2.2.3 一元二次不等式的解法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 熟练掌握用图象法和代数法 （因式分 解和配方） 求一元二次不等式的解集 . 2. 掌握含参数的一元二次不等式的解 法， 会正确地进行分类讨论 . 3. 掌握简单的分式不等式的解法， 理解 解分式不等式的思想， 将分式不等式转化为 整式不等式 . 4. 会解决一元二次不等式恒成立问题， 加强分类讨论思想意识， 提高利用数形结合 的方法解决问题的能力 . 5. 能从实际情境中抽象出一元二次不等 式的模型并解决问题， 了解一元二次不等式 的现实意义， 培养数学建模的核心素养 . 要 点 精 析 一元二次函数与一元二次方程、 一元二 次不等式的解的对应关系 . 2.2.3 一元二次不等式的解法 说明： 一元二次不等式的解法： （ 1 ） 图象法： 一般地， 当 a>0 时， 解形 如 ax 2 ＋bx＋c>0 （或 ≥0 ） 或 ax 2 ＋bx＋c<0 （或 ≤ 0 ） 的一元二次不等式， 一般可分为三步： ① 确定对应方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 的解； ② 画 出对应函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象简图； ③ 由图 象得出不等式的解集 . 对于 a<0 的一元二次不等式， 可以直接 采取类似 a>0 时的解题步骤求解； 也可以先 把它化成二次项系数为正的一元二次不等 式， 再求解 . （ 2 ） 代数法： 将所给不等式化为一般式 后借助分解因式或配方求解， 当 p<q 时， 若 （ x-p ）（ x-q ） >0 ， 则 x>q 或 x<p ； 若（ x-p ）（ x-q ） <0 ， 则 p<x<q. 口诀为 “大于取两边， 小于 取中间” . 要点 1 解一元二次不等式 解一元二次不等式的一般步骤： （ 1 ） 通过对不等式变形， 使二次项系数 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax 2 ＋bx＋c （ a>0 ）的图象 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a>0 ）的根 有两个不相等的实数根 x 1 ， x 2 （ x 1 <x 2 ） 有两个相等的实数根 x 1 ＝x 2 ＝- b 2a 没有实数根 ax 2 ＋bx＋c>0 （ a>0 ）的解集 {x|x<x 1 或 x>x 2 } x x≠- b 2a a % R ax 2 ＋bx＋c<0 （ a>0 ）的解集 {x|x 1 <x<x 2 } 芰 芰 x y O x 1 x 2 x y O x 1 =x 2 x y O 42 第二章 等式与不等式 学 大于零； （ 2 ） 计算对应方程的判别式； （ 3 ） 求出相应的一元二次方程的根， 或 根据判别式说明方程没有实数根； （ 4 ） 根据函数图象与 x 轴的相关位置写 出不等式的解集 . 例 1 解下列不等式： （ 1 ） 2x 2 -3x-2>0 ； （ 2 ） -3x 2 ＋6x-2>0 ； （ 3 ） 4x 2 -4x＋1≤0 ； （ 4 ） x 2 -2x＋2>0. 分析 先求出对应一元二次方程的解， 再结合对应的二次函数的图象写出不等式 的解集 . 解 ： （ 1 ） 如 图 2 -2 -1 （ A ） ， 方 程 2x 2 -3x-2＝0 的解是 x 1 ＝- 1 2 ， x 2 ＝2. ∵ 函数是开口向上的抛物线， ∴ 不等式的解集是 x x<- 1 2 或 x>2 2 # . （ 2 ） 如图 2-2-1 （ B ）， 不等式可化为 3x 2 -6x＋2<0. ∵3x 2 -6x＋2＝0 的判别式 Δ＝36-4×3×2＝12> 0 ， ∴ 方程 3x 2 -6x＋2＝0 的解是 x 1 ＝1- 3 姨 3 ， x 2 ＝1＋ 3 姨 3 . ∵ 函数 y＝3x 2 -6x＋2 是开口向上的抛物线， ∴ 不等式的解集是 x 1- 3 姨 3 <x<1+ 3 姨 3 3 & . （ 3 ） 方程 4x 2 -4x＋1＝0 的解是 x 1 ＝x 2 ＝ 1 2 ， 函数 y＝4x 2 -4x＋1 的图象是如图 2-2-1 （ C ） 所示的开口向上的抛物线， ∴ 原不等式的解 集是 x x= 1 2 3 & . （ 4 ） ∵x 2 -2x＋2＝0 的判别式 Δ<0 ， ∴ 方程 x 2 -2x＋2＝0 无解 . 又 ∵ 函数 y＝x 2 -2x＋2 的图象 是如图 2-2-1 （ D ） 所示的开口向上的抛物 线， ∴ 原不等式的解集为 R. 反思感悟 一元二次不等式 ax 2 +bx+c>0 （或 <0 ） 的 解集通常与以下因素有关： （ 1 ） a 的符号 . 系数 a 影响着解集的最 后形式 . （ 2 ） 根的判别式 Δ. Δ 关系到不等式对 应的方程是否有解 . （ 3 ） 两根 x 1 ， x 2 的大小 . 两根大小关系 着解集的次序 . x y O - 1 2 2 x y O x 1 x 2 图 2-2-1 （ A ） 图 2-2-1 （ B ） 1 2 x y O x y O 图 2-2-1 （ C ） 图 2-2-1 （ D ） 43 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 1 解下列不等式： （ 1 ） 2+3x-2x 2 >0 ； （ 2 ） x （ 3-x ） ≤x （ x+2 ） -1 ； （ 3 ） x 2 -2x+3>0. 要点 2 三个 “二次” 之间的关系 1. 一元二次不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 （ a≠0 ） 的解集的端点值是一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象与 x 轴交 点的横坐标 . 2. 二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象在 x 轴上 方的部分， 是由不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 的 x 的值 构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等 式 ax 2 ＋bx＋c<0 的 x 的值构成的， 三者之间相 互依存， 可以相互转化 . 例 2 已知关于 x 的不等式 x 2 ＋ax＋b<0 的解集为 {x|1<x<2} ， 求关于 x 的不等式 bx 2 ＋ ax＋1>0 的解集 . 分析 由 x 2 ＋ax＋b<0 的解集为 {x|1<x< 2} ， 可知 1 ， 2 是方程 x 2 ＋ax＋b＝0 的两根， 可求出 a ， b 的值， 从而得解 . 解： ∵x 2 ＋ax＋b<0 的解集为 {x|1<x<2} ， ∴1 ， 2 是 x 2 ＋ax＋b＝0 的两根 . 由韦达定理有 -a=1+2 ， b=1×2 2 ， 即 a=-3 ， b=2 2 ， 代入所求不等式 bx 2 ＋ax＋1>0 ， 得 2x 2 - 3x＋1>0. 由 2x 2 -3x＋1>0圳 （ 2x-1 ）（ x-1 ） >0圳x< 1 2 或 x>1. ∴bx 2 ＋ax＋1>0 的解集为 x x< 1 2 或 x>1 2 1 . 变式训练 2 不等式 2x 2 +mx+n>0 的解集是 {x｜x>3 或 x<-2} ， 则 m ， n 的值分别是 （ ） A. 2 ， 12 B. 2 ， -2 C. 2 ， -12 D. -2 ， -12 要点 3 含参数的一元二次不等式的解法 1. 若二次项系数含有参数， 则需对二次 项系数大于 0 、 等于 0 与小于 0 进行讨论 . 2. 若求对应一元二次方程的根需用公 式， 则应对判别式 Δ 进行讨论 . 3. 若求出的根中含有参数， 则应对两根 的大小进行讨论 . 例 3 解关于 x 的不等式： x 2 -ax-2a 2 <0 （ a∈R ） . 分析 先求出方程 x 2 -ax-2a 2 ＝0 的两根 x 1 ＝2a ， x 2 ＝-a ， 再通过比较 2a 与 -a 的大小 写出不等式的解集 . 解： 原不等式转化为 （ x-2a ）（ x＋a ） <0 ， 对应的一元二次方程的根为 x 1 ＝2a ， x 2 ＝-a. ① 当 2a>-a ， 即 a>0 时， 不等式的解集 为 {x|-a<x<2a} ； ② 当 2a＝-a ， 即 a＝0 时， 原不等式化为 x 2 <0 ， 无解； ③ 当 2a<-a ， 即 a<0 时， 不等式的解集 为 {x|2a<x<-a}. 综上所述， 当 a>0 时， 原不等式的解集 为 {x|-a<x<2a} ； 当 a＝0 时， 原不等式的解集 44 第二章 等式与不等式 学 为 芰 ； 当 a<0 时， 原不等式的解集为 {x|2a< x<-a}. 反思感悟 在解决含参数的一元二次不等式时， 最优的处理次序是先看二次项系数， 其次 考虑 Δ ， 最后分析两根的大小 . 变式训练 3 求关于 x 的不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集 . 要点 4 解简单的分式不等式 1. 对于比较简单的分式不等式， 可直接 转化为一元二次不等式或一元一次不等式组 求解， 但要注意分母不为零 . 2. 对于不等号右边不为零的较复杂的分 式不等式， 先移项再通分 （不要去分母）， 使之转化为不等号右边为零， 然后再用上述 方法求解 . 例 4 解下列不等式： （ 1 ） x+2 1-x <0 ； （ 2 ） x+1 x-2 ≤2. 分析 等价转化为一元二次不等式或 一元一次不等式组求得 . 解： （ 1 ） 由 x+2 1-x <0 ， 得 x+2 x-1 >0 ， 此不等式等价于 （ x＋2 ）（ x-1 ） >0 ， ∴ 原不等式的解集为 {x|x<-2 或 x>1}. （ 2 ） 方法一： 移项得 x+1 x-2 -2≤0 ， 左边通分并化简得 -x+5 x-2 ≤0 ， 即 x-5 x-2 ≥0 ， 它的同解不等式组为 （ x-2 ）（ x-5 ） ≥0 ， x-2≠0 0 ， ∴x<2 或 x≥5. ∴ 原不等式的解集为 {x|x<2 或 x≥5} . 方法二： 原不等式可化为 x-5 x-2 ≥0 ， 此不等式等价于 x-5≥0 ， x-2> 0 0 或 x-5≤0 ， x-2<0 0 ， 解得 x≥5 或 x<2 ， ∴ 原不等式的解集为 {x|x<2 或 x≥5}. 变式训练 4 解下列不等式： （ 1 ） 2x+1 3-x >0 ； （ 2 ） x-4 3-x ≥1. 45 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 反思感悟 解分式不等式的基本思路是将分式不 等式等价转化为整式不等式， 常见的四种 形式如下： 要点 5 一元二次不等式的实际应用 一元二次不等式应用题常以二次函数为 模型， 解题时要弄清题意， 准确找出其中的 不等关系， 再利用一元二次不等式求解， 确 定答案时应注意变量具有的 “实际含义” . 例 5 某农贸公司按每担 200 元收购某 农产品， 并按每 100 元纳税 10 元 （又称征 税率为 10 个百分点）， 计划可收购 a 万担 . 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品， 决定将征税率降低 x （ x≠0 ） 个百分点， 预 测收购量可增加 2x 个百分点 . （ 1 ） 写出税收 y （万元） 与 x 的函数关 系式； （ 2 ） 要使此项税收在税率调节后不少于 原计划税收的 83.2% ， 试确定 x 的取值范围 . 分析 （ 1 ） 按 “税收 ＝ 收购总金额 × 税 率” 可建立 y 与 x 的函数关系式； （ 2 ） 将 不等关系用不等式表示， 从而求解 . 解： （ 1 ） 降低税率后的税率为 （ 10- x ） % （ 0<x<10 ）， 农产品的收购量为 a （ 1＋2x% ）万担， 收购总金额为 200a （ 1＋2x% ）万元 . 依题意得 y＝200a （ 1＋2x% ）（ 10-x ） % ＝ 1 50 a （ 100＋2x ）（ 10-x ）（ 0<x<10 ） . （ 2 ） 原计划税收为 200a · 10%＝20a （万 元） . 依题意得 1 50 a （ 100＋2x ）（ 10-x ） ≥20a× 83.2%. 化简得 x 2 ＋40x-84≤0 ， ∴-42≤x≤2. 又 ∵0<x<10 ， ∴0<x≤2 ， ∴x 的取值范围是 0<x≤2. 变式训练 5 产品的总成本 y （万元） 与产量 x （台） 之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x 2 ， x∈ （ 0 ， 240 ） . 若每台产品的售价为 25 万 元， 则使生产者不亏本 （销售收入不小于总 成本） 的最低产量是 （ ） A. 100 台 B. 120 台 C. 150 台 D. 180 台 要点 6 有关一元二次不等式恒成立的 问题 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等 式的解集为 R ， 对于一元二次不等式 ax 2 ＋bx＋ c>0 （ a≠0 ）， 它的解集为 R 的充要条件为 a>0 ， Δ=b 2 -4ac<0 0 ； 一元二次不等式 ax 2 ＋bx＋c≥0 （ a≠0 ）， 分式不等式 同解变形 f （ x ） g （ x ） >0 f （ x ） g （ x ） >0圳f （ x ） g （ x ） >0 f （ x ） g （ x ） ≤0 f （ x ） g （ x ） ≤0圳 f （ x ） g （ x ） ≤0 g （ x ） ≠ 0 0 f （ x ） g （ x ） ≥0 f （ x ） g （ x ） ≥0圳 f （ x ） g （ x ） ≥0 g （ x ） ≠ 0 0 f （ x ） g （ x ） <0 f （ x ） g （ x ） <0圳f （ x ） g （ x ） <0 46 第二章 等式与不等式 学 它的解集为 R 的充要条件为 a>0 ， Δ=b 2 -4ac≤0 " ； 一元二次不等式 ax 2 ＋bx＋c>0 （ a≠0 ）， 它 的解集为 芰 的充要条件为 a<0 ， Δ≤0 0 . * 例 6 已知不等式 ax 2 ＋ （ a-1 ） x＋a-1<0 对 于所有的实数 x 都成立， 求 a 的取值范围 . 分析 原不等式对所有的实数 x 都成 立， 即原不等式 （关于 x ） 的解集为 R. 注 意到二次项的系数为参数 a ， 故应分 a＝0 与 a≠0 两种情况分类讨论 . 解： 若 a＝0 ， 则原不等式为 -x-1<0 ， 即 x>-1 ， 不合题意， 故 a≠0. 令 y＝ax 2 ＋ （ a-1 ） x＋a-1 ， ∵ 原不等式对任意 x∈R 都成立， ∴ 二次函数 y＝ax 2 ＋ （ a-1 ） x＋a-1 的图象在 x 轴的下方， ∴a<0 且 Δ＝ （ a-1 ） 2 -4a （ a-1 ） <0 ， 即 a<0 ， （ a-1 ）（ 3a+1 ） >0 " ， ∴a<- 1 3 . 变式训练 6 已知关于 x 的不等式（ m-1 ） x 2 -x+1≥0 对 一切实数 x 恒成立， 求实数 m 的取值范围 . 数 学 文 化 例 不定方程的整数解问题是数论中一 个古老的分支， 其内容极为丰富， 西方最早 研究不定方程的人是希腊数学家丢番图 . 请 研究下面一道不定方程整数解的问题： 已知 x 2 020 +y 2 =2y （ x∈Z ， y∈Z ）， 则该方程的整数 解有 （ ） A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 分析 原方程可化为 x 2 020 + （ y-1 ） 2 =1 ， ∴ ｜x｜≤1 ， （ y-1 ） 2 ≤1 ， 即 -1≤x≤1 ， 0≤y≤2 （ x ， y∈Z ）， 再列举每种情况即可 . 解析： 设此方程的解为有序数对 （ x ， y ）， ∵x 2 020 +y 2 =2y （ x ， y∈Z ）， ∴x 2 020 + （ y-1 ） 2 =1. 当 x 2 020 >1 或 （ y-1 ） 2 >1 时， 等号是不能 成立的， ∴｜x｜≤1 ， （ y-1 ） 2 ≤1 ， 即 -1≤x≤1 ， 0≤ y≤2 （ x ， y∈Z ）， ① 当 x=-1 时， （ y-1 ） 2 =0 ， 即 y=1 ； ② 当 x=0 时， （ y-1 ） 2 =1 ， 即 y=0 或 y=2 ； ③ 当 x=1 时， （ y-1 ） 2 =0 ， 即 y=1. 综 上 所 述 ， 共 有 四 组 解 （ -1 ， 1 ） ， （ 0 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， （ 1 ， 1 ） . 故选 D. 47 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 T （ x ， y ） ＝ x+3y 2x+y ， 则不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） >p " ， 可化为 3-2m≤4 ， -5m>3p-9 " ， 解得 - 1 2 ≤m< 9-3p 5 . ∵ 不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） > " p 恰好有 3 个整数解， ∴2< 9-3p 5 ≤3 ， 解得 -2≤p<- 1 3 . ∴ 实数 p 的取值范围为 -2 ， - 1 3 3$ . 提升练习 11. B 【解析】 ∵｜x-2｜+｜x｜>a 恒成立， 即 a<｜x-2｜+｜x｜ 恒 成立， 又由绝对值的几何意义可知， ｜x-2｜+｜x｜ 的最小值为 2 ， ∴a<2 ， 故 a≤2 是 a<2 的必要不充分条件 . 故选 B. 12. BCD 【解析】 当 m=0 时， 不等式解集为 R ， 故 A 错误 ； 不等式 3x-7≤8-2x 化简为 5x≤15 ， 即 x≤3 ， ∴ 不等式的正整数解为 1 ， 2 ， 3 ， 共 3 个， 故 B 正确 ； 不等式 3x+4≥x 的解集为 {x≥-2} ， 故 C 正确； 任意实 数的绝对值为非负数， 故 D 正确 . 故选 BCD. 13. BCD 【解析】 由｜x-a｜<1 可得， a-1<x<a+1 ， 它的 充分不必要条件是 1 3 <x< 1 2 ， 即 x 1 3 <x< 1 2 " 2 是 {x｜a-1< x<a+1} 的真子集 ， 则 a-1≤ 1 3 ， a+1≥ 1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * 且等号不同时成立 ， 解得- 1 2 ≤a≤ 4 3 . 故选 BCD. * 14. 3 5 【解析】 记原不等式组为 2x-3a<7b ， ① 6b-3x<5a ， " ② 解 不等式 ① ， 得 x< 3a+7b 2 . 解不等式 ② ， 得 x> 6b-5a 3 . ∵ 原 不等式组的解集为 （ 5 ， 22 ）， ∴ 有 3a+7b 2 =22 ， 6b-5a 3 =5 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . 解得 a=3 ， b=5 " . * 15. 解： ∵x∈ （ 0 ， 1 ）， ∴ 原不等式可化为 ｜ax-1｜<x+ 1 ， ∴-x-1<ax-1<x+1 ， ∴ a<1+ 2 x ， a>-1 " ， 对任意 x∈ （ 0 ， 1 ） 恒 成立 . ∵1+ 2 x >1+2=3 ， ∴-1<a<3. 2.2.3 一元二次不等式的解法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原不等式可化为 2x 2 -3x-2<0 ， 即 （ 2x+1 ）（ x- 2 ） <0 ， 故原不等式的解集是 x - 1 2 <x<2 " 2 . （ 2 ） 原不等式可化为 2x 2 -x-1≥0 ， 即（ 2x+1 ）（ x-1 ） ≥ 0 ， 故原不等式的解集为 x x≤- 1 2 或 x≥1 " 2 . （ 3 ） ∵Δ= （ -2 ） 2 -4×3=-8<0 ， 故原不等式的解集为 R. 变式训练 2 D 【解析 】 由题意可知， -2 ， 3 是方程 2x 2 +mx+n=0 的两个根， ∴-2+3=- m 2 ， -2×3= n 2 ， ∴m=-2 ， n=-12. 故选 D. 变式训练 3 解： Δ=k 2 +8k=k （ k+8 ） . 当 Δ>0 ， 即 k<-8 或 k>0 时， 方 程 2x 2 +kx-k=0 有两个不相等的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx- k≤0 的解集为 x -k- k （ k+8 ） 姨 4 ≤x≤ -k+ k （ k+8 ） 姨 4 " 2 . 当 Δ=0 ， 即 k=-8 或 k=0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 有两个相等 的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 - k 4 " 2 . 即若 k=-8 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {2} ； 若 k=0 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {0} . 当 Δ<0 时， 即 -8<k< 0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 无实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤ 0 的解集为 芰. 变式训练 4 解： （ 1 ） 由 2x+1 3-x >0 ， 得 2x+1 x-3 <0 ， 此不等式等价于 （ 2x+1 ）（ x-3 ） <0 ， ∴ 原不等式的解集为 x - 1 2 <x<3 " 2 . （ 2 ） 由 x-4 3-x ≥1 可知， 移项得 x-4 3-x -1≥0. 通分并整 理， 得 2x-7 3-x ≥0. ∴ （ 2x-7 ）（ 3-x ） ≥0 ， 3-x≠0 " ， 解得 3<x≤ 7 2 . ∴ 原不等式的解集为 x 3<x≤ 7 2 " 2 . 变式训练 5 C 【解析】 由题意可知， 产量为 x 台时， 总售价为 25x 万元 . 欲使生产者不亏本， 必须满足总售价大于或等 于总成本， 即 25x≥3 000+20x-0.1x 2 ， 即 0.1x 2 +5x-3 000≥0. 整理得 x 2 +50x-30 000≥0 ， 解得 x≥150 或 x≤-200 （不 合题意， 舍去） . 故使生产者不亏本的最低产量是 150 台 . 故选 C. 变式训练 6 解： 由已知得 m-1>0 ， Δ=5-4m≤0 " ， 解得 m∈ 5 4 ， + 3 ∞ $ . 随堂练习 1. A 【解析 】 由不等式 2-x x-1 ≥1 可化为 2-x x-1 -1≥0 ， 得 -2x+3 x-1 ≥0 ， 此不等式等价于 x-1≠0 ， （ 2x-3 ）（ x-1 ） ≤0 " ， 解得 1<x≤ 3 2 ， 故原不等式的解集为 1 ， 3 2 20 . 故选 A. 2. D 【解析】 当 a>1 时， 1-a<0 ， 且 a> 1 a ， 则关于 x 的不等式（ 1-a ）（ x-a ） x- 1 a 0 3 <0 可化为 （ x-a ） x- 1 a 0 3 >0 ， 42 参 考 答 案 解得 x< 1 a 或 x>a ， ∴ 不等式的解集为 -∞ ， 1 a a " ∪ （ a ， +∞ ） . 故选 D. 3. ABC 【解析】 将不等式 -x 2 +7x>6 化为 x 2 -7x+6<0 ， 解得 1<x<6 ， ∴-x 2 +7x>6 的解集是 {x｜1<x<6} ， 故 A 正确； 不等式（ 2-x ）（ x+3 ） <0 ， 解得 x<-3 或 x>2 ， ∴ （ 2-x ）（ x+3 ） < 0 的解集是 {x｜x<-3 或 x>2} ， 故 B 正确； 将不等式 4 （ 2x 2 - 2x+1 ） >x （ 4-x ）， 化简为 9x 2 -12x+4>0 ， 即（ 3x-2 ） 2 >0 ， 解得 x≠ 2 3 ， ∴4 （ 2x 2 -2x+1 ） >x （ 4-x ）的解集是 x x≠ 2 3 3 & ， 故 C 正确； 不等式 x-2 x+3 ≥0 等价于 （ x-2 ）（ x+3 ） ≥0 ， x+3≠0 3 ， 解得 x<-3 或 x≥2 ， ∴ 不等式 x-2 x+3 ≥0 的解集是 {x｜x<-3 或 x≥2} ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 4. 5 2 【解析】 由不等式 x 2 -2ax-8a 2 <0 ， 得（ x+2a ）（ x- 4a ） <0 ， ∵a>0 ， 则 4a>-2a ， ∴ 原不等式的解集为 （ -2a ， 4a ）， 即 x 2 -x 1 =4a- （ -2a ） =6a=15 ， 解得 a= 5 2 . 5. 解： （ 1 ） ∵ 不等式 kx 2 -2x+6k<0 （k≠0 ） 的解集 是 R ， ∴ k<0 ， Δ=4-24k 2 <0 3 ， 解得 k<- 6 姨 6 ， ∴ 实数 k 的取 值范围是 -∞ ， - 6 姨 6 a " . （ 2 ） 由不等式 kx 2 -2x+6k<0 （ k≠0 ） 的解集是芰， 则不等式 kx 2 -2x+6k≥0 （ k≠0 ） 对任意的 x∈R 恒成立， ∴ k>0 ， Δ=4-24k 2 ≤0 3 ， 解得 k≥ 6 姨 6 ， ∴ 实数 k 的取值范围 是 6 姨 6 ， + " ∞ ∞ . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 不等式 x-2 x+3 >0圳 （ x-2 ） （ x＋3 ） >0 的 解集是 {x|x<-3 或 x>2} . 故选 C. 2. D 【解析】 由题意得 Δ＝m 2 -4× m 2 <0 ， 即 m 2 -2m< 0 ， 解得 0<m<2. 故选 D. 3. B 【解析】 由题意知， 方程 ax 2 ＋5x＋c＝0 的两根为 x 1 ＝ 1 3 ， x 2 ＝ 1 2 ， 由根与系数的关系得 x 1 ＋x 2 ＝ 1 3 ＋ 1 2 ＝- 5 a ， x 1 · x 2 ＝ 1 3 × 1 2 ＝ c a . 解得 a＝-6 ， c＝-1. 故选 B. 4. A 【解析】 不等式 （ a-x ） x- 1 a a " >0 化为 （ x-a ）· x- 1 a a " <0 ， ∵0 <a<1 ， 故 a< 1 a ， ∴ 不 等 式的 解 集 是 x a<x< 1 a 3 & . 故选 A. 5. A 【解析】 原不等式等价于 （ x-3 ）（ x+1 ） <0 ， x+1≠0 ， （ x-2 ） 2 ≠0 0 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 -1<x<3 且 x≠2. 故选 A. 6. R 【解析】 ∵Δ＝ （ -4 ） 2 -4×5＝-4<0 ， ∴ 不等式 x 2 -4x＋ 5≥0 的解集为 R. 7. {m|m≥9} 【解析】 ∵ Δ= （ m-3 ） 2 -4m≥0 ， x 1 +x 2 =3-m<0 ， x 1 x 2 =m>0 0 0 0 0 / 0 0 0 1 ， ∴m≥9. 8. ［ 2 ， 8 ） 【解析】 由 4 ［ x ］ 2 -36 ［ x ］ ＋45<0 ， 得 3 2 < ［ x ］ < 15 2 ， 又当且仅当 n≤x<n＋1 （ n∈N * ） 时， ［ x ］ ＝n ， ∴ ［ x ］ ＝2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， ∴ 所求不等式的解集为［ 2 ， 8 ） . 9. 解： ① 当 a＝0 时， 原不等式即为 -x＋1<0 ， 解得 x>1. ② 当 a<0 时， 原不等式化为 x- 1 a a " （ x-1 ） >0 ， 解得 x< 1 a 或 x>1. ③ 当 a>0 时， 原不等式化为 x- 1 a a " （ x-1 ） <0. 若 a＝1 ， 即 1 a ＝1 时， 不等式无解； 若 a>1 ， 即 1 a <1 时， 解得 1 a <x<1 ； 若 0<a<1 ， 即 1 a >1 时， 解得 1<x< 1 a . 综上， 当 a<0 时， 不等式的解集为 x x< 1 a 或 x>1 3 & ； 当 a＝0 时， 不等式的解集为 {x|x>1} ； 当 0<a<1 时， 不等式的解集为 x 1<x< 1 a 3 & ； 当 a＝1 时， 不等式的解集为 芰 ； 当 a>1 时， 不等式的解集为 x 1 a <x<1 3 & . 10. 解： （ 1 ） 设下调后的电价为 x 元 / （ kW · h ）， 依 题意知 ， 用电量增至 k x-0.4 ＋a ， 电 力部 门 的收 益 为 y＝ k x-0.4 + a " a （ x-0.3 ）（ 0.55≤x≤0.75 ） . （ 2 ） 依题意， 有 0.2a x-0.4 + a " a （ x-0.3 ） ≥ ［ a× （ 0.8-0.3 ）］（ 1+20% ）， 0.55≤x≤0.75 3 . 整理得 x 2 -1.1x+0.3≥0 ， 0.55≤x≤0.75 3 . 解此不等式组， 得 0.60≤x≤0.75. ∴ 当电价最低定为 0.60 元 / （ kW · h ） 时， 仍可保证电 力部门的收益比上年度至少增长 20%. 提升练习 11. C 【解析 】 ∵M={x∈Z ｜-2<x<3}={-1 ， 0 ， 1 ， 2} ， 由 x 2 +x-6<0 ， 得 （ x-2 ）（ x+3 ） <0 ， 解得 -3<x<2 ， ∴N= {x｜-3<x<2} ， ∴M∩N={-1 ， 0 ， 1} . 故选 C. 12. AB 【解析】 由题意， 不等式 ax 2 -bx+c>0 的解集 是（ -1 ， 2 ）， 可得 a<0 且 -1 ， 2 是方程 ax 2 -bx+c=0 的两个 43 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 根， ∴ a<0 ， -1+2= b a ， -1×2= c a a # # # # # # " # # # # # # $ ， 且 a<c ， 故 A 正确； 由 b=a ， c=-2a ， ∴b<0 ， c>0 ， 故 B 正确； 当 x=-1 时， 此时 a+b+c=0 ， 故 C 错误 ； 把 b=a ， c=-2a 代入不等式 ax 2 -cx+b<0 ， 可得 ax 2 +2ax+a<0 ， ∵a<0 ， ∴x 2 +2x+1>0 ， 即（ x+1 ） 2 >0 ， 此时不等 式的解集为 {x｜x≠-1} ， 故 D 错误 . 故选 AB. 13. ACD 【解析】 由 x 2 +3x-4<0 ， 得 -4<x<1 ， 当 x 2 - （ 2k+3 ） x+k 2 +3k>0 时， 即 （ x-k ）［ x- （ k+3 ）］ >0 ， 解得 x<k 或 x>k+3. 由题意知 （ -4 ， 1 ）芴（-∞ ， k ） ∪ （ k+3 ， +∞ ）， ∴k≥1 或 k+3≤-4 ， 即 k∈ （ -∞ ， -7 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） . 故选 ACD. 14. （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） 【解析】 由 1-x 2 ≥a 2 +a+1 （ x∈R ） 的解集为芰， 得（1-x 2 ） max <a 2 +a+1. 而（ 1-x 2 ） max =1 ， ∴a 2 +a+1>1 ， ∴a<-1 或 a>0 ， 即 a∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 0 ， +∞ ） . * 15. 解 ： 由题 意 ， 不 等 式 ax 2 -x +1 -a≤0 对 a∈ ［ 2 ， 3 ］ 恒成立 ， 可设 f （ a ） = （ x 2 -1 ） a+ （ -x+1 ） ， a∈ ［ 2 ， 3 ］， 则 f （ a ）是关于 a 的一次函数， 要使题意成立只 需 f （ 2 ） ≤0 ， f （ 3 ） ≤ ≤ 0 圯 2x 2 -x-1≤0 ， 3x 2 -x-2≤0 ≤ ， 解得 - 1 2 ≤x≤1 ， ∴x 的取值 范围是 - 1 2 ， ， / 1 . 2.2.4 均值不等式及其应用 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由于式子 x+ 1 x ≥2 中 x 的取值范围不确 定， 故当 x<0 时， x+ 1 x <0 ， ∴x+ 1 x 的最小值不能为 2 ， 故 ① 不正确； ∵x 与 1 x 同号， ∴ x+ 1 x =｜x｜+ 1 ｜x｜ ≥2 ， 当且 仅当 ｜x｜=1 时， 等号成立， 故 ② 正确； 由题意知， x+2y≥ 2 x · 2y 姨 ， 即 2 2xy 姨 ≤2 ， ∴ xy 姨 ≤ 2 姨 2 ， 故 ③ 正确； 由于 x 2 +3 姨 + 1 x 2 +3 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +3 姨 = 1 x 2 +3 姨 时 取等号， 即 x 2 +3=1 ， 即 x 2 =-2 ， 方程无解， 故 ④ 不正确 . 故选 C. 变式训练 2 （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ a-c 2 【解析 】 ∵a>b>c ， ∴a-b>0 ， b-c>0 ， ∴ （ a-b ）（ b-c ） 姨 ≤ （ a-b ） + （ b-c ） 2 = a-c 2 . 变式训练 3 证明： 左边 = b a + c a -1+ c b + a b -1+ a c + b c -1 = b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3. ∵a ， b ， c 为正数， ∴ b a + a b ≥2 （当且仅当 a=b 时取 “ = ”）； c a + a c ≥2 （当且仅当 a=c 时取 “ = ”）； c b + b c ≥2 （当且仅当 b=c 时取 “ = ”） . 从而 b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 ≥6. （当且仅当 a=b=c 时取 “ = ”） . ∴ b a + a b b 2 + c a + a c b 2 + c b + b c b 2 -3≥3 ， 即 b+c-a a + c+a-b b + a+b-c c ≥3. 变式训练 4 C 【解析】 根据题意， 实数 x>0 ， y>0 ， x+4y=xy ， 两 边同除 xy 得， 1 y + 4 x =1 ， ∴x+y= （ x+y ） 1 y + 4 x b 2 = x y + 4y x + 5≥2 x y · 4y x 姨 +5=9 ， 当且仅当 x=2y 时等号成立， 即 x+y 的最小值为 9. 变式训练 5 解： ∵x<3 ， ∴3-x>0. 又 ∵y=2x+1+ 1 x-3 =2 （ x-3 ） + 1 x-3 +7=- 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7 ， 由基本不等式可得 2 （ 3-x ） + 1 3-x ≥2 2 （ 3-x ）· 1 3-x b 2 姨 =2 2 姨 ， 当且仅当 2 （ 3-x ） = 1 3-x ， 即 x=3- 2 姨 2 时， 等号成立， 于是 - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x ≤ -2 2 姨 ， - 2 （ 3-x ） + 1 3-x ， x +7≤7-2 2 姨 ， 故 y=2x+1+ 1 x-3 的最大值是 7-2 2 姨 . 变式训练 6 B 【解析】 根据题意， 生产 x 件产品的生产准备费 用与仓储费用之和是 800+x · x 8 · 1=800+ 1 8 x 2 ， 则平均每 件的生产准备费用与仓储费用之和为 y= 800+ 1 8 x 2 x = 800 x + 1 8 x （ x 为正整数）， 由均值不等式得， y≥2 800 x · 1 8 x 姨 =20 ， 当且仅当 800 x = 1 8 x=10 时， y 取最小值， 可得 x=80 时， 每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 . 故 选 B. 随堂练习 1. C 【解析】 令 x=-1 时， y=x+ 1 x =-1+ 1 -1 =-2 ， 故 A 错误； 由于 y= x 2 +2 姨 + 1 x 2 +2 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 2 +2 姨 = 1 x 2 +2 姨 时取等号 ， 即 x 2 +2=1 ， 即 x 2 =-1 ， 方程无解 ， 44