2.1.3 方程组的解集-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解方程组的解集的定义及表示方法 . 2. 会利用代入消元法或加减消元法解二 元一次方程组 . 理解解方程组的基本思想是 降次和消元 . 3. 会选用合适的方法求解三元一次方程 组和二元二次方程组 . 4. 根据方程组未知数的个数和方程的个 数， 会判断方程组的解集为有限集还是无限集 . 5. 通过在实际情境中分析问题， 构建方 程组模型， 计算结果， 检验结果的实际性， 培养数学建模思想 . 要 点 精 析 要点 1 二元一次方程组的解法 方程组中， 由两个方程的解集得到的交 集称为这个方程组的解集 . 说明： 当方程组中未知数的个数大于方程 的个数时， 方程组的解集可能有无穷多个元 素， 此时， 如果将其中一些未知数看成常数， 那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来 . 例 1 选择合适的方法解下列方程组： （ 1 ） 2x-y=3 ， ① 3x+4y=10. . ② （ 2 ） x+2y=3 ， ① 3x-4y=4. . ② 分析 用代入消元法或加减消元法解 二元一次方程组 . 解： （ 1 ） 由 ① ， 得 y＝2x-3 ， ③ 把 ③ 代入 ② ， 得 3x＋4 （ 2x-3 ） ＝10 ， 解得 x＝2. 把 x＝2 代入 ③ ， 得 y＝1. ∴ 原方程组的解集为 { （ 2 ， 1 ） }. （ 2 ） ①×2 ， 得 2x＋4y＝6 ， ③ ③＋② ， 得 5x＝10 ， 解得 x＝2. 把 x＝2 代入 ① ， 得 2＋2y＝3 ， 解得 y＝ 1 2 . ∴ 原方程组的解集为 2 ， 1 2 2 #. $ . 反思感悟 二元一次方程组的解用二元有序数组 （或数对） 来表示时， （ x ， y ） = 2 ， 1 2 2 & 只是 x=2 ， y= 1 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * 的简写形式， 两者表示的意思是一 致的， 同样的， 三元一次方程组的解也可 用形如 （ x ， y ， z ） 的三元有序数组表示 . 变式训练 1 （多选题） 方程组 3x-2y+7=0 ， 6x+ 1 2 y+5= 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * 0 的解集 有 （ ） A. {-1 ， 2} B. { （ -1 ， 2 ） } C. （ x ， y ） x=2 ， y= . 1 . $ D. （ x ， y ） x=-1 ， y= . 2 . $ 2.1.3 方程组的解集 30 第二章 等式与不等式 学 要点 2 三元一次方程组的解法 一般地， 可将三元一次方程组分为一般 型、 轮换型与连等型三种形式 . 在解这三种 三元一次方程组时， 最常用的是代入消元法 和加减消元法 . 例 2 解方程组： x+y+z=12 ， ① x+2y+5z=22 ， ② x=4y. ! # # # # # " # # # # # $ ③ 解： 把 ③ 分别代入 ①② ， 得 5y+z=12 ， 6y+5z=22 2 ， 解得 y=2 ， z=2 2 . 把 y＝2 代入 ③ ， 得 x＝8. ∴ 原方程组的解集为 { （ 8 ， 2 ， 2 ） }. 反思感悟 求三元一次方程组的基本步骤： （ 1 ） 观察方程组中每个方程的特点 ， 利用代入消元法或加减消元法消去一个未 知数， 得到二元一次方程； （ 2 ） 解这个二元一次方程组， 求出两 个未知数的值； （ 3 ） 将所得的两个未知数的值代入原 方程组中一个系数比较简单的方程中， 求 出第三个未知数的值； （ 4 ） 根据所求未知数的值写出方程组 的解集 . 变式训练 2 解方程组： x+y+z=26 ， x-y=1 ， 2x-y+z=18 ! # # # # # " # # # # # $ . 例 3 解方程组： x+y=3 ， ① y+z=5 ， ② z+x=4. ! # # # # # " # # # # # $ ③ 分析 根据 ①②③ 三个式子的特点， 可以利用加减消元法来解这个三元一次方 程组 . 解： ①＋②＋③ ， 得 2 （ x＋y＋z ） ＝12 ， 即 x＋ y＋z＝6. ④ ④-① ， 得 z＝3 ； ④-② ， 得 x＝1 ； ④-③ ， 得 y＝2. ∴ 原方程组的解集为 { （ 1 ， 2 ， 3 ） }. 变式训练 3 若 x+y=5 ， ① y+z=7 ， ② x+z=6 ， ! # # # # # " # # # # # $ ③ 则 x+2y+z 的值为 . 例 4 解方程组： x 3 = y 4 = z 5 ， ① x-y+2z=18. ! # # # # " # # # # $ ② 分析 根据 ① 式的特点， 可利用换元 法对 ① 式进行变换 . 解： 设 x 3 ＝ y 4 ＝ z 5 ＝k （ k 为常数 ， k≠ 0 ）， 则 x＝3k ， y＝4k ， z＝5k. 将它们代入 ② 中 ， 得 3k-4k＋10k＝18 ， 解得 k＝2. ∴x＝6 ， y＝8 ， z＝10 ， ∴ 原方程组的解集为 { （ 6 ， 8 ， 10 ） }. 31 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 4 《毛诗》 《春秋》 《周易》 书， 九十四 册共无余， 《毛诗》 一册三人吟， 《春秋》 一册四人读， 《周易》 五人读一本， 要分每 样几多书？ 要点 3 二元二次方程组的解法 “二·一” 型的二元二次方程组与 “二· 二” 型的二元二次方程组是两类最常见的方 程组 . 例 5 解方程组： x 2 +2xy+y 2 =4 ， ① x-2y=5. . ② 分析 此题是 “二·一” 型的二元二次 方程组， 可以利用代入消元法或整体法解 二元二次方程组 . 解： 方法一： 由 ② 得 x＝2y＋5 ， ③ 将 ③ 代入 ① ， 得 （ 2y＋5 ） 2 ＋2y （ 2y＋5 ） ＋y 2 ＝4. 整理， 得 3y 2 ＋10y＋7＝0. 解得 y 1 ＝- 7 3 ， y 2 ＝-1. 把 y 1 ＝- 7 3 代入 ③ ， 得 x 1 ＝ 1 3 ， 把 y 2 ＝-1 代入 ③ ， 得 x 2 ＝3. ∴ 原方程组的解是 x 1 = 1 3 ， y 1 =- 7 3 3 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， x 2 =3 ， y 2 =-1 . . ∴ 方程组的解集为 1 3 ， - 7 3 3 ' ， （ 3 ， -1 . 1 ） . 方法二： 由 ① 得 （ x＋y ） 2 ＝4 ， 即 x＋y＝2 或 x＋y＝-2. 原方程组转化为 x+y=2 ， x-2y= . 5 或 x+y=-2 ， x-2y=5 . . 解得 x 1 =3 ， y 1 =-1 . ， x 2 = 1 3 ， y 2 =- 7 3 3 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % . ∴ 方程组的解集为 1 3 ， - 7 3 3 3 ， （ 3 ， -1 . 1 ） . 变式训练 5 解方程组： 2x-y+1=0 ， x 2 -x-2y+6=0 . . 例 6 解方程组： x 2 -3xy-4y 2 =0 ， ① x 2 +4xy+4y 2 =1. . ② 分析 “二·二” 型的二元二次方程 组， 可利用整体法来解此题 . 解： 由 ① 得 （ x-4y ）（ x＋y ） ＝0 ， 32 第二章 等式与不等式 学 ∴x-4y＝0 或 x＋y＝0 ， 由 ② 得 （ x＋2y ） 2 ＝1 ， ∴x＋2y＝1 或 x＋2y＝-1. 原方程可化为以下四个方程组： x-4y=0 ， x+2y=1 1 ， x-4y=0 ， x+2y=-1 1 ， x+y=0 ， x+2y=1 1 ， x+y=0 ， x+2y=-1 1 ， 解这四个方程组， 得原方程组的四个解 是 x 1 = 2 3 ， y 1 = 1 6 " $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， x 2 =- 2 3 ， y 2 =- 1 6 " $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， x 3 =-1 ， y 3 =1 1 ， x 4 =1 ， y 4 =-1 1 . ∴ 方程组的解集为 2 3 ， 1 6 6 '1 ， - 2 3 6 ， - 1 6 6 ， （ -1 ， 1 ）， （ 1 ， -1 1 ） . 反思感悟 求二元二次方程组解集的基本思想是 消元和降次， 消元就是化二元为一元， 降 次就是把二次降为一次 . 变式训练 6 解方程组： （ x-1 ） 2 + （ y+5 ） 2 =50 ， （ x+1 ） 2 + （ y+1 ） 2 =10 1 . 数 学 文 化 例 我国古代数学著作 《孙子算经》 中 有一道题： 今有木， 不知长短， 引绳度之， 余绳四尺五， 屈绳量之， 不足一尺， 问木长 几何 . 大致意思是： 用一根绳子去量一根木 条， 绳子剩余 4.5 尺， 将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺， 问木条长多少尺 . 设绳子长 x 尺， 木条长 y 尺， 根据题意所列方程组正 确的是 （ ） A. x-y=4.5 ， 1 2 x-y= " $ $ $ $ # $ $ $ $ % 1 B. x-y=4.5 ， y- 1 2 x= " $ $ $ $ # $ $ $ $ % 1 C. x+y=4.5 ， y- 1 2 x= " $ $ $ $ # $ $ $ $ % 1 D. x-y=4.5 ， y- 1 2 x= " $ $ $ $ # $ $ $ $ % 1 分析 本题涉及绳子和木条的长度两 个量， 是解二元一次方程组问题， 找出题 中的等量关系即可列出方程组 . 解析： 设绳子长 x 尺， 木条长 y 尺， 依 题意有 x-y=4.5 ， y- 1 2 x=1 " $ $ $ $ # $ $ $ $ % . 故选 B. 33 参 考 答 案 -44± 1 908 姨 14 ＝ -22±3 53 姨 7 . 7. 21 4 【解析 】 由题意知 Δ=25-4a≥0 ， 且 x 1 ＋x 2 ＝5 ， x 1 x 2 ＝a. ∵x 2 1 -x 2 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ）（ x 1 -x 2 ） ＝10 ， ∴x 1 -x 2 ＝2 ， ∴ （ x 1 -x 2 ） 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ＝25-4a＝4 ， ∴a＝ 21 4 . 8. 3 【解析】 由题意知 n≠0 ， 则 1＋ 2 n - 1 n 2 ＝0 ， 即 1 n 2 - 2 n -1＝0. 又 ∵m 2 -2m-1＝0 ， 且 mn≠1 ， 即 m≠ 1 n ， ∴m ， 1 n 是方程 x 2 -2x-1＝0 的两个根， 则 m＋ 1 n ＝2. 故 mn+n+1 n ＝m＋1＋ 1 n ＝2＋1＝3. 9. -3 或 9 【解析 】 设 x 1 ， x 2 为方程的两个根 ， 则 x 1 +x 2 = k+1 2 ， x 1 x 2 = k+3 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， |x 1 -x 2 |＝1 ， k+1 2 2 * 2 -2 （ k＋3 ） ＝1 ， 解得 k＝9 或 k＝-3. 检验当 k＝9 或 k＝-3 时， Δ＞0 成立 . 10. 解： （ 1 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有 两个实数根 x 1 ， x 2 ， Δ= （ 2k-1 ） 2 -4 （ k 2 -1 ） =-4k+5≥0 ， 解 得 k≤ 5 4 ， ∴ 实数 k 的取值范围为 k≤ 5 4 . （ 2 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有两个实数 根 x 1 ， x 2 ， x 1 +x 2 =1-2k ， x 1 x 2 =k 2 -1. ∵x 2 1 +x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 =16+x 1 x 2 ， ∴ （ 1-2k ） 2 -2 （ k 2 -1 ） =16+ （ k 2 -1 ）， 即 k 2 -4k-12=0 ， 解得 k=-2 或 k=6 （舍去） . ∴ 实数 k 的值为 -2. 提升练习 11. C 【解析】 由题意可知有两根且两根不为 0 ， 设 为 x 1 ， x 2 ， 则 1 x 1 + 1 x 2 =0 ， ∴x 1 +x 2 =0. 又 ∵x 1 +x 2 =2 （ m 2 -1 ） =0 ， 故 m=±1. 当 m=-1 时， 方程为 x 2 +3=0 无实根， 舍去； 当 m=1 时， 方程为 x 2 -3=0 合题意， 故选 C. * 12. ABC 【解析 】 方程有一个正根一个负根 ， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m>0 ， f （ 0 ） <0 0 ， 即 m<0 ， 同时 m<0 时方程有一个正根 一个负根， 故 m<0 是方程有一个正根一个负根的充要条件， 故 A 正确； 方程有两个正根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m≥0 ， - b 2a = 3-m 2 >0 ， f （ 0 ） >0 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， 即 0<m≤1 ， 同时 0<m≤1 时方程有两个正根， 故 0<m≤1 是方程有两个正根的充要条件， 故 B 正确； 方程无实数 根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m<0 ， 即 1<m<9 ， 而 m>1 时方程可 能无实数根也可能有实数根， 故 m>1 是方程无实数根的 必要条件， 故 C 正确； m=3 时知方程 x 2 +3=0 无实数根 . 故选 ABC. 13. BD 【解析】 ∵Δ=2 2 -4×2× （ -1 ） =12>0 ， ∴ 方程有 两不相等实根 . 由根与系数的关系得， x 1 +x 2 =-1 ， x 1 x 2 = - 1 2 ， ∴A 错误， B 正确 . ∵x 1 x 2 <0 ， ∴x 1 ， x 2 异号 . 又 ∵x 1 + x 2 <0 ， x 1 <x 2 ， ∴｜x 1 ｜>｜x 2 ｜ ， ∴C 错误 . ∵x 1 为一元二次方程 2x 2 +2x-1=0 的根， ∴2x 2 1 +2x 1 -1=0 ， ∴x 2 1 +x 1 = 1 2 ， ∴D 正确 . 故选 BD. 14. x 2 -14x-1=0 【解析】 由根与系数的关系得 a+b= 2 ， ab=-1 ， ∴a 3 b 3 = （ ab ） 3 =-1. 又 ∵a 3 +b 3 = （ a+b ）（ a 2 -ab+b 2 ） = （ a+b ）［（ a+b ） 2 -3ab ］ =2×7=14 ， ∴ 以 a 3 ， b 3 为两根的一个 一元二次方程是 x 2 -14x-1=0. 15. （ 1 ） 证明 ： ∵Δ= （ m-3 ） 2 -4×m× （ -3 ）=m 2 +6m+9= （m+3 ） 2 ≥0 ， ∴ 方程总有两个实数根 . （ 2 ） 解： 由根与系数的关系得 x 1 x 2 =- 3 m <0 ， ∴m>0. ∵ 两根都是整数， ∴x 1 +x 2 =- m-3 m = 3 m -1 为整数 . 当 m=1 或 m=3 时满足题意 . 故 m 的整数值为 1 或 3. 2.1.3 方程组的解集 学习手册 变式训练 1 BD 【解 析 】 ∵ 3x-2y+7=0 ， ① 6x+ 1 2 y+5=0 ， 0 ② 由 ① +② ×4 得 ， 27x+27=0 ， 解得 x=-1 ， 将 x=-1 代入 ① 解得 y=2. 故选 BD. 变式训练 2 解 ： 方程组为 x+y+z=26 ， ① x-y=1 ， ② 2x-y+z=18 ， 2 ' ' ' & ' ' ' ( ③ 由 ③-① 得 ， x- 2y=-8④ ， 由 ②-④ 得 y=9. 将 y=9 代入 ② 得 x=10. 将 x= 10 ， y =9 代 入 ① ， 得 z =7. ∴ 方 程 组 的 解 集 为 { （ 10 ， 9 ， 7 ） } . 变式训练 3 12 【解析】 由 ①+②+③ ， 得 2 （ x+y+z ） =18 ， 即 x+y+ z=9④ ， ④-① ， 得 z=4 ； ④-② 得 x=2 ； ④-③ 得 y=3. ∴x+ 2y+z=12. 变式训练 4 解 ： 设 《毛诗 》 x 本 ， 《春秋 》 y 本 ， 《周易 》 z 本， 由题意得 x+y+z=94 ， 3x=4y=5z 0 ， 可设 3x=4y=5z=k （ k 为常数， 且 k≠0 ）， 将其代入 x+y+z=94 中， 得 k 3 + k 4 + k 5 =94 ， 解 得 k=120 ， 因此 x=40 ， y=30 ， z=24 ， 即 《毛诗》 40 本， 《春秋》 30 本， 《周易》 24 本 . 变式训练 5 解： 2x-y+1=0 ， ① x 2 -x-2y+6=0. 0 ② 由 ① 得 y=2x+1③ ， 把 ③ 代入 ② ， 整理得 x 2 -5x+4=0 ， 解得 x 1 =1 ， x 2 =4 ， 把 x=1 代入 ③ ， 得 y=3 ； 把 x=4 代入 ③ ， 得 y=9 ， ∴ 原方程的解集为 { （ 1 ， 3 ）， （ 4 ， 9 ） }. 37 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 6 解： （ x-1 ） 2 + （ y+5 ） 2 =50 ， ① （ x+1 ） 2 + （ y+1 ） 2 =10. ! ② 由 ①-② 得 x-2y+4= 0 ， ③. 将 ③ 代入 ① 得 x=0 ， y= ! 2 或 x=-4 ， y=0 ! ， ∴ 方程组的解集 为 { （ 0 ， 2 ）， （ -4 ， 0 ） } . 随堂练习 1. B 【解析】 将 x=1 ， y=-1 代入方程组， 可解得 a= 1 ， b=0. 故选 B. 2. D 【解析 】 由题知 3x-y=7 ， 2x+3y=1 ! ， 解得 x=2 ， y=-1 ! ， 代入 y=kx-9 中， 得 -1=2k-9 ， 解得 k=4. 故选 D. 3. AB 【解析】 ∵ x-y=0 ， ① x 2 +y=2 ， ! ② ①+② 得 x 2 +x=2 ， 解得 x=-2 或 x=1 ； 把 x=-2 代入 ① 得 y=-2 ， 把 x=1 代入 ① 得 y=1 ， 故原方程组的解为 x=-2 ， y=- ! 2 或 x=1 ， y=1 ! ， 故选 AB. 4. 9 【解析】 由题意得 x-z+4=0 ， ① z-2y+1=0 ， ② x+y-z+1=0 ， ， $ $ $ # $ $ $ % ③ ③-① 得 y=3 ， 把 y=3 代入 ② 得 z=5 ， 把 z=5 代入 ① 得 x=1. ∴x+y+z=9. 5. 解： （ 1 ） 4 （ y+2 ） =1-5x ， ① 3 （ x+2 ） =3-2y ， ! ② 整理得 5x+4y=-7 ， ③ 3x+2y=-3 ， ! ④ 则 ④×2-③ 得 x=1 ， 将 x=1 代入 ③ ， 得 y=-3 ， ∴ 原方程组的解集为 { （ 1 ， -3 ） } . （ 2 ） z=y+x ， ① 2x-3y+2z=5 ， ② x+2y+z=13. ， $ $ $ # $ $ $ % ③ ， 将 ① 代入 ②③ ， 消去 z 得 4x-y=5 ， 2x+3y=13 ! ， 解得 x=2 ， y=3 ! . 将 x=2 ， y=3 代入 ① ， 得 z=5 ， 故原方程组的解集为 { （ 2 ， 3 ， 5 ） } . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 2x-y=4 ， ① 5x+y=3 ， ! ② ①＋② 得 7x＝7 ， 即 x＝1 ， 把 x＝1 代入 ① 得 y＝-2. ∴ 方程组的解为 x=1 ， y=-2 ! . 故选 D. 2. B 【解析】 把 x=2 ， y= ! 1 代入原方程组得 2a+b=7 ， 2a-b=1 ! ， 解 得 a=2 ， b=3 ! ， ∴a-b＝-1. 故选 B. 3. AB 【解析】 由 x 2 =1 ， 得 x=±1 ， 当 x=1 时， y 2 =1 ， 得 y=±1 ， 当 x=-1 时， y 2 =-1 ， 无解 . 故方程组 x 2 =1 ， y 2 = ! x 的 解为 x=1 ， y= ! 1 或 x=1 ， y=-1 ! . 故选 AB. 4. A 【解析】 ∵ （ a+b+5 ） 2 +|2a-b+1|=0 ， ∴ a+b+5=0 ， 2a-b+1=0 ! ， 解得 a=-2 ， b=-3 ! ， 则原式 = （ -3+2 ） 2 023 = （ -1 ） 2 023 =-1 ， 故选 A. 5. D 【解析】 原方程组可化为 x 3 = y 2 ， y 2 =x+y-4 ， $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 2x=3y ， ① 2x+y-8=0 ， ! ② 解得 x=3 ， y=2 ! ， 故选 D. 6. 2 -4 【解析 】 由题意 ， 得 2a-b=3 ， ① a+b=1 ， ! ② 解得 a= 4 3 ， b=- 1 3 ， $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， ∴a-2b= 4 3 -2× - 1 3 3 ' =2 ， a b = 4 3 × （ -3 ） =-4. 7. -5 【解析 】 x-y=2 ， ① y-z=3 ， ② z+x=1 ， ， $ $ $ # $ $ $ % ③ ①＋② ， 得 x-z＝5 ， ④ 将 ③④ 组成方程组 z+x=1 ， x-z=5 ! ， 解得 x=3 ， z=-2 ! . 把 x＝3 代入 ① ， 得 y＝1. 故原方程组的解是 x=3 ， y=1 ， z=-2 ， $ $ $ # $ $ $ % . 代入 3x＋my＋2z＝0 ， 得 9＋m-4＝0 ， 解得 m＝-5. 8. 60 【解析】 由 4x-y=8 ， x+2y=29 ! ， 解得 x=5 ， y=12 ! . ∵x<y ， ∴ 原 式 ＝5×12＝60. 9. 解： 将 ① 代入 ② ， 整理得 k 2 x 2 ＋ （ 2k-4 ） x＋1＝0 ， Δ＝ （ 2k-4 ） 2 -4×k 2 ×1＝-16 （ k-1 ） . （ 1 ） 当 k＝0 时， -4x＋1＝0 ， 解得 x＝ 1 4 ， 方程组的解 为 x= 1 4 ， y=2 ! . 当 k 2 ≠0 ， Δ= ! 0 时， 原方程组有一组实数解， 解得 k＝1 ， 方程组的解为 x=1 ， y=3 ! . ∴k＝0 或 k＝1 时， 方程组有一组实数解 . （ 2 ） 当 k 2 ≠0 ， Δ=-16 （ k-1 ） > ! 0 时， 原方程组有两组实数解， 解得 k<1 且 k≠0. ∴k<1 且 k≠0 时， 原方程组有两组实数解 . （ 3 ） 当 k 2 ≠0 ， Δ=-16 （ k-1 ） < ! 0 时 ， 原方程组没有实数解 ， 解得 k>1 ， ∴ 当 k>1 时， 方程组无实数解 . 10. 解： 根据规定， 得 3 y 2 x ＝3x-2y＝1 ， x z -3 5 ＝5x＋3z＝8 ， 3 z 6 y ＝3y-6z＝-3 ， ∴ 3x-2y=1 ， ① 5x+3z=8 ， ② 3y-6z=-3 ， ， $ $ $ # $ $ $ % ③ 38 参 考 答 案 ②×2＋③ ， 得 10x＋3y＝13. ④ 将 ① 与 ④ 组成二元一次方程组 3x-2y=1 ， 10x+3y=13 3 ， 解得 x=1 ， y=1 3 . 把 y＝1 代入 ③ ， 得 z＝1 ， ∴ 原方程组的解集为 { （ 1 ， 1 ， 1 ） } . 提升练习 11. A 【解 析 】 ∵ 3x+y=-3m+2 ， ① x+2y=4 ， 3 ② ① ×2 -② 得 ， x=- 6 5 m ， 将 x=- 6 5 m 代入 ② 得， y=2+ 3 5 m. ∵x+y>- 3 2 ， ∴- 6 5 m+2+ 3 5 m>- 3 2 ， 解得 m< 35 6 ， ∴ 满足条件的 m 的 所有正整数为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 故选 A. 12. BC 【解析】 关于 x 的方程 x+ 1 x =c+ 1 c 的解是 x= c 或 x= 1 c （ c≠0 ）， 故 A 错误 ； 方程组 xy+yz=63 ， ① xz+yz=23 ， 3 ② ∵x ， y ， z 是正整数， ∴x+y≥2. ∵23 只能分解为 23×1 ， ∴ 方程 ② 即为 （ x+y ） z=23 ， ∴z=1 ， x+y=23. 将 z=1 代入原方 程组可得 xy+y=63 ， ③ x+y=23 ， 3 ④ 解得 x=2 ， y=21 3 ， 或 x=20 ， y=3 3 ， ∴ 这个方 程组的正整数解是 （ 2 ， 21 ， 1 ）和 （ 20 ， 3 ， 1 ）， 故 B 正 确； 关于 x ， y 的方程组 x+3y=4-a ， x-y=3a 3 ， 解得 x=1+2a ， y=1-a 3 ， ∴x+ y=2+a ， ∴ 当 a=1 时 x+y=3 ， ∴ 方程组的解也是方程 x+y= 4-a=3 的解， 故 C 正确； 解方程组 y-2x=2 ， 2x+y=3 3 ， 得 x= 1 4 ， y= 5 2 2 & & & & % & & & & ' ， 点 1 4 ， 5 2 2 ) 在第一象限， 故 D 错误 . 故选 BC. 13. AB 【解析】 解方程组 x+2y=k ， 2x+3y=3k-1 1 ， 得 x=3k-2 ， y=1-k 1 . ∵ x=4 ， y=- 1 1 是方程组的一组解 ， 故 A 正确 ； 当 k= 1 2 时 ， x=- 1 2 ， y= 1 2 2 & & & & % & & & & ' ， 满 足 x ， y 的 值 互 为 相 反 数 ， 故 B 正 确 ； x=3k-2 ， y=1-k 1 ， 也是方程 x+y=4-k 的解， ∴x+y=3k-2+1-k=-1+ 2k=4-k ， 解得 k= 5 3 ， 与 k=1 矛盾， 故 C 错误； 由方程 组解为 x=3k-2 ， y=1-k 1 ， 知 D 错误 . 故选 AB. 14. 26 【解析 】 由已知得 x+4 3 = y+6 4 ， ① x+4 3 = z+8 5 ， ② x+y+z=102 ， 2 & & & & & & % & & & & & & ' ③ 由 ① 得 y= 4x-2 3 ， 由 ② 得 z= 5x-4 3 ， 把 y ， z 代入 ③ 并化简， 得 12x-6=306 ， 解得 x=26. 15. 解： （ 1 ） 设 A ， B 两种型号台灯每盏分别为 x ， y 元 ， 由题意可知 2x+6y=610 ， 6x+2y=470 1 ， 解得 x=50 ， y=85 1 . 答 ： A ， B 两种型号台灯每盏分别为 50 元、 85 元 . （ 2 ） 设能采购 B 型台灯 a 盏， 由题意可得 50 （ 30-a ） +85a≤2 200 ， 解得 a≤20. 答： 最多能采购 B 型台灯 20 盏 . 2.2 不 等 式 2.2.1 不等式及其性质 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 收入 x 应满足 x≤2 000 ， 故 A 错误； x ， y 应满足 x<y ， 故 B 错误； 变量 x 至少是 a ， 即 x 可取到 的最小值为 a ， 故 x≥a ， C 正确； 变量 y 不超过 a ， 即 y 可取到的最大值为 a ， 故 y 与 a 的关系可表示为 y≤a ， 故 D 错误 . 故选 C. 变式训练 2 A 【解析】 M-N=2a 2 -3a+5- （ a 2 -a+4 ） =a 2 -2a+1= （ a-1 ） 2 ≥ 0 ， ∴M≥N. 故选 A. 变式训练 3 ②③④ 【解析】 若 a>b ， 则 ac 与 bc 大小关系不定， 故 ① 是假命题； 若 ac 2 >bc 2 ， 则 a>b ， 故 ② 是真命题； 若 a>b>0 ， 则 a 2 >ab ， ab>b 2 ， 则 a 2 >ab>b 2 ， 故 ③ 是真命题 ； 若 c>a>b>0 ， 则 0<c-a<c-b ， 则 1 c-a > 1 c-b >0 ， 故 a c-a > b c-b ， 故 ④ 是真命题； 若 a>b ， 1 a > 1 b ， 则 a>0 ， b>0 ， 故 ⑤ 是假命题 . 故答案为 ②③④. 变式训练 4 解： 设 2a+3b=λ （ a+b ） +μ （ a-b ）， 可得 λ+μ=2 ， λ-μ=3 1 ， 解之 得 λ= 5 2 ， μ=- 1 2 2 & & & & % & & & & ' ， 得 2a+3b= 5 2 （ a+b ） - 1 2 （ a-b ） . ∵-1<a+b<3 且 2<a-b<4 ， ∴- 5 2 < 5 2 （ a+b ） < 15 2 且 -2<- 1 2 （ a-b ） <-1 ， 两个不等式相加， 得 - 9 2 < 5 2 （ a+b ） - 1 2 （ a-b ） < 13 2 ， ∴2a+ 3b 的取值范围是 - 9 2 ， 13 2 2 - . 随堂练习 1. B 【解析】 依据题意直接将不等关系化为不等式， 即 v≤120 km/h ， d≥10 m ， 注意两个不等关系必须同时 成立 . 故选 B. 2. D 【解析 】 ∵p-q=a 2 -4a+5- （ a-2 ） 2 =1>0 ， ∴p>q. 故 选 D. 39