3.1.3 函数的奇偶性-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能够结合具体函数， 了解函数奇偶性 的概念及几何意义， 明确奇偶性就是函数图 象的对称性 . 2. 能够正确判断简单函数的奇偶性 . 3. 能够利用奇偶性求函数的解析式 . 要 点 精 析 要点 1 函数奇偶性的判断 1. 偶函数 （ 1 ） 定义： 一般地， 设函数 y=f （ x ）的定 义域为 D ， 如果对 D 内的任意一个 x ， 都 有 -x∈D ， 且 f （ -x ） =f （ x ）， 则称 y=f （ x ）为偶 函数 . （ 2 ） 图象特征： 函数图象关于 y 轴对称 . 2. 奇函数 （ 1 ） 定义： 一般地， 设函数 y=f （ x ）的定 义域为 D ， 如果对 D 内的任意一个 x ， 都 有 -x∈D ， 且 f （ -x ） =-f （ x ）， 则称 y=f （ x ）为奇 函数 . （ 2 ） 图象特征： 函数图象关于原点对称 . 思考 在研究函数的奇偶性时， 函数 的定义域应该满足什么条件？ 例 1 判断下列函数的奇偶性： （ 1 ） f （ x ） =|x+1|-|x-1| ； （ 2 ） f （ x ） = x 2 -1 姨 + 1-x 2 姨 ； （ 3 ） f （ x ） = x 2 -x x-1 ； （ 4 ） f （ x ） = x+1 ， x>0 ， 1-x ， x<0 0 . 分析 一定要注意奇、 偶函数的定义 域是关于原点对称的 . 解： （ 1 ） ∵x∈R ， ∴-x∈R. 又 ∵f （ -x ） =|-x+1|-|-x-1| =|x-1|-|x+1|=- （ |x+1|-|x-1| ） =-f （ x ）， ∴f （ x ）为奇函数 . （ 2 ） ∵ 函数 f （ x ）的定义域为 {-1 ， 1} ， 关于原点对称， 且 f （ x ） =0 ， ∴f （ -x ） =-f （ x ）， f （ -x ） =f （ x ）， ∴f （ x ）既是奇函数又是偶函数 . （ 3 ） ∵f （ x ）的定义域为（ -∞ ， 1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 不关于原点对称， ∴f （ x ）为非奇非偶函数 . （ 4 ） f （ x ）的定义域是（ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 关于原点对称 . 当 x>0 时， -x<0 ， f （ -x ） =1- （ -x ） =1+x=f （ x ）； 当 x<0 时， -x>0 ， f （ -x ） =1+ （ -x ） =1-x=f （ x ） . 综上可知， 对于 x∈ （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 都有 f （ -x ） =f （ x ）， ∴f （ x ）为偶函数 . 3.1.3 函数的奇偶性 第 1课时 函数奇偶性的概念 72 第三章 函 数 学 变式训练 1 （多选题） 下列说法正确的有 （ ） A． f （ x ） = 1 x +1 - 1 x -1 是奇函数 B． g （ x ） = 1-x 2 姨 |x+2|-2 既不是奇函数也不是偶 函数 C． F （ x ） =f （ x ） f （ -x ）（ x∈R ） 是偶函数 D． h （ x ） = x 2 -４ 姨 - ４-x 2 姨 既是奇函数又是 偶函数 要点 2 奇、 偶函数的图象 例 2 已知函数 y=f （ x ）是定义在 R 上的 偶函数， 且当 x≤0 时， f （ x ） =x 2 +2x. 现已画 出函数 f （ x ）在 y 轴左侧的图象， 如图所示 . （ 1 ） 请补充完整函数 y=f （ x ）的图象； （ 2 ） 根据图象写出函数 y=f （ x ）的增区间； （ 3 ） 根据图象写出使 f （ x ） <0 的 x 的取值 集合 . 分析 奇函数图象关于原点对称， 是 中心对称图形； 偶函数图象关于 y 轴对称， 是轴对称图形 . 解： （ 1 ） 由题意作出函数图象如图 3- 1-9 所示： （ 2 ） 据图可知， 单调递增区间为（ -1 ， 0 ）， （ 1 ， +∞ ） . （ 3 ） 据图可知， 使 f （ x ） <0 的 x 的取值集 合为（ -2 ， 0 ） ∪ （ 0 ， 2 ） . 变式训练 2 已知 f （ x ）是 R 上的偶函数， g （ x ）是 R 上 的奇函数， 它们的部分图象如图所示， 则 f （ x ）· g （ x ）的图象大致是 （ ） 要点 3 利用函数的奇偶性求函数解析式 例 3 （ 1 ） 若函数 f （ x ） =ax 2 +bx+3a+b 是偶函数 ， 且定义域为 ［ a-1 ， -2a ］， 则 a= ， b= . （ 2 ） 若已知函数 f （ x ） = ax+b 1+x 2 是定义在 （ -1 ， 1 ）上的奇函数， 且 f 1 2 2 & = 2 5 ， 求函数 f （ x ）的解析式 . x y O -2 -1 1 2 4 2 -1 x y O -2 -1 1 2 4 2 -1 x y O f （ x ） x y O g （ x ） x y O x y O x y O x y O 图 3-1-10 （ A ） BA DC 图 3-1-8 图 3-1-9 图 3-1-10 （ B ） 73 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 分析 （ 1 ） 对于函数 f （ x ） =a 0 +a 1 x+ a 2 x 2 + … +a n x n （ n∈N * ） . 若其为奇函数， 则 f （ -x ） =-f （ x ）， 即 a 0 - a 1 x+a 2 x 2 + … +a n （ -x ） n =-a 0 -a 1 x-a 2 x 2 - … -a n x n ， 所 以 a 0 +a 2 x 2 +a 4 x 4 + … =0 ， 即 x 的偶次项的系数 为零； 若其为偶函数， 则 f （ -x ） =f （ x ）， 即 a 0 - a 1 x+a 2 x 2 + … +a n （ -x ） n =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a n x n ， 所 以 a 1 +a 3 x 3 +a 5 x 5 + … =0 ， 即 x 的奇次项的系数 为零 . （ 2 ） 奇函数如果 f （ 0 ）有意义， 由 f （ -0 ） =-f （ 0 ）， 则 f （ 0 ） =0. 但是一定要注意， 函数 f （ x ）为奇函数 不是 f （ 0 ） =0 的充分条件， 比如 f （ x ） = 1 x . （ 3 ） 一般地， 在定义域存在的情况下， 对于函数 f （ x ）和 g （ x ）， 它们的奇偶性与它 们之间进行四则运算或复合得到的新函数 的奇偶性， 有如下结论： 奇函数 ± 奇函数是奇函数； 偶函数 ± 偶函数是偶函数； 奇函数 ± 偶函数一般情况是非奇非偶 函数； 奇函数 × 奇函数是偶函数； 奇函数 × 偶函数是奇函数； 偶函数 × 偶函数是偶函数； 若 f （ x ）为奇函数， g （ x ）为奇函数， 则 f （ g （ x ））， g （ f （ x ）） 为奇函数； 若 f （ x ）为奇函数， g （ x ）为偶函数， 则 f （ g （ x ））， g （ f （ x ）） 为偶函数； 若 f （ x ）为偶函数， g （ x ）为偶函数， 则 f （ g （ x ））， g （ f （ x ）） 为偶函数 . 解： （ 1 ） ∵ 偶函数的定义域关于原点 对称， ∴a-1=-2a ， 解得 a= 1 3 . 又 ∵ 函数 f （ x ） = 1 3 x 2 +bx+b+1 为二次函 数， 结合偶函数图象的特点， 易得 b=0. （ 2 ） ∵f （ x ）是定义在 （ -1 ， 1 ）上的奇函 数， ∴f （ 0 ） =0 ， 即 0+b 1+0 2 =0 ， ∴b=0. 又 ∵f 1 2 2 # = 1 2 a 1+ 1 4 = 2 5 ， ∴a=1 ， ∴f （ x ） = x 1+x 2 . 变式训练 3 已知函数 f （ x ） = （ x+a ）（ x-a 2 ）是偶函数， 则 a 的值为 . 例 4 若函数 f （ x ）是定义在 R 上的奇函 数， 当 x＞0 时， f （ x ） =x 2 -2x-1 ， 求函数 f （ x ） 的解析式 . 分析 要注意 f （ 0 ） =0 ， 对于 x<0 时解 析式的求法， 可以通过取具体的数去体会， 比如求 f （ -2 ）， 由具体到一般 . 解： 当 x＜0 时， -x＞0 ， f （ -x ） = （ -x ） 2 -2 （ -x ） -1=x 2 +2x-1 ， ∵ 函数 f （ x ）是奇函数， ∴f （ x ） =-f （ -x ）， ∴x＜0 时， f （ x ） =-x 2 -2x+1 ， 故 f （ x ） = x 2 -2x-1 （ x>0 ）， 0 （ x=0 ）， -x 2 -2x+1 （ x<0 ） ） & & & & & % & & & & & ' . 变式训练 4 已知 f （ x ）是偶函数， 当 x>0 时， f （ x ） = 74 第三章 函 数 学 x 2 -x． 则当 x<0 时， f （ x ）的解析式为 . 数 学 文 化 例 我国著名数学家华罗庚曾说： “数 缺形时少直观， 形缺数时难入微， 数形结合 百般好， 隔裂分家万事休 . ” 在数学的学习 和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性 质， 也常用函数的解析式来研究函数图象的 特征 . “北” 字的甲骨文为 ， 其可抽象 出一个图象如图 3-1-11 所示， 则其对应的 函数可能是 （ ） A. f （ x ） = 1 |x-1| B. f （ x ） = 1 ||x|-1| C. f （ x ） = 1 x 2 -1 D. f （ x ） = 1 x 2 +1 分析 通过函数解析式判断图象， 第 一看定义域， 第二看特殊点， 第三看对称 性， 第四看单调性 . 解析： 首先该函数是偶函数， 排除 A ， 其次该函数 x≠±1 ， 排除 D ， 最后该函数过 点 （ 0 ， 1 ）， 排除 C. 故选 B. x y O 1 -1 1 图 3-1-11 75 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能够利用奇偶性判断函数的单调性 . 2. 能够利用函数的奇偶性， 研究对称区 间上函数的性质 . 3. 能够将函数的奇偶性推广到一般函数 的对称性来研究问题 . 要 点 精 析 要点 1 函数的奇偶性与单调性的综合 问题 例 1 设偶函数 f （ x ）的定义域为 R ， 当 x∈ ［ 0 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函数， 则 f （ -2 ）， f （ π ）， f （ -3 ）的大小关系是 （ ） A. f （ π ） >f （ -3 ） >f （ -2 ） B. f （ π ） >f （ -2 ） >f （ -3 ） C. f （ π ） <f （ -3 ） <f （ -2 ） D. f （ π ） <f （ -2 ） <f （ -3 ） 分析 若偶函数 f （ x ） 在（ 0 ， +∞ ）上为 增函数， 则其在 （ -∞ ， 0 ） 上为减函数； 若偶函数 f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上为减函数， 则其在（ -∞ ， 0 ）上为增函数； 若奇函数 f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上为减函数， 则其在（ -∞ ， 0 ）上为减函数； 若奇函数 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ）上为增函数， 则其在（ -∞ ， 0 ）上为增函数 . 解析： ∵ 函数 f （ x ）为 R 上的偶函数， ∴f （ -3 ） =f （ 3 ）， f （ -2 ） =f （ 2 ） . 又当 x∈ ［ 0 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函数， 且 π>3>2 ， ∴f （ π ） >f （ 3 ） >f （ 2 ），故 f （ π ） >f （ -3 ） >f （ -2 ） . 故选 A. 反思感悟 利用函数的奇偶性， 可以将所求问题 转化为已知区间上的问题来研究 . 变式训练 1 如果奇函数 f （ x ）在 ［ 3 ， 7 ］ 上是增函数 且最小值为 5 ， 那么 f （ x ）在区间 ［ -7 ， -3 ］ 上是 （ ） A． 增函数且最小值为 -5 B． 减函数且最小值为 -5 C． 增函数且最大值为 -5 D． 减函数且最大值为 -5 例 2 已知定义在 （ -1 ， 1 ）上的函数 f （ x ） = x x 2 +1 . （ 1 ） 试判断 f （ x ）的奇偶性及在（ -1 ， 1 ） 上的单调性； （ 2 ） 解不等式： f （ t-1 ） +f （ 2t ） ＜0. 分析 奇函数 f （ x ）如果在 R 上为增函 数， 则 a+b>0 等价于 f （ a ） +f （ b ） >0. 解： （ 1 ） ∵f （ x ） = x x 2 +1 ， ∴ 任取 x∈ （ -1 ， 1 ）， 则 -x∈ （ -1 ， 1 ）， ∴ f （ -x ） = -x x 2 +1 = - x x 2 +1 =-f （ x ） . 故 f （ x ） = x x 2 +1 为奇函数 . 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ） 且 x 1 ＜x 2 ， ∴f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = x 2 x 2 2 +1 - x 1 x 2 1 +1 第 2课时 函数奇偶性的应用 76 第三章 函 数 学 = x 2 （ x 2 1 +1 ） -x 1 （ x 2 2 +1 ） （ x 2 1 +1 ）（ x 2 2 +1 ） = （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ x 2 1 +1 ）（ x 2 2 +1 ） . ∵x 2 -x 1 ＞0 ， 1-x 1 x 2 ＞0 且分母 x 2 1 +1＞0 ， x 2 2 + 1＞0 ， ∴f （ x 2 ） ＞f （ x 1 ）， 故 f （ x ） = x x 2 +1 在（ -1 ， 1 ）上为增函数 . （ 2 ） ∵ 定义在（ -1 ， 1 ）上的奇函数 f （ x ） 是增函数， 由 f （ t-1 ） +f （ 2t ） ＜0 ， 得 f （ t-1 ） ＜-f （ 2t ） =f （ -2t ） . ∴ 有 -1<t-1<1 ， -1<-2t<1 ， t-1<-2t t # # # # # " # # # # # $ ， 即 0<t<2 ， - 1 2 <t< 1 2 ， t< 1 3 t # # # # # # # # " # # # # # # # # $ ， 解得 0＜t＜ 1 3 . 故不等式 f （ t-1 ） + f （ 2t ） ＜0 的解集为 t 0<t< 1 3 3 & . 变式训练 2 已知偶函数 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上为减函 数， 且 f （ -1 ） =0 ， 则不等式 f （ x ） +f （ -x ） x <0 的解集为 ． 要点 2 任意一个定义域关于原点对称的 函数怎么构造奇函数和偶函数 例 3 已知 f （ x ）是定义在 R 上的函数， 设 g （ x ） = f （ x ） +f （ -x ） 2 ， h （ x ） = f （ x ） -f （ -x ） 2 . （ 1 ） 试判断 g （ x ）与 h （ x ）的奇偶性 . （ 2 ） 试判断 g （ x ）， h （ x ）与 f （ x ）的关系 . （ 3 ） 由此你能猜想出什么结论？ 分析 任意一个定义域关于原点对称 的函数都可以构造成一个奇函数和一个偶 函数之和 . 解： （ 1 ） ∵g （ -x ） = f （ -x ） +f （ x ） 2 =g （ x ）， h （ -x ） = f （ -x ） -f （ x ） 2 =-h （ x ）， ∴g （ x ）是偶函数， h （ x ）是奇函数 . （ 2 ） g （ x ） +h （ x ） = f （ x ） +f （ -x ） 2 + f （ x ） -f （ -x ） 2 =f （ x ） . （ 3 ） 如果一个函数的定义域关于原点对 称， 那么这个函数就一定可以表示为一个奇 函数与一个偶函数的和 . 变式训练 3 已知偶函数 f （ x ）和奇函数 g （ x ）均定义 在 R 上， 且满足 f （ x ） +g （ x ） =3x 2 - ４x x 2 +9 +5 ， 则 f （ -1 ） +g （ 3 ） = . 要点 3 一般的中心对称函数和轴对称 函数 例 4 设函数 f （ x ） = 1-x 1+x ， 则下列函数中 为奇函数的是 （ ） A. f （ x-1 ） -1 B. f （ x-1 ） +1 C. f （ x+1 ） -1 D. f （ x+1 ） +1 解析： 由题意可得 f （ x ） = 1-x 1+x =-1+ 2 1+x ， 对于 A ， f （ x-1 ） -1= 2 x -2 不是奇函数； 对于 B ， f （ x-1 ） +1= 2 x 是奇函数； 对于 C ， f （ x+1 ） -1= 2 x+2 -2 ， 定义域不关 77 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 于原点对称， 不是奇函数； 对于 D ， f （ x+1 ） +1= 2 x+2 ， 定义域不关于 原点对称， 不是奇函数 . 故选 B. 分析 （ 1 ） 函数 f （ x ）关于 x=a 对称等 价于 f （ a+x ） =f （ a-x ） ［或 f （ 2a+x ） =f （ -x ）或 f （ 2a-x ） =f （ x ）， 其实都是一个意思］， 特殊 地， 当 a=0 时， f （ x ）为偶函数 . 函数 f （ x ）与函数 f （ x+a ）有如下关系： （ 2 ） 函数 f （ x ）关于 （ a ， b ）对称等价 于 f （ a+x ） +f （ a-x ） =2b ［或 f （ 2a+x ） +f （ -x ） =2b 或 f （ 2a-x ） +f （ x ） =2b ， 其实都是一个意思］， 特殊地， 当 a=b=0 时， f （ x ）为奇函数 . 函数 f （ x ）与函数 f （ x+a ）有如下关系： 反思感悟 在给出的函数关系式中， 当自变量的 和为定值时 ， 可以考虑函数是否具有对 称性 . 变式训练 4 * 已知函数 f （ x ）满足对任意的 x∈R 都有 f 1 2 + + # x +f 1 2 - + $ x =2 成立， 则 f 1 8 % $ +f 2 8 + $ + … +f 7 8 + $ = . 数 学 文 化 例 德国著名数学家狄利克雷 （ Dirichlet ， 1805 — 1859 ） 在数学领域成就显著 . 19 世 纪， 狄利克雷定义了一个 “奇怪的函数”： y=f （ x ） = 1 ， x∈Q ， 0 ， x∈ R Q & ， 其中 R 为实数集， Q 为有理数集 . 则关于函数 f （ x ）有如下四个命 题 ： ① f （ f （ x ）） =0 ； ② 函数 f （ x ）是偶函数 ； ③ 任取一个不为零的有理数 T ， f （ x+T ） =f （ x ） 对任意的 x∈R 恒成立； ④ 存在三个点 A （ x 1 ， f （ x 1 ））， B （ x 2 ， f （ x 2 ））， C （ x 3 ， f （ x 3 ））， 使得 △ABC 为等边三角形 . 其中真命题的个数 是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 当 x 为有理数时， f （ x ） =1 ； 当 x 为无理数时， f （ x ） =0. ∴ 当 x 为有理数时， f （ f （ x ）） =f （ 1 ） =1 ； 当 x 为无理数时， f （ f （ x ）） = f （ 0 ） =1 ， ∴ 无论 x 是有理数还是无理数， 均 有 f （ f （ x ）） =1 ， 故 ① 不正确 . ∵ 有理数的相反 数还是有理数， 无理数的相反数还是无理 数， ∴ 对任意 x∈R ， 都有 f （ -x ） =-f （ x ）， 故 ② 正确 . 当 T∈Q 时， 若 x 是有理数， 则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数， 则 x+T 也是无 理数， ∴ 根据函数的表达式， 任取一个不为 零的有理数 T ， f （ x+T ） =f （ x ）对 x∈R 恒成立， 故 ③ 正确 . 取 x 1 = 3 姨 3 ， x 2 =0 ， x 3 =- 3 姨 3 ， f （ x 1 ） =0 ， f （ x 2 ） =1 ， f （ x 3 ） =0 ， ∴A 3 姨 3 ， % #0 ， B （ 0 ， 1 ）， C - 3 姨 3 ， % #0 ， △ABC 恰好为等 边三角形， 故 ④ 正确 . 故选 C. f （ a+x ）是奇函数 f （ a+x ）关于（ 0 ， 0 ）对称 -f （ a+x ） =f （ a-x ） f （ x ）关于（ a ， 0 ）对称 a>0 ， 左移动 a 个单位长度 a<0 ， 左移动 |a| 个单位长度 f （ a+x ）是偶函数 f （ a+x ）关于 x=0 对称 f （ a+x ） =f （ a-x ） f （ x ）关于 x=a 对称 a>0 ， 左移动 a 个单位长度 a<0 ， 左移动 |a| 个单位长度 78 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则 -a 2 -2a+1=- 1 4 ， 得 a= 1 2 或 a=- 5 2 （舍去）； ③ 当 a+1≥2 ， 即 a≥1 时， g （ x ） min =g （ 2 ） =2-4a ， 则 2-4a=- 1 4 ， 得 a= 9 16 ， 此时不成立 . 综上可得， a= 1 2 . 提升练习 11. A 【解析】 对 坌x 1 ， x 2 ∈R ， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， ∵x>0 时， f （ x ） <0 ， ∴ f （ x 2 -x 1 ） <0. 又 ∵f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝f （ x 2 -x 1 ） <0 ， ∴ f （ x 2 ） <f （ x 1 ） . ∴f （ x ）是 R 上的单调递减函数 . ∴ f （ x ）在 ［ -3 ， 3 ］上的最小值为 f （ 3 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 2 ） ＝ 3f （ 1 ） ＝3× - 2 3 3 % ＝-2. 故选 A. 12. BCD 【解析】 当 x>1 时， f （ x ） =x+ 4 x +a≥4+a ， 当且仅当 x=2 时， 等号成立； 当 x≤1 时， f （ x ） =x 2 -2ax+9 为二次函数， 要想在 x=1 处取得最小值， 则对称轴要满足 x=a≥1 ， 且 f （ 1 ） ≤4+a ， 即 1-2a+9≤a+4 ， 解得 a≥2. 故选 BCD. 13. ［ 6 ， +∞ ） 【解析 】 原函数可化为 f （ x ） =|x-3|+ |x+3|= -2x ， x≤-3 ， 6 ， -3<x≤3 ， 2x ， x>3 3 ) ) ) ( ) ) ) * ， 函数单调减区间为 （ -∞ ， -3 ］， 单 调增区间为 ［ 3 ， +∞ ）， 值域为 ［ 6 ， +∞ ） . 14. ［ -5 ， 4 ］ 【解析】 作出函数 y=x+4 ， y=x 2 -2x 的 图象如图所示： 根据题意， 当 a≤1 时， a+4≥1-2 ， 解得 a≥-5 ； 当 a>1 时， a+4≥a 2 -2a ， 解得 -1≤a≤4. 综上所述， 实数 a 的取值范围是［ -5 ， 4 ］ . * 15. 解： （ 1 ） 不正确 . 没有考虑到 u 还可以小于 0. 正确解答如下： 令 u＝3＋2x-x 2 ， 则 u＝- （ x-1 ） 2 ＋4≤4. 当 0＜u≤4 时， 1 u ≥ 1 4 ， 即 f （ x ） ≥ 1 4 ； 当 u＜0 时， 1 u ＜0 ， 即 f （ x ） ＜0. ∴ f （ x ） ＜0 或 f （ x ） ≥ 1 4 . 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . （ 2 ） ∵x 2 ＋x＋2＝ x+ 1 2 3 % 2 ＋ 7 4 ≥ 7 4 ， ∴0 ＜y≤ 4 7 ， ∴ 函 数 y ＝ 1 x 2 +x+2 的 最 大 值 为 4 7 当 x＝- 1 2 3 % 时 ， 没有最小值 . （ 3 ） 对于函数 f （ x ） ＝ 1 ax 2 ＋bx＋c （ a＞0 ） . 令 u＝ax 2 ＋bx＋c ， ① 当 Δ＞0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＜0 ； 当 4ac- b 2 4a ≤ u＜ 0 时 ， 1 u ≤ 4a 4ac- b 2 ， 即 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ； 当 u＞0 时 ， 即 f （ x ） ＞0. ∴ f （ x ） ＞0 或 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . ② 当 Δ＝0 时 ， u 有最小值 ， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＝0 ， 结合 f （ x ） ＝ 1 u ， 知 u≠0 ， ∴u＞0 ， 此时 1 u ＞0 ， 即 f （ x ） ＞0 ， f （ x ）既 无最大值， 也无最小值 . ③ 当 Δ＜0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＞0 ， 即 u≥ 4ac-b 2 4a ＞0. ∴0＜ 1 u ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 0＜f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， ∴ 当 x＝- b 2a 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 没有最小值 . 综上， 当 Δ≥0 时， f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . 当 Δ＜0 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 此时 x＝- b 2a ， 没 有最小值 . 3.1.3 函数的奇偶性 第 1 课时 函数奇偶性的概念 学习手册 变式训练 1 ACD 【 解 析 】 ∵f （ -x ） = - 1 x +1 - - 1 x -1 = - 1 x +1 - 1 x -1 3 % ＝-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数， 故 A 正 确； 由 1-x 2 ≥0 ， ｜x+2｜-2≠0 得， -1≤x≤1 且 x≠0 ， 定义 域关于原点对称 ， ∴g （ x ） = 1-x 2 姨 ｜x+2｜-2 = 1-x 2 姨 x+2-2 = 1-x 2 姨 x ， 满足 g （ -x ） =-g （ x ）， 故 g （ x ）是奇函数， 故 B 错误； ∵F （ -x ） =f （ -x ） f （ x ） =F （ x ）， 故 C 正确； 解得定义域为 {-2 ， 2} ， 且 h （ x ） =0 ， ∴ 既是奇函数， 又是偶函数， 故 D 正确 . 故 选 ACD. x y O -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 第 14 题答图 54 参 考 答 案 变式训练 2 C 【解析】 由 f （ x ）是 R 上的偶函数， g （ x ）是 R 上的 奇函数， ∴ f （ -x ） =f （ x ）， g （ -x ） =-g （ x ）， ∴ f （ -x ）· g （ -x ） = -f （ x ） g （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）· g （ x ）为奇函数， 其图象关于原点 对称， A ， B 错误； 由图象可得当 x>0 时， f （ x ） >0 ， g （ x ） >0 ， ∴ f （ x ）· g （ x ） >0 ， D 错误 . 故选 C. 变式训练 3 0 或 1 【解析 】 f （ x ） = （ x+a ） （ x-a 2 ） =x 2 + （ a-a 2 ） x-a 3 ， ∵ 函数 f （ x ）为偶函数， 故二次函数对称轴 - a-a 2 2 =0 ， 解 得 a=0 或 a=1. 变式训练 4 f （ x ） =x 2 +x 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0. ∴ f （ -x ） = （ -x ） 2 - （ -x ）， 即 f （ -x ） =x 2 +x. ∵f （ x ）是偶函数 ， ∴x<0 时 ， f （ x ） = f （ -x ） =x 2 +x. 随堂练习 1. A 【解析】 ∵f （ x ） =x- 1 x 的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 又 ∵f （ -x ） = （ -x ） - 1 -x =- x- 1 x # =-f （ x ）， ∴ f （ x ） =x- 1 x 为奇函数 ， 故 A 正确 ； f （ x ） =x 2 +1 定义域为 R ， ∵f （ 1 ） =1 2 +1 =2 ， f （ -1 ） = （ -1 ） 2 +1 =2 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ） ， ∴ f （ x ） =x 2 +1 不是奇函数， 故 B 错误； f （ x ） =x+1 定义域为 R ， ∵f （ 1 ） =1+1=2 ， f （ -1 ） = （ -1 ） +1=0 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ）， ∴ f （ x ） =x+1 不是奇函数 ， 故 C 错误； f （ x ） =x 定义域为 （ -1 ， 1 ］， 不关于原点对称， ∴ f （ x ） =x ， x∈ （ -1 ， 1 ］ 不是 奇函数， 故 D 错误 . 故选 A. 2. B 【解析】 取 f （ x ） =x （ x-1 ）， 则 f （ 0 ） =0 ， 但 f （ 1 ） = 0 ， f （ -1 ） =2 ， ∴ f （ -1 ） ≠-f （ 1 ）， ∴ 函数 f （ x ）不是奇函数； 故 “ f （ 0 ） =0 ” 推不出 “函数 f （ x ）为奇函数”， 若函数 f （ x ） 为奇函数， 则 f （ 0 ） =-f （ -0 ）， 即 f （ 0 ） =0 ， 故 “函数 f （ x ）为 奇函数” 能推出 “ f （ 0 ） =0 ” . 故选 B. 3. B 【解析 】 函数的定义域为 {x ｜x≠0} ， 当 x>0 ， f （ x ） =1 ， 则 -x<0 ， ∴ f （ -x ） =-1=-f （ x ）， 当 x<0 ， f （ x ） =-1 ， 则 -x>0 ， ∴ f （ -x ） =1=-f （ x ）， 综上， 对于 坌x∈{x｜x≠0} ， 都有 f （ -x ） =-f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数， 故选 B. 4. D 【解析 】 由于 f （ x ）是偶函数 ， ∴b=0 ， 且 a-9= -2a圯a=3圯a+b=3. 故选 D. 5. BC 【解析 】 ∵y= 1 x 3 的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 且 1 （ -x ） 3 =- 1 x 3 ， ∴y= 1 x 3 是奇函数， 故 A 错误； y= -x 2 +8 的定义域为 R ， 且 - （ -x ） 2 +8=-x 2 +8 ， ∴y=-x 2 +8 是偶 函数 ， 故 B 正确 ； y=-｜x ｜ 的定义域为 R ， 且 -｜-x ｜=-｜x ｜ ， ∴y=-｜x｜ 是偶函数， 故 C 正确； y=-x 的定义域为 R ， 且 - （ -x ） =x ， ∴y=-x 是奇函数， 故 D 错误 . 故选 BC. 6. B 【解析】 依题意得 F （ x ）的定义域为 R ， 且 F （ -x ） = ［（ -x ） 3 -2 （ -x ）］ f （ -x ） = （ -x 3 +2x ） ［ -f （ x ）］ = （ x 3 -2x ） f （ x ） = F （ x ）， ∴F （ x ）为偶函数 . 故选 B. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 选项 A 中的图象关于 x=-1 对称， 故 排除； 选项 C ， D 中的图象所示的函数的定义域不关于 原点对称， 不具有奇偶性， 故排除； 选项 B 中的图象关 于 y 轴对称， 其表示的函数是偶函数 . 故选 B. 2. C 【解析】 ∵f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数， ∴|f （ x ） | 为偶函数， |g （ x ） | 为偶函数 . 再根据两个奇函数的积是偶 函数， 两个偶函数的积还是偶函数， 一个奇函数与一个 偶函数的积是奇函数， 可得 f （ x ） |g （ x ） | 为奇函数 . 故选 C. 3. A 【解析】 ∵f （ x ）为偶函数， ∴ f （ -x ） ＝f （ x ）， 即 ax 2 ＋bx＋1＝ax 2 -bx＋1 ， ∴b＝0. 又 ∵f （ x ）的定义域为 3a-2 ， 2a+ 1 3 ) ， ∴3a-2＋2a＋ 1 3 ＝0 ， ∴a＝ 1 3 . 故 5a＋3b＝ 5 3 . 故选 A. 4. C 【解析】 ∵f （ x ） -g （ x ） ＝x 3 ＋x 2 ＋1 ， ∴ f （ -1 ） -g （ -1 ） ＝ -1＋1＋1=1 ， 又由题意可知 f （ -1 ） ＝f （ 1 ）， g （ -1 ） ＝-g （ 1 ）， ∴ f （ 1 ） ＋g （ 1 ） ＝1. 故选 C. 5. D 【解析】 对任意 x∈R ， 都有 f （ x ） =0 成立， 可得 f （ x ）为偶函数且 f （ x ）为奇函数， 而当 f （ x ）为偶函数时 ， 不一定有对任意 x∈R ， f （ x ） =0 ， ∴A 错误 ； 当函数 y= f （ x ）的图象关于原点成中心对称， 可知 f （ -x ） =-f （ x ）， 函 数 f （ x ）为奇函数， ∴B 错误； 由偶函数的定义可知， 对 于任意 x∈R ， 都有 f （ -x ） =f （ x ）， 即 f （ -x ） -f （ x ） =0 ， ∴ 当 f （ x ）为偶函数时， 任意 x∈R ， f （ -x ） -f （ x ） =0 ， 反之， 当 任意 x∈R ， f （ -x ） -f （ x ） =0 ， 则 f （ x ）为偶函数， ∴C 错误， D 正确 . 故选 D. 6. B 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0 ， f （ -x ） =x+1 ， ∴ f （ x ） = -f （ -x ） =-x-1. 故选 B. 7. BD 【解析 】 函数 y=x ｜x ｜ 是奇函数 ， 但在 （ -∞ ， +∞ ） 上单调递增， 故排除 A ； 函数 y=-2x 是 R 上的奇 函数也是减函数， 故 B 正确； 函数 y= 1 x 在定义域上是 奇函数， 但在 （ -∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 在 定义域上不具有单调性， 故排除 C ； 函数 y=-x 3 是 R 上 的奇函数也是减函数， 故 D 正确 . 故选 BD. 8. f （ x ） = x 3 +x+1 （ x>0 ）， 0 （ x=0 ）， x 3 +x-1 （ x<0 0 , , , + , , , - ） 【解析】 设 x<0 ， 则 -x>0 ， ∴ f （ -x ） = （ -x ） 3 + （ -x ） +1=-x 3 -x+1. ∵f （ x ）是奇函数， ∴f （ -x ） =-f （ x ） . ∴-x 3 -x+1=-f （ x ）， 即 f （ x ） =x 3 +x-1. ∴x<0 时， f （ x ） =x 3 +x-1. 又 ∵f （ x ）是奇函数， ∴ f （ 0 ） =0 ， ∴ f （ x ） = x 3 +x+1 （ x>0 ）， 0 （ x=0 ）， x 3 +x-1 （ x<0 ） 0 , , , + , , , - . 9. 0 【解析】 由于 f （ x ）是奇函数， 图象关于原点对 55 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 称， ∴ 最高点和最低点也关于原点对称， ∴M+m=0. 10. 解： （ 1 ） 当 x>2 时， 设 f （ x ） ＝a （ x-3 ） 2 ＋4. ∵f （ x ）的图象过点 A （ 2 ， 2 ）， ∴a （ 2-3 ） 2 ＋4＝2 ， ∴a＝-2 ， ∴ f （ x ） ＝-2 （ x-3 ） 2 ＋4. 设 x∈ （ -∞ ， -2 ）， 则 -x>2 ， ∴ f （ -x ） ＝-2 （ -x-3 ） 2 ＋4. 又 ∵f （ x ）在 R 上为偶函数， ∴ f （ -x ） ＝f （ x ）， ∴ f （ x ） ＝-2 （ -x-3 ） 2 ＋4 ， 即 f （ x ） ＝-2 （ x＋3 ） 2 ＋4 ， x∈ （ -∞ ， -2 ） . （ 2 ） 函数图象如图所示 . （ 3 ） 由图象观察知 f （ x ）的值域为 {y|y≤4}. 单调递 增区间为 （ -∞ ， -3 ］ 和 ［ 0 ， 3 ］； 单调递减区间为 ［ -3 ， 0 ］ 和 ［ 3 ， ＋∞ ） . 提升练习 11. B 【解析】 A 和 C 的定义域不关于原点对称， 不 正确 ； B 的定义域为 ［ -2 ， 0 ） ∪ （ 0 ， 2 ］， 函数可化为 f （ x ） = 4-x 2 姨 -x ， f （ -x ） = 4-x 2 姨 x ， ∴ f （ x ） =-f （ -x ）， f （ x ）为 奇函数， 正确； D 为偶函数 . 故选 B. 12. AB 【解析】 ∵y=f （ x ） （ x∈R ） 是奇函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ） . 又 ∵x∈R ， ∴ 令 x=0 ， 则 f （ -0 ） =-f （ 0 ）， 得 f （ 0 ） = 0 ， ∴ 点 （ 0 ， 0 ）， （ -a ， -f （ a ）） 一定在 y=f （ x ）的图象上 . 故选 AB. 13. 7 2 3 2 0 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） ＝ ax 2 +1 bx+c 是奇函数， ∴ f （ -x ） ＝-f （ x ）， 故 a （ -x ） 2 +1 b （ -x ） +c ＝- ax 2 +1 bx+c ， 即 ax 2 +1 -bx+c ＝- ax 2 +1 bx+c ， ∴-bx＋c＝- （ bx＋c ）， 即 c＝-c ， 解得 c＝0. ∴ f （ x ） ＝ ax 2 +1 bx . 而 f （ 1 ） ＝ a×1 2 +1 b×1 = a+1 b ＝3 ， ∴a＋1＝3b. ① 由 f （ 2 ） ＝5 ， 即 a×2 2 +1 b×2 ＝ 4a+1 2b ＝5. ② 解 ①② 组成的方程组， 得 a= 7 2 ， b= 3 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， 故 a= 7 2 ， b= 3 2 ， c=0 2 ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' ( . 14. -2x 2 ＋4 【解析】 f （ x ） ＝ （ x＋a ）（ bx＋2a ） ＝bx 2 ＋ （ 2a＋ab ） x＋ 2a 2 是偶函数， ∵ 图象关于 y 轴对称， 值域为（ -∞ ， 4 ］， ∴2a＋ab＝0 ， b<0 ， 2a 2 ＝4 ， ∴ f （ x ） ＝-2x 2 ＋4. 15. （ 1 ） 解 ： ∵ 对任意 x ， y∈R ， f （ x+y ） +f （ x-y ） = 2f （ x ） f （ y ）， ∴ 令 x=y=0 ， 则 f （ 0 ） +f （ 0 ） =2f （ 0 ）· f （ 0 ） . 又 ∵f （ 0 ） ≠0 ， ∴ f （ 0 ） =1. 令 x=y= 仔 2 ， 则有 f （ 仔 ） +f （ 0 ） =2f 仔 2 2 + f 仔 2 2 + ， ∵f 仔 2 2 + =0 ， ∴ f （ 仔 ） +f （ 0 ） =0. ∴ f （ 仔 ） =-1. （ 2 ） 证明： 令 x=0 ， 则 f （ y ） +f （ -y ） =2f （ 0 ）· f （ y ） =2f （ y ）， ∴ f （ -y ） =f （ y ） . ∴y=f （ x ）是偶函数 . 第 2 课时 函数奇偶性的应用 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵ 奇函数 f （ x ）在 ［ 3 ， 7 ］ 上是增函数且 最小值为 5 ， 而奇函数的图象关于原点对称， ∴ f （ x ）在 区间 ［ -7 ， -3 ］ 上为增函数且最大值为 -5. 故选 C. 变式训练 2 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 【解析 】 ∵f （ x ）是偶函数 ， 且 f （ -1 ） =0 ， ∴ f （ 1 ） =f （ -1 ） =0. 又 ∵f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上是减 函数， ∴ f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数 . ① 当 x>0 时， 由 f （ x ） x <0 得 f （ x ） <0 ， 又由于 f （ x ）在 （ 0 ， +∞ ） 上为减函数， 且 f （ 1 ） =0 ， ∴ f （ x ） <f （ 1 ）， 得 x>1. ② 当 x<0 时 ， 由 f （ x ） x <0 得 f （ x ） >0 ， 又 ∵f （ -1 ） =0 ， f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数， ∴ f （ x ） >f （ -1 ）， ∴-1<x<0. 综上所述， 不等式解集为 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 变式训练 3 22 3 【解析】 ∵f （ x ） +g （ x ） =3x 2 - 4x x 2 +9 +5 ， ① ∴ f （ -x ） +g （ -x ） =3x 2 + 4x x 2 +9 +5. ∵f （ x ）为偶函数， g （ x ）为奇函数， ∴ f （ x ） -g （ x ） =3x 2 + 4x x 2 +9 +5 ， ②. 联立 ①② 解得， f （ x ） =3x 2 +5 ， g （ x ） =- 4x x 2 +9 ， ∴ f （ -1 ） +g （ 3 ） =3 （ -1 ） 2 +5- 4×3 3 2 +9 = 22 3 . 变式训练 4 7 【解析】 设 S=f 1 8 2 + +f 2 8 2 + + … +f 7 8 2 + ， 则 S=f 7 8 2 + +f 6 8 2 + + … +f 1 8 2 + ， ∵f 1 2 +x 2 + +f 1 2 -x 2 + =2 ， ∴2S = f 1 8 2 + +f 7 8 2 +8 - + f 2 8 2 + +f 6 8 2 +8 - + … + f 7 8 2 + +f 1 8 2 +8 - =2×7=14 ， S=f 1 8 2 + +f 2 8 2 + + … +f 7 8 2 + =7. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 x y O 第 10 题答图 56 参 考 答 案 随堂练习 1. B 【解析 】 ∵y=f （ x ） +x 是定义在 R 上的偶函数 ， 且 f （ １ ） ＝３ ； ∴ f （ -１ ） -１＝f （ １ ） +１ ； f （ -１ ） -１＝３+１ ； ∴ f （ -1 ） = 5. 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 偶函数的图象关于 y 轴对称， 因此 它的图象与 x 轴的四个交点关于原点对称， 四个交点横 坐标和为 0. 故选 A. 3. D 【解析】 ∵f （ a ） +f （ -a ） =a 3 -3a-2+ （ -a ） 3 -3× （ -a ） - 2=-4 ， ∴ f （ -a ） =-8. 故选 D. 4. B 【解析】 ∵f （ x ）为奇函数， 且在 （ -∞ ， 0 ） 单调 递减， f （ 2 ） =0 ， ∴ f （ -2 ） =0 ， f （ 0 ） =0 ， 且在 （ 0 ， +∞ ） 上 单调递减， ∴ 由 xf （ x ） ≥0 可得 x>0 ， f （ x ） ≥ ≥ 0 或 x<0 ， f （ x ） ≤ ≥ 0 或 x= 0 ， 即 0<x≤2 或 -2≤x<0 或 x=0 ， 即 -2≤x≤2. 故选 B. 5. A 【解析】 偶函数 f （ x ）在区间 ［ 0 ， +∞ ） 上单调 递增 ， 则 f （ x ）在区间 （ -∞ ， 0 ］ 上单调递减 ， 若满足 f （ 2x-1 ） -f 1 3 3 & <0 ， 则 ｜2x-1 ｜< 1 3 ， 可得 - 1 3 <2x-1< 1 3 ， ∴ 1 3 <x< 2 3 ， 即 x∈ 1 3 ， 2 3 3 & . 故选 A. 6. - -x 姨 -1 【解析】 当 x<0 时， 则 -x>0 ， 可得 f （ -x ） = -x 姨 +1. ∵ 函数 f （ x ）为 R 上的奇函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， 可得当 x<0 时 f （ x ） =-f （ -x ） =- -x 姨 -1. 即当 x<0 时， f （ x）= - -x 姨 -1. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 根据题意有 f （ x ） ＋g （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上有 最大值 6 ， 又 ∵f （ x ）和 g （ x ）都是奇函数， ∴ f （ x ） ＋g （ x ）是奇 函数且 f （ x ） ＋g （ x ）在（ -∞ ， 0 ）上有最小值 -6 ， 则 F （ x ）在 （ -∞ ， 0 ）上有最小值 -6＋2＝-4. 故选 D. 2. C 【解析 】 ∵f （ x ）为奇函数 ， f （ x ） -f （ -x ） x <0 ， 即 f （ x ） x <0 ， ∵f （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上为减函数且 f （ 1 ） ＝0 ， ∴ 当 x>1 时， f （ x ） <0. ∵ 奇函数的图象关于原点对称， ∴ 在（ -∞ ， 0 ）上 f （ x ）为减函数且 f （ -1 ） ＝0 ， 即 x<-1 时， f （ x ） >0. 综上， f （ x ） -f （ -x ） x <0 的解集为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， ＋∞ ） . 故选 C. 3. A 【解析】 设 g （ x ） =f （ x-1 ） +x 2 ， ∵ 函数 y=f （ x-1 ） +x 2 是定义在 R 上的奇函数， f （ -2 ） =1 ， ∴g （ -1 ） =f （ -2 ） +1=1+1=2 ， 即 g （ -1 ） =-g （ 1 ） =2 ， 则 g （ 1 ） =-2 ， ∴g （ １ ） =f （ 0 ） +１＝-2 ， 则 f （ 0 ） =-3. 故选 A. 4. D 【解析】 对任意的 x 1 ≠x 2 ， 有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 恒 成立， 可得 f （ x ）是 R 上的增函数， 又 f （ x ）是 R 上的奇函数， ∴ f （ 2x+1 ） <-f （ 2-x ） =f （ x-2 ）， ∴2x+1<x-2 ， 解得 x<-3 ， ∴ 不等式 f （ 2x+1 ） +f （ 2-x ） <0 的解集为 （ -∞ ， -3 ） . 故 选 D. 5. D 【解析】 ∵f （ x ）是定义在 R 上的偶函数， ∴ f （ -x ） =f （ x ） . ∵f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， ∴ f （ -x 1 ） <f （ x 2 ） . 又 ∵f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上是增函数， 且 -x 1 <0 ， x 2 <0 ， ∴-x 1 <x 2 ， 即 x 1 +x 2 >0. 故选 D. 6. D 【解析】 ∵f （ x ）为偶函数， 在区间 ［ -3 ， -1 ］ 上 是增函数且有最大值 5 ， ∴ f （ -1 ） ＝5. ∵f （ x ）在 ［ 1 ， 3 ］ 上 的单调性与 ［ -3 ， -1 ］ 上相反， ∴ f （ x ）在 ［ 1 ， 3 ］ 上单 调递减， ∴ f （ 1 ）为最大值， ∴ f （ 1 ） ＝f （ -1 ） ＝5. 故选 D. 7. D 【解析】 ∵f （ x+1 ）是偶函数， ∴ 其对称轴为 x= 0 ， ∴ f （ x ）的对称轴为 x=1. 又二次函数 f （ x ） =-x 2 +bx+c 的 开口向下 ， 根据自变量离对称轴的距离可得 f （ -1 ） < f （ 2 ） <f （ 1 ） . 故选 D. 8. C 【解析】 由函数 y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 对 称， 可得 f （ m ） =f （ 4-m ）， 再结合 y=f （ x ）为奇函数， 可得 f （ m ） =f （ 4-m ） =-f （ m-4 ） =3 ， 则 f （ m-4 ） =-3. 故选 C. 9. ACD 【解析】 f （ x ）是 R 上的奇函数， 故 f （ 0 ） =a- 2=0 ， 得 a=2 ， 故 A 正确； f （ 2 ） =4+2=6 ， 故 B 错误； 当 x≥0 时， f （ x ） =x 2 +x 在 ［ 0 ， +∞ ） 上为增函数， 利用奇函 数的对称性可知， f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ］ 上为增函数， 故 f （ x ） 是 R 上的增函数， 故 C 正确； f （ -3 ） =-f （ 3 ） =-9-3=-12 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 10. x x 2 -1 1 x 2 -1 【解析】 ∵f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶 函数， ∴ f （ -x ） =-f （ x ）， g （ -x ） =g （ x ） . 则 f （ x ） +g （ x ） = 1 x-1 ， f （ -x ） +g （ -x ） = 1 -x-1 1 - - - - , - - - - . ， 即 f （ x ） +g （ x ） = 1 x-1 ， -f （ x ） +g （ x ） = 1 -x-1 1 - - - - 1 - - - - . ， 两式相减， 解得 f （ x ） = x x 2 -1 ； 两式相加， 解得 g （ x ） = 1 x 2 -1 . 提升练习 11. ABD 【解析】 ∵f （ x-1 ）是偶函数， 故可得 f （ x-1 ） =f （ -x-1 ） ① ， 又 f （ x-2 ）是偶函数， 故可得 f （ x-2 ） =f （ -x-2 ） ② ， 由 ① 可得， f （ x ） =f （ -x-2 ）； 由 ② 可得， f （ x ） =f （ -x-4 ）； 故可得 f （ -x-2 ） =f （ -x-4 ）， 则 f （ x ） =f （ x+2 ）， 故 D 正确； 又 ∵f （ x-1 ）， f （ x-2 ）均为偶函数， 故可得 f （ x+1 ）， f （ x ）是偶函数， 故 A ， B 正确； 故 f （ x+2 ）也是偶函数， 故 C 错误 . 故选 ABD. 12. 1 3 ， 2 3 3 & 【解析】 由题意得 |2x-1|<｜x｜圯｜2x-1｜ 2 < ｜x｜ 2 圯3x 2 -4x+1<0圯 1 3 <x<1. * 13. 2 【解析】 ∵f （ x ）是定义域为（ -∞ ， +∞ ） 的奇函 数， 且 f （ 1-x ） =f （ 1+x ）， ∴ f （ 1+x ） =-f （ x-1 ）， ∴ f （ 3+x ） =-f （ x+1 ） =f （ x-1 ）， ∴T=4. 因此 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 50 ） =12 ［ f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + 57 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 f （ 4 ）］ +f （ 1 ） +f （ 2 ） . ∵f （ ２ ） =f （ 0 ） ＝0 ， f （ 3 ） =-f （ 1 ） =-2 ， f （ 4 ） =f （ 0 ） =0 ， ∴ f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） +f （ 4 ） =0. 从而 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 50 ） =f （ 1 ） =2. 14. 解： （ 1 ） 令 a＝b＝0 ， 则 f （ 0×0 ） ＝0×f （ 0 ） ＋0×f （ 0 ） ＝ 0 ， ∴ f （ 0 ） ＝0. 令 a＝b＝1 ， 则 f （ 1×1 ） ＝f （ 1 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 1 ）， ∴ f （ 1 ） ＝0. （ 2 ） f （ x ）是奇函数 . 理由如下： ∵f （ 1 ） ＝f ［（ -1 ） 2 ］ ＝-f （ -1 ） -f （ -1 ） ＝0 ， ∴ f （ -1 ） ＝0. 令 a＝-1 ， b＝x ， 则 f （ -x ） ＝f （ -1 · x ） ＝-f （ x ） ＋xf （ -1 ） ＝-f （ x ） . 故 f （ x ）为奇函数 . * 15. 解： （ 1 ） 当 x<0 时， -x>0 ， 又 ∵f （ x ）为奇函数， ∴ f （ x ） =-f （ -x ） =- （ -x 2 +2x ） =x 2 -2x ， ∴ f （ x ） = x 2 -2x ， x<0 ， -x 2 -2x ， x≥0 0 . （ 2 ） ① 当 a≤0 时， 对称轴 x= a 2 ≤0 ， ∴ f （ x ） =-x 2 +ax 在［ 0 ， +∞ ）上单调递减 . 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同， ∴ f （ x ）在（ -∞ ， 0 ）上单调递减 . 又 ∵ 在（ -∞ ， 0 ）上 f （ x ） >0 ， 在（ 0 ， +∞ ）上 f （ x ） <0 ， ∴ 当 a≤0 时， f （ x ）为 R 上的单调递减函数 . 当 a>0 时， f （ x ）在 0 ， a 2 2 & 上递增， 在 a 2 ， + 2 & ∞ 上 递减， 不合题意 . ∴ 函数 f （ x ）为单调函数时， a 的取值范围为 a≤0. ②∵f （ m-1 ） +f （ m 2 +t ） <0 ， ∴ f （ m-1 ） <-f （ m 2 +t ） . ∴ f （ x ）是奇函数， ∴ f （ m-1 ） <f （ -t-m 2 ） . 又 ∵f （ x ）为 R 上的单调递减函数， ∴m-1>-t-m 2 恒成立， ∴t>-m 2 -m+1=- m+ 1 2 2 & 2 + 5 4 恒成立， ∴t> 5 4 . 阶段性练习卷 （三） 1. B 【解析 】 由题意得 -2≤2x+1≤3 ， 解得 - 3 2 ≤ x≤1 ， 由 x+1≠0 ， 解得 x≠-1 ， 故函数的定 义 域 是 - 3 2 ， - & 1 1 ∪ （ -1 ， 1 ］ . 故选 B． 2. D 【解析】 ∵x 2 +1≥1 ， ∴0< 1 x 2 +1 ≤1 ， 故选 D. 3. D 【解析】 函数 f （ x ）对定义域内的任意 x ， 均有 f （f （ x ） -x 3 ） =2 ， 则 f （ x ） -x 3 是定值， 令 f （ x ） -x 3 =t ， 则 f （ t ） = t 3 +t=2 ， 解得 t=1 ， ∴ f （ x ） =x 3 +1 ， ∴ f （ 2 ） =2 3 +1=9. 故选 D． 4. A 【解析】 ∵ 函数 f （ x ）满足 f （ x ） +2f 1 x 2 & =2x+1 ① ， ∴ f 1 x 2 & +2f （ x ） = 2 x +1 ②. 联立 ①② ， 得 f （ x ） +2f 1 x 2 & =2x+1 ， f 1 x 2 & +2f （ x ） = 2 x +1 1 , , , , + , , , , - ， 解得 f （ x ） = 4 3x - 2x 3 + 1 3 ， ∴ f （ 2 ） = 4 6 - 4 3 + 1 3 =- 1 3 . 故选 A. 5. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 2 +bx+c 对于任意实数 t 都 有 f（2+t ） =f （ 2-t ）， 则其图象对称轴为 x=2 ， 且 f （ x ）在 ［ 2 ， +∞ ） 上递增 ， 于是得 f （ 2 ） <f （ 3 ） <f （ 4 ）， 而 f （ 1 ） = f （ 3 ）， ∴ f （ 2 ） <f （ 1 ） <f （ 4 ） . 故选 A. 6. B 【解析 】 当 x≥0 时 ， 若 x-1≥1-x 2 ， 则 x≥ 1 ； 当 x<0 时 ， 若 -x-1≥1-x 2 ， 则 x≤-1 . ∴M （ x ） = ｜x｜-1 ， x≥1 或 x≤-1 ， 1-x 2 ， -1<x<1 0 . 若 M （ x ） <1 ， 则当 -1<x<1 时， 1- x 2 <1圯-x 2 <0圯x≠0 ， 即 -1<x<0 或 0<x<1 ； 当 x≥1 或 x≤-1 时， ｜x｜-1<1 ， 解得 -2<x<2 ， 又 x≥1 或 x≤-1 ， ∴-2< x≤-1 或 1≤x<2. 综上所述， -2<x<0 或 0<x<2. 故选 B. 7. BC 【解析】 作出函数 y= x+6 ， x≤0 ， x 2 -2x+2 ， x> > 0 的图象如 图所示 . 由图象可知， 当 y=6 时， 有两个 x 与 y 对应， 故 A 错误； 对 坌y∈ ［ 2 ， 6 ］， 都有两个不同的 x 与之对应， 故 B 正确； 对 坌y∈ （ 1 ， 2 ）， 都有三个不同的 x 与之对应， 故 C 正确； 由图象可知， 对 坌y∈R ， 最多有三个不同的 x 与之对应， 故 D 错误 . 故选 BC. 8. BC 【解析】 ∵f （ x ） = 3+x 4-x = - （ 4-x ） +7 4-x =-1+ 7 4-x ， 由 于 7 4-x ≠0 ， ∴ f （ x ） ≠-1 ， ｜f （ x ） ｜∈ ［ 0 ， +∞ ）， 不存在正数 M ， 使得 ｜f （ x ） ｜≤M 成立， 不满足题意， 故 A 不符合题意； 令 y=4-x 2 ， y≥0 ， 则 f （ x ） = y 姨 ， ∵y=4-x 2 ， 当 x=0 时， 函数 y=4-x 2 的最大值为 y max =4 ， ∴y∈ ［ 0 ， 4 ］， 即 f （ x ） ∈ ［ 0 ， 2 ］， ｜f （ x ） ｜≤2 ， 故 B 符合题意； 令 y=2x 2 -4x+3 （ y≠ 0 ）， 当 x=- -4 2×2 =1 时， 函数 y=2x 2 -4x+3 （ y≠0 ） 有最小 值 ２×1 2 -4×1+3=1 ， 即 2x 2 -4x+3≥1 ， ∴0< 5 2x 2 -4x+3 ≤ 5 1 = 5 ， ∴｜f （ x ） ｜≤5 ， 故函数 f （ x ） = 5 2x 2 -4x+3 为有界函数； 令 t= 4-x 姨 ， t≥0 ， 则 x=4-t 2 ， 即 f （ x ） =-t 2 +t+4 ， t≥0 ， 当 t= 1 2 时， f （ x ） max =- 1 2 2 & 2 + 1 2 +4= 17 4 ， 无最小值， 即 f （ x ） < 17 4 ， ｜f （ x ） ｜∈ ［ 0 ， +∞ ）， 此时不存在正数 M ， 都有 ｜f （ x ） ｜≤ M 成立， 故该函数不是有界函数 ． 故选 BC. x y O -6 -4 -2 2 4 6 4 2 第 7 题答图 58