3.3 函数的应用（一）-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） =f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） = f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 -x 2 ·（ x 1 -x 2 ） . 由已知得 f （ x 1 ） +f （ -x 2 ） x 1 + （ -x 2 ） >0 ， x 1 -x 2 <0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . ∴ f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增 . （ 2 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上单调递增， ∴ x+ 1 2 >2x- 1 2 ， -1≤x+ 1 2 ≤1 ， -1≤2x- 1 2 ≤1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， ∴ - 1 4 ≤x≤ 1 2 ， ∴ 不等式的解集为 x - 1 4 ≤x≤ 1 2 2 ' . （ 3 ） ∵f （ x ）在［ -1 ， 1 ］上是增函数， ∴ f （ x ） ≤f （ 1 ） =1 ， 即 1 是 f （ x ）的最大值 . 若 m 2 -2ax+1≥f （ x ）对所有 x∈ ［ -1 ， 1 ］， a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒 成立， 则有 m 2 -2am+1≥1 ， 对 a∈ ［ -1 ， 1 ］ 恒成立， 即 m 2 -2am≥0 恒成立 . 令 g （ a ） =-2ma+m 2 ， 它的图象是一条线段， 则 g （ -1 ） =m 2 +2m≥0 ， g （ 1 ） =m 2 -2m≥0 2 ， 解得 m∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪{0}∪ ［ 2 ， +∞ ） . 3.3 函数的应用 （一） 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 由题意， 手机所存话费余额 y （元） 与主 叫时间 t （ min ） 之间的函数关系满足一次函数， 不妨设 为 y=at+b ， 可知当 t=0 时 ， y=100+3.5-20=83.5 ， 故 b= 83.5 ， 且主叫每分钟 0.2 元， 故 a=-0.2 ， 故函数关系为 y=83.5-0.2t. 故选 B. 变式训练 2 C 【解析】 由题意， 设该商品定价为 x 元， 利润为 f （ x ）， 故 f （ x ） = （ x-4 ）［ １00-１0 （ x-6 ）］ -20=-10x 2 +200x- 660 （ 0<x≤16 ）， f （ x ）为开口向下的二次函数， 对称轴为 x=10 ， 故当 x=10 时， f （ x ）取得最大值， 因此若要利润最 大， 则该商品每件的价格应该定为 10 元 . 故选 C. 变式训练 3 解 ： （1 ） ∵ 当 0≤t≤8 时 ， 图象过点 （ 8 ， 206 ）， ∴206=8a+118 ， ∴a=11. ∵ 函数连续， ∴2×8 2 -64×8+b=206 ， ∴b=590. ∴a=11 ， b=590. （ 2 ） ① 该同学应该戴防雾霾口罩 . ∵ 当 t=7 时， y=11×7+118=195>150 ， ∴ 该同学应该 戴防雾霾口罩 . ② 令 2t 2 -64t+590≤150 ， 即 t 2 -32t+220≤0 ， 解得 10≤t≤22. ∵22-10=12 ， ∴ 该行业可以施工作业的时间最长为 12 小时 . 变式训练 4 解： （1 ） 设该项目获得的利润为 Q （元）， 当 x∈ ［ 200 ， 300 ］ 时 ， 则 有 Q =200x - 1 2 x 2 +200x -80 000 = - 1 2 （ x-400 ） 2 ， x∈ ［ 200 ， 300 ］ . 显然， Q<0 ， ∴ 该项目不 会获利 . 当 x=300 时， Q max =- 1 2 × （ 300-400 ） 2 =-5 000. ∴ 政府 每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损 . （ 2 ） 设每吨的平均处理成本为 z （元）， 则有 z= y x = 1 3 x 2 -80x+5 040 ， x∈ ［ 120 ， 144 ）， 1 2 x+ 80 000 x -200 ， x∈ ［ 144 ， 500 ） ） $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 当 x∈ ［ 120 ， 144 ） 时， z= 1 3 （ x-120 ） 2 +240. ∴z min =240 ； 当 x ∈ ［ 144 ， 500 ） 时 ， z = x 2 + 80 000 x -200 ≥ 2 x 2 · 80 000 x 姨 -200=200 . 当且仅当 x 2 = 80 000 x ， 即 x= 400 时， 等号成立 . ∴z min =200. ∵240>200 ， ∴ 项目每月处理量为 400 t 时， 才能使 每吨的平均处理成本最低 . 随堂练习 1. B 【解析 】 2020 年 的 增 长 率 大 约 为 100-50 50 = 100% ， 2021 年的增长率约为 300-100 100 =200% ， 2022 年 的增长率约为 510-300 300 =70% ， 2023 年的增长率约为 950-510 510 ≈85% ， ∴ 年增长率最高的为 2021 年 . 故选 B. 2. A 【解析】 由题意得 （ 150-2x ） x- （ 50+30x ） ≥1 300 ， 化简得 x 2 -60x+675≤0 ， 解得 15≤x≤45. 故选 A. 3. A 【解析】 设矩形的宽为 x m ， 则该矩形的长为 （ 200-4x ） m ， ∴ 矩形的面积为 S=x （ 200-4x ） =-4 （ x 2 -50x ） =-4 （ x-25 ） 2 +2 500 ， 其中 0<x<50 ， 故当 x=25 时 ， S 取 得最大值 2 500 m 2 . 故选 A. 4. AC 【解析】 P 在 AB 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP｜ 2 =3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， P 在 BC 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， P 在 CA 上运动时的函数解析式 f （ x ） =｜OP ｜ 2 =3+ （ x- 15 ） 2 （ 12≤x≤18 ）， ∴ f （ x ） =｜OP｜ 2 = 3+ （ x-3 ） 2 （ 0≤x<6 ）， 3+ （ x-9 ） 2 （ 6≤x<12 ）， 3+（x-15 ） 2 （ 12≤x≤18 ） ） $ $ $ ） $ $ $ % . 由图象可得， 方程 f （ x ） =kx+3 最多有 6 个实数根， 64 第三章 函 数 学 学 习 目 标 1. 理解用函数构建数学模型解决实际问 题的基本过程 . 2. 能够在实际情境中， 利用一次函数、 二次函数、 分段函数、 双曲线函数等数学模 型解决实际问题 . 要 点 精 析 要点 1 一次函数模型 例 1 某列火车从北京西站开往石家庄， 全程 277 km. 火车出发 10 min 开出 13 km ， 之后以 120 km/h 的速度匀速行驶 . 试写出火 车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间 的函数关系式， 并求火车离开北京 2 h 时火 车行驶的路程 . 分析 分析模型， 构造一次函数 y=kx+ b （ k≠0 ）， 利用自变量取值范围以及一次 函数单调性求最值， 或者通过一次方程或 不等式求范围 . 解： ∵ 火车匀速行驶的总时间为 （ 277- 13 ） ÷120= 11 5 （ h ）， ∴0≤t≤ 11 5 . ∵ 火车匀速行驶 t h 所行驶的路程为 120t km ， ∴ 火车行驶的总路程 s 与匀速行驶 的时间 t 之间的函数关系式为 s=13+120t 0≤t≤ 11 5 5 $ . 火车离开北京 2 h 时火车匀速行驶的时 间为 2- 1 6 = 11 6 （ h ）， 此时火车行驶的路程 s=13+120× 11 6 =233 （ km ） . 变式训练 1 9 月 1 日小张的手机所存话费余额为 3.5 元， 他充值 100 元， 其中用 20 元购买了一 个月的套餐服务， 套餐内容为接听免费， 主 叫每分钟 0.2 元 ． 这个月内， 他手机所存话 费余额 y （元） 与主叫时间 t （ min ） 之间的 函数关系是 （ ） A． y=103.5-0.2t B． y=83.5-0.2t C． y=103.5+0.2t D． y=83.5+0.2t 要点 2 二次函数模型 例 2 有 l m 长的钢材 ， 要 做成如图 3-3-1 所示的窗框： 上 半部分为半圆形， 下半部分为四 个全等的小矩形组成的矩形， 则 小矩形的长与宽之比为多少时， 窗户所通过 的光线最多？ 求出窗户面积的最大值 . 分析 分析模型 ， 构造二次函数 y= ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 利用自变量取值范围以 及二次函数单调性求最值， 或者通过二次 方程或不等式求范围 . 解： 设小矩形的长为 x ， 宽为 y ， 窗户 的面积为 S ， 则由图可得 9x+πx+6y=l ， ∴6y=l- （ 9+π ） x ， ∴S= π 2 x 2 +4xy= π 2 x 2 + 2 3 x ［ l- （ 9+π ） x ］ = 3.3 函数的应用 （一） 图 3-3-1 87 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 - 36+π 6 x 2 + 2 3 lx=- 36+π 6 x- 2l 36+π π " 2 + 2l 2 3 （ 36+π ） . 要使窗户所通过的光线最多， 只需窗户 的面积 S 最大 . 由 6y＞0 ， 得 0＜x＜ l 9+π . ∵0＜ 2l 36+π ＜ l 9+π ， ∴ 当 x= 2l 36+π ， y= l- （ 9+π ） x 6 = l （ 18-π ） 6 （ 36+π ） ， 即 x y = 12 18-π 时 ， 窗户的面积 S 有最大值 ， 且 S max = 2l 2 3 （ 36+π ） . 变式训练 2 某种商品进价为 4 元 / 件， 当零售价为 6 元 / 件时， 日均销售 100 件， 销售数据表明， 单价每增加 1 元， 日均销量减少 10 件 ． 该商 家销售此商品每天固定成本为 20 元， 若要 利润最大， 则该商品每件的价格应该定为 （ ） A． 8 元 B． 9 元 C． 10 元 D． 11 元 要点 3 分段函数模型 例 3 提高过江大桥的车辆通行能力可 改善整个城市的交通状况 . 在一般情况下， 大桥上的车流速度 v （单位： km/h ） 是车流 密度 x （单位： 辆 /km ） 的函数 . 当桥上的车 流密度达到 200 辆 /km 时， 造成堵塞， 此时 车流速度为 0 ； 当车流密度不超过 20 辆 /km 时 ， 车流速度为 60 km/h. 研究表明 ： 当 20≤x≤200 时， 车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数 . （ 1 ） 当 0≤x≤200 时， 求函数 v （ x ）的表 达式； （ 2 ） 当车流密度 x 为多大时 ， 车流量 （单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位 ： 辆 /h ） f （ x ） =x · v （ x ）可以达到最大 ？ 请求出最大值 . （精确到 1 辆 /h ） 分析 构造分段函数， 分段研究单调 性并求出最值 . 解 ： （ 1 ） 由题意 ， 当 0≤x≤20 时 ， v （ x ） =60 ； 当 20≤x≤200 时， 设 v （ x ） =ax+b ， 由已知得 200a+b=0 ， 20a+b=60 0 ， 解得 a=- 1 3 ， b= 200 3 3 ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( . 故函数 v （ x ）的表达式为 v （ x ） = 60 ， 0≤x≤20 ， 1 3 （ 200-x ）， 20<x≤200 3 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( . （ 2 ） 依题意并结合 （ 1 ） 可得 f （ x ） = 60x ， 0≤x≤20 ， 1 3 x （ 200-x ）， 20<x≤200 3 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( . 当 0≤x≤20 时， f （ x ）为增函数， 故当 x= 20 时， f （ x ）在区间 ［ 0 ， 20 ］ 上取得最大值 60×20=1 200 ； 当 20＜x≤200 时 ， f （ x ） = 1 3 x （ 200-x ） = - 1 3 （ x-100 ） 2 + 10 000 3 ≤ 10 000 3 ， 当且仅当 x=100 时， 等号成立 . ∴ 当 x=100 时， f （ x ）在区间 （ 20 ， 200 ］ 上 88 第三章 函 数 学 取得最大值 10 000 3 . 综上可得 ， 当 x=100 时 ， f （ x ）在区间 ［ 0 ， 200 ］ 上取得最大值 10 000 3 ≈3 333. 即当车流密度为 100 辆 /km 时， 车流量 可以达到最大， 最大值约为 3 333 辆 /h. 变式训练 3 小明根据某市预报的某天 （ 0~24 时 ） 空气质量指数数据绘制成散点图， 并选择连 续函数 y= at+118 ， 0≤t≤8 ， 2t 2 -64t+b ， 8<t≤2 2 4 来近似刻画空 气质量指数 y 随时间 t 变化的规律， 如图 3- 3-2 所示 . （ 1 ） 求 a ， b 的值 . （ 2 ） 当空气质量指数大于 150 时， 有关 部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口 罩， 并禁止某行业施工作业 ． 请你结合小明 选择的函数模型， 回答以下问题： ① 某同学该天 7:00 出发上学， 是否应 该戴防雾霾口罩？ 请说明理由 . ② 该天 8:00 之后， 该行业可以施工作 业的时间最长为多少小时？ 要点 4 双曲线函数 例 4 小王大学毕业后， 决定利用所学 专业进行自主创业 . 经过市场调查， 生产某 小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元， 每生产 x 万件， 需另投入流动成本为 W （ x ） 万元， 在年产量不足 8 万件时， W （ x ） = 1 3 x 2 + x （万元） . 在年产量不小于 8 万件时， W （ x ） =6x+ 100 x -38 （万元） . 每件产品售价为 5 元 . 通过市场分析， 小王生产的商品能当年全部 售完 . （ 1 ） 写出年利润 L （ x ） （万元） 关于年产 量 x （万件） 的函数解析式； （注： 年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 流动成本） （ 2 ） 年产量为多少万件时， 小王在这一商 品的生产中所获利润最大？ 最大利润是多少？ 分析 构造形如 y=ax+ b x （ b≠0 ） 的 函数， 利用其单调性 （或者条件可以的情 况利用均值不等式） 求最值 . 解： （ 1 ） ∵ 每件商品售价为 5 元， 则 x 万件商品销售收入为 5x 万元， 依题意得， 当 0＜x＜8 时， L （ x ） =5x- 1 3 x 2 + + & x -3=- 1 3 x 2 +4x-3 ； 当 x≥8 时， L （ x ） =5x- 6x+ 100 x -3 + & 8 -3=35- x+ 100 x + & . ∴L （ x ） = - 1 3 x 2 +4x-3 ， 0<x<8 ， 35- x+ 100 x + & ， x≥8 8 * * * * * * ) * * * * * * + . 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t y O 206 图 3-3-2 89 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 当 0＜x＜8 时， L （ x ） =- 1 3 （ x-6 ） 2 +9. 当 x=6 时 ， L （ x ）取得最大值 L （ 6 ） =9 万元， 当 x≥8 时， L （ x ） =35- x+ 100 x x # ≤35- 2 x · 100 x 姨 =35-20=15 ， 当且仅当 x= 100 x 时等号成立， 即 x=10 时， L （ x ）取得最大值 15 万元 . ∵9＜15 ， ∴ 当年产量为 10 万件时， 小王 在这一商品的生产中所获利润最大， 最大利 润为 15 万元 . 变式训练 4 某污水处理厂在国家环保部门的支持 下， 引进新设备， 新上了一个从生活垃圾中 提炼化工原料的项目 . 经测算， 该项目月处 理成本 y （元） 与月处理量 x （ t ） 之间的函 数关系可以近似地表示为 y= 1 3 x 3 -80x 2 +5 040x ， x∈ ［ 120 ， 144 ）， 1 2 x 2 -200x+80 000 ， x∈ ［ 144 ， 500 ） ） ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， 且每处理 1 t 生活垃圾， 可得到能利用的化 工原料的价值为 200 元， 若该项目不获利， 政府将给予补贴 . （ 1 ） 当 x∈ ［ 200 ， 300 ］ 时， 判断该项目 能否获利 . 如果获利， 求出最大利润； 如果 不获利， 则政府每月至少需要补贴多少元才 能使该项目不亏损？ （ 2 ） 该项目每月处理量为多少吨时， 才 能使每吨的平均处理成本最低？ 90