ x+1 ） =f （ x ） =1 ， 当 x 为无 理数时， x+1 也是无理数， 则 f （ x+1 ） =f （ x ） =0 ， ∴ f （ x+1 ） =f （ x ）， ∴D 正确 . 故选 BD. 8. 17 【解析】 令 x-1=2 ， 得 x=3 ， ∴ f （ 2 ） =3 2 +2×3+2=17. 9. 解： （ 1 ） 当且仅当 x-2≠0 ， 即 x≠2 时 ， 函数 y=2+ 3 x-2 有意义， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x≠2} . （ 2 ） 函数有意义 ， 当且仅当 x-1≠0 ， 2 x+1 ≥0 ， x+1≠0 0 . . . . - . . . . . / ， 解得 x>-1 且 x≠1 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x>-1 且 x≠1} . （ 3 ） 函数有意义， 当且仅当 3-x≥0 ， x-1≥0 0 ， 解得 1≤x≤3 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|1≤x≤3} . （ 4 ） 函数有意义， 当且仅当 x+1≠0 ， 1-x≥0 0 ， 解得 x≤1 且 x≠-1 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x≤1 且 x≠-1}. 10. 解： （ 1 ） ∵x≥4 ， ∴ x 姨 ≥2 ， ∴ x 姨 -1≥1 ， ∴y∈ ［ 1 ， ＋∞ ） . （ 2 ） y∈{3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11} . （ 3 ） 设 u＝ 2x-1 姨 ， 则 u≥0 ， 且 x＝ 1+u 2 2 ， 于是， y＝ 1+u 2 2 ＋u＝ 1 2 （ u＋1 ） 2 ≥ 1 2 ， ∴y＝x＋ 2x-1 姨 的值域为 1 2 ， + 4 ∞ ' . （ 4 ） y＝x 2 -2x-3＝ （ x-1 ） 2 -4 ， ∵x∈ ［ -1 ， 2 ］， 作出其图象 （图略） 可得值域为［ -4 ， 0 ］ . 提升练习 11. （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ］ 【解析】 由 1-x≥0 ， 1- 1-x 姨 ≠0 0 ， 解得 x≤1 且 x≠0 ， ∴ 函数的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ］ . 12. （ 1 ， 2 ］ 【解析 】 ∵y=f （ x ）的定义域为 （ 3 ， 7 ］， ∴3<4x-1≤7 ， ∴1<x≤2 ， 故 g （ x ）的定义域为（ 1 ， 2 ］ . 13. 0 ， 4 3 32 【解析】 ∵x 2 +x+1= x+ 1 2 2 4 2 + 3 4 ≥ 3 4 ， ∴0< 1 x 2 +x+1 ≤ 4 3 . ∴ 值域为 0 ， 4 3 32 . 14. ［ 0 ， 1 ） 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） = 1 ax 2 +4ax+4 的定 义域为 R ， ∴ax 2 +4ax+4≠0 的解为 R ， 即函数 y=ax 2 +4ax+ 4 的图象与 x 轴没有交点. 当 a=0 时， 函数 y=4 与 x 轴没有交点， 故 a=0 成立； 当 a≠0 时， 要使函数 y=ax 2 +4ax+4 的图象与 x 轴没 有交点， 则 Δ= （ 4a ） 2 -16a<0 ， 解得 0<a<1. 综上， 实数 a 的取值范围是 ［0 ， 1 ） . 15. 解： （ 1 ） ∵ 函数 f （ x ） = x+2 x-6 ， ∴ 当 x＝4 时， f （ x ） ＝f （ 4 ） ＝ 4+2 4-6 ＝-3. （ 2 ） ∵ 函数 f （ x ） = x+2 x-6 ， f （ x ） ＝2 ， ∴ x+2 x-6 =2 ， 即 x+2＝2x-12 ， ∴x＝14. 48 参 考 答 案 第 2 课时 函数的表示方法 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 ∵ 顾客在该商场购物可以获得双重优惠， ∴ 顾客购买一件标价为 1 000 元的商品， 实际应付 800 元， 优惠 200 元； 再按表中办法获得 130 元的奖券， 共 获得优惠额 330 元 . 故选 B. 变式训练 2 2x+7 【解析】 ∵f （ x ）是一次函数， 设 f （ x ） =ax+b （ a≠ 0 ）， ∵3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =2x+17 ， ∴3 ［ a （ x+1 ） +b ］ -2 ［ a （ x-1 ） +b ］ =2x+17 ， 整理可得 ax+5a+b=2x+17 ， ∴ a=2 ， 5a+b=17 7 ， 可 得 a=2 ， b=7 7 ， ∴ f （ x ） =2x+7. 变式训练 3 x x 2 -1 （ x≠0 且 x≠±1 ） 【解析 】 设 1 x =t （ t≠0 且 t≠±1 ）， 则 x= 1 t ， ∴ f （ t ） = 1 t 1- 1 t t $ 2 = t t 2 -1 ， 即 f （ x ） = x x 2 -1 （ x≠0 且 x≠±1 ） . 变式训练 4 7 【解析】 ∵f x+ 1 x & =x 2 + 1 x 2 = x+ 1 x & 2 -2 ， 令 t=x+ 1 x ， 当 x>0 时， t≥2 x · 1 x 姨 =2 ， 当且仅当 x=1 时取等号， 当 x<0 时 ， t=- -x- 1 x x $ ≤-2 ， 当且仅当 x=-1 时取等号 ， ∴ f （ t ） =t 2 -2 ， t∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） ， ∴ f （ x ） =x 2 -2 ， x∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ）， 则 f （ 3 ） =3 2 -2=7. 变式训练 5 解： （ 1 ） 如图 1 ， 这个函数的图象由一些点组成， 这些点都在直线 y=x+1 上， 其值域为 Z. （ 2 ） 如图 2 ， 作出抛物线 f （ x ） =x 2 -2x= （ x-1 ） 2 -1 在 0≤x<3 之间的部分， 其值域为 ［ -1 ， 3 ） . （ 3 ） ∵y= x+2 x-1 =1+ 3 x-1 ， ∴ 先作出 y= 3 x 的图象， 将其 图象向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长 度， 即得 y= x+2 x-1 的图象 . 如图 3 ， 其值域为 （ -∞ ， 1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 变式训练 6 解： （ 1 ） 易得 f （ 0 ） =1 ， ∴ f （ f （ 0 ）） =f （ １ ） =4. （ 2 ） 当 x<1 ， 由（ x+1 ） 2 =1 ， 解得 x=0 或 -2 ； 当 x≥1 ， 由 4- x -1 姨 =1 ， 解得 x=10. 综上， x=0 或 -2 或 10. 变式训练 7 解： ∵f （ x ） =｜x+1｜+｜2x-1｜= 3x ， 1 2 ≤x≤3 ， -x+2 ， -1≤x< 1 2 ， -3x ， -3≤x<-1 1 . . . . . . - . . . . . . / ， 故 f （ x ）图象如图： 由图象可知， f min （ x ） =f 1 2 x & = 3 2 ， f max （ x ） =f （ ３ ） =f （ -3 ） =9 ， ∴ 函数的值域为 3 2 ， 9 9 1 . 随堂练习 1. D 【解析】 由题意， 该函数的值域是 {0 ， 1}. 故 选 D. 2. A 【解析】 ∵f （ x-1 ） =x 2 +2x-3= （ x-1 ） 2 +4 （ x-1 ）， ∴ f （ x ） = x 2 +4x. 故选 A. 3. C 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =x+ ｜x｜ x = x+1>0 ， x-1<0 7 ， 故选 C. 4. AD 【解析】 设 f （ x ） =kx+b （ k≠0 ）， 则 f （ f （ x ）） =k · f （ x ） +b=k ·（ kx+b ） +b=k 2 x+kb+b ， ∴ k 2 =4 ， kb+b=-1 7 ， 解得 k=2 ， b=- 1 3 7 ， 或 k=-2 ， b=1 7 ， ∴ f （ x ） =2x- 1 3 或 f （ x ） =-2x+1. 故选 AD. 5. 3 【解析】 由题设， f （ 3 ） =f （ 3+4 ） =f （ 7 ） =7-4=3. 6. -3 【解析】 由已知可知当 a>0 时， f （ a ） =-a 2 <0 无 x y O 1 2 3 -1 4 3 2 1 -2 -1 变式训练 5 答图 图 1 图 2 图 3 x y O 1 2 3 -1 3 x y O -2 1 -2 1 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 变式训练 7 答图 49 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解； 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +2a+2=5 ， 解得 a=-3 或 a=1 （舍 去）， ∴a=-3. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设 y＝ k x ， 由 1＝ k 2 得 k＝2 ， 因此， y 关 于 x 的函数关系式为 y＝ 2 x . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝x 2 ＋bx＋c ， 且 f （ 1 ） ＝0 ， f （ 3 ） ＝0 ， ∴ 1＋b＋c＝0 ， 9＋3b＋c＝0 0 ， 解得 b＝-4 ， c＝3 0 ， 即 f （ x ） ＝x 2 -4x＋3 ， ∴ f （ -1 ） ＝1＋4＋3＝8. 故选 B. 3. A 【解析】 a= ［ -1.01 ］ =-2 ， b= ［ -1 ］ =-1 ， c= ［ 1.5 ］ = 1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 4. D 【解析】 f （ 3 ） ＝ 2 3 ， f （ f （ 3 ）） ＝f 2 3 3 $ ＝ 2 3 3 & 2 ＋1＝ 4 9 ＋1＝ 13 9 . 故选 D. 5. C 【解析】 由表格可得 g （ ３ ） ＝１ ， ∴ f （ g （ ３ ）） =f （ １ ） ＝ ２. 故选 C. 6. BD 【解析 】 令 t=2x-1 ， 则有 x= t+1 2 ， ∴ f （ t ） = 4 t+1 2 3 & 2 = （ t+1 ） 2 . ∴ f （ 3 ） =16 ， f （ -3 ） =4 ， f （ x ） = （ x+1 ） 2 . 故选 BD. 7. AD 【解析】 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +1=10 ， 解得 a= ±3 （舍正 ）； 当 a>0 时， f （ a ） =2a=10 ， 解得 a=5 ， 符合 . 综上， a=-3 或 5. 故选 AD. 8. y=- 3 x +2 【解析】 由题意可设 y-2= k x ， 又 ∵x=3 时， y=1 ， ∴1-2= k 3 ， 即 k=-3 ， 故 y=- 3 x +2. 9. f （ x ） =x 2 -2x 【解析】 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 则 f （ -1 ） =a-b+c=3 ， f （ 3 ） =9a+3b+c=3 ， f （ 1 ） =a+b+c=-1 1 * * * ) * * * + ， 解之得 a=1 ， b=-2 ， c=0 1 * * * ) * * * + ， ∴ f （ x ） =x 2 -2x. 10. 解： （ 1 ） ∵5>4 ， ∴ f （ 5 ） ＝-5＋2＝-3. ∵-3<0 ， ∴ f （ f （ 5 ）） ＝f （ -3 ） ＝-3＋4＝1. ∵0<1<4 ， ∴ f （ f （ f （ 5 ））） ＝f （ 1 ） ＝1 2 -2×1＝-1 ， 即 f （ f （ f （ 5 ））） ＝-1. （ 2 ） 图象如图所示 . f （ x ）的值域为（ -∞ ， 8 ］ . 提升练习 11. C 【解析】 令 t＝ 1-x 1+x ， 解得 x＝ 1-t 1+t ， 代入 f 1-x 1+x 3 & ＝x ， 可得 f （ t ） ＝ 1-t 1+t ， ∴ f （ x ） ＝ 1-x 1+x . 故选 C. 12. x 2 -x＋1 【解析】 ∵f （ x ）是二次函数， 设 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c （ a≠0 ）， 由 f （ 0 ） ＝1 ， 得 c＝1. 由 f （ x＋1 ） -f （ x ） ＝2x ， 得 a （ x＋1 ） 2 ＋b （ x＋1 ） ＋1-ax 2 -bx-1＝ 2x. 整理得 2ax＋ （ a＋b ） ＝2x ， 由系数相等得 2a＝2 ， a＋b＝0 0 ， ∴ a＝1 ， b＝-1 0 . ∴ f （ x ） ＝x 2 -x＋1. 13. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， f （ 1-a ） =2 （ 1-a ） +a=2-a ， f （ 1+a ） =- （ 1+a ） -2a=-3a-1. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴2-a=-3a-1 ， 解得 a=- 3 2 （舍去） . 当 a<0 时， f （ 1-a ） =- （ 1-a ） -2a=-a-1 ， f （ 1+a ） =2 （ 1+ a ） +a=2+3a. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴-a-1=2+3a ， 解得 a=- 3 4 . 综上， a 的值为 - 3 4 . 14. 2 【解析 】 由 f （ x ） ＝x 2 ＋4x＋3 ， f （ ax＋b ） ＝x 2 ＋10x＋ 24 ， 得 （ ax＋b ） 2 ＋4 （ ax＋b ） ＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 即 a 2 x 2 ＋ （ 2ab＋ 4a ） x＋b 2 ＋4b＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 由系数相等得 a 2 ＝1 ， 2ab＋4a＝10 ， b 2 ＋4b＋3＝24 1 * * * ) * * * + ， 解得 a＝-1 ， b＝- 0 7 或 a＝1 ， b＝3 0 ， 则 5a-b＝2. 15. 解 ： ∵x 0 ∈A ， ∴0≤x 0 < 1 2 ， 且 f （ x 0 ） ＝x 0 ＋ 1 2 . 又 ∵ 1 2 ≤x 0 ＋ 1 2 <1 ， ∴x 0 ＋ 1 2 ∈B ， ∴ f （ f （ x 0 ）） ＝2 1-x 0 - 1 2 3 & ＝2 1 2 -x 0 3 & . 又 ∵f （ f （ x 0 ）） ∈A ， ∴0≤2 1 2 -x 0 3 & < 1 2 ， 解得 1 4 ＜x 0 ≤ 1 2 . 又 ∵0≤x 0 ＜ 1 2 ， ∴ 1 4 <x 0 < 1 2 . 3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 函数的单调性及函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 解： 当 a＞0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增， 当 a＜0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递减 . 证明如下： 当 a＞0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， x y O -1 -4 4 -2 （ 4 ， 8 ） 4 第 10 题答图 50