2.2.2 不等式的解集-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解不等式解集的概念， 并能用集合 表示不等式 （组） 的解集 . 2. 掌握绝对值不等式的解法 . 3. 理解绝对值概念的几何意义， 并利用 几何意义推导数轴上两点间距离公式和中点 坐标公式 . 4. 在解不等式的过程中， 体会化归与转 化、 数形结合的思想方法， 发展数学运算、 直观想象和逻辑推理等数学素养 . 要 点 精 析 要点 1 不等式的解集与不等式组的 解集 一般地， 不等式的所有解组成的集合称 为不等式的解集 . 对于由若干个不等式联立 得到的不等式组来说， 这些不等式的解集的 交集称为不等式组的解集 . 例 1 解不等式组， 并把解集在数轴上 表示出来： （ 1 ） 2x+3>1 ， x-2<0 ! ； （ 2 ） x- x+1 2 > 1 2 ， x+8<4x-1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 分析 分别求出各不等式的解集， 再 求出各个解集的交集， 并在数轴上表示出 来即可 . 解： （ 1 ） 解不等式 2x＋3>1 ， 得 x>-1 ， 解不等式 x-2<0 ， 得 x<2 ， 则不等式组的解集为 {x|-1<x<2}. 将解集表示在数轴上如下： （ 2 ） 解不等式 x- x+1 2 > 1 2 ， 得 x>2 ， 解不等式 x＋8<4x-1 ， 得 x>3 ， 则不等式组的解集为 {x|x>3} ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 变式训练 1 不等式组 5x-3<3x+5 ， x< ! a 的解集为 {x ｜x< 4} ， 则 a 满足的条件是 （ ） A. a<4 B. a=4 C. a≤4 D. a≥4 要点 2 绝对值不等式 含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 . 例 2 解下列不等式： （ 1 ） |2x＋5|＜7 ； （ 2 ） |2x＋5|＞7＋x ； （ 3 ） 2≤|x-2|≤4. 解： （ 1 ） 原不等式 圳-7＜2x＋5＜7. ∴-12＜2x＜2 ， ∴-6＜x＜1 ， ∴ 原不等式的解集为 （ -6 ， 1 ） . （ 2 ） 由不等式 |2x＋5|＞7＋x ， 可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜- （ 7＋x ）， ∴x＞2 或 x＜-4. ∴ 原不等式的解集为（ -∞ ， -4 ） ∪ （ 2 ， +∞ ） . 2.2.2 不等式的解集 -1 0 1 2 0 1 2 3 4 5-1 38 第二章 等式与不等式 学 （ 3 ） 原不等式等价于 ｜x-2｜≥2 ， ① ｜x-2｜≤4. # ② 由 ① 得 x-2≤-2 或 x-2≥2 ， ∴x≤0 或 x≥4. 由 ② 得 -4≤x-2≤4 ， ∴-2≤x≤6. ∴ 原不等式的解集为［ -2 ， 0 ］ ∪ ［ 4 ， 6 ］ . 反思感悟 形如 ｜ax+b｜≤c （ c>0 ） 和 ｜ax+b ｜≥c （ c> 0 ） 型的不等式， 均可采用等价转化法进行 求解， 即 ｜ax+b｜≤c圳-c≤ax+b≤c ， ｜ax+b｜≥c圳ax+b≤-c 或 ax+b≥c. 变式训练 2 不等式 2<｜2x+3｜≤4 的解集为 （ ） A. x - 7 2 <x<- 5 2 或 - 1 2 <x≤ 1 2 2 ' B. x - 7 2 <x<- 5 2 或 - 1 2 <x< 1 2 # 2 C. x - 7 2 ≤x<- 5 2 或 - 1 2 <x≤ 1 2 2 2 D. x - 7 2 ≤x≤- 5 2 或 - 1 2 <x≤ 1 2 2 2 例 3 解下列不等式： （ 1 ） |x-1|＞|2x-3| ； （ 2 ） |x-1|＋|x-2|＞2 ； * （ 3 ） |x＋1|＋|x＋2|＞3＋x. 分析 利用绝对值的性质， 掌握去掉 绝对值符号的方法 . （ 1 ） 用平方的方法 ， （ 2 ） （ 3 ） 分类讨论 . 解： （ 1 ） ∵|x-1|＞|2x-3|>0 ， ∴ （ x-1 ） 2 ＞ （ 2x-3 ） 2 ， 即 （ 2x-3 ） 2 - （ x-1 ） 2 ＜0 ， ∴ （ 2x-3＋x-1 ）（ 2x-3-x＋1 ） ＜0 ， 即 （ 3x-4 ）（ x-2 ） ＜0 ， ∴ 4 3 ＜x＜2. 即原不等式的解集为 4 3 ， ， * 2 . （ 2 ） 原不等式 圳 x≤1 ， 1-x+2-x> # 2 或 1<x<2 ， x-1+2-x> # 2 或 x≥2 ， x-1+x-2> # 2 圳 x≤1 ， x< 1 2 2 - - - - , - - - - . 或 1<x<2 ， -1> 2 0 或 x≥2 ， x> 5 2 2 - - - - , - - - - . 圳x< 1 2 或 x＞ 5 2 ， ∴ 原 不 等 式 的 解 集 为 -∞ ， 1 2 ， 2 ∪ 5 2 ， + ， 2 ∞ . （ 3 ） 原不等式 圳 x≤-2 ， -x-1-x-2>3+ + x 或 -2<x<-1 ， -x-1+x+2>3+x + 或 x≥-1 ， x+1+x+2>3+x + 圳 x≤-2 ， x<- + 2 或 -2<x<-1 ， x<- + 2 或 x≥-1 ， x> + 0 圳x<-2 或 x＞0 ， ∴ 原不等式的解集为（ -∞ ， -2 ） ∪ （ 0 ， ＋∞ ） . 反思感悟 形如 ｜x-a｜±｜x-b｜≤c 和 ｜x-a ｜±｜x-b ｜≥c 型 不等式在求解时有三种方法： 方法一： 利用绝对值不等式的几何意 义求解， 这种方法体现了数形结合的思想， 是解绝对值不等式最简单的方法 . 方法二： 令每个绝对值符号里的一次 式为 0 ， 求出相应的根， 把这些根由小到大 排序， 它们把数轴分为若干个区间， 然后 利用区间分段讨论法去掉绝对值符号进行 求解， 这种方法体现了分类讨论的思想， 是解绝对值不等式最常用的方法 . 39 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 方法三： 构造函数法， 利用函数图象 求解 . 变式训练 3 解不等式： ｜x+1｜-｜x-3｜<3. 要点 3 数轴上两点间的距离及中点坐 标公式 1. 距离公式 ： 一般地 ， 如果实数 a ， b 在数轴上对应的点分别为 A ， B ， 即 A （ a ）， B （ b ）， 则线段 AB 的长为 |a-b|. 2. 中点坐标公式： A （ a ）， B （ b ）， 线段 AB 的中点 M 对应的数为 x ， 则 x＝ a+b 2 . 例 4 设数轴上点 A 与数 3 对应， 点 B 与数 x 对应， 已知线段 AB 的中点到原点的 距离不大于 5 ， 求 x 的取值范围 . 解： ∵AB 的中点对应的数为 3+x 2 ， ∴ 由题意可知 3+x 2 ≤5 ， 即 |3＋x|≤10 ， 因此 -10≤3＋x≤10 ， ∴-13≤x≤7 ， 因此 x 的取值范围是［ -13 ， 7 ］ . 变式训练 4 已知数轴上点 P 与 -8 对应， 点 Q 与 m 对应， 点 R 与 2 对应 ， 若 PQ 中点到线段 PR 中点的距离大于 1 ， 求实数 m 的取值 范围 . 例 5 已知数轴上的三点 A ， B ， P 的坐 标分别为 A （ -1 ）， B （ 3 ）， P （ x ） . （ 1 ） 点 P 到 A ， B 两点的距离都是 2 时， 求 P （ x ）， 此时 P 与线段 AB 是什么关系？ （ 2 ） 在线段 AB 上是否存在一点 P （ x ）， 使得 P 到 A 和 B 的距离都是 3 ？ 若存在， 求 P （ x ）； 若不存在， 请说明理由 . 分析 根据数轴上两点间的距离公式 及中点坐标公式求解 . 解： （ 1 ） 由题意知 ｜x+1｜=2 ， ｜x-3｜=2 2 ， 可以化为 x+1=2 ， x-3= 2 2 或 x+1=2 ， x-3=- 2 2 或 x+1=-2 ， x-3=- 2 2 或 x+1=-2 ， x-3=2 2 ， 解得 x＝1. ∴ 点 P 的坐标为 P （ 1 ）， 此时 P 为 AB 的 中点 . （ 2 ） 不存在这样的 P （ x ）， 理由如下： ∵AB＝|3- （ -1 ） |＝4<6 ， ∴ 在线段 AB 上找一点 P 使 |PA|＋|PB|＝3＋ 3＝6 是不可能的 . 变式训练 5 已知集合 M={A｜d （ A ， B ） <3 ， B （ 2 ）， A 为 数轴上的点 } ， 集合 N={A｜d （ A ， B ） ≤3 ， B （ 2 ）， A 为数轴上的点 } ， 则集合 M 与 N 的关系为 . 40 第二章 等式与不等式 学 数 学 文 化 例 有一支队伍长 L m ， 以速度 v 匀速 前进， 排尾的传令兵因传达命令赶赴排头， 到达排头后立即返回， 往返速度不变 . 如果 传令兵回到排尾时， 全队正好前进了 L m ， 求传令兵行走的路程 . 分析 由题中条件， 设传令兵的行进 速度为 v′ ， 则可表达出往返所用时间 . 解： 设传令兵的行进速度为 v′ ， 则传令 兵从排尾到排头所需时间为 L v′-v ， 从排头到 排尾所需时间为 L v′+v ， 往返共用时间 t = L v′-v + L v′+v ， 往返所走路程为 tv′. 由传令兵 回到排尾时全队正好前进了 L ， 则 L=vt ， 故 t （ v′ 2 -v 2 ） =2v′L ， ∴t 2 （ v′ 2 -v 2 ） =2tv′L ， ∴ （ tv′ ） 2 - 2L （ tv′ ） -L 2 =0. 解以 tv′ 为变量的一元二次方程， 有 v′t= （ 1+ 2 姨 ） L ， 即传令兵行走的路程为 （ 1+ 2 姨 ） L. 41 参 考 答 案 a+b 2 > 2ab a+b . ∴ 乙采购员的购粮方式更合算 . 2.2.2 不等式的解集 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 解不等式组得 x<a ， x<4 ! ， ∵ 5x-3<3x+5 ， x< ! a 的解 集为 x<4 ， ∴a≥4. 故选 D. 变式训练 2 C 【解析】 由 2<｜2x+3｜≤4 可得， 2<2x+3≤4 或 -4≤ 2x+3<-2 ， 解得 - 1 2 <x≤ 1 2 或 - 7 2 ≤x<- 5 2 . 故选 C. 变式训练 3 解： 原不等式 圳 x≤-1 ， - （ x+1 ） + （ x-3 ） < < 3 或 -1<x<3 ， x+1+x-3< < 3 或 x≥3 ， x+1- （ x-3 ） < < 3 圳 x≤-1 ， x∈ ! R 或 -1<x<3 ， x< 5 2 ! 或 x≥3 ， x∈芰 < 圳 x< 5 2 . ∴ 原不等式的解集为 x x< 5 2 < 2 . 变式训练 4 解： 由题意可知， m-8 2 - -8+2 2 >1 ， 即 m 2 -1 >1 ， ∴ m 2 -1>1 或 m 2 -1<-1 ， 解得 m>4 或 m<0. ∴ 实数 m 的取 值范围是 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 4 ， +∞ ） . 变式训练 5 M芴N 【解析】 由已知得 M= （ -1 ， 5 ）， N= ［ -1 ， 5 ］， 故 M芴N. 随堂练习 1. C 【解析】 记原不等式组为 2 （ x+3 ） -4≥0 ， ① x+1 3 >x-1 ， ， ② 由 ① 得到 2x+6-4≥0 ， ∴x≥-1 ， 由 ② 得到 x+1>3x-3 ， ∴x< 2 ， 故原不等式组解为 -1≤x<2 ， ∴ 最大整数解是 1 ， 故 选 C. 2. B 【解析 】 由 ｜2x-1 ｜>1 ， 得 2x-1<-1 或 2x-1>1 ， 即 x<0 或 x>1. ∴ 原不等式的解集为（ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 故选 B. 3. BC 【解析】 由题意可知， AB=｜x-3｜= 9 2 ， ∴x-3= 9 2 或 x-3=- 9 2 ， ∴x= 15 2 或 x=- 3 2 . ∴AB 的中点对应的数 为 15 2 +3 2 = 21 4 或 3+ - 3 2 2 0 2 = 3 4 . 故选 BC. 4. 8 【解析】 由 1<｜x-2｜<4 ， 得 ｜x-2｜<4 ， ｜x-2｜>1 ! ， 解得 -2<x<1 或 3<x<6. ∵x∈Z ， ∴x=-1 ， 0 ， 4 ， 5 ， 故所有整数解的和 为 -1+0+4+5=8. 5. 解： 原不等式 圳 x≤1 ， 2-x- （ 1-x ） > 1 2 ! 或 1<x<2 ， 2-x- （ x-1 ） > 1 2 ! 或 x≥2 ， x-2- （ x-1 ） > 1 2 ! 圳 x≤1 ， x∈ ! R 或 1<x<2 ， x< 5 4 ! 或 x≥2 ， x∈芰 ! 圳x< 5 4 ， ∴ 原不等式的解集为 -∞ ， 5 4 2 4 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析 】 MP＝｜ （ -5 ） -3 ｜＝8 ， PN＝｜ （ -1 ） - （ -5 ） ｜＝4 ， MP-PN＝8-4＝4. 故选 B. 2. C 【解析】 解不等式 2x-1≥5 ， 得 x≥3 ， 解不等 式 8-4x＜0 ， 得 x＞2 ， 故不等式组的解集为［ 3 ， ＋∞ ） . 故 选 C. 3. C 【解析】 解不等式 2x＋1＞0 ， 得 x＞- 1 2 . 解不等 式 x-5≤0 ， 得 x≤5 ， ∴ 不等式组的解集为 - 1 2 ， ， 5 5 ， 整数解为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 共 6 个 . 故选 C. 4. C 【解析】 依题意应有 3-｜x｜≥0 ， ｜2x+1｜-4>0 ， ， 即 -3≤x≤3 ， 2x+1>4 或 2x+1<-4 ， ， 解得 -3≤x<- 5 2 或 3 2 <x≤3. 故选 C. 5. B 【解析 】 ∵2埸M ， ∴2∈ R M ， ∴ 2a-1 2 ≤a ， 即 -a≤ 2a-1 2 ≤a ， 解得 a≥ 1 4 . 故选 B. 6. -6 【解析】 |mx-2|<3圳-3<mx-2<3圳-1<mx<5. ① 若 m>0 ， 则 - 1 m <x< 5 m ， 由题意得 - 1 m ＝- 5 6 且 5 m ＝ 1 6 ， 无解 . ② 若 m<0 ， 则 5 m <x<- 1 m ， 由题意得 5 m ＝- 5 6 且 - 1 m ＝ 1 6 ， 解得 m＝-6. 综上可得 m＝-6. 7. ［ 0 ， 4 ］ 【解析】 由于 ||x-2|-1|≤1 ， 即 -1≤|x-2|- 1≤1 ， 即 |x-2|≤2 ， ∴-2≤x-2≤2 ， ∴0≤x≤4. 8. （ -∞ ， 3 ］ 【解析】 对任意的 x∈R ， |x＋2|＋|x-1|≥ 3 恒成立， 要使原不等式的解集为 芰 ， 则需 a≤3. * 9. 解 ： 不等式 |2x-a|≤x＋3 去掉绝对值符号得 -x- 3≤2x-a≤x＋3 ， 即 -x-3≤2x-a ， 2x-a≤x+3 < ， 对任意 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 恒 成 立 ， 变 量 分 离 得 a≤3x+3 ， a≥x-3 < ， 只 需 a≤ （ 3x+3 ） min ， a≥ （ x-3 ） max < ， 即 a≤3 ， a≥-1 < ， ∴a 的取值范围是［ -1 ， 3 ］ . 10. 解： （ 1 ） 由 T （ 1 ， -1 ） ＝-2 ， T （ 4 ， 2 ） ＝1 ， 得 a×1+b× （ -1 ） 2×1-1 =-2 ， a×4+b×2 2×4+2 =1 1 8 8 8 8 7 8 8 8 8 9 ， 即 a-b=-2 ， 4a+2b=10 ， ， 解得 a=1 ， b=3 ， . 41 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 T （ x ， y ） ＝ x+3y 2x+y ， 则不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） >p " ， 可化为 3-2m≤4 ， -5m>3p-9 " ， 解得 - 1 2 ≤m< 9-3p 5 . ∵ 不等式组 T （ 2m ， 5-4m ） ≤4 ， T （ m ， 3-2m ） > " p 恰好有 3 个整数解， ∴2< 9-3p 5 ≤3 ， 解得 -2≤p<- 1 3 . ∴ 实数 p 的取值范围为 -2 ， - 1 3 3$ . 提升练习 11. B 【解析】 ∵｜x-2｜+｜x｜>a 恒成立， 即 a<｜x-2｜+｜x｜ 恒 成立， 又由绝对值的几何意义可知， ｜x-2｜+｜x｜ 的最小值为 2 ， ∴a<2 ， 故 a≤2 是 a<2 的必要不充分条件 . 故选 B. 12. BCD 【解析】 当 m=0 时， 不等式解集为 R ， 故 A 错误 ； 不等式 3x-7≤8-2x 化简为 5x≤15 ， 即 x≤3 ， ∴ 不等式的正整数解为 1 ， 2 ， 3 ， 共 3 个， 故 B 正确 ； 不等式 3x+4≥x 的解集为 {x≥-2} ， 故 C 正确； 任意实 数的绝对值为非负数， 故 D 正确 . 故选 BCD. 13. BCD 【解析】 由｜x-a｜<1 可得， a-1<x<a+1 ， 它的 充分不必要条件是 1 3 <x< 1 2 ， 即 x 1 3 <x< 1 2 " 2 是 {x｜a-1< x<a+1} 的真子集 ， 则 a-1≤ 1 3 ， a+1≥ 1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * 且等号不同时成立 ， 解得- 1 2 ≤a≤ 4 3 . 故选 BCD. * 14. 3 5 【解析】 记原不等式组为 2x-3a<7b ， ① 6b-3x<5a ， " ② 解 不等式 ① ， 得 x< 3a+7b 2 . 解不等式 ② ， 得 x> 6b-5a 3 . ∵ 原 不等式组的解集为 （ 5 ， 22 ）， ∴ 有 3a+7b 2 =22 ， 6b-5a 3 =5 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . 解得 a=3 ， b=5 " . * 15. 解： ∵x∈ （ 0 ， 1 ）， ∴ 原不等式可化为 ｜ax-1｜<x+ 1 ， ∴-x-1<ax-1<x+1 ， ∴ a<1+ 2 x ， a>-1 " ， 对任意 x∈ （ 0 ， 1 ） 恒 成立 . ∵1+ 2 x >1+2=3 ， ∴-1<a<3. 2.2.3 一元二次不等式的解法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原不等式可化为 2x 2 -3x-2<0 ， 即 （ 2x+1 ）（ x- 2 ） <0 ， 故原不等式的解集是 x - 1 2 <x<2 " 2 . （ 2 ） 原不等式可化为 2x 2 -x-1≥0 ， 即（ 2x+1 ）（ x-1 ） ≥ 0 ， 故原不等式的解集为 x x≤- 1 2 或 x≥1 " 2 . （ 3 ） ∵Δ= （ -2 ） 2 -4×3=-8<0 ， 故原不等式的解集为 R. 变式训练 2 D 【解析 】 由题意可知， -2 ， 3 是方程 2x 2 +mx+n=0 的两个根， ∴-2+3=- m 2 ， -2×3= n 2 ， ∴m=-2 ， n=-12. 故选 D. 变式训练 3 解： Δ=k 2 +8k=k （ k+8 ） . 当 Δ>0 ， 即 k<-8 或 k>0 时， 方 程 2x 2 +kx-k=0 有两个不相等的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx- k≤0 的解集为 x -k- k （ k+8 ） 姨 4 ≤x≤ -k+ k （ k+8 ） 姨 4 " 2 . 当 Δ=0 ， 即 k=-8 或 k=0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 有两个相等 的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 - k 4 " 2 . 即若 k=-8 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {2} ； 若 k=0 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {0} . 当 Δ<0 时， 即 -8<k< 0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 无实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤ 0 的解集为 芰. 变式训练 4 解： （ 1 ） 由 2x+1 3-x >0 ， 得 2x+1 x-3 <0 ， 此不等式等价于 （ 2x+1 ）（ x-3 ） <0 ， ∴ 原不等式的解集为 x - 1 2 <x<3 " 2 . （ 2 ） 由 x-4 3-x ≥1 可知， 移项得 x-4 3-x -1≥0. 通分并整 理， 得 2x-7 3-x ≥0. ∴ （ 2x-7 ）（ 3-x ） ≥0 ， 3-x≠0 " ， 解得 3<x≤ 7 2 . ∴ 原不等式的解集为 x 3<x≤ 7 2 " 2 . 变式训练 5 C 【解析】 由题意可知， 产量为 x 台时， 总售价为 25x 万元 . 欲使生产者不亏本， 必须满足总售价大于或等 于总成本， 即 25x≥3 000+20x-0.1x 2 ， 即 0.1x 2 +5x-3 000≥0. 整理得 x 2 +50x-30 000≥0 ， 解得 x≥150 或 x≤-200 （不 合题意， 舍去） . 故使生产者不亏本的最低产量是 150 台 . 故选 C. 变式训练 6 解： 由已知得 m-1>0 ， Δ=5-4m≤0 " ， 解得 m∈ 5 4 ， + 3 ∞ $ . 随堂练习 1. A 【解析 】 由不等式 2-x x-1 ≥1 可化为 2-x x-1 -1≥0 ， 得 -2x+3 x-1 ≥0 ， 此不等式等价于 x-1≠0 ， （ 2x-3 ）（ x-1 ） ≤0 " ， 解得 1<x≤ 3 2 ， 故原不等式的解集为 1 ， 3 2 20 . 故选 A. 2. D 【解析】 当 a>1 时， 1-a<0 ， 且 a> 1 a ， 则关于 x 的不等式（ 1-a ）（ x-a ） x- 1 a 0 3 <0 可化为 （ x-a ） x- 1 a 0 3 >0 ， 42