2.2.1 不等式及其性质-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能在实际问题中找到不等关系， 并能 列出不等式和不等式组， 抽象成数学问题 . 2. 灵活运用作差法比较两个数或式的 大小 . 3. 掌握不等式的 5 个性质和 5 个推论， 会用不等式的性质证明不等式或解决求范 围问题 . 4. 掌握用配方法、 作差法、 综合法、 反 证法、 分析法证明不等式 . 5. 通过对不等式性质的直观解释和逻辑 证明， 逐步提升代数推理能力， 发展直观想 象和逻辑推理素养 . 要 点 精 析 要点 1 用不等式 （组） 表示不等关系 例 1 商人如果将进货单价为 8 元的商 品按每件 10 元销售， 每天可销售 100 件， 现在他采用提高售价、 减少进货量的办法增 加利润 . 已知这种商品的售价每提高 1 元， 销售量就可能相应减少 10 件 . 若把提价后的 商品售价设为 x 元， 怎样用不等式表示每天 的利润不低于 300 元？ 分析 根据 “利润 ＝ 销售量 × 单件利 润”， 把利润用 x 表示出来， “不低于” 即 “大于或等于”， 可列出不等式 . 解： 若提价后商品的售价为 x 元， 则销售量减少 10 （ x-10 ）件， 因此， 每天的利润为（ x-8 ）［ 100-10 （ x- 10 ）］ 元， 则 “每天的利润不低于 300 元” 可以表 示为不等式（ x-8 ）［ 100-10 （ x-10 ）］ ≥300. 变式训练 1 下列说法正确的是 （ ） A. 某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示 为 x<2 000 B. 小明的身高 x cm ， 小华的身高 y cm ， 则小明比小华矮表示为 x>y C. 某变量 x 至少是 a 可表示为 x≥a D. 某变量 y 不超过 a 可表示为 y≥a 例 2 某蔬菜收购点租用车辆， 将 100 t 新鲜辣椒运往某市销售， 可租用的大卡车和 农用车分别为 10 辆和 20 辆 . 若每辆大卡车 载质量 8 t ， 运费 960 元， 每辆农用车载质量 2.5 t ， 运费 360 元， 运输成本之和不能超过 10 000 元 . 据此， 安排两种车型， 应满足哪 些不等关系？ 请用不等式组表示 . 解： 设租用大卡车 x 辆、 农用车 y 辆 . 根据题意， 两种车应满足如下的不等关系： （ 1 ） 两种车辆的总载质量应该不低于 100 t ； （ 2 ） 运输成本之和不超过 10 000 元； （ 3 ） 大卡车不能超过 10 辆； 2.2 不 等 式 2.2.1 不等式及其性质 34 第二章 等式与不等式 学 （ 4 ） 农用车不能超过 20 辆； （ 5 ） x∈N ， y∈N. 可以用下面的不等式组来表示以上不等 关系： 8x+2.5y≥100 ， 960x+360y≤10 000 ， 0≤x≤10 ， x∈N ， 0≤y≤20 ， y∈N N ( ( ( ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ( ( ( ) ， 即 16x+5y≥200 ， 24x+9y≤250 ， 0≤x≤10 ， x∈N ， 0≤y≤20 ， y∈N N ( ( ( ( ( ( ( ( N ( ( ( ( ( ( ( ( ) . 要点 2 实数大小比较 例 3 比较下列各组中两个代数式的大小： （ 1 ） x 2 ＋3 与 3x ； （ 2 ） 已知 a ， b 均为正数， 且 a≠b ， 比 较 a 3 ＋b 3 与 a 2 b＋ab 2 的大小 . 分析 我们知道， a-b>0圳a>b ， a-b<0 圳a<b. 因此， 若要比较两式的大小， 只需 作差再与 0 作比较即可 . 解： （ 1 ） （ x 2 ＋3 ） -3x ＝x 2 -3x＋3 ＝ x- 3 2 2 . 2 ＋ 3 4 ≥ 3 4 >0 ， ∴x 2 ＋3>3x. （ 2 ） （ a 3 ＋b 3 ） - （ a 2 b＋ab 2 ） ＝a 3 ＋b 3 -a 2 b-ab 2 ＝a 2 （ a-b ） -b 2 （ a-b ） ＝ （ a-b ）（ a 2 -b 2 ） ＝ （ a-b ） 2 （ a＋b ） . ∵a>0 ， b>0 且 a≠b ， ∴ （ a-b ） 2 >0 ， a＋b>0. ∴ （ a 3 ＋b 3 ） - （ a 2 b＋ab 2 ） >0 ， 即 a 3 ＋b 3 >a 2 b＋ab 2 . 反思感悟 作差法比较大小的步骤： （ 1 ） 作差； （ 2 ） 变形， 其目的是确定差式符号 ， 可变形为积或商的形式， 或变形为几个非 负数 （非负式子） 之和； （ 3 ） 判断差的符号， 必要时需要分类 讨论； （ 4 ） 得出结论 . 变式训练 2 若 M=2a 2 -3a+5 ， N=a 2 -a+4 ， 则 M 与 N 的大小关系为 （ ） A. M≥N B. M>N C. M<N D. M≤N 要点 3 利用不等式的性质判断或证明 不等式 例 4 （ 1 ） 对于实数 a ， b ， c ， 给出下 列命题： ① 若 a>b ， 则 ac 2 >bc 2 ； ② 若 a<b<0 ， 则 a 2 >ab>b 2 ； ③ 若 a>b ， 则 a 2 >b 2 ； ④ 若 a<b<0 ， 则 a b > b a . 其中正确命题的序号是 . （ 2 ） 已知 a>b ， e>f ， c>0. 求证： f-ac<e-bc. 分析 （ 1 ） 直接利用不等式的基本性 质判断； （ 2 ） 首先由性质 4 得到 -bc>-ac ， 再由性质 5 证明 . 35 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 1 ） 解析： ∵c 2 ≥0 ， ∴ 只有 c≠0 时才成 立， ① 不正确； a<b<0圯a 2 >ab ， a<b<0圯ab>b 2 ， ∴② 正 确； 若 0>a>b ， 则 a 2 <b 2 ， 如 -1>-2 ， 但 （ -1 ） 2 < （ -2 ） 2 ， ∴③ 不正确； ∵a<b<0 ， ∴-a>-b>0 ， ∴ （ -a ） 2 > （ -b ） 2 ， 即 a 2 >b 2 . 又 ∵ab>0 ， ∴ 1 ab >0 ， ∴a 2 · 1 ab >b 2 · 1 ab ， ∴ a b > b a ， ④ 正确 . 故正确命题的序号是 ②④. （ 2 ） 证明： ∵a>b ， c>0 ， ∴ac>bc ， ∴-ac<-bc. ∵f<e ， ∴f-ac<e-bc. 反思感悟 在使用不等式性质时， 一定要弄清不 等式成立的前提条件， 不可强化或弱化成 立的条件 . 如 “同向不等式 ” 才可相加 、 “同向且两边同正的不等式” 才可相乘 . 可 乘性中的 “ c 的符号” 等都需要注意 . 变式训练 3 对于实数 a ， b ， c ， 有下列命题： ① 若 a>b ， 则 ac<bc ； ② 若 ac 2 >bc 2 ， 则 a>b ； ③ 若 a>b>0 ， 则 a 2 >ab>b 2 ； ④ 若 c>a>b>0 ， 则 a c-a > b c-b ； ⑤ 若 a>b ， 1 a > 1 b ， 则 a>0 ， b>0. 其 中真命题为 （填序号） . 要点 4 利用不等式的性质求取值范围 例 5 已知 1<a<4 ， 2<b<8 ， 试求 2a＋3b 与 a-b 的取值范围 . 分析 欲求 a-b 的取值范围， 应先求 -b 的取值范围， 再利用不等式的性质求解 . 解： ∵1<a<4 ， 2<b<8 ， ∴2<2a<8 ， 6<3b<24 ， ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8 ， ∴-8<-b<-2. 又 ∵1<a<4 ， ∴1＋ （ -8 ） <a＋ （ -b ） <4＋ （ -2 ）， 即 -7<a-b<2. 故 8<2a＋3b<32 ， -7<a-b<2. 变式训练 4 已知 -1<a+b<3 且 2<a-b<4 ， 求 2a+3b 的 取值范围 . 反思感悟 利用几个代数式的取值范围来确定某 个代数式的取值范围是一类常见题型， 对 于此类问题要注意 “同向不等式的两边可 以相加”， 但这种转化不是等价变形 . 若在 一个解题过程中多次利用此类转化， 就有 可能扩大真实的取值范围， 故解题时可先 建立待求范围的整体与已知范围的整体的 等量关系 ， 通过 “一次性不等关系的运 算”， 求得待求式的取值范围， 避免错误 . 36 第二章 等式与不等式 学 数 学 文 化 例 我国南北朝数学家何承天发明的 “调日法” 是程序化寻求精确分数来表示数 值的算法， 其理论依据是： 设实数 x 的不足 近似值和过剩近似值分别为 b a 和 d c ， a ， b ， c ， d∈N * ， 则 b+d a+c 是 x 的更为精确的近似值 . 已知 113 36 <π< 63 20 ， 试以上述 π 的不足近似值 113 36 和过剩近似值 63 20 为依据， 那么使用两次 “调日法” 后可得 π 的近似分数为 . 分析 根据题中所给定义及数据， 第 一次使用 “调日法” 可得近似分数， 与 π 比较， 进行第二次运算， 即可得答案 . 解析： ∵ 113 36 <π< 63 20 ， ∴ 第一次使用 “调日法” 可得近似分数 为 113+63 36+20 = 176 56 = 22 7 ≈3.142 9 ， ∴π< 22 7 ， ∴ 113 36 <π< 22 7 ， ∴ 第二次使用 “调日法” 可得近似分数 为 113+22 36+7 = 135 43 . 37 参 考 答 案 ②×2＋③ ， 得 10x＋3y＝13. ④ 将 ① 与 ④ 组成二元一次方程组 3x-2y=1 ， 10x+3y=13 3 ， 解得 x=1 ， y=1 3 . 把 y＝1 代入 ③ ， 得 z＝1 ， ∴ 原方程组的解集为 { （ 1 ， 1 ， 1 ） } . 提升练习 11. A 【解 析 】 ∵ 3x+y=-3m+2 ， ① x+2y=4 ， 3 ② ① ×2 -② 得 ， x=- 6 5 m ， 将 x=- 6 5 m 代入 ② 得， y=2+ 3 5 m. ∵x+y>- 3 2 ， ∴- 6 5 m+2+ 3 5 m>- 3 2 ， 解得 m< 35 6 ， ∴ 满足条件的 m 的 所有正整数为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 故选 A. 12. BC 【解析】 关于 x 的方程 x+ 1 x =c+ 1 c 的解是 x= c 或 x= 1 c （ c≠0 ）， 故 A 错误 ； 方程组 xy+yz=63 ， ① xz+yz=23 ， 3 ② ∵x ， y ， z 是正整数， ∴x+y≥2. ∵23 只能分解为 23×1 ， ∴ 方程 ② 即为 （ x+y ） z=23 ， ∴z=1 ， x+y=23. 将 z=1 代入原方 程组可得 xy+y=63 ， ③ x+y=23 ， 3 ④ 解得 x=2 ， y=21 3 ， 或 x=20 ， y=3 3 ， ∴ 这个方 程组的正整数解是 （ 2 ， 21 ， 1 ）和 （ 20 ， 3 ， 1 ）， 故 B 正 确； 关于 x ， y 的方程组 x+3y=4-a ， x-y=3a 3 ， 解得 x=1+2a ， y=1-a 3 ， ∴x+ y=2+a ， ∴ 当 a=1 时 x+y=3 ， ∴ 方程组的解也是方程 x+y= 4-a=3 的解， 故 C 正确； 解方程组 y-2x=2 ， 2x+y=3 3 ， 得 x= 1 4 ， y= 5 2 2 & & & & % & & & & ' ， 点 1 4 ， 5 2 2 ) 在第一象限， 故 D 错误 . 故选 BC. 13. AB 【解析】 解方程组 x+2y=k ， 2x+3y=3k-1 1 ， 得 x=3k-2 ， y=1-k 1 . ∵ x=4 ， y=- 1 1 是方程组的一组解 ， 故 A 正确 ； 当 k= 1 2 时 ， x=- 1 2 ， y= 1 2 2 & & & & % & & & & ' ， 满 足 x ， y 的 值 互 为 相 反 数 ， 故 B 正 确 ； x=3k-2 ， y=1-k 1 ， 也是方程 x+y=4-k 的解， ∴x+y=3k-2+1-k=-1+ 2k=4-k ， 解得 k= 5 3 ， 与 k=1 矛盾， 故 C 错误； 由方程 组解为 x=3k-2 ， y=1-k 1 ， 知 D 错误 . 故选 AB. 14. 26 【解析 】 由已知得 x+4 3 = y+6 4 ， ① x+4 3 = z+8 5 ， ② x+y+z=102 ， 2 & & & & & & % & & & & & & ' ③ 由 ① 得 y= 4x-2 3 ， 由 ② 得 z= 5x-4 3 ， 把 y ， z 代入 ③ 并化简， 得 12x-6=306 ， 解得 x=26. 15. 解： （ 1 ） 设 A ， B 两种型号台灯每盏分别为 x ， y 元 ， 由题意可知 2x+6y=610 ， 6x+2y=470 1 ， 解得 x=50 ， y=85 1 . 答 ： A ， B 两种型号台灯每盏分别为 50 元、 85 元 . （ 2 ） 设能采购 B 型台灯 a 盏， 由题意可得 50 （ 30-a ） +85a≤2 200 ， 解得 a≤20. 答： 最多能采购 B 型台灯 20 盏 . 2.2 不 等 式 2.2.1 不等式及其性质 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 收入 x 应满足 x≤2 000 ， 故 A 错误； x ， y 应满足 x<y ， 故 B 错误； 变量 x 至少是 a ， 即 x 可取到 的最小值为 a ， 故 x≥a ， C 正确； 变量 y 不超过 a ， 即 y 可取到的最大值为 a ， 故 y 与 a 的关系可表示为 y≤a ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 A 【解析】 M-N=2a 2 -3a+5- （ a 2 -a+4 ） =a 2 -2a+1= （ a-1 ） 2 ≥ 0 ， ∴M≥N. 故选 A. 变式训练 3 ②③④ 【解析】 若 a>b ， 则 ac 与 bc 大小关系不定， 故 ① 是假命题； 若 ac 2 >bc 2 ， 则 a>b ， 故 ② 是真命题； 若 a>b>0 ， 则 a 2 >ab ， ab>b 2 ， 则 a 2 >ab>b 2 ， 故 ③ 是真命题 ； 若 c>a>b>0 ， 则 0<c-a<c-b ， 则 1 c-a > 1 c-b >0 ， 故 a c-a > b c-b ， 故 ④ 是真命题； 若 a>b ， 1 a > 1 b ， 则 a>0 ， b>0 ， 故 ⑤ 是假命题 . 故答案为 ②③④. 变式训练 4 解： 设 2a+3b=λ （ a+b ） +μ （ a-b ）， 可得 λ+μ=2 ， λ-μ=3 1 ， 解之 得 λ= 5 2 ， μ=- 1 2 2 & & & & % & & & & ' ， 得 2a+3b= 5 2 （ a+b ） - 1 2 （ a-b ） . ∵-1<a+b<3 且 2<a-b<4 ， ∴- 5 2 < 5 2 （ a+b ） < 15 2 且 -2<- 1 2 （ a-b ） <-1 ， 两个不等式相加， 得 - 9 2 < 5 2 （ a+b ） - 1 2 （ a-b ） < 13 2 ， ∴2a+ 3b 的取值范围是 - 9 2 ， 13 2 2 - . 随堂练习 1. B 【解析】 依据题意直接将不等关系化为不等式， 即 v≤120 km/h ， d≥10 m ， 注意两个不等关系必须同时 成立 . 故选 B. 2. D 【解析 】 ∵p-q=a 2 -4a+5- （ a-2 ） 2 =1>0 ， ∴p>q. 故 选 D. 39 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3. AB 【解析】 ∵a>0 ， b<0 ， a+b>0 ， ∴a>-b>0 ， ∴a 2 > （ -b ） 2 ， 即 a 2 >b 2 ， 故 A 正确； ∵a>0 ， a>-b ， ∴a 2 >-ab ， 故 B 正确； ∵b<0 ， ∴b<-b ， ∴a+b<a-b ， 故 C 错误； ∵a>0 ， b<0 ， a+b>0 ， ∴a>-b ， ∴-a<b ， ∴-2a<2b ， 故 D 错误 . 故 选 AB. 4. （ 2 ， 5 ） 【解析】 ∵2<a<3 ， ∴4<2a<6. ∵-2<b<-1 ， ∴4+ （ -2 ） <2a+b<6+ （ -1 ）， 即 2<2a+b<5 ， ∴2a+b 的取值范 围为 （ 2 ， 5 ） . 5. 证明 ： ∵b>a>0 ， m>0 ， ∴a-b<0 ， b+m>0. 故 a b - a+m b+m = a （ b+m ） -b （ a+m ） b （ b+m ） = （ a-b ） m b （ b+m ） <0 ， 故 a b < a+m b+m . 练习手册 效果评价 1. B 【解析 】 x 月后他至少有 400 元 ， 可表示成 30x＋60≥400. 故选 B. 2. BCD 【解析 】 ∵x>1>y ， ∴x+ （ -1 ） >y+ （ -1 ）， 即 B 正确； x+ （ -y ） >1+ （ -y ）， 即 C 正确； 1+ （ -x ） >y+ （ -x ）， 即 D 正确 . 故选 BCD. 3. A 【解析 】（ a-b ）· a 2 <0 ， 则必有 a-b<0 ， 即 a<b ； 而 a<b 时 ， 不能推出 （ a-b ）· a 2 <0 ， 如 a＝0 ， b＝1 ， ∴ “（ a-b ）· a 2 <0 ” 是 “ a<b ” 的充分不必要条件 . 故选 A. 4. A 【解析】 由 a>b>c 及 a＋b＋c＝0 知 a>0 ， c<0 ， 又 ∵a>0 ， b>c ， ∴ab>ac. 故选 A. 5. A 【解析】 由 -1<α<1 ， -1<β<1 ， 得 -1<-β<1 ， ∴-2< α-β<2. 又 ∵α<β ， ∴-2<α-β<0. 故选 A. 6. y<-y<-xy<x 【解析】 ∵x>1 ， -1<y<0 ， ∴0<-y<x. ∵-y- （ -xy ） ＝y （ x-1 ） <0 ， ∴-y<-xy. ∵x- （ -xy ） ＝x （ 1＋y ） >0 ， ∴-xy<x ， ∴y<-y<-xy<x. 7. 3 【解析】 ①②圯③ ， ③①圯② （证明略） . 由 ② 得 bc-ad ab >0 ， 又由 ③ 得 bc-ad>0. ∴ab>0圯① ， 即 ②③圯 ① ， ∴ 可以组成 3 个正确命题 . 8. -4≤m<8 【解析 】 根据定义 ， 可知 a=-4 ， c=7 ， ∴-4≤b≤7 ， 再根据定义知， m 最小为 -4 ， 最大值不能 达到 8 ， 因此 m 的取值范围是 -4≤m<8. 9. 解： 方法一： 设 f （ -2 ） ＝mf （ -1 ） ＋nf （ 1 ） （ m ， n 为 待定系数）， 则 4a-2b＝m （ a-b ） ＋n （ a＋b ） ＝ （ m＋n ） a＋ （ n-m ） b ， 于是得 m+n=4 ， n-m=-2 2 ， 解得 m=3 ， n=1 2 . ∴f （ -2 ） ＝3f （ -1 ） ＋f （ 1 ） . 又 ∵1≤f （ -1 ） ≤2 ， 2≤f （ 1 ） ≤4. ∴5≤3f （ -1 ） ＋f （ 1 ） ≤10 ， 故 f （ -2 ） 的取值范围是 ［ 5 ， 10 ］ . 方法二： 由 f （ -1 ） =a-b ， f （ 1 ） =a+b 2 ， 得 a= 1 2 ［ f （ -1 ） +f （ 1 ）］， b= 1 2 ［ f （ 1 ） -f （ -1 ）］ ］ ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴f （ -2 ） ＝4a-2b＝3f （ -1 ） ＋f （ 1 ） . 又 ∵1≤f （ -1 ） ≤2 ， 2≤f （ 1 ） ≤4 ， ∴5≤3f （ -1 ） ＋f （ 1 ） ≤10 ， 故 f （ -2 ）的取值范围是 ［ 5 ， 10 ］ . 10. 证明： 假设 1+x y ， 1+y x 都不小于 2 ， 即 1+x y ≥2 ， 1+y x ≥2. ∵x ， y>0 ， ∴1+x≥2y ， 1+y≥2x. ∴2+x+y≥2 （ x+y ）， 即 x+y≤2 ， 与已知 x+y>2 矛盾 . ∴ 1+x y ， 1+y x 中至少有一个小于 2. 提升练习 11. B 【解 析 】 ∵ 7 姨 +3 >0 ， 6 姨 + 10 姨 >0 ， ∴ （ 7 姨 +3 ） 2 - （ 6 姨 + 10 姨 ） 2 = （ 16+6 7 姨 ） - （ 16+4 15 姨 ） = 2 （ 3 7 姨 -2 15 姨 ） =2 （ 63 姨 - 60 姨 ） >0 ， ∴ 7 姨 +3> 6 姨 + 10 姨 . 故选 B. 12. AB 【解析】 ∵a>b>2 ， ∴ 1 a < 1 b < 1 2 ， ∴ 1 a + 1 b < 1 2 + 1 2 =1 ， 故 A 正确； ∵a>b>2 ， ∴ab>2×2=4 ， 故 B 正 确； 若 c=0 ， 则 ac 2 =bc 2 ， 故 C 错误； 若 x=-4 ， y=-5 ， a= 4 ， b=3 ， 则（ -4 ） ×4< （ -5 ） ×3 ， 此时 ax<by ， 故 D 错误 . 故 选 AB. 13. ACD 【解析】 ∵a+2b+3c=0 ， a>b>c ， ∴c<0 ， a>0. ∵a>b ， c<0 ， ∴ac<bc ， A 正确； 当 b=0 时， 满足 a>b>c ， 此时 a｜b｜=c｜b｜ ， B 错误； ∵a>b>c ， ∴a-c>b-c>0 ， ∴ 1 a-c < 1 b-c . 又 ∵c<0 ， ∴ c a-c > c b-c ， C 正确； ∵a>b ， ∴a-b>0 ， ∴a （ a-b ） >c （ a-b ）， 即 a 2 -ab>ac-bc ， 整理可得 a 2 +bc>ac+ ab=a （ b+c ）， D 正确 . 故选 ACD. * 14. x y < x+m y+m 【解析】 设穿高跟鞋或脚尖立起下半 身长增加 m ， ∵ x y 在 0.57~0.6 之间， ∴x<y. ∵ x+m y+m - x y = y （ x+m ） -x （ y+m ） y （ y+m ） = m （ y-x ） y （ y+m ） >0 ， ∴ x y < x+m y+m ， ∴ 当穿高跟 鞋或脚尖立起时下半身长与全身长的比越接近于黄金分 割值 0.618 ， ∴ 用来解释这种现象的数学关系式为 x y < x+m y+m . * 15. 解： 设两次粮食的价格分别为 a 元/kg 与 b 元/kg ， 且 a≠b ， 则甲采购员两次购粮的平均单价为 1 000 （ a+b ） 2×1 000 = a+b 2 （ 元 /kg ） ， 乙 采 购 员 两 次 购 粮 的 平 均 单 价 为 2×1 000 1 000 a + 1 000 b = 2ab a+b （元 /kg ） . ∵ a+b 2 - 2ab a+b = （ a+b ） 2 -4ab 2 （ a+b ） = （ a-b ） 2 2 （ a+b ） ， 又 ∵a+b>0 ， a≠b ， （ a-b） 2 >0 ， ∴ （ a-b ） 2 2 （ a+b ） >0 ， 即 40 参 考 答 案 a+b 2 > 2ab a+b . ∴ 乙采购员的购粮方式更合算 . 2.2.2 不等式的解集 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 解不等式组得 x<a ， x<4 ! ， ∵ 5x-3<3x+5 ， x< ! a 的解 集为 x<4 ， ∴a≥4. 故选 D. 变式训练 2 C 【解析】 由 2<｜2x+3｜≤4 可得， 2<2x+3≤4 或 -4≤ 2x+3<-2 ， 解得 - 1 2 <x≤ 1 2 或 - 7 2 ≤x<- 5 2 . 故选 C. 变式训练 3 解： 原不等式 圳 x≤-1 ， - （ x+1 ） + （ x-3 ） < < 3 或 -1<x<3 ， x+1+x-3< < 3 或 x≥3 ， x+1- （ x-3 ） < < 3 圳 x≤-1 ， x∈ ! R 或 -1<x<3 ， x< 5 2 ! 或 x≥3 ， x∈芰 < 圳 x< 5 2 . ∴ 原不等式的解集为 x x< 5 2 < 2 . 变式训练 4 解： 由题意可知， m-8 2 - -8+2 2 >1 ， 即 m 2 -1 >1 ， ∴ m 2 -1>1 或 m 2 -1<-1 ， 解得 m>4 或 m<0. ∴ 实数 m 的取 值范围是 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 4 ， +∞ ） . 变式训练 5 M芴N 【解析】 由已知得 M= （ -1 ， 5 ）， N= ［ -1 ， 5 ］， 故 M芴N. 随堂练习 1. C 【解析】 记原不等式组为 2 （ x+3 ） -4≥0 ， ① x+1 3 >x-1 ， ， ② 由 ① 得到 2x+6-4≥0 ， ∴x≥-1 ， 由 ② 得到 x+1>3x-3 ， ∴x< 2 ， 故原不等式组解为 -1≤x<2 ， ∴ 最大整数解是 1 ， 故 选 C. 2. B 【解析 】 由 ｜2x-1 ｜>1 ， 得 2x-1<-1 或 2x-1>1 ， 即 x<0 或 x>1. ∴ 原不等式的解集为（ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . 故选 B. 3. BC 【解析】 由题意可知， AB=｜x-3｜= 9 2 ， ∴x-3= 9 2 或 x-3=- 9 2 ， ∴x= 15 2 或 x=- 3 2 . ∴AB 的中点对应的数 为 15 2 +3 2 = 21 4 或 3+ - 3 2 2 0 2 = 3 4 . 故选 BC. 4. 8 【解析】 由 1<｜x-2｜<4 ， 得 ｜x-2｜<4 ， ｜x-2｜>1 ! ， 解得 -2<x<1 或 3<x<6. ∵x∈Z ， ∴x=-1 ， 0 ， 4 ， 5 ， 故所有整数解的和 为 -1+0+4+5=8. 5. 解： 原不等式 圳 x≤1 ， 2-x- （ 1-x ） > 1 2 ! 或 1<x<2 ， 2-x- （ x-1 ） > 1 2 ! 或 x≥2 ， x-2- （ x-1 ） > 1 2 ! 圳 x≤1 ， x∈ ! R 或 1<x<2 ， x< 5 4 ! 或 x≥2 ， x∈芰 ! 圳x< 5 4 ， ∴ 原不等式的解集为 -∞ ， 5 4 2 4 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析 】 MP＝｜ （ -5 ） -3 ｜＝8 ， PN＝｜ （ -1 ） - （ -5 ） ｜＝4 ， MP-PN＝8-4＝4. 故选 B. 2. C 【解析】 解不等式 2x-1≥5 ， 得 x≥3 ， 解不等 式 8-4x＜0 ， 得 x＞2 ， 故不等式组的解集为［ 3 ， ＋∞ ） . 故 选 C. 3. C 【解析】 解不等式 2x＋1＞0 ， 得 x＞- 1 2 . 解不等 式 x-5≤0 ， 得 x≤5 ， ∴ 不等式组的解集为 - 1 2 ， ， 5 5 ， 整数解为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 共 6 个 . 故选 C. 4. C 【解析】 依题意应有 3-｜x｜≥0 ， ｜2x+1｜-4>0 ， ， 即 -3≤x≤3 ， 2x+1>4 或 2x+1<-4 ， ， 解得 -3≤x<- 5 2 或 3 2 <x≤3. 故选 C. 5. B 【解析 】 ∵2埸M ， ∴2∈ R M ， ∴ 2a-1 2 ≤a ， 即 -a≤ 2a-1 2 ≤a ， 解得 a≥ 1 4 . 故选 B. 6. -6 【解析】 |mx-2|<3圳-3<mx-2<3圳-1<mx<5. ① 若 m>0 ， 则 - 1 m <x< 5 m ， 由题意得 - 1 m ＝- 5 6 且 5 m ＝ 1 6 ， 无解 . ② 若 m<0 ， 则 5 m <x<- 1 m ， 由题意得 5 m ＝- 5 6 且 - 1 m ＝ 1 6 ， 解得 m＝-6. 综上可得 m＝-6. 7. ［ 0 ， 4 ］ 【解析】 由于 ||x-2|-1|≤1 ， 即 -1≤|x-2|- 1≤1 ， 即 |x-2|≤2 ， ∴-2≤x-2≤2 ， ∴0≤x≤4. 8. （ -∞ ， 3 ］ 【解析】 对任意的 x∈R ， |x＋2|＋|x-1|≥ 3 恒成立， 要使原不等式的解集为 芰 ， 则需 a≤3. * 9. 解 ： 不等式 |2x-a|≤x＋3 去掉绝对值符号得 -x- 3≤2x-a≤x＋3 ， 即 -x-3≤2x-a ， 2x-a≤x+3 < ， 对任意 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 恒 成 立 ， 变 量 分 离 得 a≤3x+3 ， a≥x-3 < ， 只 需 a≤ （ 3x+3 ） min ， a≥ （ x-3 ） max < ， 即 a≤3 ， a≥-1 < ， ∴a 的取值范围是［ -1 ， 3 ］ . 10. 解： （ 1 ） 由 T （ 1 ， -1 ） ＝-2 ， T （ 4 ， 2 ） ＝1 ， 得 a×1+b× （ -1 ） 2×1-1 =-2 ， a×4+b×2 2×4+2 =1 1 8 8 8 8 7 8 8 8 8 9 ， 即 a-b=-2 ， 4a+2b=10 ， ， 解得 a=1 ， b=3 ， . 41