3.1.2 函数的单调性-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解函数单调性的概念， 能够准确求 出一次函数、 反比例函数、 二次函数的单调 区间 . 2. 能够利用单调性的定义判断简单函数 的单调性 . 3. 能够判断复合函数的单调性 . 要 点 精 析 要点 1 函数单调性的判定与证明 例 1 证明： 函数 f （ x ） =x+ 4 x 在［ 2 ， +∞ ） 上是增函数， 在（ 0 ， 2 ］上是减函数 . 分析 一般地， 设函数 y=f （ x ）的定义 域为 D ， 且 I哿D ： （ 1 ） 如果对任意 x 1 ， x 2 ∈I ， 当 x 1 ＜x 2 时， 都有 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， 则称 y=f （ x ）在 I 上是 增函数 （也称在 I 上单调递增）， 其充要条 件是函数 y=f （ x ）在区间 ［ x 1 ， x 2 ］ （ x 1 <x 2 时） 或 ［ x 2 ， x 1 ］ （ x 1 >x 2 时） 上的平均变化率 Δy Δx = y 2 -y 1 x 2 -x 1 = f （ x 2 ） -f （ x 1 ） x 2 -x 1 >0 在 I 上恒成立； （ 2 ） 如果对任意 x 1 ， x 2 ∈I ， 当 x 1 ＜x 2 时， 都有 f （ x 1 ） ＞f （ x 2 ）， 则称 y=f （ x ）在 I 上是 减函数 （也称在 I 上单调递减）， 其充要条 件是函数 y=f （ x ）在区间 ［ x 1 ， x 2 ］ （ x 1 <x 2 时） 或 ［ x 2 ， x 1 ］ （ x 1 >x 2 时） 上的平均变化率 Δy Δx = y 2 -y 1 x 2 -x 1 = f （ x 2 ） -f （ x 1 ） x 2 -x 1 <0 在 I 上恒成立 . 两种情况下， 都称函数在 I 上具有单 调性 （当 I 为区间时， 称 I 为函数的单调区 间， 也可分别称为单调递增区间或单调递 减区间） . 证明： 坌x 1 ， x 2 ∈ ［ 2 ， +∞ ）， 且 x 1 ＜x 2 ， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） =x 1 + 4 x 1 -x 2 - 4 x 2 = （ x 1 -x 2 ） + 4 （ x 2 -x 1 ） x 1 x 2 = （ x 1 -x 2 ）（ x 1 x 2 -4 ） x 1 x 2 . ∵2≤x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0 ， x 1 x 2 ＞4 ， x 1 x 2 -4＞0 ， ∴f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ＜0 ， 即 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， ∴ 函数 f （ x ） =x+ 4 x 在 ［ 2 ， +∞ ）上是增 函数 . 坌x 1 ， x 2 ∈ （ 0 ， 2 ］， 且 x 1 ＜x 2 ， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） = （ x 1 -x 2 ）（ x 1 x 2 -4 ） x 1 x 2 . ∵0＜x 1 ＜x 2 ≤2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0 ， 0＜x 1 x 2 ＜4 ， x 1 x 2 -4＜0 ， ∴f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ＞0 ， 即 f （ x 1 ） ＞f （ x 2 ） . ∴ 函数 f （ x ） =x+ 4 x 在（ 0 ， 2 ］上是减函数 . 反思感悟 判断函数单调性的一般步骤： （ 1 ） 在定义域内任取两个变量 x 1 <x 2 ， 则 Δx=x 2 -x 1 >0 ； （ 2 ） 通过因式分解、 配方、 根式有理 化等方法， 比较 Δy=f （ x 2 ） -f （ x 1 ）与 0 的大小 3.1.2 函数的单调性 第 1课时 函数的单调性及函数的平均变化率 64 第三章 函 数 学 关系； （ 3 ） 根据 Δx 和 Δy “同号” 还是 “异 号” 判断函数的单调性 . 变式训练 1 已知函数 f （ x ） = ax x 2 +1 （ a≠0 ） ． 判断函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上的单调性， 并用单调性的 定义加以证明 . 要点 2 一次函数、 反比例函数、 二次 函数的单调性 思考 一次函数、 反比例函数、 二次 函数的单调性与哪些因素有关？ 例 2 （ 1 ） 已知函数 y=ax 和 y=- b x 在 （ 0 ， +∞ ） 上都是减函数， 则函数 f （ x ） =bx+a 在 R 上是 （ ） A. 减函数且 f （ 0 ） <0 B. 增函数且 f （ 0 ） <0 C. 减函数且 f （ 0 ） >0 D. 增函数且 f （ 0 ） >0 （ 2 ） 作出函数 f （ x ） = -x-3 ， x≤1 ， （ x-2 ） 2 +3 ， x> > 1 的图 象， 并指出函数的单调区间 . （ 3 ） 已知函数 f （ x ） =-x 2 -2 （ a+1 ） x+3. ① 若函数 f （ x ）在区间（ -∞ ， 3 ］上是增函 数， 则实数 a 的取值范围是 ； ② 若函数 f （ x ）的单调递增区间是（ -∞ ， 3 ］， 则实数 a 的值为 . 分析 以下结论可以直接使用 . （ 1 ） k>0 时， f （ x ） =kx+b 在 R 上为增函 数； k<0 时， f （ x ） =kx+b 在 R 上为减函数 . （ 2 ） k>0 时 ， f （ x ） = k x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上为减函数； k<0 时， f （ x ） = k x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上为增函数 . （ 3 ） a>0 时， f （ x ） =ax 2 +bx+c 在 -∞ ， - b 2a a% 上为减函数， 在 - b 2a ， + + ∞ ∞ 上为增函数 ； a<0 时， f （ x ） =ax 2 +bx+c 在 -∞ ， - b 2a a% 上为 增函数， 在 - b 2a ， + + ∞ ∞ 上为减函数 . 解析： （ 1 ） ∵y=ax 和 y=- b x 在（ 0 ， +∞ ） 上都是减函数， ∴a<0 ， b<0 ， ∴f （ x ） =bx+a 为减函数且 f （ 0 ） =a<0. 故选 A. （ 2 ） f （ x ） = -x-3 ， x≤1 ， （ x-2 ） 2 +3 ， x> > 1 的图象如图 3- 1-6 所示， x y O -3 1 2 -2 -1 4 -3 图 3-1-6 65 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 由图象可知， 函数的单调递减区间为 （ -∞ ， 1 ］和（ 1 ， 2 ］， 单调递增区间为［ 2 ， +∞ ） . （ 3 ） f （ x ） =-x 2 -2 （ a+1 ） x+3=- （ x+a+1 ） 2 + （ a+1 ） 2 +3. 因此函数的单调递增区间为（ -∞ ， -a-1 ］ . ① 由 f （ x ）在（ -∞ ， 3 ］上是增函数知 3≤ -a-1 ， 即 a≤-4. ② 由题意得 -a-1=3 ， a=-4. 注意 “函数的增区间为 A ” 和 “函 数在 A 上为增函数” 不是同一个意思， 前 者说的是完整的增区间， 后者的 A 可能是 增区间的子集 . 变式训练 2 下列函数中， 在区间 （ 1 ， +∞ ） 上为增 函数的是 （ ） A． y=-3x+1 B． y= 2 x C． y=x 2 -4x+5 D． y=|x-1|+2 要点 3 抽象函数的单调性 例 3 （ 1 ） 已知函数 y=f （ x ）是 （ -∞ ， +∞ ）上的增函数， 且 f （ 2x-3 ） >f （ 5x-6 ）， 则实 数 x 的取值范围为 . （ 2 ） 函数 f （ x ）对任意的 a ， b∈R ， 都有 f （ a+b ） =f （ a ） +f （ b ） -1 ， 且当 x>0 时， f （ x ） >1. ① 求证： f （ x ）是 R 上的增函数； ② 若 f （ 4 ） =5 ， 解不等式 f （ 3m 2 -m-2 ） <3. 分析 对于没有解析式、 没有图象的 这类抽象函数的单调性问题， 一定要牢牢 把握单调性的定义 . 解析： （ 1 ） ∵ 函数 y=f （ x ）在（ -∞ ， +∞ ） 上是增函数， 且 f （ 2x-3 ） >f （ 5x-6 ）， ∴2x-3>5x-6 ， 解得 x<1 ， 即实数 x 的取值范围为（ -∞ ， 1 ） . （ 2 ） ① 任取 x 1 ∈R ， x 2 ∈R ， x 1 <x 2 ， 则 Δx=x 2 -x 1 >0 ， Δy=f （ x 2 ） -f （ x 1 ）， 由已知得 f （ x 2 ） =f （ x 2 -x 1 +x 1 ） =f （ x 2 -x 1 ） + f （ x 1 ） -1 ， ∴Δy=f （ x 2 ） -f （ x 1 ） =f （ x 2 -x 1 ） -1. ∵x 1 <x 2 ， ∴x 2 -x 1 >0. ∴ f （ x 2 -x 1 ） >1. ∴ f （ x 2 -x 1 ） -1>0. ∴Δy>0. ∴ f （ x ）是 R 上的增函数 . ② 令 a=b=2 ， 则 f （ 4 ） =f （ 2 ） +f （ 2 ） -1=5 ， ∴f （ 2 ） =3. ∴ 原不等式可化为 f （ 3m 2 -m-2 ） <f （ 2 ） . 由 （ 1 ） 得 3m 2 -m-2<2 ， ∴3m 2 -m-4<0. ∴ （ 3m-4 ）（ m+1 ） <0. ∴-1<m< 4 3 . ∴ 原不等式的解集为 -1 ， 4 3 3 $ . 反思感悟 利用抽象函数的单调性解不等式， 一 定要注意函数的定义域以及自变量是否在 同一个单调区间 . 变式训练 3 已知函数 y=f （ x ）是定义在 ［ -4 ， 4 ］ 上 的减函数， 且 f （ a+1 ） >f （ 2a ）， 则实数 a 的取 值范围是 （ ） A． ［ -4 ， 1 ） B． （ 1 ， 4 ］ C． （ １ ， 2 ］ D． ［ -5 ， 2 ］ 要点 4 复合函数的单调性 * 例 4 设 f （ x ） =x 2 +1 ， g （ x ） =f （ f （ x ））， F （ x ） =g （ x ） -λf （ x ） . 是否存在实数 λ ， 使 F （ x ）在区 66 第三章 函 数 学 间 -∞ ， - 2 姨 2 2 # 上 是 减 函 数 且 在 区 间 - 2 姨 2 ， 2 ，0 上是增函数？ 分析 对于定义在区间 A 上的函数 f （ g （ x ））， g （ x ）的取值范围为 B. 若 g （ x ）在 A 上为增函数， f （ x ）在 B 上 为增函数， 则 f （ g （ x ）） 在 A 上为增函数； 若 g （ x ）在 A 上为增函数， f （ x ）在 B 上 为减函数， 则 f （ g （ x ）） 在 A 上为减函数； 若 g （ x ）在 A 上为减函数， f （ x ）在 B 上 为增函数， 则 f （ g （ x ）） 在 A 上为减函数； 若 g （ x ）在 A 上为减函数， f （ x ）在 B 上 为减函数， 则 f （ g （ x ）） 在 A 上为增函数 . 解： 假设存在满足要求的实数 λ ， 则由 f （ x ） =x 2 +1 ， g （ x ） =f （ f （ x ））， 得 g （ x ） = （ x 2 +1 ） 2 +1 ， ∴F （ x ） =g （ x ） -λf （ x ） =x 4 + （ 2-λ ） x 2 +2-λ. 令 t=x 2 ， 则 t=x 2 在（ -∞ ， 0 ）上递减， 且 当 x∈ -∞ ， - 2 姨 2 2 ， 时 ， t ＞ 1 2 ； 当 x∈ - 2 姨 2 ， 2 ，0 时， 0＜t＜ 1 2 . 故要使 F （ x ）在 -∞ ， - 2 姨 2 2 ， 上递减 ， 在 - 2 姨 2 ， 2 ，0 上递增， 则函数 φ （ t ） =t 2 + （ 2- λ ） t+2-λ 在 1 2 ， + 2 ， ∞ 上递增， 在 0 ， 1 2 2 ， 上 递减， ∴ 函数 φ （ t ） =t 2 + （ 2-λ ） t+2-λ 的图象的 对称轴 t= λ-2 2 为 t= 1 2 ， 即 λ-2 2 = 1 2 ， 则 λ=3. 故存在这样的实数 λ=3 ， 使 F （ x ）在区 间 -∞ ， - 2 姨 2 2 ， 上 是 减 函 数 且 在 区 间 - 2 姨 2 ， 2 ，0 上是增函数 . 变式训练 4 函数 y= 1 x 2 +x+2 的单调递增区间是 . 数 学 文 化 例 （多选题） 一般地， 若函数 f （ x ）的 定义域为［ a ， b ］， 值域为［ ka ， kb ］， 则称 ［ ka ， kb ］为 f （ x ）的 “ k 倍跟随区间”； 若函数 的定义域为［ a ， b ］， 值域也为［ a ， b ］， 则称 ［ a ， b ］为 f （ x ）的 “跟随区间” . 下列结论正 确的有 （ ） A. 若 ［ 1 ， b ］ 为 f （ x ） =x 2 -2x+2 的跟随区 间， 则 b=2 B. 函数 f （ x ） =1+ 1 x 存在跟随区间 C. 若函数 f （ x ） =m- x+1 姨 存在跟随区间， 则 m∈ - 1 4 ， ， 0 2 D. 二次函数 f （ x ） =- 1 2 x 2 +x 不存在 “ 3 倍 跟随区间” 分析 根据 “ k 倍跟随区间” 的定义， 分析函数在区间内的最值与取值范围逐个 判断即可 . 解析： 若 ［ 1 ， b ］ 为 f （ x ） =x 2 -2x+2 的跟 随区间， ∵ f （ x ） =x 2 -2x+2 在区间 ［ １ ， b ］上 为增函数， 故其值域为［ １ ， b 2 -2b+2 ］， 根据 题意有 b 2 -2b+2=b ， 解得 b=1 或 b=2. ∵b>1 ， 故 b=2. 故 A 正确 . ∵ 函数 f （ x ） =1+ 1 x 在区间 （ -∞ ， 0 ）与 67 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 0 ， +∞ ）上均为减函数， 故若 f （ x ） =1+ 1 x 存 在跟随区间 ［ a ， b ］， 则有 a=1+ 1 b ， b=1+ 1 a a # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 a= 1- 5 姨 2 ， b= 1+ 5 姨 2 a # # # # # # # " # # # # # # # $ ， 故存在， B 正确 . 若函数 f （ x ） =m- x+1 姨 存在跟随区间 ［ a ， b ］， ∵ f （ x ） =m- x+1 姨 为减函数， 故由跟 随区间的定义可知 b=m- a+1 姨 ， a=m- b+1 姨 a # # # " # # # $ 圯 a-b= a+1 姨 - b+1 姨 ， a <b ， 即 （ a -b ） （ a+1 姨 + b+1 姨 ） = （ a+1 ） - （ b+1 ） =a-b. ∵a<b ， ∴ a+1 姨 + b+1 姨 =1. 易得 0≤ a+1 姨 < b+1 姨 ≤1. ∴a =m - b+1 姨 =m - （ 1 - a+1 姨 ） . 令 t = a+1 姨 ， 代入化简可得 t 2 -t-m=0 ， 同理 t= b+1 姨 也满足 t 2 -t-m=0 ， 即 t 2 -t-m=0 在区间 ［ 0 ， 1 ］ 上有两个不相等的实数根 . 故 1+4m>0 ， -m≥0 0 ， 解得 m∈ - 1 4 ， ， 0 0 ， 故 C 正确 . 若 f （ x ） =- 1 2 x 2 +x 存在 “ 3 倍跟随区间”， 则可设定义域为［ a ， b ］， 值域为［ 3a ， 3b ］ . 当 a<b≤1 时， 易得 f （ x ） =- 1 2 x 2 +x 在区间上 单调递增， 此时易得 a ， b 为方程 - 1 2 x 2 +x= 3x 的两根， 解得 x=0 或 x=-4. 故存在定义域 ［ -4 ， 0 ］， 使得值域为 ［ -１２ ， 0 ］， 故 D 不正 确 . 故选 ABC. 68 第三章 函 数 学 学 习 目 标 能够利用函数的单调性求简单函数的 最值 . 要 点 精 析 要点 1 利用函数的单调性求最值 例 1 已知函数 f （ x ） =x 2 -ax. （ 1 ） 若函数 f （ x ）在区间［ 1 ， +∞ ）上是增 函数， 求实数 a 的取值范围； （ 2 ） 求函数 f （ x ）在区间 ［ 1 ， 2 ］上的最 小值 . 分析 一次函数、 反比例函数以及二 次函数的单调性可以直接使用， 过程中要 注意分类讨论 . 解： （ 1 ） 函数 f （ x ） =x 2 -ax 的对称轴方程 为 x= a 2 ， ∵ 函数 f （ x ）在区间 ［ 1 ， +∞ ） 上是 增函数， ∴ a 2 ≤1 ， ∴a≤2. （ 2 ） ① 当 a 2 ≤1 ， 即 a≤2 时， 函数 f （ x ） 在区间［ 1 ， 2 ］上是增函数， ∴f （ x ） min =f （ 1 ） = 1-a ； ② 当 a 2 ≥2 ， 即 a≥4 时， 函数 f （ x ）在区 间［ 1 ， 2 ］ 上是减函数， ∴f （ x ） min =f （ 2 ） =4-2a ； ③ 当 1< a 2 <2 ， 即 2<a<4 时， 函数 f （ x ） 在区间 1 ， a 2 2 $ 上是减函数， 在 a 2 ， ， & 2 上 是增函数， ∴f （ x ） min =f a 2 ， & =- a 2 4 . 综上所述， 当 a≤2 时， f （ x ） min =f （ 1 ） =1-a ， 当 a≥4 时， f （ x ） min =f （ 2 ） =4-2a ； 当 2<a<4 时， f （ x ） min =f a 2 ， & =- a 2 4 . 变式训练 1 设函数 f （ x ） ＝－x 2 ＋4x－1 在区间 ［ t ， t＋1 ］ （ t∈R ） 上的最大值为 g （ t ）， 求 g （ t ）的解 析式 . 例 2 已知函数 f （ x ） =x+ 1 2x +2 ， 其中 x∈ ［ 1 ， +∞ ）， 试求它的最小值 . 分析 对于函数 f （ x ） =ax+ b x （ x>0 ， 常 数 a ， b>0 ）， 可以证得， 在 0 ， b a 姨 ， $ 上递 减， 在 b a 姨 ， + ， $ ∞ 上递增， f （ x ） min =f b a 姨 ， $ =2 ab 姨 . 其中自变量范围允许的时候， 最小值 也可以通过均值不等式说明， 即 ax+ b x ≥ 2 ab 姨 ， 当且仅当 ax= b x ， 即 x= b a 姨 时取 等号 . 第 2课时 函数的最大值、 最小值 69 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解： 任取 x 1 ， x 2 ∈ ［ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 ＜x 2 . f （ x 1 ） -f （ x 2 ） = （ x 1 -x 2 ） + 1 2x 1 - 1 2x 2 2 # = （ x 1 -x 2 ） 1- 1 2x 1 x 2 2 2 = （ x 1 -x 2 ） 2x 1 x 2 -1 2x 1 x 2 . ∵1≤x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0 ， x 1 x 2 ＞1 ， ∴2x 1 x 2 -1＞0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ＜0. 即 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， ∴ f （ x ）在区间 ［ 1 ， +∞ ） 上单调递增， ∴ 当 x=1 时， f （ x ）有最小值 7 2 . 变式训练 2 函数 y=3x+ x-1 姨 的值域是 . 要点 2 复合函数求最值 例 3 求下列函数的值域： （ 1 ） y= （ x 2 -2x ） 2 +4 （ x 2 -2x ）； （ 2 ） y= 1 x 2 -2x . 分析 复合函数 f （ g （ x ））求值域， 只需 要换元， 设 g （ x ） =t ， 求出 t 的取值范围， 然 后利用单调性求 f （ t ）的取值范围即可 . 解： （ 1 ） 设 t=x 2 -2x ， 则 y=t 2 +4t. ∵t∈ ［ -1 ， +∞ ）， ∴y∈ ［ -3 ， +∞ ） . （ 2 ） ∵x 2 -2x≠0 ， ∴x≠0 且 x≠2 ， ∴y= 1 x 2 -2x 定义域为 {x|x≠0 且 x≠2} . 设 t=x 2 -2x ， 则 y= 1 t . ∵t∈ ［ -1 ， +∞ ）， ∴y∈ （ -∞ ， -1 ］ ∪ （ 0 ， +∞ ） . 反思感悟 在求复合函数 f （ g （ x ））的最值时， 应先 求出内函数 t=g （ x ）的值域 ， 在此基础上 再求外函数 y=f （ t ）的最值 . 变式训练 3 函数 f （ x ） =x+2 1-x 姨 的最大值为 . 要点 3 分段函数求最值 例 4 设函数 g （ x ） =x 2 -2 （ x∈R ）， f （ x ） = g （ x ） +x+4 ， x<g （ x ）， g （ x ） -x ， x≥g （ x ） ） ， 则 f （ x ）的值域是 （ ） Ａ. - 9 4 ， ， , 0 ∪ （ 1 ， +∞ ） Ｂ. ［ 0 ， +∞ ） Ｃ. 9 4 ， + # ∞ ， Ｄ. - 9 4 ， ， , 0 ∪ （ 2 ， +∞ ） 分析 分段函数求值域， 只需要把每 一段的值域求出来， 然后取并集 . 解析 ： 由 x<g （ x ） =x 2 -2 得 ， x 2 -x-2>0 ， 则 x<-1 或 x>2. 因此 x≥g （ x ） =x 2 -2 的解集为 -1≤x≤2. 于是 f （ x ） = x 2 +x+2 ， x<-1 或 x>2 ， x 2 -x-2 ， -1≤x≤2 ） . 当 x<-1 或 x>2 时， f （ x ） >2. 当 -1≤x≤2 时， x 2 -x-2= x- 1 2 2 2 2 - 9 4 ， 可得 - 9 4 ≤f （ x ） ≤0 ， 因此 f （ x ）的值域是 - 9 4 ， ， , 0 ∪ （ 2 ， +∞ ） . 故选 Ｄ. 70 第三章 函 数 学 变式训练 4 对于实数 a ， b ， 定义符号 min {a ， b} ， 其意义为当 a≥b 时， min {a ， b}=b ； 当 a<b 时， min{a ， b}=a. 例如 min{2 ， －1}=－1 ， 若 关于 x 的函数为 y=min {2x-1 ， -x+5} ， 则该 函数的最大值为 （ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 数 学 文 化 例 高斯是德国著名的数学家， 近代数 学奠基者之一， 用他的名字命名了 “高斯函 数” . 设 x∈R ， 用［ x ］表示不超过 x 的最大整 数， 则 y= ［ x ］称为高斯函数 . 例如： ［ -3.5 ］ =-4 ， ［ 2.1 ］ =2. 已知函数 f （ x ） =x- ［ x ］， 则下列 选项中， 正确的是 （ ） A. f （ x ）的最大值为 1 ， 没有最小值 B. f （ x ）的最小值为 0 ， 没有最大值 C. f （ x ）没有最大值， 没有最小值 D. f （ x ）的最大值为 1 ， 最小值为 0 分析 先分段化简函数， 并画函数图 象， 再结合图象判断最值情况即可 . 解析： 由高斯函数的定义可得： 当 0≤x<1 时， ［ x ］ =0 ， 则 x- ［ x ］ =x ； 当 1≤x<2 时， ［ x ］ =1 ， 则 x- ［ x ］ =x-1 ； 当 2≤x<3 时， ［ x ］ =2 ， 则 x- ［ x ］ =x-2 ； 当 3≤x<4 时， ［ x ］ =3 ， 则 x- ［ x ］ =x-3. 易见该函数具有周期性， 绘制函数图象 如图 3-1-7 所示： 观察可得函数有最小值 0 ， 没有最大值 . 故选 B. x O -3 -2 -1 1 2 3 4 1 y 图 3-1-7 71 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解； 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +2a+2=5 ， 解得 a=-3 或 a=1 （舍 去）， ∴a=-3. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设 y＝ k x ， 由 1＝ k 2 得 k＝2 ， 因此， y 关 于 x 的函数关系式为 y＝ 2 x . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝x 2 ＋bx＋c ， 且 f （ 1 ） ＝0 ， f （ 3 ） ＝0 ， ∴ 1＋b＋c＝0 ， 9＋3b＋c＝0 0 ， 解得 b＝-4 ， c＝3 0 ， 即 f （ x ） ＝x 2 -4x＋3 ， ∴ f （ -1 ） ＝1＋4＋3＝8. 故选 B. 3. A 【解析】 a= ［ -1.01 ］ =-2 ， b= ［ -1 ］ =-1 ， c= ［ 1.5 ］ = 1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 4. D 【解析】 f （ 3 ） ＝ 2 3 ， f （ f （ 3 ）） ＝f 2 3 3 $ ＝ 2 3 3 & 2 ＋1＝ 4 9 ＋1＝ 13 9 . 故选 D. 5. C 【解析】 由表格可得 g （ ３ ） ＝１ ， ∴ f （ g （ ３ ）） =f （ １ ） ＝ ２. 故选 C. 6. BD 【解析 】 令 t=2x-1 ， 则有 x= t+1 2 ， ∴ f （ t ） = 4 t+1 2 3 & 2 = （ t+1 ） 2 . ∴ f （ 3 ） =16 ， f （ -3 ） =4 ， f （ x ） = （ x+1 ） 2 . 故选 BD. 7. AD 【解析】 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +1=10 ， 解得 a= ±3 （舍正 ）； 当 a>0 时， f （ a ） =2a=10 ， 解得 a=5 ， 符合 . 综上， a=-3 或 5. 故选 AD. 8. y=- 3 x +2 【解析】 由题意可设 y-2= k x ， 又 ∵x=3 时， y=1 ， ∴1-2= k 3 ， 即 k=-3 ， 故 y=- 3 x +2. 9. f （ x ） =x 2 -2x 【解析】 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 则 f （ -1 ） =a-b+c=3 ， f （ 3 ） =9a+3b+c=3 ， f （ 1 ） =a+b+c=-1 1 * * * ) * * * + ， 解之得 a=1 ， b=-2 ， c=0 1 * * * ) * * * + ， ∴ f （ x ） =x 2 -2x. 10. 解： （ 1 ） ∵5>4 ， ∴ f （ 5 ） ＝-5＋2＝-3. ∵-3<0 ， ∴ f （ f （ 5 ）） ＝f （ -3 ） ＝-3＋4＝1. ∵0<1<4 ， ∴ f （ f （ f （ 5 ））） ＝f （ 1 ） ＝1 2 -2×1＝-1 ， 即 f （ f （ f （ 5 ））） ＝-1. （ 2 ） 图象如图所示 . f （ x ）的值域为（ -∞ ， 8 ］ . 提升练习 11. C 【解析】 令 t＝ 1-x 1+x ， 解得 x＝ 1-t 1+t ， 代入 f 1-x 1+x 3 & ＝x ， 可得 f （ t ） ＝ 1-t 1+t ， ∴ f （ x ） ＝ 1-x 1+x . 故选 C. 12. x 2 -x＋1 【解析】 ∵f （ x ）是二次函数， 设 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c （ a≠0 ）， 由 f （ 0 ） ＝1 ， 得 c＝1. 由 f （ x＋1 ） -f （ x ） ＝2x ， 得 a （ x＋1 ） 2 ＋b （ x＋1 ） ＋1-ax 2 -bx-1＝ 2x. 整理得 2ax＋ （ a＋b ） ＝2x ， 由系数相等得 2a＝2 ， a＋b＝0 0 ， ∴ a＝1 ， b＝-1 0 . ∴ f （ x ） ＝x 2 -x＋1. 13. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， f （ 1-a ） =2 （ 1-a ） +a=2-a ， f （ 1+a ） =- （ 1+a ） -2a=-3a-1. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴2-a=-3a-1 ， 解得 a=- 3 2 （舍去） . 当 a<0 时， f （ 1-a ） =- （ 1-a ） -2a=-a-1 ， f （ 1+a ） =2 （ 1+ a ） +a=2+3a. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴-a-1=2+3a ， 解得 a=- 3 4 . 综上， a 的值为 - 3 4 . 14. 2 【解析 】 由 f （ x ） ＝x 2 ＋4x＋3 ， f （ ax＋b ） ＝x 2 ＋10x＋ 24 ， 得 （ ax＋b ） 2 ＋4 （ ax＋b ） ＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 即 a 2 x 2 ＋ （ 2ab＋ 4a ） x＋b 2 ＋4b＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 由系数相等得 a 2 ＝1 ， 2ab＋4a＝10 ， b 2 ＋4b＋3＝24 1 * * * ) * * * + ， 解得 a＝-1 ， b＝- 0 7 或 a＝1 ， b＝3 0 ， 则 5a-b＝2. 15. 解 ： ∵x 0 ∈A ， ∴0≤x 0 < 1 2 ， 且 f （ x 0 ） ＝x 0 ＋ 1 2 . 又 ∵ 1 2 ≤x 0 ＋ 1 2 <1 ， ∴x 0 ＋ 1 2 ∈B ， ∴ f （ f （ x 0 ）） ＝2 1-x 0 - 1 2 3 & ＝2 1 2 -x 0 3 & . 又 ∵f （ f （ x 0 ）） ∈A ， ∴0≤2 1 2 -x 0 3 & < 1 2 ， 解得 1 4 ＜x 0 ≤ 1 2 . 又 ∵0≤x 0 ＜ 1 2 ， ∴ 1 4 <x 0 < 1 2 . 3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 函数的单调性及函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 解： 当 a＞0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增， 当 a＜0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递减 . 证明如下： 当 a＞0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， x y O -1 -4 4 -2 （ 4 ， 8 ） 4 第 10 题答图 50 参 考 答 案 ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） >0 ， 即 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增； 当 a＜0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） ＞f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）在（ -1 ， 1 ）上单调递减 . 变式训练 2 D 【解析】 y=-3x+1 为 R 上的减函数， 故 A 错误； y= 2 x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故 B 错误； y=x 2 -4x+5 在 （ -∞ ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， +∞ ） 上单 调递增， 故 C 错误； y=｜x-1｜+2= x+1 ， x≥1 ， 3-x ， x<1 1 ， 则 y=｜x-1｜+ 2 在 （ １ ， +∞ ） 上为增函数， 故 D 正确 . 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 函数 y=f （ x ）是定义在 ［ -4 ， 4 ］ 上的减 函数， 且 f （ a+1 ） >f （ 2a ）， ∴-4≤a+1<2a≤4 ， 解得 1<a≤2. 故选 C. 变式训练 4 -∞ ， - 1 2 2' 【解析 】 函数 y= 1 x 2 +x+2 的定义域是 （ -∞ ， +∞ ）， 设 u=x 2 +x+2 ， 则函数 u=x 2 +x+2 在 -∞ ， - 1 2 22 上是单调递减的， ∵ 函数 y= 1 u 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递 减 ， ∴ 函数 y= 1 x 2 +x+2 在 -∞ ， - 1 2 22 上是单调递增的 ， ∴ 函数 y= 1 x 2 +x+2 的单调递增区间为 -∞ ， - 1 2 22 . 随堂练习 1. A 【解析】 二次函数 y=-x 2 ， 开口向下， 对称轴为 x=0 ， ∴ 单调增区间为 （ -∞ ， 0 ］ . 故选 A. 2. B 【解析】 f （ x ） =x 2 -2x 的图象是对称轴为 x=- -2 2 =1 ， 开口向上的抛物线， ∴ f （ x ） =x 2 -2x 在 （ -∞ ， 1 ） 上 单调递减， 由选项可知 （ -3 ， 0 ） 哿 （ -∞ ， 1 ）， ∴ f （ x ） = x 2 -2x 在 （ -3 ， 0 ） 上单调递减 . 故选 B. 3. A 【解析】 函数 f （ x ）是 R 上的单调递减函数， 则 埚x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 由减函数定义知， 此命题是真命 题， 即命题： “若甲则乙” 是真命题； 反之， 埚x 1 <x 2 ， f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 则函数 f （ x ）是 R 上的单调递减函数， 条件 与减函数定义不符， 即命题： “若乙则甲” 是假命题， ∴ 甲是乙的充分不必要条件 . 故选 A. 4. A 【解析 】 由 f （ a ） -f （ b ） a-b >0 ， 知 f （ a ） -f （ b ）与 a-b 同号， 即当 a<b 时， f （ a ） <f （ b ）， 或当 a>b 时， f （ a ） >f （ b ）， ∴ f （ x ）在 R 上是增函数 . 故选 A. 5. BC 【解析】 对 B ， C ， 函数在 （ 0 ， +∞ ） 先减后 增， 故选 BC. 6. A 【解析】 函数 f （ x ） =x 2 -mx+10 的对称轴为 x= m 2 ， 由于 f （ x ）在 （ -2 ， 1 ） 上是减函数， ∴ m 2 ≥1 ， 即 m≥2. 故选 A. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 根据函数单调性的定义知， 所取两个 自变量必须是同一单调区间内的值时， 才能由该区间上 函数的单调性来比较函数值的大小， 而本题中的 x 1 ， x 2 不在同一单调区间内， 故 f （ x 1 ）与 f （ x 2 ）的大小不能确定 . 故选 D. 2. B 【解析】 y＝3-x ， y＝ 1 x ， y＝-|x＋1| 在 （ 0 ， 2 ）上 都是减函数， 只有 y＝x 2 ＋1 在（ 0 ， 2 ）上是增函数 . 故选 B. 3. D 【解析】 ∵Δy＝f 3 2 +Δ 2 Δ x -f 3 2 2 Δ ＝-3Δx- （ Δx ） 2 ， ∴ Δy Δx ＝ -3Δx- （ Δx ） 2 Δx ＝-3-Δx. 故选 D. 4. D 【解析 】 y=-3x+1 为 R 上的减函数 ， 故 A 错 误； y= 2 x 在 （ -∞ ， 0 ）， （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， 故 B 错 误； y=x 2 -4x+5 在 （ -∞ ， 2 ） 上单调递减， 在 （ 2 ， +∞ ） 上单调递增， 故 C 错误； y=｜x-1｜+2= x+1 ， x≥1 ， 3-x ， x<1 1 ， 则 y= ｜x-1｜+2 在 （ １ ， +∞ ） 上为增函数， 故 D 正确 . 故选 D. 5. AD 【解析】 任取 x 1 ≠x 2 ， 则 m= f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 = 2x 1 -2x 2 x 1 -x 2 = 2>0 ， 故 A 正确 ； 由二次函数的单调性可得 g （ x ）在 -∞ ， a 2 2 Δ 上单调递减 ， 在 a 2 ， + 2 Δ ∞ 上单调递增， 可 取 x 1 =0 ， x 2 =a ， 则 n= g （ x 1 ） -g （ x 2 ） x 1 -x 2 = g （ 0 ） -g （ a ） 0-a = 0-0 0-a =0 ， 故 B 错误； m=2 ， n= g （ x 1 ） -g （ x 2 ） x 1 -x 2 = （ x 2 1 -ax 1 ） - （ x 2 2 -ax 2 ） x 1 -x 2 = （ x 2 1 -x 2 2 ） -a （ x 1 -x 2 ） x 1 -x 2 =x 1 +x 2 -a ， 则 m=n 不恒成立， 故 C 错误； m=2 ， n=x 1 +x 2 - a ， 若 m=n ， 则 x 1 +x 2 -a=2 ， 只需 x 1 +x 2 =a+2 即可， 故 D 正 确 . 故选 AD. 6. AC 【解析 】 结合图象易知 ， 函数 f （ x ）在区间 ［ -６ ， ４ ］， ［ -1 ， 2 ］， ［ 5 ， 8 ］ 上单调递增 . 故选 AC. 7. ［ -1 ， 0 ］ 【解析 】 由 1 -x 2 ≥0 ， 得 -1≤x≤1 ， ∴ 函数 y= 1 2 1-x 2 姨 的定义域为［ -1 ， 1 ］ . 设 u=1-x 2 ， 当 -1≤x≤0 时， u 是 x 的增函数， 而 y 是 u 的增函数， ∴y 是 x 的增函数； 当 0≤x≤1 时， u 是 x 的减函数， 而 y 是 u 的增函数， ∴y 是 x 的减函数 . ∴y= 1 2 1-x 2 姨 的单调 51 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 增区间是 ［ -1 ， 0 ］ . 8. 0≤a≤1 【解析】 当 a=0 时， f （ x ） =x ， 显然 f （ x ）在 ［ 1 ， +∞ ） 内是增函数 ； 当 a≠0 时 ， a>0 ， - - （ 3a-1 ） 2a ≤1 1 % % % $ % % % & ， ∴0<a≤1. 综上所述， 0≤a≤1. 9. 证明： 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 由 f （ x 2 ） - f （ x 1 ） = （ x 2 2 -2x 2 -3 ） - （ x 2 1 -2x 1 -3 ） = （ x 2 2 -x 2 1 ） -2 （ x 2 -x 1 ） = （ x 2 +x 1 ）（ x 2 - x 1 ） -2 （ x 2 -x 1 ） = （ x 2 -x 1 ）（ x 2 +x 1 -2 ）， ∵x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， x 2 +x 1 -2>0 ， ∴ （ x 2 -x 1 ）（ x 2 +x 1 -2 ） >0 ， 即 f （ x 2 ） >f （ x 1 ）， 即 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， ∴ 函数 y=x 2 -2x-3 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递增 . 10. （ 1 ） 解： 由题意知 x＋1≠0 ， 即 x≠-1. ∴ f （ x ）的定义域为（ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， ＋∞ ） . （ 2 ） 证明： 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， ＋∞ ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝ 2x 2 -1 x 2 +1 - 2x 1 -1 x 1 +1 ＝ （ 2x 2 -1 ）（ x 1 ＋1 ） - （ 2x 1 -1 ）（ x 2 ＋1 ） （ x 2 ＋1 ）（ x 1 ＋1 ） ＝ 3 （ x 2 -x 1 ） （ x 2 ＋1 ）（ x 1 ＋1 ） . ∵x 1 <x 2 ， ∴x 2 -x 1 >0. 又 ∵x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， ＋∞ ）， ∴x 2 ＋1>0 ， x 1 ＋1>0. ∴ f （ x 2 ） -f （ x 1 ） >0 ， ∴ f （ x 2 ） >f （ x 1 ） . ∴ 函数 f （ x ） ＝ 2x-1 x+1 在（ -1 ， ＋∞ ）上是增函数 . 提升练习 11. A 【解析】 对于 ① ， 函数单调性的定义中的 x 1 ， x 2 是任意的， 强调的是任意 ， ① 错误； 对于 ② ， y＝x 2 ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函数， 当 x<0 时是减函数， 从而 y＝ x 2 在其整个定义域上不具有单调性， ② 错误； 对于 ③ ， y＝- 1 x 在整个定义域内不是单调递增函数， 如 -3<5 ， 而 f （ -3 ） >f （ 5 ）， ③ 错误； 对于 ④ ， y＝ 1 x 的单调递减区间不是 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 而是 （ -∞ ， 0 ） 和 （ 0 ， +∞ ）， 注 意写法， ④ 错误 . 故选 A. 12. A 【解析】 当 x<0 时， 函数 f （ x ） ＝x 2 -ax＋1 是减 函数 ， 解得 a≥0. 当 x≥0 时， 函数 f （ x ） ＝-x＋3a 是减函 数， 分段点 0 处的值应满足 1≥3a ， 解得 a≤ 1 3 ， ∴0≤ a≤ 1 3 . 故选 A. 13. ABC 【解析】 没有强调 x 1 ， x 2 是区间 I 上的任意 两个数， 故 A 错误； 可以举反例， 比如 f （ x ） =x ， g （ x ） = x+1 ， f （ x ） g （ x ）不是增函数， 故 B 错误； y= 1 x 在整个定 义域内不具有单调性， 故 C 错误； D 正确 . 故选 ABC. 14. ［ -1 ， 0 ］ 【解析】 由题意， 可得 f （ 1-2a ） >f （ 3-a ） . ∵f （ x ）在定义域［ 1 ， 4 ］上单调递减， ∴ 1≤1-2a≤4 ， 1≤3-a≤4 ， 1-2a<3-a a % % % , % % % & ， 解得 -1≤a≤0 ， ∴ 实数 a 的取值范围为［ -1 ， 0 ］ . * 15. 解： 任取 x 1 ， x 2 ∈ （ 1 ， +∞ ）， 且 x 1 <x 2 . ∵ 函数 f （ x ）在（ 1 ， ＋∞ ）上是增函数， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ＝x 1 - a x 1 ＋ a 2 - x 2 - a x 2 + a 2 2 . ＝ （ x 1 -x 2 ） 1+ a x 1 x 2 2 . <0. ∵x 1 -x 2 <0 ， ∴1＋ a x 1 x 2 >0 ， 即 a>-x 1 x 2 . ∵1<x 1 <x 2 ， x 1 x 2 >1 ， ∴-x 1 x 2 <-1 ， ∴a≥-1. ∴a 的取值范围是 ［ -1 ， ＋∞ ） . 第 2 课时 函数的最大值、 最小值 学习手册 变式训练 1 解： f （ x ） ＝-x 2 +4x-1＝- （ x-2 ） 2 +3. 当 t+1≤2 ， 即 t≤1 时， f （ x ）在区间 ［ t ， t+1 ］ 上为增 函数， ∴g （ t ） ＝f （ t+1 ） ＝-t 2 +2t+2 ； 当 t<2<t+1 ， 即 1<t<2 时， g （ t ） ＝f （ 2 ） ＝3 ； 当 t≥2 时 ， f （ x ）在区间 ［ t ， t+1 ］ 上为减函数 ， ∴g （ t ） ＝f （ t ） ＝-t 2 +4t-1. 综上所述， g （ t ） ＝ -t 2 +2t+2 ， t≤1 ， 3 ， 1<t<2 ， -t 2 +4t-1 ， t≥2 a % % % $ % % % & . 变式训练 2 ［ 3 ， +∞ ） 【解析】 由 x-1≥0 得 x≥1 ， 又 ∵y= x-1 姨 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， y=3x 在 ［ 1 ， +∞ ） 上也是增 函数， ∴ f （ x ） =3x+ x-1 姨 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 则 f （ x） min =3 ， ∴ 函数 f （ x ） =3x+ x-1 姨 的值域为 ［ 3 ， +∞ ） . 变式训练 3 2 【解析】 设 t= 1-x 姨 （ t≥0 ）， 则 x=1-t 2 ， ∴ 原函数 可化为 y=-t 2 +2t+1 （ t≥0 ）， 由二次函数性质， 当 t=1 时， 函数取最大值 2. 变式训练 4 B 【解析】 由题可得 y=min{2x-1 ， -x+5}= 2x-1 ， x≤2 ， -x+5 ， x>2 2 ， ∴ 当 x=2 时， y max =3. 故选 B. 随堂练习 1. C 【解析 】 函数 f （ x ） =4x-x 2 =- （ x-2 ） 2 +4 ， 当 x=2 时， 函数 f （ x ）取得最大值 4. 故选 C. 2. D 【解析】 ∵y= 2 x 在 （ 0 ， +∞ ） 上单调递减， ∴y= 2 x-1 在 （ 1 ， +∞ ） 上单调递减， 即 y= 2 x-1 在 ［ 2 ， 6 ］ 上 52 参 考 答 案 单调递减， ∴ f （ x ）的最大值为 f （ 2 ） = 2 2-1 =2. 故选 D. 3. B 【解析】 当 a>0 时， y=ax+1 在区间 ［ 1 ， 3 ］ 上 为增函数， 则当 x=3 时， y 取得最大值， 即 3a+1=4 ， 解 得 a=1 ； 当 a<0 时， y=ax+1 在区间 ［ 1 ， 3 ］ 上为减函数， 则当 x=1 时， y 取得最大值， 即 a+1=4 ， 解得 a=3 舍去， ∴a=1. 故选 B. 4. B 【解析】 ∵ “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≤0 ” 为真 命题， 则 “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 ≤a ” . ∵ 当 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 ∈ ［ 1 ， 4 ］， ∴a≥4. ∵ 选项需要 a≥4 的充分不必要条件， ∴ 选项对应的集合是集合 {a｜ a≥4} 的真子集， 则命题 “对任意 x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≤0 ” 为真命题的一个充分不必要条件可以是 a>4. 故选 B. 5. AC 【解析 】 函数 y=x+1 （ x>-1 ） 的值域为 （ 0 ， +∞ ）， A 正确； 函数 y=x 2 的值域为 ［ 0 ， +∞ ）， B 错误； 函数 y= 1 x （ x>0 ） 的值域为 （ 0 ， +∞ ）， C 正确； 函数 y= 1 x+1 的值域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， D 错误 . 故选 AC. 6. C 【解析】 ∵f （ x ） =x 2 -2x= （ x-1 ） 2 -1 ， ∴ 当 x 0 ∈ ［ -1 ， 2 ］ 时， f （ x 0 ） min =f （ 1 ） =-1 ， f （ x 0 ） max =f （ -1 ） =3 ， 即 f （ x 0 ）值域 为 ［ -１ ， ３ ］ . 又 ∵a>0 ， 则 g （ x ） =ax+2 为增函数， ∴ 当 x 1 ∈ ［ -1 ， 2 ］ 时 ， g （ x 1 ）值域为 ［ -a+2 ， 2a+2 ］ . 要使 坌x 1 ∈ ［ -1 ， 2 ］ ， 埚x 0 ∈ ［ -1 ， 2 ］ ， 使得 f （ x 0 ） =g （ x 1 ）成立 ， 则 ［ -a+2 ， 2a+2 ］ 哿 ［ -1 ， 3 ］， ∴ 2-a≥-1 ， 2a+2≤3 ， a>0 0 * * * ) * * * + ， 解得 0<a≤ 1 2 ， ∴ 实数 a 的取值范围是 0 ， 1 2 2- . 故选 C. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 根据图象的最高点与最低点， 可得函 数的最大、 最小值分别为 f （ 0 ）， f - 3 2 2 . 故选 C. 2. A 【解析】 函数 f （ x ） = 1 x 在区间 ［ 1 ， 2 ］ 是减函 数， ∴x=1 时 f （ x ）有最大值为 1 ， 即 A=1 ， x=2 时 f （ x ）有 最小值 1 2 ， 即 B= 1 2 ， 则 A-B=1- 1 2 = 1 2 . 故选 A. 3. B 【解析】 当 x≥1 时， 函数 f （ x ） ＝ 1 x 为减函数， 此时 f （ x ）在 x＝1 处取得最大值， 最大值为 f （ 1 ） ＝1 ； 当 x< 1 时， 函数 f （ x ） ＝-x 2 ＋2 在 x＝0 处取得最大值， 最大值为 f （ 0 ） ＝2. 综上可得， f （ x ）的最大值为 2. 故选 B. 4. C 【解析】 ∵f （ x ） ＝- （ x-2 ） 2 ＋4＋a ， ∴ 函数 f （ x ）图象的对称轴为直线 x＝2. ∴ f （ x ）在［ 0 ， 1 ］上单调递增 . 又 ∵f min ＝-2 ， ∴ f （ 0 ） ＝-2 ， 即 a＝-2. ∴f max ＝f （ 1 ） ＝-1＋4-2＝1. 故选 C. 5. C 【解析】 ∵f （ x ） = （ x-1 ） 2 -1 ， ∴ 函数 y=f （ x ）在区间 ［ -1 ， 1 ） 上单调递减 ， 在区间 （ 1 ， 4 ］ 上单调递增 ， ∴ f （ x ） min =f （ １ ） ＝-１. ∵f （ -１ ） ＝3 ， f （ 4 ） =8 ， ∴ f （ x ） max =f （ ４ ） =8. 因此 ， 函数 y=f （ x ）在区间 ［ -1 ， 4 ］ 上的值域为 ［ -1 ， 8 ］ . 故选 C. 6. AB 【解析】 依题意 ， 当 a>0 时 ， y=ax+1 在 x=2 时取得最大值， 在 x=1 时取得最小值， ∴2a+1- （ a+1 ） =2 ， 即 a=2 ； 当 a<0 时， y=ax+1 在 x=1 时取得最大值， 在 x=2 时 取得最小值， ∴a+1- （ 2a+1 ） =2 ， 即 a=-2. 故选 AB. 7. D 【解析 】 f （ x ） ＝ x 2 ， x≥0 ， -x 2 ， x<0 0 ， 画出 f （ x ）的图象可 知， f （ x ）既无最大值又无最小值 . 故选 D. 8. ［ -4 ， 2 ］ 【解析】 ∵f （ x ）的图象经过 P （ -1 ， 2 ）； Q （ 3 ， -4 ） ∴ f （ -１ ） ＝２ ， f （ ３ ） ＝-４ ； 又 ∵f （ x ）的定义域为 ［ -1 ， 3 ］ 且 f （ 0 ）在 ［ -1 ， 3 ］ 上是减函数， ∴ 该函数的值域是 ［ -4 ， 2 ］ . 9. 6 【解析】 在同一平面直角坐标系内， 作出两函 数的图象如下： 由图可知 f （ x ）的图象是图中的实线部分 ， 观察图 像可知此函数的最大值为 6. 10. 解： （ 1 ） 设 f （ x ） =kx+b （ k≠0 ）， 则 3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =3k （ x+1 ） +3b- ［ 2k （ x-1 ） +2b ］ =kx+ 5k+b. ∵3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =x+3 ， ∴kx+5k+b=x+3 ， ∴k=1 且 5k+b=3 ， ∴b=-2 ， ∴ f （ x ） =x-2. （ 2 ） ∵x∈ ［ 1 ， 2 ］ 时， g （ x ） =x 2 -2x-2ax+2=x 2 -2 （ 1+a ） x+2 ， 对称轴 x=a+1. ① 当 a+1≤1 时， 即 a≤0 时， g （ x ） min =g （ 1 ） =1-2a ， 则 1-2a=- 1 4 ， 得 a= 5 8 ， 此时不成立； ② 当 1<a+1<2 ， 即 0<a<1 时， g （ x ） min =g （ a+1 ） =-a 2 - 2a+1 ， x y O 第 7 题答图 x y O y=-x+6 y=-x 2 +4x+6 第 9 题答图 53 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则 -a 2 -2a+1=- 1 4 ， 得 a= 1 2 或 a=- 5 2 （舍去）； ③ 当 a+1≥2 ， 即 a≥1 时， g （ x ） min =g （ 2 ） =2-4a ， 则 2-4a=- 1 4 ， 得 a= 9 16 ， 此时不成立 . 综上可得， a= 1 2 . 提升练习 11. A 【解析】 对 坌x 1 ， x 2 ∈R ， 且 x 1 <x 2 ， 则 x 2 -x 1 >0 ， ∵x>0 时， f （ x ） <0 ， ∴ f （ x 2 -x 1 ） <0. 又 ∵f （ x 2 ） -f （ x 1 ） ＝f （ x 2 -x 1 ） <0 ， ∴ f （ x 2 ） <f （ x 1 ） . ∴f （ x ）是 R 上的单调递减函数 . ∴ f （ x ）在 ［ -3 ， 3 ］上的最小值为 f （ 3 ） ＝f （ 1 ） ＋f （ 2 ） ＝ 3f （ 1 ） ＝3× - 2 3 3 % ＝-2. 故选 A. 12. BCD 【解析】 当 x>1 时， f （ x ） =x+ 4 x +a≥4+a ， 当且仅当 x=2 时， 等号成立； 当 x≤1 时， f （ x ） =x 2 -2ax+9 为二次函数， 要想在 x=1 处取得最小值， 则对称轴要满足 x=a≥1 ， 且 f （ 1 ） ≤4+a ， 即 1-2a+9≤a+4 ， 解得 a≥2. 故选 BCD. 13. ［ 6 ， +∞ ） 【解析 】 原函数可化为 f （ x ） =|x-3|+ |x+3|= -2x ， x≤-3 ， 6 ， -3<x≤3 ， 2x ， x>3 3 ) ) ) ( ) ) ) * ， 函数单调减区间为 （ -∞ ， -3 ］， 单 调增区间为 ［ 3 ， +∞ ）， 值域为 ［ 6 ， +∞ ） . 14. ［ -5 ， 4 ］ 【解析】 作出函数 y=x+4 ， y=x 2 -2x 的 图象如图所示： 根据题意， 当 a≤1 时， a+4≥1-2 ， 解得 a≥-5 ； 当 a>1 时， a+4≥a 2 -2a ， 解得 -1≤a≤4. 综上所述， 实数 a 的取值范围是［ -5 ， 4 ］ . * 15. 解： （ 1 ） 不正确 . 没有考虑到 u 还可以小于 0. 正确解答如下： 令 u＝3＋2x-x 2 ， 则 u＝- （ x-1 ） 2 ＋4≤4. 当 0＜u≤4 时， 1 u ≥ 1 4 ， 即 f （ x ） ≥ 1 4 ； 当 u＜0 时， 1 u ＜0 ， 即 f （ x ） ＜0. ∴ f （ x ） ＜0 或 f （ x ） ≥ 1 4 . 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . （ 2 ） ∵x 2 ＋x＋2＝ x+ 1 2 3 % 2 ＋ 7 4 ≥ 7 4 ， ∴0 ＜y≤ 4 7 ， ∴ 函 数 y ＝ 1 x 2 +x+2 的 最 大 值 为 4 7 当 x＝- 1 2 3 % 时 ， 没有最小值 . （ 3 ） 对于函数 f （ x ） ＝ 1 ax 2 ＋bx＋c （ a＞0 ） . 令 u＝ax 2 ＋bx＋c ， ① 当 Δ＞0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＜0 ； 当 4ac- b 2 4a ≤ u＜ 0 时 ， 1 u ≤ 4a 4ac- b 2 ， 即 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ； 当 u＞0 时 ， 即 f （ x ） ＞0. ∴ f （ x ） ＞0 或 f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . ② 当 Δ＝0 时 ， u 有最小值 ， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＝0 ， 结合 f （ x ） ＝ 1 u ， 知 u≠0 ， ∴u＞0 ， 此时 1 u ＞0 ， 即 f （ x ） ＞0 ， f （ x ）既 无最大值， 也无最小值 . ③ 当 Δ＜0 时， u 有最小值， u min ＝ 4ac-b 2 4a ＞0 ， 即 u≥ 4ac-b 2 4a ＞0. ∴0＜ 1 u ≤ 4a 4ac-b 2 ， 即 0＜f （ x ） ≤ 4a 4ac-b 2 ， ∴ 当 x＝- b 2a 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 没有最小值 . 综上， 当 Δ≥0 时， f （ x ）既无最大值， 也无最小值 . 当 Δ＜0 时， f （ x ）有最大值 4a 4ac-b 2 ， 此时 x＝- b 2a ， 没 有最小值 . 3.1.3 函数的奇偶性 第 1 课时 函数奇偶性的概念 学习手册 变式训练 1 ACD 【 解 析 】 ∵f （ -x ） = - 1 x +1 - - 1 x -1 = - 1 x +1 - 1 x -1 3 % ＝-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数， 故 A 正 确； 由 1-x 2 ≥0 ， ｜x+2｜-2≠0 得， -1≤x≤1 且 x≠0 ， 定义 域关于原点对称 ， ∴g （ x ） = 1-x 2 姨 ｜x+2｜-2 = 1-x 2 姨 x+2-2 = 1-x 2 姨 x ， 满足 g （ -x ） =-g （ x ）， 故 g （ x ）是奇函数， 故 B 错误； ∵F （ -x ） =f （ -x ） f （ x ） =F （ x ）， 故 C 正确； 解得定义域为 {-2 ， 2} ， 且 h （ x ） =0 ， ∴ 既是奇函数， 又是偶函数， 故 D 正确 . 故 选 ACD. x y O -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 第 14 题答图 54