1.1.1 集合及其表示方法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 练 效 果 评 价 1. 下列所给的对象不能组成集合的是 （ ） A. 某班年龄较小的同学 B. 二元一次方程 x+y=1 的解 C. 我国古代的四大发明 D. 平面内到定点距离等于定长的点 2. 已知集合 A={x｜x>1} ， 则下列结论正 确的是 （ ） A. 2∈A B. 3埸A C. 1∈A D. 0∈A 3. 下列集合中表示同一集合的是 （ ） A. M={ （ 3 ， 2 ） } ， N={ （ 2 ， 3 ） } B. M={4 ， 5} ， N={5 ， 4} C. M={ （ x ， y ） ｜x+y=1} ， N={y｜x+y=1} D. M={1 ， 2} ， N={ （ 1 ， 2 ） } 4. 已知 a∈R ， b∈R ， 若集合 a ， b a ， ， $ 1 ={a 2 ， a+b ， 0} ， 则 a 2 021 +b 2 020 的值为 （ ） A. -2 B. 1 C. -1 D. 2 5. （多选题） 由 a 2 ， 2-a ， 4 组成一个集 合 A ， 且集合 A 中含有三个元素， 则实数 a 的取值可以是 （ ） A. -1 B. -2 C. 6 D. 2 6. 设 Q 是有理数集 ， 集合 X={x ｜x=a+ b 2 姨 ， a ， b∈Q ， x≠0} ， 在下列集合中： ①{y｜y=2x ， x∈X} ； ② y y= x 2 姨 ， x∈X ， X ； ③ y y= 1 x ， x∈X ， X ； ④{y｜y=x 2 ， x∈X}. 与 X 相同的集合的个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知集合 {x｜x≥-3} ， 用区间表示该 集合为 . 8. 定义集合运算 A⊙B={z｜z=xy （ x+y ）， x∈ A ， y∈B} ， 集合 A={0 ， 1} ， B={2 ， 3} ， 则集 合 A⊙B 所有元素之和为 . 9. 集合 P= x 6 x-3 ∈Z 且 x∈ ， X Z ， 用列举 法表示集合 P= . 10. 若 A={y｜y=x 2 +a ， x∈R} ， 1∈A ， 则 a 的取值范围为 ； 若 A={ （ x ， y ） ｜y=x 2 + a ， x∈R} ， （ 1 ， 2 ） ∈A ， 则 a= . 提 升 练 习 11. 下列命题： ①0 与 {0} 表示同一个集合； 1.1 集 合 1.1.1 集合及其表示方法 第一章 集合与常用逻辑用语 1 练 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ② 由 1 ， 2 ， 3 组成的集合可表示为 {1 ， 2 ， 3} 或 {3 ， 2 ， 1} ； ③ 实数 x ， -x ， ｜x ｜ ， x 2 姨 ， （ x 2 姨 ） 2 ， - x 3 3 姨 所组成的集合， 最多可含有三个元素； ④ 集合 {x｜1≤x≤4} 可以用列举法表示； ⑤ 集合 A= x x= 1 n ， n∈N +$ % 是有限集 . 其中正确的是 （ ） A. ①④ B. ②③ C. ② D. 以上命题都不对 12. （多选题） 设 P 是一个数集， 且至 少含有两个元素 . 若对任意的 a ， b∈P 都有 a+b ， a-b ， ab∈P ， 且当 b≠0 时 ， a b ∈P ， 则称 P 是一个数域， 例如有理数集 Q 是一 个数域 . 则下列说法正确的有 （ ） A. 数域必含有 0 ， 1 两个数 B. 整数集是数域 C. 若有理数集 Q哿M ， 则数集 M 必为 数域 D. 数域必为无限集 * 13. （多选题） 设非空集合 S={x｜m≤x≤ n} 满足： 当 x∈S 时， 有 x 2 ∈S. 给出如下说 法， 其中正确的有 （ ） A. 若 m=1 ， 则 S={x｜x≥1} B. 若 m=- 1 2 ， 则 1 4 ≤n≤1 C. 若 n= 1 2 ， 则 - 2 姨 2 ≤m≤0 D. 若 n=1 ， 则 -1≤m≤0 14. 已知集合 A={x∈R｜ax 2 -3x+2=0 ， a∈ R} ， 且 ， 求实数 a 的值组成的集 合 . （选择一个条件填在横线处并解答） ①A 是空集 ； ②A 中只有一个元素 ； ③A 中有两个元素 . * 15. 设数集 A 由实数构成且满足 ： 若 x∈A （ x≠1 且 x≠0 ）， 则 1 1-x ∈A. （ 1 ） 若 2∈A ， 则 A 中至少还有几个 元素？ （ 2 ） 集合 A 是否为双元素集合？ 请说明 理由 . （ 3 ） 若 A 中元素个数不超过 8 ， 所有元 素的和为 14 3 ， 且 A 中有一个元素的平方等 于所有元素的积， 求集合 A. 2 参 考 答 案 1.1 集 合 1.1.1 集合及其表示方法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 接近 3 姨 的实数不具有确定性， 不能构 成集合 . （ 2 ） 解方程得 x=3 或 x=-1 ， 能构成集合， 是 有限集 . （ 3 ） 一个数是否为小于 1 500 的正奇数是确 定的， 能构成集合， 是有限集 . 变式训练 2 C 【解析】 “矮个” 不具有确定性， ∴① 说法错误； 一个数是否为 “正偶数” 是确定的， 可以组成一个集 合， ∴② 说法正确； 方程 x 2 =1 的解为 1 或 -1 ， 用列举法 表示集合 {x｜x 2 =1} 即为 {1 ， -1} ， ∴③ 说法正确； |-1|=1 ， 由集合元素互异性， ∴④ 说法错误 . 故选 C. 变式训练 3 C 【解析】 0 是自然数， ∴① 是错误的； -3 是整数， ∴② 是正确的； - 3 姨 是无理数， ∴③ 是错误的； -1 不是 自然数， ∴④ 是正确的 . 故选 C. 变式训练 4 解： （ 1 ） 第一象限点的横坐标和纵坐标都是正数， ∴ 集合表示为 { （ x ， y ） |x>0 ， y>0} . （ 2 ） 偶数能够被 2 整 除， ∴ 偶数集合表示为 {x|x=2n ， n∈Z} . （ 3 ） 由因数的 定义得集合为 x 18 x ∈N # $ . 变式训练 5 解： （ 1 ） 解不等式得 -1<x<3 ， ∴ 表示为 （ -1 ， 3 ） . （ 2 ） 解不等式得 -2<x<2 ， ∴ 表示为 （ -2 ， 2 ） . （ 3 ） y=-x 2 中 x∈R ， ∴ 表示为 （ -∞ ， +∞ ） . （ 4 ） y=-x 2 中 y≤0 ， ∴ 表示为 （ -∞ ， 0 ］ . 随堂练习 1. B 【解析 】 根据集合中的元素具有确定性知 ， “某中学所有聪明的学生 ” “中国各地的美丽乡村 ” “中国篮球协会中所有优秀的球员” 都不能构成集合， “不小于 5 的所有自然数” 具有确定性， 可以构成集合 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意， A茚B= {2 ， 3 ， 6 ， 9 ， 8 ， 12} ， 则所有元素之和为 2+3+6+9+8+12=40. 故选 C. 3. D 【解析】 由题意， 集合 M={a ， b ， c} 中， 根据 集合元素的互异性， 可得 a ， b ， c 互不相等， 故 △ABC 一定不是等腰三角形， ∴△ABC 不可能是等腰直角三角 形 . 故选 D. 4. BD 【解析】 {x｜x=2k-1 ， k∈N}={-1 ， 1 ， 3 ， … } ， 故 A 不 符 合 题 意 ； { x ｜x =2k +1 ， k ∈N ， k ≥2} = {5 ， 7 ， 9 ， … } ， 故 B 符合题意 ； {x ｜x=2k+3 ， k∈N}= {3 ， 5 ， 7 ， … } ， 故 C 不符合题意； {x｜x=2k+5 ， k∈N}= {5 ， 7 ， 9 ， … } ， 故 D 符合题意 . 故选 BD. 5. {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 【解析 】 ∵A={x∈N ｜1≤x<6} ， ∴A={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} . 6. {-2 ， 0 ， 2} 【解析】 当 a>0 ， b>0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = a a + b b =2 ； 当 a>0 ， b<0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = a a - b b =0 ； 当 a<0 ， b>0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b =- a a + b b =0 ； 当 a<0 ， b<0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = - a a - b b =-2. 故答案为 {-2 ， 0 ， 2} . 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 某班年龄较小的同学， 其中 “较小” 标准不确定， 即不满足集合中元素的确定性， 故 A 不能 组成集合； 二元一次方程 x+y=1 的解符合集合中元素的 确定性、 互异性以及无序性， 故 B 能组成集合； 我国古 代的四大发明包括造纸术、 火药、 印刷术、 指南针， 符 合集合中元素的确定性、 互异性以及无序性， 故 C 能组成 集合； 平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素 的确定性、 互异性以及无序性， 故能组成集合 . 故选 A. 2. A 【解析 】 ∵A={x ｜x>1} ， ∴2∈A ， 3∈A ， 1埸A ， 0埸A. 故选 A. 3. B 【解析】 A 中两个集合的元素不相同， 点的坐 标不同， B 中两个集合的元素相同， C 中 M 的元素为 点， N 的元素为数， D 中 M 的元素为数， N 的元素为 点， 故 A ， C ， D 都不正确 . 故选 B. 4. C 【解析 】 易知 a≠0 ， ∵ a ， b a ， ， , 1 ={a 2 ， a+b ， 0} ， ∴ b a =0 ， 即 b=0 ， ∴{a ， 0 ， 1}={a 2 ， a ， 0} . ∴a 2 =1 ， 解 得 a=-1 或 a=1. 当 a=1 时， 集合为 {1 ， 0 ， 1} ， 不符合集 合中元素的互异性 ， 故舍去 ； 当 a=-1 时 ， 集合为 {-1 ， 0 ， 1} . ∴a=-1 ， b=0. ∴a 2 021 +b 2 020 = （ -1 ） 2 021 +0 2 020 =-1. 故选 C. 5. AC 【解析】 ∵ 由 a 2 ， 2-a ， 4 组成一个集合 A ， 且 第一章 集合与常用逻辑用语 参 考 答 案 25 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 集合 A 中含有三个元素， ∴ 只需 a 2 ≠2-a ， a 2 ≠4 ， 2-a≠4 4 $ $ $ # $ $ $ % ， 解得 a≠±2 且 a≠1 ， 因此排除 B ， D. 故选 AC. 6. B 【解析】 由 2 （ a+b 2 姨 ） =p+q 2 姨 ， 得 2a=p ， q=2b ， 一一对应， 则 {y｜y=2x ， x∈X}=X ， 故 ① 正确； 由 a+b 2 姨 2 姨 =b+ 2 姨 a 2 =p+q 2 姨 ， 得 p=b ， q= a 2 ， 一一对 应， 则 y y= x 2 姨 ， x∈X X ) =X ， 故 ② 正确； 由 1 a+b 2 姨 = a a 2 -2b 2 + 2 姨 - b a 2 -2b 2 2 + =p+q 2 姨 ， 得 p= a a 2 -2b 2 ， q= -b a 2 -2b 2 ， 一一对应， 则 y y= 1 x ， x∈X X - =X ， 故 ③ 正确； -1- 2 姨 ∈X ， 但方程 -1- 2 姨 =x 2 无解， 则 {y｜y=x 2 ， x∈ X} 与 X 不相同， 故 ④ 错误 . 故选 B. 7. ［ -3 ， +∞ ） 【解析】 由区间定义可以将集合表示 为 ［ -3 ， +∞ ） . 8. 18 【解析 】 当 x=0 ， y=2 时 ， z=0 ； 当 x=1 ， y=2 时， z=6 ； 当 x=0 ， y=3 时， z=0 ； 当 x=1 ， y=3 时， z=12. ∴A⊙B 所有元素的和为 0+6+12=18. 9. {-3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9} 【解析 】 由题意 ， 集合 P= x 6 x-3 ∈Z 且 x∈Z X ) ， 可得 6 x-3 ∈Z ， 则 -6≤x- 3≤6 ， 解得 -3≤x≤9 且 x∈Z ， 当 x=-3 时， 6 -3-3 =-1∈ Z ， 满足题意 ； 当 x=-2 时， 6 -2-3 =- 6 5 埸Z ， 不满足题 意； 当 x=-1 时， 6 -1-3 =- 3 2 埸Z ， 不满足题意； 当 x=0 时， 6 0-3 =-2∈Z ， 满足题意； 当 x=1 时， 6 1-3 =-3∈Z ， 满足题意； 当 x=2 时 ， 6 2-3 =-6∈Z ， 满足题意； 当 x= 3 时， 6 3-3 ， 此时分母为零， 不满足题意； 当 x=4 时 ， 6 4-3 =6∈Z ， 满足题意； 当 x=5 时， 6 5-3 =3∈Z ， 满足题 意 ； 当 x=6 时 ， 6 6-3 =2∈Z ， 满足题意 ； 当 x=7 时 ， 6 7-3 = 3 2 埸Z ， 不满足题意 ； 当 x=8 时 ， 6 8-3 = 6 5 埸Z ， 不满足题意； 当 x=9 时， 6 9-3 =1∈Z ， 满足题意 . 综上可 得， 集合 P={-3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}. 10. （ -∞ ， 1 ］ 1 【解析 】 由 1∈A 得 ， x 2 +a=1 ， ∴a=1-x 2 ≤1 ； 由 （ 1 ， 2 ） ∈A 得， 2=1 2 +a ， ∴a=1. 提升练习 11. B 【解析】 {0} 表示元素为 0 的集合， 而 0 只表 示一个元素， 故 ① 错误； ② 符合集合中元素的无序性， 故 ② 正确； 当 x≠0 时所含元素最多， 此时 x ， -x ， ｜x｜ ， x 2 姨 ， （ x 2 姨 ） 2 ， - x 3 3 姨 分别可化为 x ， -x ， x 2 ， ∴ 最多可含有三 个元素， 故③ 正确； ④ 中元素有无穷多个， 不能一一列 举 ， 故 不 能 用 列 举 法 表 示 ， 故 ④ 错 误 ； 集 合 A = x x= 1 n ， n∈N + X ) 是无限集 ， 故 ⑤ 错误 . ∴ 只有 ②③ 正 确， 故选 B. 12. AD 【解析】 ∵P 中至少含有两个元素 m ， n ， 若 m=0 ， 则 n≠0 ， 则 n n =1∈P. 若 m≠0 ， 则 m-m=0∈P ， m m =1∈P ， ∴P 中必有 0 ， 1 ， ∴A 正确 . ∵1∈Z ， 2∈Z ， 而 1 2 埸Z ， ∴ 整数集不是数域， ∴B 错误 . 令数集 M=Q∪ { 3 姨 } ， 则 1∈M ， 但 1+ 3 姨 埸M ， ∴C 错误 . 数域中有 1 ， 一定有 1＋1＝2 ， 1＋2＝3 ， 递推下去， 可知数域必为无 限集， ∴D 正确 . 故选 AD. * 13. BC 【解析 】 ∵ 非空集合 S={x ｜m≤x≤n} 满足 ： 当 x∈S 时， 有 x 2 ∈S. ∴ 当 m∈S 时， 有 m 2 ∈S ， 即 m 2 ≥ m ， 解得 m≥1 或 m≤0 ； 同理 ， 当 n∈S 时 ， 有 n 2 ∈S ， 即 n 2 ≤n ， 解得 0≤n≤1. m=1 ， 必有 m 2 =1∈S ， 故必有 n≥m ， 0≤n≤1 X ， 解得 m=n=1 ， ∴S={1} ， 故 A 错误； m=- 1 2 ， 必 有 m 2 = 1 4 ∈S ， 故必有 n≥m 2 ， 0≤n≤1 X ， 解得 1 4 ≤n≤1 ， 故 B 正确； 若 n= 1 2 ， 有 m≤ 1 2 ， m≤m 2 ， m 2 ≤ 1 2 2 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， 解得 - 2 姨 2 ≤m≤0 ， 故 C 正确； 若 n=1 ， 有 m≤1 ， m≤m 2 ， m 2 ≤1 2 $ $ $ # $ $ $ % ， 解得 -1≤m≤0 或 m=1 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 14. 解： 若选 ① ， A 是空集， 则关于 x 的方程 ax 2 - 3x+2=0 无解， 此时 a≠0 ， Δ=9-8a<0 ， 即 a> 9 8 ， ∴a 的取值范围为 9 8 ， + 2 + ∞ . 若选 ② ， A 中只有一个元素， 则方程 ax 2 -3x+2=0 有且只有一个实数根 . 当 a=0 时， 方程为一元一次方程， 满足条件 . 当 a≠0 时， 方程有两个相等的实数根， 此时 Δ=9- 8a=0 ， 解得 a= 9 8 ， ∴a=0 或 a= 9 8 . ∴ 实数 a 的值组成的集合为 0 ， 9 8 X - . 若选 ③ ， A 中有两个元素， 则关于 x 的方程 ax 2 -3x+ 2=0 有两个不相等的实数根， 26 参 考 答 案 ∴a≠0 ， 且 Δ= （ -3 ） 2 -8a>0 ， 解得 a< 9 8 且 a≠0 ， ∴ 实数 a 的值组成的集合为 a a< 9 8 且 a≠0 0 # . * 15. 解： （ 1 ） ∵2∈A ， ∴ 1 1-2 =-1∈A. ∵-1∈A ， ∴ 1 1- （ -1 ） = 1 2 ∈A. ∵ 1 2 ∈A ， ∴ 1 1- 1 2 =2∈A. ∴A 中至少还有两个元素为 -1 ， 1 2 . （ 2 ） A 不是双元素集合 . 理由如下： ∵x∈A ， ∴ 1 1-x ∈A ， 1 1- 1 1-x = x-1 x ∈A. 由于 x≠1 且 x≠0 ， x 2 -x+1= x- 1 2 2 & 2 + 3 4 >0 ， 则 x 2 - x+1≠0 ， 则 x （ 1-x ） ≠1 ， 可得 x≠ 1 1-x ， 由 x 2 -2x+1≠-x ， 即（ x- 1 ） 2 ≠-x ， 可得 1 1-x ≠ x-1 x ， 故集合 A 中至少有三个元素， ∴ 集合 A 不是双元素 集合 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 A 中有三个元素为 x ， 1 1-x ， x-1 x （ x≠1 且 x≠0 ）， 且 x · 1 1-x · x-1 x =-1. 设 A 中有一个元素为 m ， 则 1 1-m ∈A ， m-1 m ∈A ， 且 m · 1 1-m · m-1 m =-1 ， ∴A= x ， 1 1-x ， x-1 x ， m ， 1 1-m ， m-1 m 0 m ， 且集合 A 中所有元素之积为 1. 由于 A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设 1 1-x 2 & 2 =1 或 x-1 x 2 & 2 =1 ， 解得 x=0 （舍去） 或 x=2 或 x= 1 2 . 此时， 2∈A ， -1∈A ， 1 2 ∈A ， 由题意得 1 2 +2-1+m+ 1 1-m + m-1 m = 14 3 ， 整理得 6m 3 - 19m 2 +m+6=0 ， 即（ m-3 ）（ 2m+1 ）（ 3m-2 ） =0 ， 解得 m=- 1 2 或 3 或 2 3 ， ∴A= 1 2 ， 2 ， -1 ， - 1 2 ， 3 ， 2 3 0 m . 1.1.2 集合的基本关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵M= x x= n+2 6 ， n∈Z 0 m ， N= x x= 2n+1 6 ， 0 n∈ m Z ， n+2 表示整数， 2n+1 表示奇数， 故 N哿M ， 故 选 C. 变式训练 2 32 【解析】 集合 M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {5} ， {1 ， 2} ， {1 ， 5} ， {2 ， 5} ， {1 ， 2 ， 5} ， ∴ 集合 M 的所 有子集的元素之和为（ 1+2+5 ） ×4=32. 变式训练 3 C 【解析】 A={x｜x 2 +x=0 ， x∈R}={-1 ， 0} ， ∴ 集合 A 的 非空子集个数为 2 2 -1=3 ， 故选 C. 变式训练 4 ACD 【解析】 A ， C 选项由集合与集合间的关系可 知， 均正确； B 选项由于符号 ∈ 用于元素与集合间， 故 选项错误； D 选项由元素与集合间的关系即可判断正确 . 故选 ACD. 变式训练 5 BD 【解析】 M={ （ -5 ， 3 ） } 是点集， N={-5 ， 3} 是数 集， M≠N ， 故 A 错误； M={1 ， -3} ， N={-3 ， 1} ， M=N ， 故 B 正确； M=芰 ， N={0} ， M≠N ， 故 C 错误； M={x｜x 2 - 3x+2=0}={1 ， 2} ， M=N ， 故 D 正确 . 故选 BD. 随堂练习 1. C 【解析】 由题意可得集合 M 为 {1 ， 2 ， 3} 的子 集， ∴M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {3} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {2 ， 3} ， {1 ， 2 ， 3} ， ∴ 共有 8 个 . 故选 C. 2. C 【解析】 { （ 1 ， 0 ） } 是由一个点（ 1 ， 0 ）构成的点集 合， ∴0埸{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 A 错误； 1 2 2 m 芫{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 B 错误； （ 1 ， 0 ） ∈{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 C 正确， D 错误 . 故选 C. 3. D 【解析】 由图可知， B哿A ， ∵A={1 ， 2 ， 3} ， 由 选项可知 {1 ， 3}哿A. 故选 D. 4. A 【解析】 集合 A={x|-1＜x＜2} ， 且 B哿A. 分析各 选项， 只有 {0 ， 1}哿A 满足题意 . 故选 A. 5. 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 【解析 】 集合 {0 ， 1} 的所有子集为 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 共 4 个 . 6. 4 【解 析 】 ∵ { 1}哿A哿{1 ， 2 ， 3} ， ∴A ={1} 或 {1 ， 2} 或 {1 ， 3} 或 {1 ， 2 ， 3} ， 故答案为 4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 空集的子集是空集， 故 ① 错误； 空集 只有一个子集， 就是它本身， 故 ② 错误； 空集是任何非 空集合的真子集， 故 ③ 错误； 空集是任何非空集合的真 子集， 故 ④ 正确 . 故选 B. 2. B 【解析】 N={-1 ， 0} ， ∴N芴M ， 故选 B. 27