2.2.4 均值不等式及其应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解均值不等式的代数关系、 几何证 明及几何意义 . 2. 掌握均值不等式的结构特征及其 变形 . 3. 结合具体实例， 能用均值不等式解决 简单的最大值或最小值问题， 提高数学建模 能力 . 4. 通过均值不等式的证明培养逻辑推理 能力 . 要 点 精 析 两个不等式 a+b 2 称为 正 数 a ， b 的 算 术 平 均 数 ， ab 姨 称为正数 a ， b 的几何平均数 . 基本不等式表明： 两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数 . 说明： “当且仅当 a＝b 时， 等号成立” 是指若 a≠b ， 则 a 2 ＋b 2 ≠2ab ， a+b 2 ≠ ab 姨 ， 即只能有 a 2 ＋b 2 >2ab ， a+b 2 > ab 姨 . 要点 1 对基本不等式的理解 基本不等式 a+b 2 ≥ ab 姨 （ a>0 ， b>0 ） 的两个关注点： （ 1 ） 不等式成立的条件： a ， b 都是正数 . （ 2 ） “当且仅当” 的含义： ① 当 a＝b 时， a+b 2 ≥ ab 姨 的等号成立， 即 a＝b圯 a+b 2 = ab 姨 ； ② 仅当 a＝b 时， a+b 2 ≥ ab 姨 的等号成 立， 即 a+b 2 = ab 姨 圯a＝b. 例 1 给出下面三个推导过程： ①∵a ， b∈ （ 0 ， ＋∞ ）， ∴ b a ＋ a b ≥2 b a · a b 姨 ＝2 ； ②∵a∈R ， a≠0 ， ∴ 4 a ＋a≥2 4 a · a 姨 ＝4 ； ③∵x ， y∈R ， xy<0 ， ∴ x y ＋ y x ＝- - x y y ' + - y x y x) * ≤-2 - x y y x - y x y x 姨 ＝-2. 其中正确的推导过程为 （ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ①③ 分析 根据基本不等式中的条件进行 判断 . 解析： 从基本不等式成立的条件考虑 . ①∵a ， b∈ （ 0 ， ＋∞ ）， ∴ b a ， a b ∈ （ 0 ， ＋∞ ）， 2.2.4 均值不等式及其应用 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a 2 +b 2 ≥2ab （ a ， b∈ R ） 当且仅当 “ a= b ” 时取 “ = ” 基本不等式 a+b 2 ≥ ab 姨 （ a>0 ， b>0 ） 当且仅当 “ a= b ” 时取 “ = ” 48 第二章 等式与不等式 学 符合基本不等式成立的条件， 故 ① 的推导过 程正确； ②∵a∈R ， a≠0 不符合基本不等式成立 的条件， ∴ 4 a ＋a≥2 4 a · a 姨 ＝4 是错误的； ③ 由 xy<0 得 x y ， y x 均为负数， 但在推 导过程中将 x y + y x 看成一个整体提出负号 后， - x y y & ， - y x y & 均变为正数， 符合基本 不等式成立的条件， 故 ③ 正确 . 故选 D. 反思感悟 使用均值不等式 （也称基本不等式 ） 时一定要注意三个步骤： 一正、 二定、 三 相等， 也就是说每项都要大于零， 然后通 过加或乘可以有定值出现， 最后检验等号 是不是能取到 . 变式训练 1 给出下列不等式： ①x+ 1 x ≥2 ； ② x+ 1 x ≥2 ； ③ 若 x>0 ， y>0 ， x+2y=2 ， 则 xy 姨 ≤ 2 姨 2 ； ④ x 2 +3 姨 + 1 x 2 +3 姨 ≥2. 其中正确的 是 （ ） A. ②④ B. ①② C. ②③ D. ①②④ 例 2 下列不等式中， 不正确的是 （ ） A. a 2 ＋b 2 ≥2|a||b| B. a 2 b ≥2a-b （ b≠0 ） C. a b y & 2 ≥ 2a b -1 （ b≠0 ） D. 2 （ a 2 ＋b 2 ） ≥ （ a＋b ） 2 分析 通过举反例或运用基本不等式 对问题逐个判断， 是解决此类问题的基本 方法， 注意基本不等式成立的条件 . 解析 ： a 2 ＋b 2 ＝|a | 2 ＋|b| 2 ≥2 |a ||b | ， 故 A 正 确 ； 由 a 2 ＋b 2 ≥2ab ， 得 a 2 ≥2ab-b 2 ， 当 b<0 时， a 2 b ≤2a-b ， 故 B 错误； b≠0 ， 则 a b y & 2 ≥ 2a b -1 ， 故 C 正确； 由 a 2 ＋b 2 ≥2ab ， 得 2 （ a 2 ＋b 2 ） ≥a 2 ＋b 2 ＋2ab＝ （ a＋b ） 2 ， 故 D 正确 . 故选 B. 变式训练 2 已知 a>b>c ， 则 （ a-b ）（ b-c ） 姨 与 a-c 2 的 大小关系是 . 要点 2 利用基本不等式证明不等式 1. 利用基本不等式证明不等式， 关键是 所证不等式中必须有 “和” 式或 “积” 式， 通过将 “和” 式转化为 “积” 式或将 “积” 式转化为 “和” 式， 从而达到放缩的效果 . 2. 注意多次运用基本不等式时等号能否 取到 . 3. 解题时要注意经验的积累， 当不能直 接利用不等式时， 可将原不等式进行组合、 构造， 以满足能使用基本不等式的形式 . 例 3 （ 1 ） 已知 a ， b ， c 为不全相等的 正实数， 求证： a＋b＋c> ab 姨 ＋ bc 姨 ＋ ca 姨 . （ 2 ） 已知 a ， b ， c 为正实数， 且 a＋b＋c＝ 1 ， 求证： 1 a - y & 1 1 b - y & 1 1 c - y & 1 ≥8. 49 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 分析 （ 1 ） 左边是和式， 右边是带根 号的积式之和， 用基本不等式将和变积， 并证得不等式； （ 2 ） 不等式右边数字为 8 ， 使我们联想到左边因式分别使用基本不等 式， 可得三个 “ 2 ” 连乘， 又 1 a -1＝ 1-a a ＝ b+c a ≥ 2 bc 姨 a ， 可由此变形入手 . 证明： （ 1 ） ∵a>0 ， b>0 ， c>0 ， ∴a＋b≥2 ab 姨 ， b＋c≥2 bc 姨 ， c＋a≥2 ca 姨 . ∴2 （ a＋b＋c ） ≥2 （ ab 姨 ＋ bc 姨 ＋ ca 姨 ）， 即 a＋b＋c≥ ab 姨 ＋ bc 姨 ＋ ca 姨 . 由于 a ， b ， c 为不全相等的正实数， 故 等号不成立 . ∴a＋b＋c> ab 姨 ＋ bc 姨 ＋ ca 姨 . （ 2 ） ∵a ， b ， c 为正实数， 且 a＋b＋c＝1 ， ∴ 1 a -1＝ 1-a a ＝ b+c a ≥ 2 bc 姨 a >0 ， 同理 1 b -1≥ 2 ac 姨 b >0 ， 1 c -1≥ 2 ab 姨 c >0. 由上述三个不等式两边均为正， 分别相 乘 ， 得 1 a - - $ 1 1 b - - & 1 1 c - - & 1 ≥ 2 bc 姨 a · 2 ac 姨 b · 2 ab 姨 c ＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝ 1 3 时， 等号成立 . 变式训练 3 已知 a ， b ， c 为正数， 求证： b+c-a a + c+a-b b + a+b-c c ≥3. 要点 3 利用基本不等式求最值 1. 若是求和式的最小值， 通常化 （或利 用） 积为定值； 若是求积的最大值， 通常化 （或利用） 和为定值， 其解答技巧是恰当变 形、 合理拆分项或配凑因式 . 2. 若多次使用基本不等式， 等号成立的 条件应相同 . 例 4 （ 1 ） 若 x>0 ， 求 y＝4x＋ 9 x 的最 小值； （ 2 ） 设 0<x< 3 2 ， 求函数 y＝4x （ 3-2x ）的 最大值； （ 3 ） 已知 x>2 ， 求函数 y=x＋ 4 x-2 的最 50 第二章 等式与不等式 学 小值； （ 4 ） 已知 x>0 ， y>0 ， 且 1 x ＋ 9 y ＝1 ， 求 x＋y 的最小值 . 分析 利用基本不等式求最值， 当积 或和不是定值时， 通过变形使其和或积为 定值， 再利用基本不等式求解 . 解： （ 1 ） ∵x>0 ， ∴ 由基本不等式得 y＝4x＋ 9 x ≥2 4x · 9 x 姨 ＝2 36 姨 ＝12 ， 当且仅当 4x＝ 9 x ， 即 x＝ 3 2 时， y＝4x＋ 9 x 取最小值 12. （ 2 ） ∵0<x< 3 2 ， ∴3-2x>0 ， ∴y＝4x （ 3-2x ） ＝2 ［ 2x （ 3-2x ）］ ≤2 2x+ （ 3-2x ） 2 2 % 2 ＝ 9 2 . 当且仅当 2x＝3-2x ， 即 x＝ 3 4 时取等号 . ∴y 的最大值为 9 2 . （ 3 ） ∵x>2 ， ∴x-2>0 ， ∴x＋ 4 x-2 ＝ （ x-2 ） ＋ 4 x-2 ＋2 ≥2 （ x-2 ）· 4 x-2 姨 ＋2＝6. 当且仅当 x-2＝ 4 x-2 ， 即 x＝4 时， x＋ 4 x-2 取最小值 6. （ 4 ） ∵x>0 ， y>0 ， 1 x ＋ 9 y ＝1 ， ∴x＋y＝ （ x＋y ） 1 x + 9 y y ( ＝10＋ y x ＋ 9x y ≥10＋2 9 姨 ＝16. 当且仅当 y x ＝ 9x y 且 1 x ＋ 9 y ＝1 时等号成 立， 即 x＝4 ， y＝12 时等号成立 . ∴ 当 x＝4 ， y＝12 时， x＋y 有最小值 16. 变式训练 4 若实数 x>0 ， y>0 ， 且 x+4y-xy=0 ， 则 x+ y 的最小值为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 例 5 （ 1 ） 上例 （ 3 ） 中， 把 “ x>2 ” 改 为 “ x<2 ”， 则 x＋ 4 x-2 的最值又如何？ （ 2 ） 上例 （ 3 ） 中， 条件不变， 改为求 x 2 -2x+4 x-2 的最小值 . 解： （ 1 ） ∵x<2 ， ∴2-x>0 ， ∴x＋ 4 x-2 ＝x-2＋ 4 x-2 ＋2＝- （ 2-x ） + 4 2-x 2 % ＋ 2≤-2 （ 2-x ）· 4 2-x 姨 ＋2＝-2. 当且仅当 2-x＝ 4 2-x ， 即 x＝0 时， x＋ 4 x-2 取最大值 -2. （ 2 ） x 2 -2x+4 x-2 ＝ （ x-2 ） 2 +2 （ x-2 ） +4 x-2 ＝x-2＋ 4 x-2 ＋2≥2 （ x-2 ）· 4 x-2 姨 ＋2＝6. 当且仅当 x-2＝ 4 x-2 ， 即 x＝4 时， 原式有 最小值 6. 反思感悟 若不能直接使用均值不等式， 可考虑 对代数式进行拆项、 变形、 配凑等， 使之 达到能使用均值不等式的条件； 若已知条 件中含有 1 时， 要注意 1 的替换 . 51 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 5 若 x<3 ， 求 y=2x+1+ 1 x-3 的最大值 . 要点 4 利用基本不等式解决实际问题 解决实际问题时， 先弄清题意 （审题）， 建立数学模型 （列式）， 再用所掌握的数学 知识解决问题 （求解）， 最后要回应题意下 结论 （作答） . 例 6 如图 2-2-2 ， 动物园要围成相同 面积的长方形虎笼四间， 一面可利用原有的 墙， 其他各面用钢筋网围成 . （ 1 ） 现有 36 m 长的钢筋网， 每间虎笼 的长、 宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面 积最大？ （ 2 ） 若使每间虎笼面积为 24 m 2 ， 则每 间虎笼的长、 宽各设计为多少时， 可使围成 四间虎笼的钢筋网总长最小？ 分析 设每间虎笼长 x m ， 宽 y m ， 则 问题是在 4x＋6y＝36 的前提下求 xy 的最 大值 . 解： （ 1 ） 设每间虎笼长为 x m ， 宽为 y m ， 则由条件知 4x＋6y＝36 ， 即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S ， 则 S＝xy. 方法 一 ： 由 于 2x ＋ 3y≥ 2 2x · 3y 姨 ＝ 2 6xy 姨 ， ∴2 6xy 姨 ≤18 ， 得 xy≤ 27 2 ， 即 S≤ 27 2 ， 当且仅当 2x＝3y 时 ， 等号 成立 . 由 2x+3y=18 ， 2x=3y y ， 解得 x=4.5 ， y=3 y . 故每间虎笼长为 4.5 m ， 宽为 3 m 时， 可使面积最大 . 方法二： ∵2x＋3y＝18 ， ∴S＝xy＝ 1 6 （ 2x ）·（ 3y ） ≤ 1 6 2x+3y 2 2 ' 2 ＝ 81 6 ＝ 27 2 . （以下同方法一） （ 2 ） 由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l ， 则 l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥2 2x · 3y 姨 ＝2 6xy 姨 ＝24 ， ∴l＝4x＋6y＝2 （ 2x＋3y ） ≥48 ， 当且仅当 2x＝ 3y 时， 等号成立 . 由 2x=3y ， xy=24 y ， 图 2-2-2 52 第二章 等式与不等式 学 解得 x=6 ， y=4 ! . 故每间虎笼长 6 m ， 宽 4 m 时， 可使钢 筋网总长最小 . 变式训练 6 某车间分批生产某种产品， 每批产品的 生产准备费用为 800 元， 若每批生产 x 件， 则平均仓储时间为 x 8 天， 且每件产品每天的 仓储费用为 1 元 . 为使平均到每件产品的生 产准备费用与仓储费用之和最小， 每批应生 产产品 （ ） A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件 数 学 文 化 例 1 “勾股容方” 问题出自我国汉代 数学名著 《九章算术》， 该问题可以被描述 为： “设一直角三角形 （如图 2-2-3 （ A ）） 的两直角边长分别为 a 和 b ， 求与该直角三 角形具有公共直角的内接正方形的边长 . ” 公元 263 年， 数学家刘徽为 《九章算术》 作 注， 在注中他利用出入相补原理给出了上述 问题如图 2-2-3 （ B ） 和图 2-2-3 （ C ） 所示 的解答， 则图 2-2-3 （ A ） 中与直角三角形具 有公共直角的内接正方形的边长为 . 当内接正方形的面积为 1 时， 则图 2-2-3 （ C ） 中两个标有 “朱” 的三角形和两个标有 “青” 的三角形的面积总和的最小值为 . 分析 设内接正方形的边长为 x ， 然后 利用图 2-2-3 （ B ） 和图 2-2-3 （ C ） 的面 积相等， 列出关于 x 的方程， 求解即可； 由 内接正方形的面积求出内接正方形的边长， 然后再利用上面的结论得到 a+b=ab ， 利用 基本不等式求出 ab 的取值范围， 再将所求 的面积之和表示出来， 求解即可得到答案 . 解析： 设内接正方形的边长为 x ， 则图 2-2-3 （ B ） 的面积为 ab ， 图 2-2-3 （ C ） 的 面积为（ a+b ） x. ∵ 图 2-2-3 （ B ） 和图 2-2-3 （ C ） 的面 积相等， 则有 ab= （ a+b ） x ， 解得 x= ab a+b ， 故 内接正方形的边长为 ab a+b . ∵ 内接正方形的面积为 1 ， ∴ 内接正方 形的边长 x=1 ， 则有 a+b=ab. 利用基本不等式可得 a+b=ab≥2 ab 姨 ， 故 ab≥4 ， 当且仅当 a=b=2 时取等号 . ∴ 两个标有 “朱” 的三角形和两个标有 “青” 的三角形的面积总和为 ab-2≥2. 故图 2-2-3 （ C ） 中两个标有 “朱” 的 三角形和两个标有 “青” 的三角形的面积总 和的最小值为 2. 例 2 （多选题 ） 若 x ， y 满足 x 2 +y 2 - xy=1 ， 则 （ ） A. x+y≤1 青 青 黄 黄 朱 朱 b a 黄 青 黄 青 朱 朱 b a 图 2-2-3 （ A ） 图 2-2-3 （ B ） 图 2-2-3 （ C ） 53 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 B. x+y≥-2 C. x 2 +y 2 ≤2 D. x 2 +y 2 ≥1 分析 已知条件是代数恒等式， 结论 是探求 x+y 与 x 2 +y 2 的取值范围 . 解题需要 灵活运用均值不等式以及化归与转化等数 学知识和方法 . 解析 ： 由均值不等式可得 xy≤ x 2 +y 2 2 ， （ x+y ） 2 2 ≤x 2 +y 2 ， ∴x 2 +y 2 -xy= x 2 +y 2 2 + x 2 +y 2 2 -xy≥ x 2 +y 2 2 . 又 ∵ x 2 +y 2 2 ≥ x+y 2 2 $ 2 ， ∴1≥ x+y 2 2 & 2 ， ∴x 2 +y 2 ≤2 ， ∴ （ x+y ） 2 2 ≤2 ， ∴ ｜x+y ｜≤2 ， ∴ 选 项 B 和 C 正确 . 取 x=y=1 ， 满足 x 2 +y 2 -xy=1 ， 但 x+y=2 ， ∴ 选项 A 不正确 . 取 x= 3 姨 3 ， y=- 3 姨 3 ， 满足 x 2 +y 2 -xy=1 ， 但 x 2 +y 2 = 2 3 ， ∴ 选项 D 不正确 . 故选 BC. 54 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 根， ∴ a<0 ， -1+2= b a ， -1×2= c a a # # # # # # " # # # # # # $ ， 且 a<c ， 故 A 正确； 由 b=a ， c=-2a ， ∴b<0 ， c>0 ， 故 B 正确； 当 x=-1 时， 此时 a+b+c=0 ， 故 C 错误 ； 把 b=a ， c=-2a 代入不等式 ax 2 -cx+b<0 ， 可得 ax 2 +2ax+a<0 ， ∵a<0 ， ∴x 2 +2x+1>0 ， 即（ x+1 ） 2 >0 ， 此时不等 式的解集为 {x｜x≠-1} ， 故 D 错误 . 故选 AB. 13. ACD 【解析】 由 x 2 +3x-4<0 ， 得 -4<x<1 ， 当 x 2 - （ 2k+3 ） x+k 2 +3k>0 时， 即 （ x-k ）［ x- （ k+3 ）］ >0 ， 解得 x<k 或 x>k+3. 由题意知 （ -4 ， 1 ）芴（-∞ ， k ） ∪ （ k+3 ， +∞ ）， ∴k≥1 或 k+3≤-4 ， 即 k∈ （ -∞ ， -7 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） . 故选 ACD. 14. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） 【解析】 由 1-x 2 ≥a 2 +a+1 （ x∈R ） 的解集为芰， 得（1-x 2 ） max <a 2 +a+1. 而（ 1-x 2 ） max =1 ， ∴a 2 +a+1>1 ， ∴a<-1 或 a>0 ， 即 a∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） . * 15. 解 ： 由题 意 ， 不 等 式 ax 2 -x +1 -a≤0 对 a∈ ［ 2 ， 3 ］ 恒成立 ， 可设 f （ a ） = （ x 2 -1 ） a+ （ -x+1 ） ， a∈ ［ 2 ， 3 ］， 则 f （ a ）是关于 a 的一次函数， 要使题意成立只 需 f （ 2 ） ≤0 ， f （ 3 ） ≤ ≤ 0 圯 2x 2 -x-1≤0 ， 3x 2 -x-2≤0 ≤ ， 解得 - 1 2 ≤x≤1 ， ∴x 的取值 范围是 - 1 2 ， ， / 1 . 2.2.4 均值不等式及其应用 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由于式子 x+ 1 x ≥2 中 x 的取值范围不确 定， 故当 x<0 时， x+ 1 x <0 ， ∴x+ 1 x 的最小值不能为 2 ， 故 ① 不正确； ∵x 与 1 x 同号， ∴ x+ 1 x =｜x｜+ 1 ｜x｜ ≥2 ， 当且 仅当 ｜x｜=1 时， 等号成立， 故 ② 正确； 由题意知， x+2y≥ 2 x · 2y 姨 ， 即 2 2xy 姨 ≤2 ， ∴ xy 姨 ≤ 2 姨 2 ， 故 ③ 正确； 由于 x 2 +3 姨 + 1 x 2 +3 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +3 姨 = 1 x 2 +3 姨 时 取等号， 即 x 2 +3=1 ， 即 x 2 =-2 ， 方程无解， 故 ④ 不正确 . 故选 C. 变式训练 2 （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ a-c 2 【解析 】 ∵a>b>c ， ∴a-b>0 ， b-c>0 ， ∴ （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ （ a-b ） + （ b-c ） 2 = a-c 2 . 变式训练 3 证明： 左边 = b a + c a -1+ c b + a b -1+ a c + b c -1 = b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3. ∵a ， b ， c 为正数， ∴ b a + a b ≥2 （当且仅当 a=b 时取 “ = ”）； c a + a c ≥2 （当且仅当 a=c 时取 “ = ”）； c b + b c ≥2 （当且仅当 b=c 时取 “ = ”） . 从而 b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 ≥6. （当且仅当 a=b=c 时取 “ = ”） . ∴ b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3≥3 ， 即 b+c-a a + c+a-b b + a+b-c c ≥3. 变式训练 4 C 【解析】 根据题意， 实数 x>0 ， y>0 ， x+4y=xy ， 两 边同除 xy 得， 1 y + 4 x =1 ， ∴x+y= （ x+y ） 1 y + 4 x b 2 = x y + 4y x + 5≥2 x y · 4y x 姨 +5=9 ， 当且仅当 x=2y 时等号成立， 即 x+y 的最小值为 9. 变式训练 5 解： ∵x<3 ， ∴3-x>0. 又 ∵y=2x+1+ 1 x-3 =2 （ x-3 ） + 1 x-3 +7=- 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7 ， 由基本不等式可得 2 （ 3-x ） + 1 3-x ≥2 2 （ 3-x ）· 1 3-x b 2 姨 =2 2 姨 ， 当且仅当 2 （ 3-x ） = 1 3-x ， 即 x=3- 2 姨 2 时， 等号成立， 于是 - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x ≤ -2 2 姨 ， - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7≤7-2 2 姨 ， 故 y=2x+1+ 1 x-3 的最大值是 7-2 2 姨 . 变式训练 6 B 【解析】 根据题意， 生产 x 件产品的生产准备费 用与仓储费用之和是 800+x · x 8 · 1=800+ 1 8 x 2 ， 则平均每 件的生产准备费用与仓储费用之和为 y= 800+ 1 8 x 2 x = 800 x + 1 8 x （ x 为正整数）， 由均值不等式得， y≥2 800 x · 1 8 x 姨 =20 ， 当且仅当 800 x = 1 8 x=10 时， y 取最小值， 可得 x=80 时， 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 . 故 选 B. 随堂练习 1. C 【解析】 令 x=-1 时， y=x+ 1 x =-1+ 1 -1 =-2 ， 故 A 错误； 由于 y= x 2 +2 姨 + 1 x 2 +2 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +2 姨 = 1 x 2 +2 姨 时取等号 ， 即 x 2 +2=1 ， 即 x 2 =-1 ， 方程无解 ， 44 参 考 答 案 故 B 错误 ； 由于 ab<0 ， ∴y= b a + a b =- - b a a " + - a b a "b $ ≤-2 - b a a " - a b a " 姨 =-2 ， 故 C 正确； ∵a>0 ， ∴a+ a+4 a = a+1+ 4 a =a+ 4 a +1≥2 a · 4 a 姨 +1=5 ， 当且仅当 a= 4 a ， 即 a=2 时取等号， 故 D 错误 . 故选 C. 2. B 【解析】 由题意 x-2>0 ， y=x+ 1 x-2 =x-2+ 1 x-2 + 2≥2 （ x-2 ）· 1 x-2 姨 +2=4 ， 当且仅当 x-2= 1 x-2 ， 即 x=3 时取等号， 故可得 a=3 ， b=4 ， 所以 a+b=7. 故选 B. 3. AD 【解析 】 由 ab- （ a+b ） =1 得 ab=1+ （ a +b ） ≤ a+b 2 a " 2 （当且仅当 a=b>1 时取等号）， 即（ a+b ） 2 -4 （ a+b ） -4≥0 且 a+b>2 ， 解得 a+b≥2+2 2 姨 ， ∴a+b 有最小值， 为 2+2 2 姨 ， 故 A 正确； 由 ab- （ a+b ） =1 得， ab-1=a+ b≥2 ab 姨 （当且仅当 a=b>1 时取等号）， 即 ab-2 ab 姨 - 1≥0 且 ab>1 ， 解得 ab≥3+2 2 姨 ， ∴ab 有最小值 ， 为 3+2 2 姨 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 4. a≥ 1 5 【解析 】 ∵x>0 ， ∴ x x 2 +3x+1 = 1 x+ 1 x +3 ≤ 1 2 x · 1 x 姨 +3 = 1 5 ， 当且仅当 x= 1 x ， 即 x=1 时等号成立， ∴a≥ 1 5 . 5. 解： （ 1 ） x ， y∈ （ 0 ， +∞ ）， 且 2 x + 3 y =1. 由均值 不等式可得 1= 2 x + 3 y ≥2 6 xy 姨 ， 解不等式可得 xy≥24 ， 当且仅当 2 x = 3 y = 1 2 ， 即 x=4 ， y=6 时， xy 取最小值 24. （ 2 ） 4x+6y= （ 4x+6y ） 2 x + 3 y a " =26+ 12y x + 12x y ≥26+24= 50 ， 当且仅当 x=y=5 时， 4x+6y 取得最小值 50. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 当 b a ， a b 均为正数时 ， b a ＋ a b ≥2 ， 故只需 a ， b 同号即可， ∴①③④ 均可以 . 故选 C. 2. B 【解析】 ∵ab≤ a+b 2 a " 2 ≤ 4 2 a " 2 ＝4 ， ∴ 1 a ＋ 1 b ≥ 2 1 ab 姨 ≥2 1 4 姨 ＝1. 故选 B. 3. C 【解析】 y＝3-3x- 1 x ＝3- 3x+ 1 x a " ≤3-2 3x · 1 x 姨 ＝ 3-2 3 姨 ， 当且仅当 3x＝ 1 x ， 即 x＝ 3 姨 3 时取等号 . 故选 C. 4. D 【解析】 ∵a>0 ， b>0 ， a＋b＝4 ， ∴ ab 姨 ≤ a+b 2 ＝2 ， ∴ab≤4 ， ∴ 1 ab ≥ 1 4 ， ∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a+b ab ＝ 4 ab ≥1 ， 故 A ， B ， C 均错 . 故选 D. 5. ACD 【解析 】 当 a=-1 ， b=-2 时 ， 满足 a>b ， 此 时 a b = 1 2 <1 ， 故 A 正确； ∵a 2 +b 2 -2ab= （ a-b ） 2 >0 ， ∴a 2 +b 2 > 2ab ， ∴ a 2 +b 2 2 >ab ， 即 ab< a 2 +b 2 2 ， ∴ab≤ a 2 +b 2 2 一定成立， 故 B 错误； 当 a=1 ， b=-1 时， 满足 a>b ， 此时 b a + a b =-1 -1=-2<2 ， 故 C 正确； 当 a=1 ， b=-1 时， 满足 a>b ， 此 时 1 a =1> 1 b =-1 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 6. 25 【解析 】 ∵x>0 ， y>0 ， 1 y ＋ 3 x ＝1 ， ∴3x＋4y＝ （ 3x＋4y ） 1 y + 3 x a " ＝13＋ 3x y ＋ 12y x ≥13＋3×2 x y · 4y x 姨 ＝25 （当 且仅当 x＝2y＝5 时取等号）， ∴ （ 3x＋4y ） min ＝25. 7. 乙 【解析】 设原价为 1 ， 则提价后的价格为方案 甲 ： （ 1 ＋p% ） （ 1 ＋q% ） ， 方 案 乙 ： 1+ p+q 2 a " % 2 . ∵ （ 1+p% ）（ 1+q% ） 姨 ≤ 1+p%+1+q% 2 ＝1＋ p+q 2 % ， 且 p>q>0 ， ∴ （ 1+p% ）（ 1+q% ） 姨 <1＋ p+q 2 % ， 即 （ 1＋p% ） （ 1＋q% ） < 1+ p+q 2 a " % 2 ， ∴ 提价多的方案是乙 . 8. 4 7 【解析】 由 a＋b＝1 ， 知 1 3a+2 ＋ 1 3b+2 ＝ 3b+2+3a+2 （ 3a+2 ）（ 3b+2 ） ＝ 7 9ab+10 . 又 ∵ab≤ a+b 2 a " 2 ＝ 1 4 . 当且仅当 a＝b＝ 1 2 时等号 成立， ∴9ab＋10≤ 49 4 ， ∴ 7 9ab+10 ≥ 4 7 ， 故 1 3a+2 ＋ 1 3b+2 的最小值为 4 7 . 9. 解： 由 a>b>c ， 知 a-b>0 ， b-c>0 ， a-c>0. 因此， 原不等式等价于 a-c a-b ＋ a-c b-c ≥m. 要使原不等式恒成立， 只需 a-c a-b ＋ a-c b-c 的最小值不 小于 m 即可 . ∵ a-c a-b ＋ a-c b-c ＝ （ a-b ） + （ b-c ） a-b ＋ （ a-b ） + （ b-c ） b-c ＝2＋ b-c a-b ＋ a-b b-c ≥2＋2 b-c a-b · a-b b-c 姨 ＝4 ， 当且仅当 b-c a-b = a-b b-c ， 即 2b＝a＋c 时， 等号成立 . ∴m≤4 ， 即 m∈{m|m≤4} . 10. 解： y＝ 2 2x ＋ 8 1-2x ＝ 2 2x + 8 1-2x a " ·（ 2x＋1-2x ） ＝10＋2 · 1-2x 2x ＋8 · 2x 1-2x ， 而 x∈ 0 ， 1 2 a " ， 2 · 1-2x 2x ＋8 · 2x 1-2x ≥2 16 姨 ＝8 ， 45 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 当且仅当 2 · 1-2x 2x ＝8 · 2x 1-2x ， 即 x＝ 1 6 ∈ 0 ， 1 2 2 # 时取等号， 则 y≥18 ， ∴ 函数 y＝ 1 x ＋ 8 1-2x 的最小值为 18. 提升练习 11. C 【解析】 已知 x>0 ， y>0 ， 且 x+y+xy=2 ， 即 xy= 2- （ x+y ）， 利用均值不等式 xy≤ x+y 2 2 # 2 ， 可得 2- （ x+y ） ≤ x+y 2 2 # 2 ， 解得 x+y≥2 3 姨 -2 ， 当且仅当 x=y= 3 姨 -1 时取等号， 则 x+y 的最小值为 2 3 姨 -2. 故选 C. 12. CD 【解析】 由 m+n 2 =2 可得， m=2-n 2 >0 ， 故 0< n< 2 姨 ， 则 m+3n=2-n 2 +3n=- n- 3 2 2 # 2 + 17 4 ， 可知 m+3n< 17 4 ， 故 A 错误； mn 2 ≤ m+n 2 2 2 # 2 = 2 2 2 # 2 =1 ， 当且仅当 m= n 2 =1 时等号成立， 故 B 错误； ∵ 1 m + 1 n 2 = 1 2 （m+n 2 ） 1 m + 1 n 2 2 # = 1 2 2+ n 2 m + m n 2 # ≥2 ， 当且仅当 m=n 2 =1 时等号成立， 故 C 正确 ； ∵ m 2 +n 4 2 ≥ m+n 2 2 2 # 2 ， 故 m 2 +n 4 ≥2 ， 当且仅当 m=n 2 =1 时等号成立， 故 D 正确 . 故选 CD. 13. BCD 【解析】 ∵x>0 ， y>0 ， 且 1 x + 4 y =1 ， 则 x+ 4 y = 1 4 （ 4x+y ） 1 x + 4 y 2 # = 1 4 8+ 16x y + y x 2 # ≥ 1 4 8+2 16x y · y x 姨 2 # = 4 ， 当且仅当 y=4x 时， 等号成立， ∴m 2 -3m≤4 ， 解得 -1≤ m≤4. 故选 BCD. * 14. 4 3 【解析】 令 x=2a+b ， y=a+2b ， 则 1 x + 1 y =1 ， 且 x>0 ， y>0 ， ∴a+b= 1 3 （ x+y ） = 1 3 （ x+y ） 1 x + 1 y 2 # = 1 3 x y + y x + 2 # 2 ≥ 1 3 2 x y · y x 姨 + # 2 = 4 3 ， 当且仅当 x=y=2 时取等号 . * 15. 解 ： （ 1 ） y= 900v v 2 +5v+1 000 = 900 v+ 1 000 v +5 . ∵v+ 1 000 v ≥2 v · 1 000 v 姨 =20 10 姨 ， ∴y = 900 v+ 1 000 v +5 ≤ 900 20 10 姨 +5 = 180 4 10 姨 +1 ， 当且仅当 v = 1 000 v ， 即 v= 10 10 姨 时等号成立 . ∴ 当汽车的平均速度 v=10 10 姨 km/h 时车流量 y 最大 . （ 2 ） 令 900v v 2 +5v+1 000 ≥12 ， 则可化为 v 2 -70v+1 000≤ 0 ， 即（v-20 ）（v-50 ） ≤0 ， 解得 20≤v≤50. ∴ 汽车的平均 速度应控制在 20 km/h 到 50 km/h 范围内 . 阶段性练习卷 （二） 1. A 【解析】 由题意得， M={x｜-1≤x<4} ， N={x｜1≤ x≤5} ， 则 M∩N={x｜1≤x<4} . 故选 A. 2. A 【解析】 当 a>b>0 时， a 2 >b 2 >0 ， ∴ 1 a 2 < 1 b 2 ， ∴ 充 分性满足， 当 1 a 2 < 1 b 2 时， 取 a=-2 ， b=1 ， 此时 a>b>0 不满 足， ∴ 必要性不满足， ∴p 是 q 的充分不必要条件 . 故选 A. 3. B 【解析】 ∵x>2 ， y>1 ， （ x-2 ）（ y-1 ） =4 ， ∴x+y= （ x-2 ） + （ y-1 ） +3≥2 （ x-2 ）（ y-1 ） 姨 +3=7 ， 当且仅当 x=4 ， y= = 3 时等号成立 . 故选 B. 4. D 【解析】 ∵x 2 -3x+2=0 ， Δ=9-8=1>0 ， ∴ 当 x<1 或 x>2 时， x 2 -3x+2>0 成立， 故 A 是假命题； x 2 =3 ， 当且 仅当 x=± 3 姨 ， 不是有理数， 故 B 是假命题； ∵x∈R ， x 2 +1≥1 ， 故 C 是假命题； 移项得， 4x 2 - （ 2x-1+3x 2 ） =x 2 - 2x+1= （ x-1 ） 2 ≥0 ， 即 4x 2 ≥2x-1+3x 2 ， 故 D 是真命题 . 故 选 D. 5. C 【解析】 ∵ 不等式 ax 2 -bx+c>0 的解集为 {x｜-2<x< 1} ， ∴ -2+1= b a ， -2×1= c a ， a<0 0 , , , , , , + , , , , , , - ， ∴ b=-a ， c=-2a ， a<0 0 , , , + , , , - ， ∴y=ax 2 -bx+c=ax 2 -ax-2a=a （ x 2 - x-2 ）， 图象开口方向向下 ， 与 x 轴的交点为 （ -1 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ） . 故选 C. 6. A 【解析】 由题意可知， p=7 ， S= 7 （ 7-a ）（ 7-b ）（ 7-c ） 姨 = 7 （ 7-b ）（ 7-c ） 姨 ≤ 7 姨 · 7-b+7-c 2 =3 7 姨 ， 当且仅当 7-b=7-c ， 即 b=c 时等号成立， 故此三角形面积的最大 值为 3 7 姨 . 故选 A. 7. AC 【解析】 由题意可知， b+c=6-4a+3a 2 ， c-b=4-4a+a 2 = ， 两式 相减得 2b=2a 2 +2 ， 即 b=a 2 +1 ， ∴b≥1. 又 ∵b-a=a 2 +1-a= a- 1 2 2 2 2 + 3 4 >0 ， ∴b>a. 而 c-b=4-4a+a 2 = （ a-2 ） 2 ≥0 ， ∴c≥ b ， 从而 c≥b>a. 故选 AC. 8. BC 【解析】 当 a 2 -1=0 时， a=±1 ， 若 a=1 ， 不等式 化简为 -1<0 ， 满足题意， 则 a=1 符合题意； 若 a=-1 ， 不 等式化简为 2x-1<0 ， 解集不是 R ， 故不满足题意， 则 a=-1 舍去 . 当 a 2 -1≠0 时， （ a 2 -1 ） x 2 - （ a-1 ） x-1<0 的解集 是 R ， 则 a 2 -1<0 ， Δ= （ a-1 ） 2 +4 （ a 2 -1 ） <0 = ， 解得 - 3 5 <a<1. 综上 ， - 3 5 <a≤1 ， 故选 BC. 9. {x｜-1<x≤3} 【解析】 集合 A={x｜｜x-1｜<2}={x｜-2<x- 1<2}={x｜-1<x<3} ， B={x｜x （ x-3 ） ≤0}={x｜0≤x≤3} ， 则 A∪B= {x｜-1<x≤3} . 10. 4 【解析】 将 x=2 ， y=3 代入方程组 2x-y=m ， x+my=n = ， 得 46