第1章 集合与常用逻辑用语 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A={1 ， 3 ， 5} ， B={2 ， 3 ， 5} ， 则图中阴影部分表 示的集合的真子集的个 数有 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知集合 S={s｜s=2n+1 ， n∈Z} ， T={t｜t=4n+ 1 ， n∈Z} ， 则 S∩T= （ ） A. 芰 B. S C. T D. Z 3. 若 A={1 ， 4 ， x} ， B={1 ， x 2 } 且 B哿A ， 则 x= （ ） A. ±2 B. ±2 或 0 C. ±2 或 1 或 0 D. ±2 或 ±1 或 0 4. 王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人， 被誉 为 “七绝圣手”， 其 《从军行》 传诵至今： “青海长云暗雪山， 孤城遥望玉门关 . 黄沙 百战穿金甲， 不破楼兰终不还 . ” 由此推 断， 最后一句 “攻破楼兰” 是 “返还家 乡” 的 （ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 定义集合运算： A*B={z｜z=x 2 （ y-1 ）， x∈A ， y∈B} . 设 A={-1 ， 1} ， B={0 ， 2} ， 则集合 A*B 中的所有元素之和为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 对于任意实数 x ， 〈 x 〉表示不小于 x 的最小 整数， 例如〈 1.2 〉 =2 ， 〈 -1.2 〉 =-1 ， 则 “ ｜x- y｜<1 ” 是 “〈 x 〉 = 〈 y 〉” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知命题 “ 埚x∈R ， 4x 2 + （ a-2 ） x+ 1 4 ≤0 ” 是假命题， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A. （ -∞ ， 0 ） B. ［ 0 ， 4 ］ C. ［ 4 ， +∞ ） D. （ 0 ， 4 ） 8. 由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪 . 直到 1872 年， 德国数学家戴德金 从连续性的要求出发， 用有理数的 “分 割” 来定义无理数 （史称 “戴德金分割”）， 并把实数理论建立在严格的科学基础上， 才结束了无理数被认为 “无理” 的时代， 也结束了持续两千多年的数学史上的第 一次大危机 . 所谓戴德金分割， 是指将有 理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N ， 且满足 M∪N=Q ， M∩N=芰 ， M 中的 每一个元素都小于 N 中的每一个元素， 则 第一章章末测试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第一章章末测试卷 A B U 第 1 题图 1 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 称 （ M ， N ） 为戴德金分割 . 试判断， 对 于任一戴德金分割 （ M ， N ）， 下列选项 中， 不可能成立的是 （ ） A. M 没有最大元素， N 有一个最小元素 B. M 没有最大元素， N 也没有最小元素 C. M 有一个最大元素， N 有一个最小元素 D. M 有一个最大元素， N 没有最小元素 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 设非空集合 P ， Q 满足 P∩Q=Q ， 且 P≠ Q ， 则下列选项中错误的有 （ ） A. 坌x∈Q ， 有 x∈P B. 埚x∈P ， 使得 x埸Q C. 埚x∈Q ， 使得 x埸P D. 坌x埸Q ， 有 x埸P 10. 定义 A-B={x｜x∈A ， 且 x埸B} ， A*B= （ A- B ） ∪ （ B-A ） 叫作集合的对称差 . 若集合 A={y ｜y=x+2 ， -1≤x≤3} ， B= y y= 2 x x ， 1 5 ≤x≤ ≤ 1 ， 则以下说法正确的有 （ ） A. B= ［ 2 ， 10 ］ B. A-B= ［ 1 ， 2 ） C. A*B= （ 1 ， 2 ］ ∪ （ 5 ， 10 ］ D. A*B=B*A 11. 下列说法正确的有 （ ） A. “ a≠1 ” 是 “ a 2 ≠1 ” 的充分不必要条件 B. “ a>0 且 Δ=b 2 -4ac≤0 ” 是 “一元二次 不等式 ax 2 +bx+c≥0 的解集是 R ” 的 充要条件 C. “ a≠0 ” 是 “ a+｜a ｜>0 ” 的必要不充分 条件 D. 已知 a ， b∈R ， 则 ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ 的充要 条件是 ab>0 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 已知集合 A= x x= 1 9 （ 2k+1 ） ， k∈ x ≤ Z ， B= x x= 4 9 k± 1 9 ， k∈ x ≤ Z ， 则集合 A ， B 之间的关系为 . 13. 命题 “ 坌x>0 ， x 2-x <0 ” 的否定为 . 14. 已知集合 P={x ｜x 2 -3x+2=0} ， Q={x ｜ax+2= 0} . 若 P∪Q=P ， 则实数 a 的取值的集 合为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 设全集 U=R ， 集合 A={x∈N｜x 2 + px+12=0} ， B={x∈N｜x 2 -5x+q=0} . 若（ U A ） ∩ B={2} ， A∩ （ U B ） ={4} ， 试求： （ 1 ） p+q 的值； （ 2 ） 满足 S哿 （ A∪B ） 的集合 S 的个数 . 2 16. （ 15 分） 已知集合 A={x｜-1≤x≤2} ， B= {x｜a≤x≤a+2} . （ 1 ） 若 a=1 ， 求 A∪B ； （ 2 ） 在 ①A∪B=A ， ②A∩B=A ， ③A∩ B=芰 中任选一个作为已知条件， 求 实数 a 的取值范围 . 17. （ 15 分） 已知 p ： -2≤x≤6 ， q ： ［ 1-m ， 1+m ］ . （ 1 ） 若 p 是 q 的充分不必要条件， 求实 数 m 的取值范围； （ 2 ） 若 “ 劭p ” 是 “ 劭q ” 的充分条件， 求 实数 m 的取值范围 . 第一章章末测试卷 3 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 设集合 A={x｜x 2 -3x+2=0} ， B={x｜ x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0} . （ 1 ） 若 A∩B={2} ， 求实数 a 的值； （ 2 ） 若 A∪B=A ， 求实数 a 的取值范围； （ 3 ） 若 U=R ， A∩ （ U B ） =A ， 求实数 a 的 取值范围 . 19. （ 17 分） 已知集合 A 为非空数集， 定义： S={x｜x=a+b ， a ， b∈A} ， T={x｜x=｜a-b｜ ， a ， b∈A} . （ 1 ） 若集合 A={1 ， 3} ， 直接写出集合 S ， T ； （ 2 ） 若集合 A={x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 } ， x 1 <x 2 < x 3 <x 4 ， 且 T=A ， 求证： x 1 +x 4 =x 2 +x 3 ； （ 3 ） 若集合 A哿{x｜0≤x≤2 020 ， x∈N} ， S∩T=芰 ， 记 ｜A｜ 为集合 A 中元素的 个数， 求 ｜A｜ 的最大值 . 4 参 考 答 案 11. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， 1-a<1<1+a ， 当 a<0 时， 1+a<1<1-a ， 则由已知条件可得 a>0 ， 2 （ 1-a ） +a=- （ 1+a ） -2 2 a 或 a<0 ， 2 （ 1+a ） +a=- （ 1-a ） -2a 2 ， 解得 a=- 3 2 （ ∵a>0 ， 舍去 ） 或 a=- 3 4 ， ∴a=- 3 4 . 12. - 1 2 2 6 姨 -6 【解析】 f （ -2 ） = （ -2 ） 2 =4 ， ∴f （ f （ -2 ）） = f （ 4 ） =4+ 6 4 -6=- 1 2 . 当 x≤1 时， f （ x ） ≥1 ； 当 x>1 时， f （ x ） ≥2 6 姨 -6 ， 当且仅当 x= 6 x ， 即 x= 6 姨 时取到等 号 . ∵2 6 姨 -6<1 ， ∴ 函数的最小值为 2 6 姨 -6. 13. 解： （ 1 ） 当 a=0 时， f （ x ） = 1 x ， 显然是奇函数； 当 a≠0 时， f （ 1 ） =a+1 ， f （ -1 ） =a-1 ， f （ 1 ） ≠f （ -1 ）且 f （ 1 ） +f （ -1 ） ≠0 ， ∴ 此时 f （ x ）是非奇非偶函数 . （ 2 ） 设 坌x 1 <x 2 ∈ ［ 1 ， 2 ］， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） =a （ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 ） + x 2 -x 1 x 1 x 2 = （ x 1 -x 2 ）· a （ x 1 +x 2 ） - 1 x 1 x 2 2 ) . ∵x 1 <x 2 ∈ ［ 1 ， 2 ］， ∴x 1 -x 2 <0 ， 2<x 1 +x 2 <4 ， 1<x 1 x 2 <4 ， ∴2<a （ x 1 +x 2 ） <12 ， 1 4 < 1 x 1 x 2 <1 ， ∴a （ x 1 +x 2 ） - 1 x 1 x 2 >0 ， ∴f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ） 在 ［ 1 ， 2 ］ 上单调递增 . 14. 解： （ 1 ） ∵k=1 ， 由函数 f 的定义， 当 n>1 时， f （ n ） =n-1 ， 当 n=1 时， f 的函数值可以为任意正整数 . （ 2 ） ∵k=4 ， 当 n≤4 时， 2≤f （ n ） ≤3 ， 则 n=1 ， 2 ， 3 ， 4 时， f （ n ） =2 或 3 ， 因此对每一个 n=1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都可 取 2 或 3 为函数值， ∴ 有 2 4 =16 ， 每一种取法都对应一 个函数 f ， 则不同的函数 f 的个数为 16. 15. 解： 由题意得 f （ x ） =｜x 2 -ax｜=｜x （ x-a ） ｜. （ 1 ） 当 a<0 时， 函数 f （ x ）的图象如图 1 所示 . 函数 f （ x ）在区间 ［ 0 ， 1 ］ 上单调递增， f （ x ） max =g （ a ） =f （ 1 ） =1-a. （ 2 ） 当 a=0 时， f （ x ） =x 2 ， f （ x ）在区间 ［ 0 ， 1 ］ 上的 最大值为 f （ 1 ） =g （ a ） =1. （ 3 ） 当 a>0 时， 函数 f （ x ）的图象如图 2 所示 . ① 若 a 2 <1≤a ， 即 1≤a<2 时， f （ x ） max =g a 2 2 + = a 2 4 ； ② 若 a 2 ≥1 ， 即 a≥2 时， f （ x ） max =g （ 1 ） =a-1 ； ③ 若 0<a<1 ， f （ x ） max =g （ a ） =max a 2 4 ， 1- 2 - a = a 2 4 ， 2 （ 2 姨 -1 ） ≤a<1 ， 1-a ， 0<a<2 （ 2 姨 -1 ） ） / / / . / / / 0 . 综上所述， g （ a ） = 1-a ， a<2 （ 2 姨 -1 ）， a 2 4 ， 2 （ 2 姨 -1 ） ≤a<2 ， a-1 ， a≥2 ） / / / / / . / / / / / 0 . ∵g （ a ）在 （ -∞ ， 2 2 姨 -2 ） 上单调递减， 在 （ 2 2 姨 -2 ， +∞ ） 上单调递增， ∴ 当 a=2 2 姨 -2 时 g （ a ）的值最小 . 16. 解： （ 1 ） 不难想象， 从某一个顶点 （比如 A ） 落在 x 轴上的时候开始计算， 到下一次 A 点落在 x 轴 上， 这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上， 而每两个 顶点间距离为正方形的边长 1 ， 因此该函数的周期为 4. （ 2 ） 下面考察 P 点的运动轨迹， 不妨考察正方形向 右滚动， P 点 （设为 P 1 ） 从 x 轴上开始运动的时候， 首 先是围绕 A 点运动 1 4 个圆到 P 2 （该圆半径为 AP=1 ）， 然 后以 B 点为中心， 旋转 90° ， 到 P 3 （此时是以 BP= 2 姨 为半径）， 然后以 C 为圆心， 再旋转 90° ， 到 P 4 （此时是 以 CP=1 为半径）， 因此最终构成图象是 P 1 P 2 P 3 P 4 与 x 轴 所围成的图形 （如图） . 设该图形的面积为 S ， 则 S=S 扇形 AP 1 P 2 +S △ABP 2 +S 扇形 BP 2 P 3 +S △BCP 3 +S 扇形 CP 3 P 4 = π 4 + 1 2 + π 2 + 1 2 + π 4 =π+1. 第一章章末测试卷 1. C 【解析】 ∵ 集合 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A ={1 ， 3 ， 5} ， B = {2 ， 3 ， 5} ， ∴A∩B={3 ， 5} ， 图中 阴影部分表示的集合为 U （ A∩B ） = {1 ， 2 ， 4} ， ∴ 图中阴影部分表示的 集合的真子集有 2 3 -1=7. 故选 C. 2. C 【解析 】 当 n=2k 时 ， S={s ｜s=2n+1=4k+1 ， k∈ 第 15 题答图 x y O a x y O a 图 1 图 2 U 1 2 4 A B 3 5 第 1 题答图 第 16 题答图 x y O A B C P 1 P 2 P 3 P 4 67 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 Z} ； 当 n=2k+1 时， S={s｜s=2n+1=4k+3 ， k∈Z} . ∴T芴S ， ∴S∩T=T. 故选 C. 3. B 【解析】 ∵A= {1 ， 4 ， x} ， B= {1 ， x 2 } ， 若 B哿 A ， 则 x 2 =4 或 x 2 =x ， 解得 x＝2 或 -2 或 1 或 0. ① 当 x=0 ， 集合 A＝{1 ， 4 ， 0} ， B＝{1 ， 0} ， 满足 B哿A. ② 当 x=1 ， 集 合 A＝{1 ， 4 ， 1} ， 不成立 . ③ 当 x=2 ， 集合 A＝{1 ， 4 ， 2} ， B＝{1 ， 4} ， 满足 B哿A. ④ 当 x＝-2 ， 集合 A＝{1 ， 4 ， -2} ， B＝{1 ， 4} ， 满足 B哿A. 综上， x=2 或 -2 或 0. 故选 B. 4. B 【解析 】 要 “返还家乡 ” 一定需要 “攻破楼 兰”， ∴ “返还家乡” 能推出 “攻破楼兰”， 但 “攻破楼 兰” 是否 “返回家乡” 不确定， ∴ “攻破楼兰” 是 “返 还家乡” 的必要条件 . 故选 B. 5. B 【解析】 ∵A={-1 ， 1} ， B={0 ， 2} ， A*B={z ｜z= x 2 （ y-1 ）， x∈A ， y∈B} ， 当 x=-1 ， y=0 时， z=-1 ； 当 x= -1 ， y=2 时 ， z=1 ； 当 x=1 ， y=0 时 ， z=-1 ； 当 x=1 ， y=2 时 ， z=1 ， ∴A*B={-1 ， 1} ， ∴A*B 中的所有元素之 和为 0. 故选 B. 6. B 【解析】 若 ｜x-y｜<1 ， 取 x=1.3 ， y=2.1 ， 满足 ｜x- y｜<1 ， 但是〈 x 〉 =2 ，〈 y 〉 =3 ，〈 x 〉 ≠ 〈 y 〉， ∴｜x-y｜<1圯 〈 x 〉 = 〈 y 〉 . 反之， 若 〈 x 〉 = 〈 y 〉， ∵ 对任意 m∈R ， 有 m≤ 〈 m 〉 <m+1 ， ∴ 满足〈 x 〉 = 〈 y 〉， 一定满足 ｜x-y｜<1 ， ∴ 〈 x 〉 = 〈 y 〉 圯｜x-y｜<1 ， ∴ “ ｜x-y｜<1 ” 是 “〈 x 〉 = 〈 y 〉” 的必要不充分条件 . 故选 B. 7. D 【解析】 ∵ 命题 “ 埚x∈R ， 4x 2 + （ a-2 ） x+ 1 4 ≤0 ” 是假命题， ∴ 该命题的否定为真命题 ， 即 坌x∈R ， 有 4x 2 + （ a-2 ） x+ 1 4 >0 为真命题 . ∴ 不等式 4x 2 + （ a-2 ） x+ 1 4 >0 对一切 x∈R 恒成立， ∴Δ= （ a-2 ） 2 -4×4× 1 4 <0 ， 即 a 2 -4a< 0 ， 解得 0<a<4. 故选 D. 8. C 【解析】 若 M={x∈Q｜x<0} ， N={x∈Q｜x≥0} ， 则 M 没有最大元素， N 有一个最小元素 0 ， 故 A 正确； 若 M={x∈Q｜x< 2 姨 } ， N={x∈Q｜x≥ 2 姨 } ， 则 M 没有最大 元素， N 也没有最小元素， 故 B 正确； M 有一个最大元 素， N 有一个最小元素不可能， 故 C 错误； 若 M={x∈ Q｜x≤0} ， N={x∈Q｜x>0} ； M 有一个最大元素， N 没有最 小元素， 故 D 正确 . 故选 C. 9. CD 【解析】 ∵P∩Q=Q ， 且 P≠Q ， ∴Q 是 P 的真 子集， ∴坌x∈Q ， 有 x∈P ； 埚x∈P ， 使得 x埸Q ， C ， D 错误 . 故选 CD. 10. ABD 【解析】 ∵A={y｜y=x+2 ， -1≤x≤3}= ［ 1 ， 5 ］， B= y y= 2 x ， 1 5 ≤x≤1 1 . = ［ 2 ， 10 ］， 故 A 正确 ； ∵ 定义 A-B={x｜x∈A 且 x埸B} ， ∴A-B= ［ 1 ， 2 ）， B-A= （ 5 ， 10 ］， 故 B 正确； A*B= （ A-B ） ∪ （ B-A ） = ［ 1 ， 2 ） ∪ （ 5 ， 10 ］， 故 C 错误； B*A= （ B-A ） ∪ （ A-B ） = ［ 1 ， 2 ） ∪ （ 5 ， 10 ］， ∴A*B= B*A ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 11. BC 【解析】 “ a 2 ≠1 ” 圳 “ a≠1 且 a≠-1 ”， 故 “ a≠1 ” 是 “ a 2 ≠1 ” 的必要不充分条件 ， 故 A 错误 ； “ a>0 且 Δ=b 2 -4ac≤0 ” 是 “一元二次不等式 ax 2 +bx+c≥0 的解集是 R ” 的充要条件 ， 故 B 正确； “ a+｜a｜>0 ” 圳 “ a>0 ”， 故 “ a≠0 ” 是 “ a+｜a｜>0 ” 的必要不充分条件， 故 C 正确； 已知 a ， b∈R ， 则 “ ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ ” 的充要条件是 ab≥0 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 12. A=B 【解析】 对于集合 A ， k=2n 时， x= 1 9 （ 4n+1 ） = 4n 9 + 1 9 ， n∈Z ， 当 k=2n-1 时， x= 1 9 （ 4n-2+1 ） = 4n 9 - 1 9 ， n ∈Z ， 即 集 合 A = x x= 4n 9 ± 1 9 ， n∈Z 1 . ， 由 B = x x= 4k 9 ± 1 9 ， k∈Z 1 . ， 可知 A=B. 13. 埚x>0 ， x 2-x ≥0 【解析 】 先解不等式 x 2-x <0 ， 得 x<0 或 x>2 ， 再变量词， 否定结论 . 14. {-2 ， -1 ， 0} 【解析 】 ∵P∪Q=P ， ∴Q哿P. 由 ax+2=0 得 ax=-2 ， 当 a=0 时， 方程无实数解， ∴Q=芰 ， 满足已知； 当 a≠0 时， x=- 2 a ， 令 - 2 a =1 或 2 ， ∴a=-2 或 -1. 综合得 a=0 或 a=-2 或 a=-1. 15. 解： （ 1 ） 由题可知， 2∈B ， ∴2 2 -5×2+q=0 ， 解 得 q=6. 又由 4∈A ， 得 4 2 +4p+12=0 ， 解得 p=-7 ， ∴p+q=-7+ 6=-1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 A={x｜x 2 -7x+12=0}={3 ， 4} ， B={x｜x 2 - 5x+6=0}={2 ， 3} ， ∴A∪B={2 ， 3 ， 4} . ∵S哿{A∪B} ， ∴S 的个数为 2 3 =8. 16. 解： （ 1 ） 当 a=1 时， B={x｜1≤x≤3} ， A∪B={x｜-1≤ x≤3} . （ 2 ） 选 ① ， 由 A∪B=A ， 得 B哿A ， 显然 B≠芰 ， ∴ a≥-1 ， a+2≤2 1 ， 解得 -1≤a≤0 ， ∴ 实数 a 的取值范围为 ［ -1 ， 0 ］； 选 ② ， 由 A∩B=A ， 得 A哿B ， 显然 B≠芰 ， ∴ a≤-1 ， a+2≥2 1 ， a 无解， ∴ 实数 a 的取值范围为 芰 ； 选 ③ ， 有 A∩B=芰 ， 则 a+2<-1 或 a>2 ， 即 a<-3 或 a>2 ， ∴ 实数 a 的取值范围为 （ -∞ ， -3 ） ∪ （ 2 ， +∞ ） . 17. 解： （ 1 ） 令集合 P= ［ -2 ， 6 ］， Q= ［ 1-m ， 1+m ］， m>0 ， ∵p 是 q 的充分不必要条件， ∴P芴Q ， 则 1-m≤-2 ， 1+m≥6 ， m>0 0 4 4 4 3 4 4 4 5 ， 且不能同时取等， 解得 m≥5. 故 p 是 q 的充分不必要条件时， m 的取值范围是 ［ 5 ， +∞ ） . （ 2 ） ∵ “ 劭p ” 是 “ 劭q ” 的充分条件， ∴ “ p ” 是 “ q ” 的必要条件， 68 参 考 答 案 ∴Q哿P ， ∴ 1-m≥-2 ， 1+m≤6 ， m>0 $ & & & % & & & ' ， 解得 0<m≤3 ， ∴m 的取值范围是 （ 0 ， 3 ］ . 18. 解： 由题意得 A={1 ， 2} . （ 1 ） ∵A∩B={2} ， ∴2∈B ， 将 x=2 代入方程 x 2 +2 （ a+ 1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a 2 +4a+3=0 ， 解得 a=-1 或 a=-3 ； 当 a=-1 时 ， B={-2 ， 2} ， 满足条件 ； 当 a=-3 时 ， B={2} ， 也满足条件 . 综上可得， 实数 a 的值为 -1 或 -3. （ 2 ） ∵A∪B=A ， ∴B哿A. 对于方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， ① 当 Δ=4 （ a+1 ） 2 -4 （ a 2 -5 ） =8 （ a+3 ） <0 ， 即 a<-3 时， B=芰 ， 满足条件； ② 当 Δ=0 ， 即 a=-3 时， B={2} ， 满足条件； ③ 当 Δ>0 ， 即 a>-3 时， B=A={1 ， 2} ， ∴ 方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 的两根为 1 ， 2 ， ∴ 3=-2 （ a+1 ）， 2=a 2 -5 5 ， a 无解 . 综上可知， 实数 a 的取值范围为 （ -∞ ， -3 ］ . （ 3 ） ∵ A∩ （ U B ） =A ， ∴A∩B=芰 ， 对于方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ： ① 当 Δ<0 ， 即 a<-3 时， B=芰 ， 满足条件； ② 当 Δ=0 ， 即 a=-3 时， B={2} ， A∩B={2} ， 不满足 条件； ③ 当 Δ>0 ， 即 a>-3 时， 只需要 1埸B 且 2埸B 即可 . 将 x=2 代入 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a=-1 或 a=-3. 将 x=1 代入 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -5=0 ， 得 a=-1± 3 姨 . ∴a≠-1 ， a≠-3 ， a≠-1± 3 姨 . 综上 ， 实数 a 的取值范围为 {a ｜a<-3 或 -3<a<-1- 3 姨 或 -1- 3 姨 <a<-1 或 -1<a<-1+ 3 姨 或 a>-1+ 3 姨 } . 19. （ 1 ） 解： 根据题意， 由 A={1 ， 3} ， 则 S={2 ， 4 ， 6} ， T={0 ， 2} . （ 2 ） 证明： 由于集合 A={x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 } ， x 1 <x 2 <x 3 < x 4 ， 且 T=A ， ∴T 中也只包含四个元素 ， 即 T={0 ， x 2 -x 1 ， x 3 -x 1 ， x 4 -x 1 } ， 剩下的 x 3 -x 2 =x 4 -x 3 =x 2 -x 1 ， ∴x 1 +x 4 =x 2 +x 3 . （ 3 ） 解： 设 A={a 1 ， a 2 ， …， a k } 满足题意， 其中 a 1 < a 2 < … <a k ， 则 2a 1 <a 1 +a 2 <a 1 +a 3 < … <a 1 +a k <a 2 +a k <a 3 +a k < … <a k-1 +a k < 2a k ， ∴｜S｜≥2k-1 ， a 1 -a 1 <a 2 -a 1 <a 3 -a 1 < … <a k -a 1 ， ∴｜T｜≥k. ∵S∩T=芰 ， ｜S∪T｜=｜S｜+｜T｜≥3k-1 ， S∪T 中最小的元 素为 0 ， 最大的元素为 2a k ， ∴｜S∪T｜≤2a k +1 ， ∴3k-1≤2a k +1≤4 041 （ k∈N * ）， ∴k≤1 347 ， 实际上当 A= {674 ， 675 ， 676 ， …， 2 020} 时满足 题意 . 证明如下： 设 A={m ， m+1 ， m+2 ， …， 2 020} ， m∈N ， 则 S={2m ， 2m+1 ， 2m+2 ， …， 4 040} ， T={0 ， 1 ， 2 ， …， 2 020-m} ， 依题意有 2 020-m<2m ， 即 m>673 1 3 ， 故 m 的最小值为 674 ， 于是当 m=674 时， A 中元素 最多， 即 A={674 ， 675 ， 676 ， …， 2 020} 时满足题意 . 综上所述， 集合 A 中元素的个数的最大值是 1 347. 第二章章末测试卷 1. D 【解析】 只有当 c>0 时， 才能由 ac>bc 推出 a> b ， 故 A 错误 ； 当 a=2 ， b=1 ， c=-1 ， d=-2 时 ， 推不出 ac>bd ， 故 B 错误 ； 当 a＝0 ， b＝-1 时 ， 显然 a>b 成立 ， 但是 1 a < 1 b 显然不成立， 因此 C 错误； ∵ac 2 >bc 2 ， ∴c≠ 0 ， 因此 D 正确 . 故选 D. 2. D 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 kx 2 ＋2x-1＝0 有两个不 相等的实数根， ∴k≠0 且 Δ＝4-4k× （ -1 ） >0 ， 解得 k>-1 ， ∴k 的取值范围为 k>-1 且 k≠0. 故选 D. 3. A 【解析 】 ∵A＝{x|x 2 ＜1}＝{x |-1＜x＜1} ， B＝{x|x>0} ， ∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝ （ 0 ， 1 ） . 故选 A. 4. D 【解析】 ∵ 不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 的解集为 {x｜-1< x<2} ， ∴a<0 ， - b a ＝1 ， c a ＝-2 ， 故 b＝-a ， c＝-2a ， ∴bx 2 - ax-c>0 可化为 -ax 2 -ax＋2a>0 ， 即 x 2 ＋x-2>0 ， 分解因式得 （ x＋2 ）（ x-1 ） >0 ， 解得 x<-2 或 x>1 ， ∴ 不等式的解集为 {x| x>1 或 x<-2}. 故选 D. 5. A 【解析】 由题意， 若 a>|b| ， 则 a>|b|≥0 ， 则 a>0 且 a>b ， ∴a|a|＝a 2 ， 则 a|a|>b|b| 成立 . 当 a＝1 ， b＝-2 时， 满 足 a|a|>b|b| ， 但 a>|b| 不一定成立， ∴a>|b| 是 a|a|>b|b| 的充 分不必要条件 . 故选 A. 6. A 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ 1 30 （ 4a＋b ）· 1 a + 1 b b 1 ＝ 1 30 5+ b a + 4a b b b ≥ 1 30 （ 5＋2 4 姨 ） ＝ 3 10 ， 当且仅 当 b a = 4a b ， 4a+b=3 5 0 时取等号， 即 a＝5 ， b＝10. 故选 A. 7. B 【解析】 由题意 p＝4 ， S＝ 4 （ 4-a ）（ 4-b ）（ 4-c ） 姨 ＝ 2 （ 4-b ）（ 4-c ） 姨 ≤2 · 4-b+4-c 2 ＝3 ， 当且仅当 4-b＝4-c ， 即 b＝c 时等号成立， ∴ 此三角形面积的最大值为 3. 故选 B. 8. B 【解析】 不等式 （ x＋y ） 1 x + a y b b ≥9 对任意正实 数 x ， y 恒成立 ， 则 1＋a＋ y x ＋ ax y ≥a＋2 a 姨 ＋1≥9 ， ∴ a 姨 ≥2 或 a 姨 ≤-4 （舍去）， ∴ 正实数 a 的最小值为 69