1.1.2 集合的基本关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 练 效 果 评 价 1. 下列命题： ① 空集没有子集； ② 任何集合至少有两 个子集； ③ 空集是任何集合的真子集； ④ 若 芰芴A ， 则 A≠芰. 其中正确的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列正确表示集合 M＝{-1 ， 0 ， 1} 和 N＝{x|x 2 ＋x＝0} 关系的维恩图是 （ ） 3. 若集合 M={x｜x 2 -3x+2=0} ， N={x｜0<x< 5 ， x∈N} ， 则满足 M哿P哿N 的集合 P 的个 数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 集合 M = x x= k 2 - 1 3 ， k∈ ∈ ' Z ， P = y y= l 2 + 1 6 ， l∈ ∈ ∈ Z ， S= z z=m+ 1 6 ， m∈ ∈ ∈ Z 之间的关系是 （ ） A. S=P哿M B. S=P芴M C. S芴P=M D. S哿P=M 5. 下列集合是空集的是 （ ） A. {x∈R|x 2 －4＝0} B. {x|x>9 或 x<3} C. { （ x ， y ） |x 2 ＋y 2 ＝0} D. {x|x>9 且 x<3} 6. 已知集合 A={1 ， 2} ， B={x｜x 2 - （ a+1 ） x+ a=0 ， a∈R} ， 若 A=B ， 则 a= （ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 7. 设 x ， y∈R ， A＝{ （ x ， y ） |y＝2x} ， B＝ （ x ， y ） y x = ∈ ∈ 2 ， 则 A ， B 间的关系为 . 8. 已知集合 A={x ｜ax 2 +2x+a=0 ， a∈R} ， 若集合 A 有且只有两个子集， 则 a 的取值是 . 9. 已知集合 A={x ｜x<-1 或 x>2} ， B={x ｜ 4x-p<0} ， 当 B哿A 时， 实数 p 的取值范围 为 . 10. 已知集合 A＝{x|1＜x＜2} ， B＝{x|2a-3＜ x＜a-2} ， 且 A勐B ， 求实数 a 的取值范围 . 1.1.2 集合的基本关系 A B C D M N N M M N M N 3 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 提 升 练 习 11. （多选题 ） 下列选项中正确的有 （ ） A. 芰∈{{芰}} B. 芰哿{{芰}} C. 芰∈{芰} D. 芰芴{芰} 12. （多选题） 已知非空集合 M 满足 ： ①M哿{-2 ， -1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ； ② 若 x∈M ， 则 x 2 ∈M. 则满足上述要求的集合 M 可以为 （ ） A. {-1 ， 1} B. {-1 ， 1 ， 2 ， 4} C. {1} D. {1 ， -2 ， 2 ， 4} 13. 已知集合 S={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A 是 S 的一个子集， 当 x∈A 时， 若有 x-1埸A 且 x+1埸A ， 则称 x 为 A 的一个 “孤立元 素”， 那么 S 的无 “孤立元素” 的含四个元素 的子集共有 个， 其中一个是 . 14. 若一个集合是另一个集合的子集， 则称这两个集合构成 “全食”； 若两个集合 有公共元素但不互为对方的子集， 则称两个 集合构成 “偏食” . 已知集合 A={x ｜-t<x<t ， t>0} 和集合 B={x ｜x 2 -x-2<0} ， 若集合 A ， B 构成 “偏食”， 则实数 t 的取值范围为 . 15. 已知集合 A={x ｜x 2 +4x=0} ， B={x ｜x 2 + 2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 ， a∈R ， x∈R} ， 若 B哿A ， 求实数 a 的取值范围 . 4 参 考 答 案 ∴a≠0 ， 且 Δ= （ -3 ） 2 -8a>0 ， 解得 a< 9 8 且 a≠0 ， ∴ 实数 a 的值组成的集合为 a a< 9 8 且 a≠0 0 # . * 15. 解： （ 1 ） ∵2∈A ， ∴ 1 1-2 =-1∈A. ∵-1∈A ， ∴ 1 1- （ -1 ） = 1 2 ∈A. ∵ 1 2 ∈A ， ∴ 1 1- 1 2 =2∈A. ∴A 中至少还有两个元素为 -1 ， 1 2 . （ 2 ） A 不是双元素集合 . 理由如下： ∵x∈A ， ∴ 1 1-x ∈A ， 1 1- 1 1-x = x-1 x ∈A. 由于 x≠1 且 x≠0 ， x 2 -x+1= x- 1 2 2 & 2 + 3 4 >0 ， 则 x 2 - x+1≠0 ， 则 x （ 1-x ） ≠1 ， 可得 x≠ 1 1-x ， 由 x 2 -2x+1≠-x ， 即（ x- 1 ） 2 ≠-x ， 可得 1 1-x ≠ x-1 x ， 故集合 A 中至少有三个元素， ∴ 集合 A 不是双元素 集合 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 A 中有三个元素为 x ， 1 1-x ， x-1 x （ x≠1 且 x≠0 ）， 且 x · 1 1-x · x-1 x =-1. 设 A 中有一个元素为 m ， 则 1 1-m ∈A ， m-1 m ∈A ， 且 m · 1 1-m · m-1 m =-1 ， ∴A= x ， 1 1-x ， x-1 x ， m ， 1 1-m ， m-1 m 0 m ， 且集合 A 中所有元素之积为 1. 由于 A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设 1 1-x 2 & 2 =1 或 x-1 x 2 & 2 =1 ， 解得 x=0 （舍去） 或 x=2 或 x= 1 2 . 此时， 2∈A ， -1∈A ， 1 2 ∈A ， 由题意得 1 2 +2-1+m+ 1 1-m + m-1 m = 14 3 ， 整理得 6m 3 - 19m 2 +m+6=0 ， 即（ m-3 ）（ 2m+1 ）（ 3m-2 ） =0 ， 解得 m=- 1 2 或 3 或 2 3 ， ∴A= 1 2 ， 2 ， -1 ， - 1 2 ， 3 ， 2 3 0 m . 1.1.2 集合的基本关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵M= x x= n+2 6 ， n∈Z 0 m ， N= x x= 2n+1 6 ， 0 n∈ m Z ， n+2 表示整数， 2n+1 表示奇数， 故 N哿M ， 故 选 C. 变式训练 2 32 【解析】 集合 M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {5} ， {1 ， 2} ， {1 ， 5} ， {2 ， 5} ， {1 ， 2 ， 5} ， ∴ 集合 M 的所 有子集的元素之和为（ 1+2+5 ） ×4=32. 变式训练 3 C 【解析】 A={x｜x 2 +x=0 ， x∈R}={-1 ， 0} ， ∴ 集合 A 的 非空子集个数为 2 2 -1=3 ， 故选 C. 变式训练 4 ACD 【解析】 A ， C 选项由集合与集合间的关系可 知， 均正确； B 选项由于符号 ∈ 用于元素与集合间， 故 选项错误； D 选项由元素与集合间的关系即可判断正确 . 故选 ACD. 变式训练 5 BD 【解析】 M={ （ -5 ， 3 ） } 是点集， N={-5 ， 3} 是数 集， M≠N ， 故 A 错误； M={1 ， -3} ， N={-3 ， 1} ， M=N ， 故 B 正确； M=芰 ， N={0} ， M≠N ， 故 C 错误； M={x｜x 2 - 3x+2=0}={1 ， 2} ， M=N ， 故 D 正确 . 故选 BD. 随堂练习 1. C 【解析】 由题意可得集合 M 为 {1 ， 2 ， 3} 的子 集， ∴M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {3} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {2 ， 3} ， {1 ， 2 ， 3} ， ∴ 共有 8 个 . 故选 C. 2. C 【解析】 { （ 1 ， 0 ） } 是由一个点（ 1 ， 0 ）构成的点集 合， ∴0埸{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 A 错误； 1 2 2 m 芫{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 B 错误； （ 1 ， 0 ） ∈{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 C 正确， D 错误 . 故选 C. 3. D 【解析】 由图可知， B哿A ， ∵A={1 ， 2 ， 3} ， 由 选项可知 {1 ， 3}哿A. 故选 D. 4. A 【解析】 集合 A={x|-1＜x＜2} ， 且 B哿A. 分析各 选项， 只有 {0 ， 1}哿A 满足题意 . 故选 A. 5. 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 【解析 】 集合 {0 ， 1} 的所有子集为 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 共 4 个 . 6. 4 【解 析 】 ∵ { 1}哿A哿{1 ， 2 ， 3} ， ∴A ={1} 或 {1 ， 2} 或 {1 ， 3} 或 {1 ， 2 ， 3} ， 故答案为 4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 空集的子集是空集， 故 ① 错误； 空集 只有一个子集， 就是它本身， 故 ② 错误； 空集是任何非 空集合的真子集， 故 ③ 错误； 空集是任何非空集合的真 子集， 故 ④ 正确 . 故选 B. 2. B 【解析】 N={-1 ， 0} ， ∴N芴M ， 故选 B. 27 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3. D 【解析】 M={1 ， 2} ， N={1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 由 M哿 P哿N 可知， 集合 P 中一定含有 1 ， 2 ， 可能不含其他元 素， 或是含有 3 ， 4 中的部分或全部， ∴P 的个数与集合 {3 ， 4} 的子集个数相同， ∴ 有 2 2 =4 （个） . 故选 D. 4. C 【解析】 M= x x= k 2 - 1 3 ， k∈Z # $ = x x= 3k-2 6 ， ， k∈ ∈ Z ， P= y y= l 2 + 1 6 ， l∈Z ， ∈ = y y= 3l+1 6 ， l∈Z ， ∈ ， S= z z=m+ 1 6 ， ， m∈Z ∈ = z z= 6m+1 6 ， m∈Z ， ∈ . 集合 M ， P 都 表示被 3 除余 1 的数与 6 的商， ∴M=P ； 对于集合 P ， 当 l =2n ， n∈Z 时 ， P =S ， 当 l =2n -1 ， n ∈Z 时 ， P = z z= 6l-2 6 ， ∈ ， P 中存在不在 S 中的元素， ∴S芴P. 故选 C. 5. D 【解析】 集合 {x∈R｜x 2 -4=0} 中含有元素 2 ， -2 ， 故 A 错误； 集合 {x｜x>9 或 x<3} 表示大于 9 ， 小于 3 的所 有实数 ， 故 B 错误 ； 集合 { （ x ， y ） ｜x 2 +y 2 =0} 中含有点 （ 0 ， 0 ）， 故 C 错误； 集合 {x｜x>9 且 x<3} 中不含有任何元 素， 故为空集 . 故选 D. 6. B 【解析】 ∵A={1 ， 2} ， B={x｜x 2 - （ a+1 ） x+a＝0 ， a∈ R} ， 由 A=B ， 可得 1 ， 2 是方程 x 2 - （ a+1 ） x+a=0 的两根， 由韦达定理可得 1+2=a+1 ， 1×2=a ， ， 即 a=2 ， 故选 B. 7. B芴A 【解析】 B={ （ x ， y ） ｜y=2x ， x≠0} ， ∴B芴A. 8. -1 ， 0 ， 1 【解析】 集合 A 有且只有两个子集， 则 集合 A 中只有一个元素， 即方程 ax 2 +2x+a=0 只有一个 解 ， 当 a=0 时 ， 2x=0 ， x=0 ， 只有一个解 . 当 a≠0 时 ， Δ=4-4a 2 =0 ， a=±1. ∴a 的取值为 -1 ， 0 ， 1. 9. （ -∞ ， -4 ］ 【解析】 ∵B= x x< p 4 ， $ ， 又 ∵B哿A ， ∴ p 4 ≤-1 ， 解得 p≤-4. 10. 解： ① 若 B=芰 ， 则 2a-3≥a-2 ， 即 a≥1 ， 满足题意 . ② 若 B≠芰 ， 由 A勐B ， 得 a<1 ， 2a-3≥1 ， a-2≤2 2 / / / . / / / 0 ， a 无解 . 综上所述， 实数 a 的取值范围是 {a｜a≥1}. 提升练习 11. BCD 【解析】 芰 不是 {{芰}} 的元素， 故 A 错误； 芰 是任何集合的子集， ∴芰 是 {{芰}} 的子集， 故 B 正确； 芰 是 {芰} 的元素， 故 C 正确； 芰 是任何非空集合的真子 集， {芰} 有一个元素 芰 ， 是非空集合， 故 D 正确 . 故选 BCD. 12. AC 【解析】 当 x 取 ±1 时， 平方后为 1 ， ∴A ， C 正确 . 4 的平方等于 16 ， 不在集合中， ∴B ， D 不满足要 求 . 故选 AC. 13. 6 {0 ， 1 ， 2 ， 3} （答案不唯一） 【解析】 ∵ 集合 S={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 根据题意知， 只要有元素与之 相邻， 则该元素就不是孤立元素， ∴S 的无 “孤立元素” 的含四个元素的子集有 {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， {0 ， 1 ， 3 ， 4} ， { 0 ， 1 ， 4 ， 5} ， { 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， { 1 ， 2 ， 4 ， 5} ， {2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 共 6 个 . 14. {t｜1<t<2} 【解析】 由题意， 可知集合 A={x｜-t<x< 1 ， t>0} ， 集合 B={x ｜-1<x<2} ， ∵ 集合 A ， B 构成 “偏 食”， ∴ -t<-1<t ， 2> ， t 或 -t<2<t ， -1<-t ， ， 解不等式组 -t<-1<t ， 2>t ， ， 得 1<t<2 ； 解不等式组 -t<2<t ， -1<-t ， ， 得 t>2 ， t<1 ， ， 此时无解 . ∴ 实数 t 的取值范围为 1<t<2. 15. 解： 若 B=芰 ， 满足 B哿A ， 方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 - 1=0 无实数根， ∴Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） <0 ， 解得 a<-1. 若 B≠芰 ， 由 B哿A ， 得 B={0} 或 {-4} 或 {-4 ， 0}. 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 有两个相等实数根， 则 Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） =0 ， 即 a=-1 ， 此时 B={0} ， 满足题意 . 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 的两实数根为 0 ， -4 ， 则有 x （ x+4 ） =0 ， 即 x 2 +4x=0 ， ∴ 2 （ a+1 ） =4 ， a 2 -1=0 ， ， a=1. 综上所述， 实数 a 的取值范围为（ -∞ ， -1 ］ ∪{1} . 1.1.3 集合的基本运算 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 由题意， 全集 U=R ， 集合 A={x｜-1≤ x≤2 或 4<x<6} ， 集合 B={x｜1≤x<5}. ∴ U A={x｜x<-1 或 2< x≤4 或 x≥6} ， U B={x｜x≥5 或 x<1} ， ∴A∩ （ U B ） ={x｜-1≤x<1 或 5≤x<6} ， （ U A ） ∪B={x｜x<-1 或 1≤x<5 或 x≥6} ， U （ U B ） = B={x｜1≤x<5} . 故选 ABD. 变式训练 2 B 【解析】 由图形知， 区域 Ⅱ 表示元素在集合 A 中， 且不在集合 B 中， 故区域 Ⅱ 表示集合 A∩ （ U B ） . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） ∵-3∈A∩B ， ∴-3∈B. 若 a-4=-3 ， 则 a= 1 ， 此时集合 A 中， 2a-1=a 2 =1 ， 不符合题意； 若 2-a=-3 ， 则 a=5 ， 此时 A={-3 ， 9 ， 25} ， B={1 ， -3 ， 9} ， A∩B= {-3 ， 9} ， 符合题意 . 综上， a=5. （ 2 ） 若 A∩B={9} ， 则 9∈A. 若 2a-1=9 ， 则 a=5 ， 由 （ 1 ） 知 A∩B={-3 ， 9} ， 不符合题意 . 若 a 2 =9 ， 则 a=±3. 当 a=3 时， 集合 B 中 a-4=2-a=-1 ， 不符合题意 . 当 a=-3 时， A={-3 ， -7 ， 9} ， B={-7 ， 5 ， 9} ， 此时 A∩B={-7 ， 9} ， 不符合题意 . 因此， 不存在满足条件的实数 a. 变式训练 4 8 【解析】 由题意， 赞 成 A 的人数为 30 ， 赞成 B 的人数为 33 ， 设对 A ， B 都赞成的学生数为 x ， 则 对 A ， B 都不赞成的学生 A B x 1 3 x+1 30-x 33-x 变式训练 4 答图 28