3.1.1 函数及其表示方法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第三章 函 数 学 学 习 目 标 1. 能够在初中用变量之间的依赖关系描 述函数的基础上， 理解用集合语言和对应关 系刻画函数， 能够准确表述函数概念 . 2. 能够正确求出简单函数的定义域 . 3. 能够准确判断两个函数是不是同一个 函数 . 4. 能够正确求出函数值以及简单函数的 值域 . 要 点 精 析 要点 1 函数的概念 一般地， 给定两个非空实数集 A 与 B ， 以及对应关系 f ， 如果对于集合 A 中的每一 个实数 x ， 按照对应关系 f ， 在集合 B 中都 有唯一确定的实数 y 与 x 对应， 则称 f 为定 义在集合 A 上的一个函数 ， 记作 y=f （ x ）， x∈A ， 其中 x 称为自变量， y 称为因变量， 自变量的取值范围 （即数集 A ） 称为这个函 数的定义域， 所有函数值组成的集合 {y∈B| y=f （ x ）， x∈A} 称为函数的值域 . 思考 函数 f （ x ）的值域就是集合 B 吗？ 例 1 （ 1 ） 如图， 可作为函数 y=f （ x ）的 图象的是 （ ） （ 2 ） 下列三个说法： ① 若函数的值域只含有一个元素， 则定 义域也只含有一个元素； ② 若 f （ x ） =5 （ x∈R ）， 则 f （ π ） =5 一定 成立； ③A={ 中国， 巴西， 英国 } ， B={ 亚洲 ， 南美洲， 欧洲 } ， 则 A 到 B 的对应关系： 国 家所在的洲， 是 A 到 B 的一个函数 . 其中正确说法的个数为 （ ） A. 0 B. 1 第三章 函 数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第 1课时 函数的概念 x y O x y O x y O x y O A B C D 55 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 C. 2 D. 3 （ 3 ） 已知集合 A= ［ 0 ， 8 ］， 集合 B= ［ 0 ， 4 ］， 则下列对应关系中， 不能看作是从 A 到 B 的函数关系的是 （ ） A. f ： x→y= 1 8 x B. f ： x→y= 1 4 x C. f ： x→y= 1 2 x D. f ： x→y=x 分析 紧扣函数的定义， 两个非空实 数集 A 与 B ， 集合 A 中元素具有任意性， 集合 B 中元素具有唯一性 . 解析 ： （ 1 ） 观察图象可知 ， 选项 A ， B ， C 中任取一个 x 的值， y 有可能有多个值 与之对应， ∴ 这三项不是函数图象 . D 中图 象是函数图象 . 故选 D. （ 2 ） ① 错误 . 若函数的值域只含有一个 元素， 则定义域不一定只含有一个元素 . ② 正确 . ∵ f （ x ） =5 ， 这个数值不随 x 的 变化而变化， ∴ f （ π ） =5. ③ 错误 . 函数是两个非空数集之间的对 应关系 . 故选 B. （ 3 ） 对于 A 中的任意一个元素， 在对应 关系 f ： x→y= 1 8 x ； f ： x→y= 1 4 x ； f ： x→y= 1 2 x 下， 在 B 中都有唯一的元素与之对应， 故能构成函数关系 . 对于 A 中的元素 8 ， 在 对应关系 f ： x→y=x 下， 在 B 中没有元素与 之对应， 故不能构成函数关系 . 故选 D. 变式训练 1 设集合 M={x|0≤x≤2} ， N={y|0≤y≤2} ， 给出如下四个图形， 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 （ ） 要点 2 求函数的定义域 函数的定义域即式子有意义的自变量取 值的集合 . 思考 根据函数解析式求定义域， 应 该注意哪些方面的限制条件？ 例 2 求下列函数的定义域： （ 1 ） y= （ x+1 ） 2 x+1 - 1-x 姨 ； （ 2 ） y= 3-x 姨 |x|-5 . 分析 根据解析式得出式子有意义的 条件， 比如偶次根式的被开方数为非负数、 分式的分母不能为零等， 列出相应的不等 式进行解答 . 解： （ 1 ） 要使函数式有意义， 自变量 x 的取值必须满足 x+1≠0 ， 1-x≥0 0 ， 解得 x≤1 且 x≠-1 ， x y O 2 2 1 y 2 2 1 x O y 1 2 x O A C D y 2 2 x O B 56 第三章 函 数 学 即函数的定义域为 {x|x≤1 且 x≠-1}. （ 2 ） 要使函数式有意义， 自变量 x 的取 值必须满足 3-x≥0 ， |x|-5≠0 0 ， 解得 x≤3 且 x≠-5 ， 即函数的定义域为 {x|x≤3 且 x≠-5}. 变式训练 2 函数 f （ x ） = x+1 姨 x 2 +x 的定义域为 （ ） A． ［ -1 ， +∞ ） B． （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） C． （ -1 ， +∞ ） D． ［ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） 要点 3 同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域 相同， 对应关系也相同 （即对自变量的每一 个值， 两个函数表达式得到的函数值都相 等）， 则称这两个函数表达式表示的就是同 一个函数 . 思考 能否通过两个函数的值域相同， 来判断两个函数是不是同一个函数呢？ 例 3 （ 1 ） 给出下列三个说法： ①f （ x ） =x 0 与 g （ x ） =1 是同一个函数； ②y=f （ x ）， x∈R 与 y=f （ x+1 ）， x∈R 可 能是同一个函数； ③y=f （ x ）， x∈R 与 y=f （ t ）， t∈R 是同一 个函数 . 其中正确说法的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （ 2 ） 下列各组函数： ①f （ x ） = x 2 -x x ， g （ x ） =x-1 ； ②f （ x ） = x 姨 x ， g （ x ） = x x 姨 ； ③f （ x ） = x+1 姨 · 1-x 姨 ， g （ x ） = 1-x 2 姨 ； ④f （ x ） = （ x+3 ） 2 姨 ， g （ x ） =x+3 ； ⑤f （ x ） =x ， g （ a ） =a. 其中表示同一个函数的是 （填 上所有表示同一个函数的序号） . 分析 严格按照同一个函数的定义进 行判断 . 解析： （ 1 ） ① 错误 . 函数 f （ x ） =x 0 的定 义域为 {x|x≠0} ， 函数 g （ x ） =1 的定义域是 R ， 不是同一个函数 . ② 正确 . y=f （ x ）， x∈R 与 y=f （ x+1 ）， x∈ R 两函数定义域相同， 对应关系可能相同， 所以可能是同一个函数 . ③ 正确 . 两个函数定义域相同， 对应关 系完全一致， 是同一个函数 . ∴ 正确的说法有 2 个 . 故选 B. （ 2 ） ① 定义域不同 ， f （ x ）的定义域为 {x|x≠0} ， g （ x ）的定义域为 R. ② 对应关系不同， f （ x ） = 1 x 姨 ， g （ x ） = x 姨 . ③ 定义域、 对应关系都相同 . ④ 对应关系不同 ， f （ x ） =|x+3| ， g （ x ） = x+3. ⑤f （ x ） =x 与 g （ a ） =a 定义域都是 R ， 对 应法则相同， 故是同一个函数 . 要注意 f （ x ） =a 表示的是常函数 . 综上， ③⑤ 中两个函数表示同一个函数 . 57 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 3 （多选题） 在下列函数中， 与函数 y=x 不是同一个函数的有 （ ） A． y= x 2 姨 B． y= （ x 姨 ） 2 C． y= x 3 3 姨 D． y= x 2 x 姨 要点 4 求函数值和值域 函数的值域即为所有的函数值组成的 集合 . 思考 你能写出一次函数、 二次函数、 反比例函数的值域吗？ 例 4 求下列函数的值域： （ 1 ） y= 3x+7 x-2 ； （ 2 ） y= x 2 -1 x 2 +1 . 解： 方法一： （ 1 ） y= 3x+7 x-2 = 3 （ x-2 ） +13 x-2 =3+ 13 x-2 ， ∵ 13 x-2 ≠0 ， ∴y≠3. ∴ 函数的值域为 {y|y∈R ， 且 y≠3}. （ 2 ） y= x 2 +1-2 x 2 +1 =1- ２ x 2 +1 ， ∵x 2 +1≥1 ， ∴0< 2 x 2 +1 ≤2. ∴-1≤1- 2 x 2 +1 <1. ∴ 函数的值域为 {y|-1≤y<1} . 方法二： （ 1 ） 由 y= 3x+7 x-2 （ x≠2 ）， 可得 x （ y-3 ） =2y+7 （ x≠2 ， y≠3 ）， ∴ 函数的值域为 {y|y∈R ， 且 y≠3} . （ 2 ） 由 y= x 2 -1 x 2 +1 （ x∈R ） 可得 x 2 = y+1 1-y ≥0 ， 解得 -1≤y<1 ， ∴ 函数的值域为 ［ -1 ， 1 ） . 变式训练 4 求下列函数的值域 . （ 1 ） f （ x ） = 2+x 4-3x ； （ 2 ） f （ x ） =2- -x 2 +4x 姨 . 数 学 文 化 例 （多选题） 中国清朝数学家李善兰 在 1859 年翻译的 《代数学》 一书中， 首次 将 “ function ” 译作 “函数”， 沿用至今 . 为 什么这么翻译？ 书中解释说 “凡此变数中函 彼变数者， 则此为彼之函数” . 1930 年， 美 国人给出了我们教材中所学的集合论的函数 定义 . 已 知 集 合 M ={-1 ， 1 ， 2 ， 4} ， N = {1 ， 2 ， 4 ， 16} ， 给出下列四个对应法则， 请 由函数定义判断， 其中能构成从 M 到 N 的 函数的有 （ ） A． y=2x B． y=x+3 C． y=|x| D． y=x 2 解析： 当 x=4 时， y=8埸N ， 故 A 错误； 当 x=2 时， y=5埸N ， 故 B 错误； 任取 x∈M ， 总有 y=|x|∈N ， 故 C 正确； 任取 x∈M ， 总 有 y=x 2 ∈N ， 故 D 正确 ． 故选 CD． 58 第三章 函 数 学 学 习 目 标 1. 能够在实际情境中， 根据需要选择恰 当的方法 （如解析法、 图象法、 列表法） 表 示函数 . 2. 能够利用待定系数法、 换元法、 配凑 法、 解方程组等方法求函数的解析式 . 3. 能够利用函数的图象研究函数的 性质 . 4. 理解分段函数的概念， 会画出高斯取 整函数的图象 . 要 点 精 析 要点 1 函数的三种表示方法 思考 用解析法、 图象法、 列表法表 示函数， 各自的优点和缺点是什么？ 例 1 某商场新进了 10 台彩电， 每台售 价 3 000 元， 试求售出台数 x （ x 为正整数） 与收款数 y 之间的函数关系， 分别用列表 法、 图象法、 解析法表示出来 . 分析 列表法可以直观看到函数定义 域、 值域， 但是定义域元素较多时不方便； 图象法能直观形象地表示出自变量与函数 值的关系， 但是手工绘制图象不容易； 解 析法精准、 全面概括了变量之间的关系， 但是过于抽象 . 解： （ 1 ） 列表法： （ 2 ） 图象法： 如图 3-1-1 所示 . （ 3 ） 解析法： y=3 000x ， x∈{1 ， 2 ， 3 ， …， 10}. 变式训练 1 某商场在国庆促销期间规定， 商场内所 有商品按标价的 80% 出售； 同时， 当顾客在 该商场内消费满一定金额后， 按如下方案获 得相应金额的奖券： 根据上述促销方法， 顾客在该商场购物 可以获得双重优惠， 例如， 购买标价为 400 元的商品， 则消费金额为 320 元， 获得的优 惠额为 400×0.2+30=110 （元） . 若顾客购买 第 2课时 函数的表示方法 用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系 解析法 用函数的图象表示函数的 方法 图象法 用列表的形式给出函数的对 应关系 列表法 函 数 的 表 示 法 x/ 台 y/ 元 x/ 台 1 3 000 5 2 6 000 6 y/ 元 15 000 18 000 x/ 台 y/ 元 9 27 000 10 30 000 3 9 000 7 21 000 4 12 000 8 24 000 x/ 台 y/ 元 O 30 000 3 000 1 10 消费金额 （元） 的范围 获得奖券的金额 （元） ［ 200 ， 400 ） 30 ［ 400 ， 500 ） 60 ［ 500 ， 700 ） 100 ［ 700 ， 900 ） 130 … … 图 3-1-1 59 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 一件标价为 1 000 元的商品， 则所能得到的 优惠额为 （ ） A． 130 元 B． 330 元 C． 360 元 D． 800 元 要点 2 求函数的解析式 * 例 2 （ 1 ） 已知 f （ x ）是一次函数， 且 f （ f （ x ）） =9x+4 ， 求 f （ x ）的解析式； （ 2 ） 已知函数 f （ x ）（ x≥1 ）满足 f （ x 姨 + 1 ） =x+2 x 姨 ， 求 f （ x ）； （ 3 ） 已知函数 f （ x ） （ x≠0 ）满足 2f 1 x x % + f （ x ） =x ， 求 f （ x ） . 分析 f （ g （ x ））是函数 f （ x ）和 g （ x ）复合， f （ g （ x ）） 的自变量为 x ， x 经过对应关系 g 得 到 g （ x ）， g （ x ） 经过对应关系 f 得到 f （ g （ x ）） . 已知 f （ x ）的定义域为 A ， 当 g （ x ）的值 域 B 为 A 的子集的时候， 可以表示为 f （ g （ x ））； 已知 f （ g （ x ））以及 g （ x ）的值域为 B ， 只 能求 f （ x ）在 x∈B 时的解析式 . 解： （ 1 ） 设 f （ x ） =kx+b （ k≠0 ）， 则 f （ f （ x ）） =k （ kx+b ） +b=k 2 x+kb+b=9x+4. ∴ k 2 =9 ， kb+b=4 4 ， 解得 k=3 ， b= 4 1 或 k=-3 ， b=-2 4 . ∴f （ x ） =3x+1 或 f （ x ） =-3x-2. （ 2 ） 方法一 （配凑法）： ∵ f （ x 姨 +1 ） =x+2 x 姨 = （ x 姨 +1 ） 2 -1 （ x 姨 +1≥1 ）， ∴f （ x ） =x 2 -1 （ x≥1 ） . 方法二 （换元法）： 令 x 姨 +1=t （ t≥1 ）， 则 x= （ t-1 ） 2 （ t≥1 ）， ∴ f （ t ） = （ t-1 ） 2 +2 （ t-1 ） =t 2 -1 （ t≥1 ） . ∴ f （ x ） =x 2 -1 （ x≥1 ） . （ 3 ） f （ x ） +2f 1 x x % =x ， 令 x= 1 x ， 得 f 1 x x % +2f （ x ） = 1 x . 于是得到关于 f （ x ）与 f 1 x x % 的方程组 f （ x ） +2f 1 x x % =x ， f 1 x x % +2f （ x ） = 1 x x * * * * * * ) * * * * * * + ， 解得 f （ x ） = 2 3x - x 3 （ x≠0 ） . 反思感悟 （ 1 ） 当已知函数类型时， 可以设出函 数的标准形式， 利用待定系数法求函数解 析式； （ 2 ） 换元法和配凑法都是将运算对象 ［如例 2 中 （ 2 ） 的 x 姨 +1 ］ 当作一个整体 来表示运算结果 ［如例 2 中 （ 2 ） 的 x+2 x 姨 ］， 从而求出函数解析式， 此时要特别注意函 数的定义域； （ 3 ） 当函数类型未知， 且运算对象不 仅仅含有一个时， 往往通过解方程组的方 法求函数解析式 . 变式训练 2 已知 f （ x ）是一次函数， 且满足 3f （ x+1 ） - 2f （ x-1 ） =2x+17 ， 则 f （ x ） = . 变式训练 3 若 f 1 x x % = x 1-x 2 ， 则 f （ x ） = . 60 第三章 函 数 学 变式训练 4 已知 f x+ 1 x x " =x 2 + 1 x 2 ， 则 f （ 3 ）的值等于 . 要点 3 函数图象的作法及应用 例 3 作出下列函数的图象并求出其值域 . （ 1 ） y=2x+1 ， x∈ ［ 0 ， 2 ］； （ 2 ） y= 2 x ， x∈ ［ 2 ， +∞ ）； （ 3 ） y=x 2 +2x ， x∈ ［ -2 ， 2 ］ . 分析 一次函数图象是直线， 反比例 函数图象是双曲线， 二次函数图象是抛物 线， 这些都是我们初中已经掌握的， 是可 以直接使用的 . 解 ： （ 1 ） 如图 3 -1 -2 （ A ） ， 当 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 时， 图象是直线的一部分， 观察图 象可知， 其值域为 ［ 1 ， 5 ］ . （ 2 ） 如图 3-1-2 （ B ）， 当 x∈ ［ 2 ， +∞ ） 时， 图象是反比例函数 y= 2 x 的一部分， 观 察图象可知其值域为 （ 0 ， 1 ］ . （ 3 ） 如图 3-1-2 （ C ） 所示， 图象是抛 物线 y=x 2 +2x 在 -2≤x≤2 之间的部分 . 观察 可知其值域为［ -1 ， 8 ］ . 变式训练 5 作出下列函数的图象， 并求其值域 . （ 1 ） f （ x ） =x+1 （ x∈Z ）； （ 2 ） f （ x ） =x 2 -2x （ x∈ ［ 0 ， 3 ））； （ 3 ） f （ x ） = x+2 x-1 . x y O 5 1 1 2 x y O 1 1 2 x y O 1 2 -2 -1 -1 -2 8 7 6 5 4 3 2 1 图 3-1-2 （ A ） 图 3-1-2 （ B ） 图 3-1-2 （ C ） 61 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 要点 4 分段函数 如果一个函数， 在其定义域内， 对于自 变量的不同取值区间， 有不同的对应方式， 则称其为分段函数 . 分段函数有几段， 它的图象就由几条曲 线组成 . 在同一直角坐标系中， 根据每段的 定义区间和表达式依次画出图象 . （要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点， 组合 到一起就得到整个分段函数的图象） 思考 如何确定分段函数的定义域和 值域？ 例 4 已知函数 f （ x ） = x+1 ， x≤-2 ， x 2 +2x ， -2<x<2 ， 2x-1 ， x≥2 2 % % % % % $ % % % % % & ， 试求 f （ -5 ）， f （ - 3 姨 ）， f f - 5 2 2 )2 * 的值 . 分析 分段函数是一个函数， 不是几 个函数， 解决分段函数问题需要用到分类 讨论思想 . 解 ： 由 -5∈ （ -∞ ， -2 ］， - 3 姨 ∈ （ -2 ， 2 ）， - 5 2 ∈ （ -∞ ， -2 ］， 知 f （ -5 ） =-5+1=-4 ， f （ - 3 姨 ） = （ - 3 姨 ） 2 +2× （ - 3 姨 ） =3-2 3 姨 . ∵f - 5 2 2 * =- 5 2 +1=- 3 2 ， -2<- 3 2 <2 ， ∴f f - 5 2 2 *2 * =f - 3 2 2 * = - 3 2 2 * 2 +2× - 3 2 2 * = 9 4 -3=- 3 4 . 变式训练 6 设函数 f （ x ） = （ x+1 ） 2 ， x<1 ， 4- x-1 姨 ， x≥1 1 % % % . % % % & . （ 1 ） 求 f （ f （ 0 ））； （ 2 ） 若 f （ x ） =1 ， 求 x 的值 . 例 5 分别作出下列分段函数的图象， 并写出定义域及值域 . （ 1 ） f （ x ） = 1 x ， 0<x<1 ， x ， x≥1 1 % % % % . % % % % & . （ 2 ） g （ x ） = 3 ， x<-2 ， -3x ， -2≤x<2 ， -3 ， x≥2 1 % % % % % . % % % % % & . 分析 分段函数的定义域、 值域是各 个分段函数的定义域、 值域的并集 . 解： （ 1 ） 函数 f （ x ）图象如图 3-1-3 （ A ） 所示， 由图象知， f （ x ）的定义域是 （ 0 ， +∞ ）， 值域是 ［ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） 函数 g （ x ）图象如图 3-1-3 （ B ） 所 示， 由图象知， g （ x ）的定义域是（ -∞ ， +∞ ）， 值域是 （ -6 ， 6 ］ . x y O 1 1 x y O -3 -6 6 3 -2 2 图 3-1-3 （ A ） 图 3-1-3 （ B ） 62 第三章 函 数 学 变式训练 7 在图 3-1-4 中画出函数 f （ x ） =|x+1|+|2x- 1| ， x∈ ［ -3 ， 3 ］ 的图象， 并求出 f （ x ）的值域 . 数 学 文 化 例 图 3-1-5 中的文物称为 “垂鳞纹圆 壶”， 是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器 皿， 其身流线自若、 纹理分明， 展现了古代 中国精湛的制造技术 . 科研人员为了测量其 容积， 以恒定的流速向其内注水， 恰好用时 30 s 注满， 设注水过程中， 壶中水面高度为 h ， 注水时间为 t ， 则下列选项中最符合 h 关 于 t 的函数图象的是 （ ） 解析： 水壶的结构： 底端与上端细、 中 间粗， 所以在注水恒定的情况下， 开始水的 高度增加得快， 中间增加得慢， 最后水上升 的速度又变快， 由图可知选项 A 符合 . 故选 A. t h O 30 t h O 30 t h O 30 t h O 30 A B C D x y O 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3-3 -2 -1 -1 图 3-1-4 图 3-1-5 63 参 考 答 案 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第 1 课时 函数的概念 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 从集合 M 到集合 N 能构成函数关系时， 对于集合 M={x｜0≤x≤2} 中的每一个 x 值， 在 N={y|0≤ y≤2} 中都有唯一确定的一个 y 值与之对应 . 图象 A 不 满足条件， ∵ 当 1<x≤2 时， N 中没有 y 值与之对应； 图 象 B 不满足条件， ∵ 当 x=2 时 ， N 中没有 y 值与之对 应 ； 图象 C 不满足条件 ， ∵ 对于集合 M 中的每一个 x∈ （ 0 ， 2 ］， 在集合 N 中有 2 个 y 值与之对应， 不满足函 数的定义； 只有 D 中的图象满足对于集合 M 中的每一个 x 值， 在 N 中都有唯一确定的一个 y 值与之对应 . 故选 D. 变式训练 2 B 【解析 】 由题得 x+1≥0 ， x 2 +x≠0 0 ， 解之得 x>-1 且 x≠0. ∴ 函数的定义域为 （ -1 ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） . 故选 B. 变式训练 3 ABD 【解析】 A 选项 y= x 2 姨 =｜x｜ 与函数 y=x 对应法 则不同 ， 不是相同函数 ； B 选项 y= （ x 姨 ） 2 定义域为 ［ 0 ， +∞ ） 与函数 y=x 定义域不同， 不是相同函数； C 选 项 y= x 3 3 姨 =x 与函数 y=x 定义域和对应法则相同， 是相 同函数； D 选项 y= x 2 x 姨 定义域为 （ 0 ， +∞ ） 与函数 y=x 定义域不同， 不是相同函数 . 故选 ABD. 变式训练 4 解： （ 1 ） f （ x ） = 2+x 4-3x = - 1 3 （ 4-3x ） + 10 3 4-3x =- 1 3 + 10 3 （ 4-3x ） ， ∴y≠- 1 3 ， ∴ 该函数的值域为 -∞ ， - 1 3 3 * ∪ - 1 3 ， + + , ∞ . （ 2 ） 由 -x 2 +4x≥0 得 x 2 -4x≤0 ， 解得 0≤x≤4 ， 设 t=-x 2 +4x=- （ x-2 ） 2 +4 ， 则 0≤t≤4 ， ∴y=2- t 姨 ∈ ［ 0 ， 2 ］， 即函数 y=2- - x 2 +4x 姨 的值域 是 ［ 0 ， 2 ］ . 随堂练习 1. D 【解析】 对于 A ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ） 的定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， 故不是同一函数； 对于 B ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ）的定义域为 {x｜x≠0} ， 故不是同 一函数； 对于 C ， 函数 f （ x ）的定义域为 R ， g （ x ）的定义 域为 {x｜x≠0} ， 故不是同一函数； 对于 D ， 函数 f （ x ）的 定义域为 R ， g （ x ）的定义域为 R ， g （ x ） = x 3 3 姨 =x， f （ x ）和 g （ x ）的定义域和对应关系相同， 故是同一函数 . 故选 D. 2. C 【解析】 由函数 f （ x ） = 3-x 姨 + 1 x+1 有意义可得 3-x≥0 ， x+1≠0 0 ， 解得 x≤3 且 x≠-1 ， ∴ 函数 f （ x ） = 3-x 姨 + 1 x+1 的定义域为 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， 3 ］ . 故选 C. 3. A 【解析】 f （ 3 ） =f （ 2×1+1 ） =1 2 -2×1=-1 ， 故选 A. 第三章 函 数 m=1 ， n=5 0 ， ∴｜m-n｜=4. 11. 3 姨 3 【解析 】 ∵3a -2b +c =0 ， ∴b = 3a+c 2 ， ∴ ac 姨 b = 2 ac 姨 3a+c ≤ 2 ac 姨 2 3 ac 姨 = 3 姨 3 ， 当且仅当 3a=c 取等号 . 12. ［ 9 ， +∞ ） 【解析】 由 a+b≥2 ab 姨 ， 可得 ab= a+b+3≥2 ab 姨 +3 ， 即 ab≥2 ab 姨 +3 ， 整理得 ab-2 ab 姨 -3≥0 ， 即（ ab 姨 -3 ）（ ab 姨 +1 ） ≥0. 又 ∵a>0 ， b>0 ， 解得 ab 姨 ≥3 ， 即 ab∈ ［ 9 ， +∞ ）， 当且仅当 a=b=3 时取等号 . 13. 解： （ 1 ） 由题意， 得 y= 710v v 2 +3v+900 = 710 v+3+ 900 v ≤ 710 3+2 900 姨 = 710 63 ， 当且仅当 v= 900 v ， 即 v=30 时等号成 立 . 此时 y max = 710 63 ≈11.3 （千辆 /h ） . （ 2 ） 由题意 ， 得 710v v 2 +3v+900 >10 ， 整理得 v 2 -68v+ 900<0 ， 即（ v-50 ）（ v-18 ） <0 ， ∴18<v<50. * 14. 解： （ 1 ） ∵ 关于 x 的不等式 ax 2 -5x+ （ b+4 ） >0 的 解集为 {x｜x<2 或 x>3} ， ∴2 和 3 是方程 ax 2 -5x+ （ b+4 ） =0 的 两个实数根， 且 a>0 ， ∴ 2+3= 5 a ， 2×3= b+4 a a 3 3 3 3 2 3 3 3 3 4 ， 解得 a=1 ， b=2 2 . ∴a=1 ， b=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 a=1 ， b=2 2 ， 于是有 1 x+y + 2 z =1 ， 故 x+y+ 2z= ［（ x+y ） +2z ］ 1 x+y + 2 z + * =1+ 2 （ x+y ） z + 2z x+y +4≥5+4=9 ， 当且 仅当 x+y=3 ， z= 2 3 时等号成立， 依题意有 （ x+y+2z ） min ≥2k 2 - 3k+4 ， 即 9≥2k 2 -3k+4 ， 得 2k 2 -3k-5≤0 ， 解得 -1≤k≤ 5 2 ， ∴k 的取值范围是 -1 ， 5 2 2 7 . 47 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 4. D 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） = x-4 mx 2 +4mx+3 的定义域为 R ， 则 坌x∈R ， 有 mx 2 +4mx+3≠0 成立 . 当 m=0 时， 3≠0 成立 ； 当 m≠0 时 ， mx 2 +4mx+3≠0 恒成立 ， 即 mx 2 + 4mx+3=0 不成立， 一元二次方程 mx 2 +4mx+3=0 没有实数 根， 于是得 Δ= （ 4m ） 2 -4 · m · 3=16m 2 -12m<0 ， 解得 0<m< 3 4 ， 综上得 0≤m< 3 4 ， ∴ 实数 m 的取值范围是 0 ， 3 4 4' . 故 选 D. 5. AD 【解析】 令 x=0 ， y=1 ， 代入 f （ x+y ） =f （ x ） f （ y ） 中化简可求出 f （ 0 ） =1 ， 故 A 正确； 令 x=-1 ， y=1 ， 代入 f （ x+y ） =f （ x ） f （ y ）中化简可求出 f （ -1 ） = 1 2 ， 故 B 错误； 令 x=1 ， y=1 ， 可求出 f （ 2 ） =4 ， 再令 x=2 ， y=1 可求出 f （ 3 ） = 8 ， 从而可求出 f （ 2 ） f （ 3 ） =32 ， 故 C 错误； 令 x=9 ， y=1 ， 则有 f （ 10 ） =f （ 9 ） f （ 1 ） =2f （ 9 ）， 故 D 正确 . 故选 AD. 6. 9 4 【解析】 由题意， 函数 f （ x ） =x+ 2-x 姨 ， 令 t= 2-x 姨 ≥0 ， 则 x=2-t 2 ， ∴ f （ t ） =-t 2 +t+2 ， t≥0 ， 根据二次 函数的性质， 可得当 t= 1 2 时， f （ t ） max =f 1 2 2 4 = 9 4 ， 即函 数 f （ x ）的最大值为 9 4 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由函数的定义知， 定义域和值域是非 空数集， 既包括有限集也包括无限集， 故 B 错误 . 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 垂直于 x 轴的直线与函数 y＝f （ x ）的 图象至多有一个交点， 故选 A. 3. B 【解析】 y＝ x 姨 的值域为 ［ 0 ， ＋∞ ）， y＝ 1 x 的值 域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， ＋∞ ）， y＝x 2 ＋1 的值域为［ 1 ， ＋∞ ） . 故选 B. 4. A 【解析】 依题意， 当 x＝-1 时， y＝4 ； 当 x＝0 时， y＝0 ； 当 x＝2 时， y＝-2 ； 当 x＝3 时， y＝0. ∴ 函数 y＝x 2 -3x 的值域为 {-2 ， 0 ， 4} . 故选 A. 5. C 【解析】 由题意可得 4=5- m 5 ， 解得 m=5 ， 故选 C. 6. BC 【解析】 对于 A ， 函数 y= x 2 -9 x-3 与 y=x+3 的定 义域不同； 对于 B ， 函数 y= x 2 姨 -1 与 y=|x|-1 的定义域 与对应法则相同； 对于 C ， 虽然自变量不同， 但不改变 意义， 是同一函数； 对于 D ， 函数 y=2x+1 ， x∈Z 与 y= 2x-1 ， x∈Z 的对应法则不同 . 故选 BC. 7. BD 【解析】 由狄利克雷函数可知， f （ x ）的定义域 为 R ， 值域为 {1 ， 0} ， ∴A ， C 错误， B 正确； 当 x 为有 理数时， x+1 也是有理数， 则 f （ x+1 ） =f （ x ） =1 ， 当 x 为无 理数时， x+1 也是无理数， 则 f （ x+1 ） =f （ x ） =0 ， ∴ f （ x+1 ） =f （ x ）， ∴D 正确 . 故选 BD. 8. 17 【解析】 令 x-1=2 ， 得 x=3 ， ∴ f （ 2 ） =3 2 +2×3+2=17. 9. 解： （ 1 ） 当且仅当 x-2≠0 ， 即 x≠2 时 ， 函数 y=2+ 3 x-2 有意义， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x≠2} . （ 2 ） 函数有意义 ， 当且仅当 x-1≠0 ， 2 x+1 ≥0 ， x+1≠0 0 . . . . - . . . . . / ， 解得 x>-1 且 x≠1 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x>-1 且 x≠1} . （ 3 ） 函数有意义， 当且仅当 3-x≥0 ， x-1≥0 0 ， 解得 1≤x≤3 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|1≤x≤3} . （ 4 ） 函数有意义， 当且仅当 x+1≠0 ， 1-x≥0 0 ， 解得 x≤1 且 x≠-1 ， ∴ 这个函数的定义域为 {x|x≤1 且 x≠-1}. 10. 解： （ 1 ） ∵x≥4 ， ∴ x 姨 ≥2 ， ∴ x 姨 -1≥1 ， ∴y∈ ［ 1 ， ＋∞ ） . （ 2 ） y∈{3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11} . （ 3 ） 设 u＝ 2x-1 姨 ， 则 u≥0 ， 且 x＝ 1+u 2 2 ， 于是， y＝ 1+u 2 2 ＋u＝ 1 2 （ u＋1 ） 2 ≥ 1 2 ， ∴y＝x＋ 2x-1 姨 的值域为 1 2 ， + 4 ∞ ' . （ 4 ） y＝x 2 -2x-3＝ （ x-1 ） 2 -4 ， ∵x∈ ［ -1 ， 2 ］， 作出其图象 （图略） 可得值域为［ -4 ， 0 ］ . 提升练习 11. （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ］ 【解析】 由 1-x≥0 ， 1- 1-x 姨 ≠0 0 ， 解得 x≤1 且 x≠0 ， ∴ 函数的定义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， 1 ］ . 12. （ 1 ， 2 ］ 【解析 】 ∵y=f （ x ）的定义域为 （ 3 ， 7 ］， ∴3<4x-1≤7 ， ∴1<x≤2 ， 故 g （ x ）的定义域为（ 1 ， 2 ］ . 13. 0 ， 4 3 32 【解析】 ∵x 2 +x+1= x+ 1 2 2 4 2 + 3 4 ≥ 3 4 ， ∴0< 1 x 2 +x+1 ≤ 4 3 . ∴ 值域为 0 ， 4 3 32 . 14. ［ 0 ， 1 ） 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） = 1 ax 2 +4ax+4 的定 义域为 R ， ∴ax 2 +4ax+4≠0 的解为 R ， 即函数 y=ax 2 +4ax+ 4 的图象与 x 轴没有交点. 当 a=0 时， 函数 y=4 与 x 轴没有交点， 故 a=0 成立； 当 a≠0 时， 要使函数 y=ax 2 +4ax+4 的图象与 x 轴没 有交点， 则 Δ= （ 4a ） 2 -16a<0 ， 解得 0<a<1. 综上， 实数 a 的取值范围是 ［0 ， 1 ） . 15. 解： （ 1 ） ∵ 函数 f （ x ） = x+2 x-6 ， ∴ 当 x＝4 时， f （ x ） ＝f （ 4 ） ＝ 4+2 4-6 ＝-3. （ 2 ） ∵ 函数 f （ x ） = x+2 x-6 ， f （ x ） ＝2 ， ∴ x+2 x-6 =2 ， 即 x+2＝2x-12 ， ∴x＝14. 48 参 考 答 案 第 2 课时 函数的表示方法 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 ∵ 顾客在该商场购物可以获得双重优惠， ∴ 顾客购买一件标价为 1 000 元的商品， 实际应付 800 元， 优惠 200 元； 再按表中办法获得 130 元的奖券， 共 获得优惠额 330 元 . 故选 B. 变式训练 2 2x+7 【解析】 ∵f （ x ）是一次函数， 设 f （ x ） =ax+b （ a≠ 0 ）， ∵3f （ x+1 ） -2f （ x-1 ） =2x+17 ， ∴3 ［ a （ x+1 ） +b ］ -2 ［ a （ x-1 ） +b ］ =2x+17 ， 整理可得 ax+5a+b=2x+17 ， ∴ a=2 ， 5a+b=17 7 ， 可 得 a=2 ， b=7 7 ， ∴ f （ x ） =2x+7. 变式训练 3 x x 2 -1 （ x≠0 且 x≠±1 ） 【解析 】 设 1 x =t （ t≠0 且 t≠±1 ）， 则 x= 1 t ， ∴ f （ t ） = 1 t 1- 1 t t $ 2 = t t 2 -1 ， 即 f （ x ） = x x 2 -1 （ x≠0 且 x≠±1 ） . 变式训练 4 7 【解析】 ∵f x+ 1 x & =x 2 + 1 x 2 = x+ 1 x & 2 -2 ， 令 t=x+ 1 x ， 当 x>0 时， t≥2 x · 1 x 姨 =2 ， 当且仅当 x=1 时取等号， 当 x<0 时 ， t=- -x- 1 x x $ ≤-2 ， 当且仅当 x=-1 时取等号 ， ∴ f （ t ） =t 2 -2 ， t∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） ， ∴ f （ x ） =x 2 -2 ， x∈ （ -∞ ， -2 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ）， 则 f （ 3 ） =3 2 -2=7. 变式训练 5 解： （ 1 ） 如图 1 ， 这个函数的图象由一些点组成， 这些点都在直线 y=x+1 上， 其值域为 Z. （ 2 ） 如图 2 ， 作出抛物线 f （ x ） =x 2 -2x= （ x-1 ） 2 -1 在 0≤x<3 之间的部分， 其值域为 ［ -1 ， 3 ） . （ 3 ） ∵y= x+2 x-1 =1+ 3 x-1 ， ∴ 先作出 y= 3 x 的图象， 将其 图象向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长 度， 即得 y= x+2 x-1 的图象 . 如图 3 ， 其值域为 （ -∞ ， 1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 变式训练 6 解： （ 1 ） 易得 f （ 0 ） =1 ， ∴ f （ f （ 0 ）） =f （ １ ） =4. （ 2 ） 当 x<1 ， 由（ x+1 ） 2 =1 ， 解得 x=0 或 -2 ； 当 x≥1 ， 由 4- x -1 姨 =1 ， 解得 x=10. 综上， x=0 或 -2 或 10. 变式训练 7 解： ∵f （ x ） =｜x+1｜+｜2x-1｜= 3x ， 1 2 ≤x≤3 ， -x+2 ， -1≤x< 1 2 ， -3x ， -3≤x<-1 1 . . . . . . - . . . . . . / ， 故 f （ x ）图象如图： 由图象可知， f min （ x ） =f 1 2 x & = 3 2 ， f max （ x ） =f （ ３ ） =f （ -3 ） =9 ， ∴ 函数的值域为 3 2 ， 9 9 1 . 随堂练习 1. D 【解析】 由题意， 该函数的值域是 {0 ， 1}. 故 选 D. 2. A 【解析】 ∵f （ x-1 ） =x 2 +2x-3= （ x-1 ） 2 +4 （ x-1 ）， ∴ f （ x ） = x 2 +4x. 故选 A. 3. C 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =x+ ｜x｜ x = x+1>0 ， x-1<0 7 ， 故选 C. 4. AD 【解析】 设 f （ x ） =kx+b （ k≠0 ）， 则 f （ f （ x ）） =k · f （ x ） +b=k ·（ kx+b ） +b=k 2 x+kb+b ， ∴ k 2 =4 ， kb+b=-1 7 ， 解得 k=2 ， b=- 1 3 7 ， 或 k=-2 ， b=1 7 ， ∴ f （ x ） =2x- 1 3 或 f （ x ） =-2x+1. 故选 AD. 5. 3 【解析】 由题设， f （ 3 ） =f （ 3+4 ） =f （ 7 ） =7-4=3. 6. -3 【解析】 由已知可知当 a>0 时， f （ a ） =-a 2 <0 无 x y O 1 2 3 -1 4 3 2 1 -2 -1 变式训练 5 答图 图 1 图 2 图 3 x y O 1 2 3 -1 3 x y O -2 1 -2 1 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 变式训练 7 答图 49 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解； 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +2a+2=5 ， 解得 a=-3 或 a=1 （舍 去）， ∴a=-3. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设 y＝ k x ， 由 1＝ k 2 得 k＝2 ， 因此， y 关 于 x 的函数关系式为 y＝ 2 x . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵f （ x ） ＝x 2 ＋bx＋c ， 且 f （ 1 ） ＝0 ， f （ 3 ） ＝0 ， ∴ 1＋b＋c＝0 ， 9＋3b＋c＝0 0 ， 解得 b＝-4 ， c＝3 0 ， 即 f （ x ） ＝x 2 -4x＋3 ， ∴ f （ -1 ） ＝1＋4＋3＝8. 故选 B. 3. A 【解析】 a= ［ -1.01 ］ =-2 ， b= ［ -1 ］ =-1 ， c= ［ 1.5 ］ = 1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 4. D 【解析】 f （ 3 ） ＝ 2 3 ， f （ f （ 3 ）） ＝f 2 3 3 $ ＝ 2 3 3 & 2 ＋1＝ 4 9 ＋1＝ 13 9 . 故选 D. 5. C 【解析】 由表格可得 g （ ３ ） ＝１ ， ∴ f （ g （ ３ ）） =f （ １ ） ＝ ２. 故选 C. 6. BD 【解析 】 令 t=2x-1 ， 则有 x= t+1 2 ， ∴ f （ t ） = 4 t+1 2 3 & 2 = （ t+1 ） 2 . ∴ f （ 3 ） =16 ， f （ -3 ） =4 ， f （ x ） = （ x+1 ） 2 . 故选 BD. 7. AD 【解析】 当 a≤0 时， f （ a ） =a 2 +1=10 ， 解得 a= ±3 （舍正 ）； 当 a>0 时， f （ a ） =2a=10 ， 解得 a=5 ， 符合 . 综上， a=-3 或 5. 故选 AD. 8. y=- 3 x +2 【解析】 由题意可设 y-2= k x ， 又 ∵x=3 时， y=1 ， ∴1-2= k 3 ， 即 k=-3 ， 故 y=- 3 x +2. 9. f （ x ） =x 2 -2x 【解析】 设 f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a≠0 ）， 则 f （ -1 ） =a-b+c=3 ， f （ 3 ） =9a+3b+c=3 ， f （ 1 ） =a+b+c=-1 1 * * * ) * * * + ， 解之得 a=1 ， b=-2 ， c=0 1 * * * ) * * * + ， ∴ f （ x ） =x 2 -2x. 10. 解： （ 1 ） ∵5>4 ， ∴ f （ 5 ） ＝-5＋2＝-3. ∵-3<0 ， ∴ f （ f （ 5 ）） ＝f （ -3 ） ＝-3＋4＝1. ∵0<1<4 ， ∴ f （ f （ f （ 5 ））） ＝f （ 1 ） ＝1 2 -2×1＝-1 ， 即 f （ f （ f （ 5 ））） ＝-1. （ 2 ） 图象如图所示 . f （ x ）的值域为（ -∞ ， 8 ］ . 提升练习 11. C 【解析】 令 t＝ 1-x 1+x ， 解得 x＝ 1-t 1+t ， 代入 f 1-x 1+x 3 & ＝x ， 可得 f （ t ） ＝ 1-t 1+t ， ∴ f （ x ） ＝ 1-x 1+x . 故选 C. 12. x 2 -x＋1 【解析】 ∵f （ x ）是二次函数， 设 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c （ a≠0 ）， 由 f （ 0 ） ＝1 ， 得 c＝1. 由 f （ x＋1 ） -f （ x ） ＝2x ， 得 a （ x＋1 ） 2 ＋b （ x＋1 ） ＋1-ax 2 -bx-1＝ 2x. 整理得 2ax＋ （ a＋b ） ＝2x ， 由系数相等得 2a＝2 ， a＋b＝0 0 ， ∴ a＝1 ， b＝-1 0 . ∴ f （ x ） ＝x 2 -x＋1. 13. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， f （ 1-a ） =2 （ 1-a ） +a=2-a ， f （ 1+a ） =- （ 1+a ） -2a=-3a-1. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴2-a=-3a-1 ， 解得 a=- 3 2 （舍去） . 当 a<0 时， f （ 1-a ） =- （ 1-a ） -2a=-a-1 ， f （ 1+a ） =2 （ 1+ a ） +a=2+3a. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴-a-1=2+3a ， 解得 a=- 3 4 . 综上， a 的值为 - 3 4 . 14. 2 【解析 】 由 f （ x ） ＝x 2 ＋4x＋3 ， f （ ax＋b ） ＝x 2 ＋10x＋ 24 ， 得 （ ax＋b ） 2 ＋4 （ ax＋b ） ＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 即 a 2 x 2 ＋ （ 2ab＋ 4a ） x＋b 2 ＋4b＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 由系数相等得 a 2 ＝1 ， 2ab＋4a＝10 ， b 2 ＋4b＋3＝24 1 * * * ) * * * + ， 解得 a＝-1 ， b＝- 0 7 或 a＝1 ， b＝3 0 ， 则 5a-b＝2. 15. 解 ： ∵x 0 ∈A ， ∴0≤x 0 < 1 2 ， 且 f （ x 0 ） ＝x 0 ＋ 1 2 . 又 ∵ 1 2 ≤x 0 ＋ 1 2 <1 ， ∴x 0 ＋ 1 2 ∈B ， ∴ f （ f （ x 0 ）） ＝2 1-x 0 - 1 2 3 & ＝2 1 2 -x 0 3 & . 又 ∵f （ f （ x 0 ）） ∈A ， ∴0≤2 1 2 -x 0 3 & < 1 2 ， 解得 1 4 ＜x 0 ≤ 1 2 . 又 ∵0≤x 0 ＜ 1 2 ， ∴ 1 4 <x 0 < 1 2 . 3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 函数的单调性及函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 解： 当 a＞0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增， 当 a＜0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递减 . 证明如下： 当 a＞0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， x y O -1 -4 4 -2 （ 4 ， 8 ） 4 第 10 题答图 50