2.2.3 一元二次不等式的解法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 不等式 x-2 x+3 >0 的解集是 （ ） A. {x|-3<x<2} B. {x|x>2} C. {x|x<-3 或 x>2} D. {x|x<-2 或 x>3} 2. 若不等式 x 2 ＋mx＋ m 2 >0 的解集为 R ， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A. m>2 B. m<2 C. m<0 或 m>2 D. 0<m<2 3. 不等式 ax 2 ＋5x＋c>0 的解集为 x 1 3 < < x< 1 2 2 ， 则 a ， c 的值分别为 （ ） A. a＝6 ， c＝1 B. a＝-6 ， c＝-1 C. a＝1 ， c＝1 D. a＝-1 ， c＝-6 4. 若 0<a<1 ， 则不等式 （ a-x ） x- 1 a a $ >0 的解集是 （ ） A. x a<x< 1 a a & B. x 1 a <x<a a & C. x x>a 或 x< 1 a a & D. x x<a 或 x> 1 a a & 5. 不 等 式 （ x-2 ） 2 （ x-3 ） x+1 <0 的 解 集 为 （ ） A. {x|-1<x<2 或 2<x<3} B. {x|1<x<3} C. {x|2<x<3} D. {x|-1<x<3} 6. 不等式 x 2 -4x＋5≥0 的解集为 . 7. 方程 x 2 ＋ （ m-3 ） x＋m＝0 的两根都是负 数， 则 m 的取值范围为 . 8. 对于实数 x ， 当且仅当 n≤x<n＋1 （ n∈ N * ） 时， ［ x ］ ＝n ， 则关于 x 的不等式 4 ［ x ］ 2 - 36 ［ x ］ ＋45<0 的解集为 . 9. 解关于 x 的不等式： ax 2 - （ a＋1 ） x＋1<0. 10. 某地区上年度电价为 0.8 元 / （ kW · h ）， 年用电量为 a kW · h ， 本年度计划将电价降 低到 0.55 元 / （ kW · h ） 至 0.75 元 / （ kW · h ） 之 间， 而用户期望电价为 0.4 元 / （ kW · h ） . 经测 算， 下调电价后新增的用电量与实际电价和 用户期望电价的差成反比 （比例系数为 k ） . 2.2.3 一元二次不等式的解法 26 第二章 等式与不等式 练 该地区电力的成本价为 0.3 元 / （ kW · h ） . （ 1 ） 写出本年度电价下调后， 电力部门 的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式 . （ 2 ） 设 k＝0.2a ， 当电价最低定为多少时 仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长 20% ？ 注： 收益 ＝ 实际用电量 × （实际电价 - 成 本价） . 提 升 练 习 11. 已知集合 M={x∈Z｜-2<x<3} ， N={x｜x 2 + x-6<0} ， 则 M∩N= （ ） A. {x｜-3<x<3} B. {x｜-2<x<2} C. {-1 ， 0 ， 1} D. {0 ， 1 ， 2} 12. （多选题） 若不等式 ax 2 -bx+c>0 的 解集是 （ -1 ， 2 ） ， 则下列选项正确的有 （ ） A. a<0 B. b<0 且 c>0 C. a+b+c>0 D. 不等式 ax 2 -cx+b<0 的解集是 R 13. （多选题） 若 “ x 2 +3x-4<0 ” 是 “ x 2 - （ 2k+3 ） x+k 2 +3k>0 ” 的充分不必要条件， 则 实数 k 可以是 （ ） A. -8 B. -5 C. 1 D. 4 14. 若关于 x 的不等式 1 -x 2 ≥a 2 +a+1 （ x∈R ） 的解集为 芰 ， 则实数 a 的取值范围 是 . * 15. 已知当 a∈ ［ 2 ， 3 ］ 时， 关于 x 的不 等式 ax 2 -x+1-a≤0 恒成立， 求 x 的取值范围 . 27 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 T （ x ， y ） ＝ x+3y 2x+y ， 则不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） >p " ， 可化为 3-2m≤4 ， -5m>3p-9 " ， 解得 - 1 2 ≤m< 9-3p 5 . ∵ 不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） > " p 恰好有 3 个整数解， ∴2< 9-3p 5 ≤3 ， 解得 -2≤p<- 1 3 . ∴ 实数 p 的取值范围为 -2 ， - 1 3 3$ . 提升练习 11. B 【解析】 ∵｜x-2｜+｜x｜>a 恒成立， 即 a<｜x-2｜+｜x｜ 恒 成立， 又由绝对值的几何意义可知， ｜x-2｜+｜x｜ 的最小值为 2 ， ∴a<2 ， 故 a≤2 是 a<2 的必要不充分条件 . 故选 B. 12. BCD 【解析】 当 m=0 时， 不等式解集为 R ， 故 A 错误 ； 不等式 3x-7≤8-2x 化简为 5x≤15 ， 即 x≤3 ， ∴ 不等式的正整数解为 1 ， 2 ， 3 ， 共 3 个， 故 B 正确 ； 不等式 3x+4≥x 的解集为 {x≥-2} ， 故 C 正确； 任意实 数的绝对值为非负数， 故 D 正确 . 故选 BCD. 13. BCD 【解析】 由｜x-a｜<1 可得， a-1<x<a+1 ， 它的 充分不必要条件是 1 3 <x< 1 2 ， 即 x 1 3 <x< 1 2 " 2 是 {x｜a-1< x<a+1} 的真子集 ， 则 a-1≤ 1 3 ， a+1≥ 1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * 且等号不同时成立 ， 解得- 1 2 ≤a≤ 4 3 . 故选 BCD. * 14. 3 5 【解析】 记原不等式组为 2x-3a<7b ， ① 6b-3x<5a ， " ② 解 不等式 ① ， 得 x< 3a+7b 2 . 解不等式 ② ， 得 x> 6b-5a 3 . ∵ 原 不等式组的解集为 （ 5 ， 22 ）， ∴ 有 3a+7b 2 =22 ， 6b-5a 3 =5 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . 解得 a=3 ， b=5 " . * 15. 解： ∵x∈ （ 0 ， 1 ）， ∴ 原不等式可化为 ｜ax-1｜<x+ 1 ， ∴-x-1<ax-1<x+1 ， ∴ a<1+ 2 x ， a>-1 " ， 对任意 x∈ （ 0 ， 1 ） 恒 成立 . ∵1+ 2 x >1+2=3 ， ∴-1<a<3. 2.2.3 一元二次不等式的解法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原不等式可化为 2x 2 -3x-2<0 ， 即 （ 2x+1 ）（ x- 2 ） <0 ， 故原不等式的解集是 x - 1 2 <x<2 " 2 . （ 2 ） 原不等式可化为 2x 2 -x-1≥0 ， 即（ 2x+1 ）（ x-1 ） ≥ 0 ， 故原不等式的解集为 x x≤- 1 2 或 x≥1 " 2 . （ 3 ） ∵Δ= （ -2 ） 2 -4×3=-8<0 ， 故原不等式的解集为 R. 变式训练 2 D 【解析 】 由题意可知， -2 ， 3 是方程 2x 2 +mx+n=0 的两个根， ∴-2+3=- m 2 ， -2×3= n 2 ， ∴m=-2 ， n=-12. 故选 D. 变式训练 3 解： Δ=k 2 +8k=k （ k+8 ） . 当 Δ>0 ， 即 k<-8 或 k>0 时， 方 程 2x 2 +kx-k=0 有两个不相等的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx- k≤0 的解集为 x -k- k （ k+8 ） 姨 4 ≤x≤ -k+ k （ k+8 ） 姨 4 " 2 . 当 Δ=0 ， 即 k=-8 或 k=0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 有两个相等 的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 - k 4 " 2 . 即若 k=-8 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {2} ； 若 k=0 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {0} . 当 Δ<0 时， 即 -8<k< 0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 无实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤ 0 的解集为 芰. 变式训练 4 解： （ 1 ） 由 2x+1 3-x >0 ， 得 2x+1 x-3 <0 ， 此不等式等价于 （ 2x+1 ）（ x-3 ） <0 ， ∴ 原不等式的解集为 x - 1 2 <x<3 " 2 . （ 2 ） 由 x-4 3-x ≥1 可知， 移项得 x-4 3-x -1≥0. 通分并整 理， 得 2x-7 3-x ≥0. ∴ （ 2x-7 ）（ 3-x ） ≥0 ， 3-x≠0 " ， 解得 3<x≤ 7 2 . ∴ 原不等式的解集为 x 3<x≤ 7 2 " 2 . 变式训练 5 C 【解析】 由题意可知， 产量为 x 台时， 总售价为 25x 万元 . 欲使生产者不亏本， 必须满足总售价大于或等 于总成本， 即 25x≥3 000+20x-0.1x 2 ， 即 0.1x 2 +5x-3 000≥0. 整理得 x 2 +50x-30 000≥0 ， 解得 x≥150 或 x≤-200 （不 合题意， 舍去） . 故使生产者不亏本的最低产量是 150 台 . 故选 C. 变式训练 6 解： 由已知得 m-1>0 ， Δ=5-4m≤0 " ， 解得 m∈ 5 4 ， + 3 ∞ $ . 随堂练习 1. A 【解析 】 由不等式 2-x x-1 ≥1 可化为 2-x x-1 -1≥0 ， 得 -2x+3 x-1 ≥0 ， 此不等式等价于 x-1≠0 ， （ 2x-3 ）（ x-1 ） ≤0 " ， 解得 1<x≤ 3 2 ， 故原不等式的解集为 1 ， 3 2 20 . 故选 A. 2. D 【解析】 当 a>1 时， 1-a<0 ， 且 a> 1 a ， 则关于 x 的不等式（ 1-a ）（ x-a ） x- 1 a 0 3 <0 可化为 （ x-a ） x- 1 a 0 3 >0 ， 42 参 考 答 案 解得 x< 1 a 或 x>a ， ∴ 不等式的解集为 -∞ ， 1 a a " ∪ （ a ， +∞ ） . 故选 D. 3. ABC 【解析】 将不等式 -x 2 +7x>6 化为 x 2 -7x+6<0 ， 解得 1<x<6 ， ∴-x 2 +7x>6 的解集是 {x｜1<x<6} ， 故 A 正确； 不等式（ 2-x ）（ x+3 ） <0 ， 解得 x<-3 或 x>2 ， ∴ （ 2-x ）（ x+3 ） < 0 的解集是 {x｜x<-3 或 x>2} ， 故 B 正确； 将不等式 4 （ 2x 2 - 2x+1 ） >x （ 4-x ）， 化简为 9x 2 -12x+4>0 ， 即（ 3x-2 ） 2 >0 ， 解得 x≠ 2 3 ， ∴4 （ 2x 2 -2x+1 ） >x （ 4-x ）的解集是 x x≠ 2 3 3 & ， 故 C 正确； 不等式 x-2 x+3 ≥0 等价于 （ x-2 ）（ x+3 ） ≥0 ， x+3≠0 3 ， 解得 x<-3 或 x≥2 ， ∴ 不等式 x-2 x+3 ≥0 的解集是 {x｜x<-3 或 x≥2} ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 4. 5 2 【解析】 由不等式 x 2 -2ax-8a 2 <0 ， 得（ x+2a ）（ x- 4a ） <0 ， ∵a>0 ， 则 4a>-2a ， ∴ 原不等式的解集为 （ -2a ， 4a ）， 即 x 2 -x 1 =4a- （ -2a ） =6a=15 ， 解得 a= 5 2 . 5. 解： （ 1 ） ∵ 不等式 kx 2 -2x+6k<0 （k≠0 ） 的解集 是 R ， ∴ k<0 ， Δ=4-24k 2 <0 3 ， 解得 k<- 6 姨 6 ， ∴ 实数 k 的取 值范围是 -∞ ， - 6 姨 6 a " . （ 2 ） 由不等式 kx 2 -2x+6k<0 （ k≠0 ） 的解集是芰， 则不等式 kx 2 -2x+6k≥0 （ k≠0 ） 对任意的 x∈R 恒成立， ∴ k>0 ， Δ=4-24k 2 ≤0 3 ， 解得 k≥ 6 姨 6 ， ∴ 实数 k 的取值范围 是 6 姨 6 ， + " ∞ ∞ . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 不等式 x-2 x+3 >0圳 （ x-2 ） （ x＋3 ） >0 的 解集是 {x|x<-3 或 x>2} . 故选 C. 2. D 【解析】 由题意得 Δ＝m 2 -4× m 2 <0 ， 即 m 2 -2m< 0 ， 解得 0<m<2. 故选 D. 3. B 【解析】 由题意知， 方程 ax 2 ＋5x＋c＝0 的两根为 x 1 ＝ 1 3 ， x 2 ＝ 1 2 ， 由根与系数的关系得 x 1 ＋x 2 ＝ 1 3 ＋ 1 2 ＝- 5 a ， x 1 · x 2 ＝ 1 3 × 1 2 ＝ c a . 解得 a＝-6 ， c＝-1. 故选 B. 4. A 【解析】 不等式 （ a-x ） x- 1 a a " >0 化为 （ x-a ）· x- 1 a a " <0 ， ∵0 <a<1 ， 故 a< 1 a ， ∴ 不 等 式的 解 集 是 x a<x< 1 a 3 & . 故选 A. 5. A 【解析】 原不等式等价于 （ x-3 ）（ x+1 ） <0 ， x+1≠0 ， （ x-2 ） 2 ≠0 0 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 -1<x<3 且 x≠2. 故选 A. 6. R 【解析】 ∵Δ＝ （ -4 ） 2 -4×5＝-4<0 ， ∴ 不等式 x 2 -4x＋ 5≥0 的解集为 R. 7. {m|m≥9} 【解析】 ∵ Δ= （ m-3 ） 2 -4m≥0 ， x 1 +x 2 =3-m<0 ， x 1 x 2 =m>0 0 0 0 0 / 0 0 0 1 ， ∴m≥9. 8. ［ 2 ， 8 ） 【解析】 由 4 ［ x ］ 2 -36 ［ x ］ ＋45<0 ， 得 3 2 < ［ x ］ < 15 2 ， 又当且仅当 n≤x<n＋1 （ n∈N * ） 时， ［ x ］ ＝n ， ∴ ［ x ］ ＝2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， ∴ 所求不等式的解集为［ 2 ， 8 ） . 9. 解： ① 当 a＝0 时， 原不等式即为 -x＋1<0 ， 解得 x>1. ② 当 a<0 时， 原不等式化为 x- 1 a a " （ x-1 ） >0 ， 解得 x< 1 a 或 x>1. ③ 当 a>0 时， 原不等式化为 x- 1 a a " （ x-1 ） <0. 若 a＝1 ， 即 1 a ＝1 时， 不等式无解； 若 a>1 ， 即 1 a <1 时， 解得 1 a <x<1 ； 若 0<a<1 ， 即 1 a >1 时， 解得 1<x< 1 a . 综上， 当 a<0 时， 不等式的解集为 x x< 1 a 或 x>1 3 & ； 当 a＝0 时， 不等式的解集为 {x|x>1} ； 当 0<a<1 时， 不等式的解集为 x 1<x< 1 a 3 & ； 当 a＝1 时， 不等式的解集为 芰 ； 当 a>1 时， 不等式的解集为 x 1 a <x<1 3 & . 10. 解： （ 1 ） 设下调后的电价为 x 元 / （ kW · h ）， 依 题意知 ， 用电量增至 k x-0.4 ＋a ， 电 力部 门 的收 益 为 y＝ k x-0.4 + a " a （ x-0.3 ）（ 0.55≤x≤0.75 ） . （ 2 ） 依题意， 有 0.2a x-0.4 + a " a （ x-0.3 ） ≥ ［ a× （ 0.8-0.3 ）］（ 1+20% ）， 0.55≤x≤0.75 3 . 整理得 x 2 -1.1x+0.3≥0 ， 0.55≤x≤0.75 3 . 解此不等式组， 得 0.60≤x≤0.75. ∴ 当电价最低定为 0.60 元 / （ kW · h ） 时， 仍可保证电 力部门的收益比上年度至少增长 20%. 提升练习 11. C 【解析 】 ∵M={x∈Z ｜-2<x<3}={-1 ， 0 ， 1 ， 2} ， 由 x 2 +x-6<0 ， 得 （ x-2 ）（ x+3 ） <0 ， 解得 -3<x<2 ， ∴N= {x｜-3<x<2} ， ∴M∩N={-1 ， 0 ， 1} . 故选 C. 12. AB 【解析】 由题意， 不等式 ax 2 -bx+c>0 的解集 是（ -1 ， 2 ）， 可得 a<0 且 -1 ， 2 是方程 ax 2 -bx+c=0 的两个 43 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 根， ∴ a<0 ， -1+2= b a ， -1×2= c a a # # # # # # " # # # # # # $ ， 且 a<c ， 故 A 正确； 由 b=a ， c=-2a ， ∴b<0 ， c>0 ， 故 B 正确； 当 x=-1 时， 此时 a+b+c=0 ， 故 C 错误 ； 把 b=a ， c=-2a 代入不等式 ax 2 -cx+b<0 ， 可得 ax 2 +2ax+a<0 ， ∵a<0 ， ∴x 2 +2x+1>0 ， 即（ x+1 ） 2 >0 ， 此时不等 式的解集为 {x｜x≠-1} ， 故 D 错误 . 故选 AB. 13. ACD 【解析】 由 x 2 +3x-4<0 ， 得 -4<x<1 ， 当 x 2 - （ 2k+3 ） x+k 2 +3k>0 时， 即 （ x-k ）［ x- （ k+3 ）］ >0 ， 解得 x<k 或 x>k+3. 由题意知 （ -4 ， 1 ）芴（-∞ ， k ） ∪ （ k+3 ， +∞ ）， ∴k≥1 或 k+3≤-4 ， 即 k∈ （ -∞ ， -7 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） . 故选 ACD. 14. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） 【解析】 由 1-x 2 ≥a 2 +a+1 （ x∈R ） 的解集为芰， 得（1-x 2 ） max <a 2 +a+1. 而（ 1-x 2 ） max =1 ， ∴a 2 +a+1>1 ， ∴a<-1 或 a>0 ， 即 a∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） . * 15. 解 ： 由题 意 ， 不 等 式 ax 2 -x +1 -a≤0 对 a∈ ［ 2 ， 3 ］ 恒成立 ， 可设 f （ a ） = （ x 2 -1 ） a+ （ -x+1 ） ， a∈ ［ 2 ， 3 ］， 则 f （ a ）是关于 a 的一次函数， 要使题意成立只 需 f （ 2 ） ≤0 ， f （ 3 ） ≤ ≤ 0 圯 2x 2 -x-1≤0 ， 3x 2 -x-2≤0 ≤ ， 解得 - 1 2 ≤x≤1 ， ∴x 的取值 范围是 - 1 2 ， ， / 1 . 2.2.4 均值不等式及其应用 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由于式子 x+ 1 x ≥2 中 x 的取值范围不确 定， 故当 x<0 时， x+ 1 x <0 ， ∴x+ 1 x 的最小值不能为 2 ， 故 ① 不正确； ∵x 与 1 x 同号， ∴ x+ 1 x =｜x｜+ 1 ｜x｜ ≥2 ， 当且 仅当 ｜x｜=1 时， 等号成立， 故 ② 正确； 由题意知， x+2y≥ 2 x · 2y 姨 ， 即 2 2xy 姨 ≤2 ， ∴ xy 姨 ≤ 2 姨 2 ， 故 ③ 正确； 由于 x 2 +3 姨 + 1 x 2 +3 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +3 姨 = 1 x 2 +3 姨 时 取等号， 即 x 2 +3=1 ， 即 x 2 =-2 ， 方程无解， 故 ④ 不正确 . 故选 C. 变式训练 2 （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ a-c 2 【解析 】 ∵a>b>c ， ∴a-b>0 ， b-c>0 ， ∴ （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ （ a-b ） + （ b-c ） 2 = a-c 2 . 变式训练 3 证明： 左边 = b a + c a -1+ c b + a b -1+ a c + b c -1 = b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3. ∵a ， b ， c 为正数， ∴ b a + a b ≥2 （当且仅当 a=b 时取 “ = ”）； c a + a c ≥2 （当且仅当 a=c 时取 “ = ”）； c b + b c ≥2 （当且仅当 b=c 时取 “ = ”） . 从而 b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 ≥6. （当且仅当 a=b=c 时取 “ = ”） . ∴ b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3≥3 ， 即 b+c-a a + c+a-b b + a+b-c c ≥3. 变式训练 4 C 【解析】 根据题意， 实数 x>0 ， y>0 ， x+4y=xy ， 两 边同除 xy 得， 1 y + 4 x =1 ， ∴x+y= （ x+y ） 1 y + 4 x b 2 = x y + 4y x + 5≥2 x y · 4y x 姨 +5=9 ， 当且仅当 x=2y 时等号成立， 即 x+y 的最小值为 9. 变式训练 5 解： ∵x<3 ， ∴3-x>0. 又 ∵y=2x+1+ 1 x-3 =2 （ x-3 ） + 1 x-3 +7=- 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7 ， 由基本不等式可得 2 （ 3-x ） + 1 3-x ≥2 2 （ 3-x ）· 1 3-x b 2 姨 =2 2 姨 ， 当且仅当 2 （ 3-x ） = 1 3-x ， 即 x=3- 2 姨 2 时， 等号成立， 于是 - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x ≤ -2 2 姨 ， - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7≤7-2 2 姨 ， 故 y=2x+1+ 1 x-3 的最大值是 7-2 2 姨 . 变式训练 6 B 【解析】 根据题意， 生产 x 件产品的生产准备费 用与仓储费用之和是 800+x · x 8 · 1=800+ 1 8 x 2 ， 则平均每 件的生产准备费用与仓储费用之和为 y= 800+ 1 8 x 2 x = 800 x + 1 8 x （ x 为正整数）， 由均值不等式得， y≥2 800 x · 1 8 x 姨 =20 ， 当且仅当 800 x = 1 8 x=10 时， y 取最小值， 可得 x=80 时， 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 . 故 选 B. 随堂练习 1. C 【解析】 令 x=-1 时， y=x+ 1 x =-1+ 1 -1 =-2 ， 故 A 错误； 由于 y= x 2 +2 姨 + 1 x 2 +2 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +2 姨 = 1 x 2 +2 姨 时取等号 ， 即 x 2 +2=1 ， 即 x 2 =-1 ， 方程无解 ， 44