2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 等式与不等式 学 学 习 目 标 1. 掌握求一元二次方程解集的三种常用 方法： 十字相乘法、 配方法、 公式法 . 2. 掌握一元二次方程的根的判别式， 并 会用其判断根的个数 . 3. 掌握一元二次方程的根与系数的关 系， 并会用其求一些关于方程两根的代数式 的值 . 4. 学会换元法解一元二次方程， 体会 数学学习过程中化繁为简解决问题的基本 方法 . 5. 通过对一元二次方程实根个数的讨 论， 理解分类讨论的数学思想， 提升逻辑推 理的数学素养 . 要 点 精 析 要点 1 Δ=b 2 -4ac 的取值与根的个数间 的关系 例 1 已知关于 x 的一元二次方程 3x 2 - 2x＋k＝0 ， 根据下列条件， 分别求出 k 的取值 范围 . （ 1 ） 方程有两个不相等的实数根； （ 2 ） 方程有两个相等的实数根； （ 3 ） 方程有实数根； （ 4 ） 方程无实数根 . 解： Δ＝ （ -2 ） 2 -4×3k＝4 （ 1-3k ） . （ 1 ） ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0 ， 即 4 （ 1-3k ） >0 ， ∴k< 1 3 . （ 2 ） ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0 ， 即 4 （ 1-3k ） ＝0 ， ∴k＝ 1 3 . （ 3 ） ∵ 方程有实数根， ∴Δ≥0 ， 即 4 （ 1-3k ） ≥0 ， ∴k≤ 1 3 . （ 4 ） ∵ 方程无实数根， ∴Δ<0 ， 即 4 （ 1-3k ） <0 ， ∴k> 1 3 . 变式训练 1 关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ k+4 ） x+k=0 的解集的情况是 （ ） A. 含有 1 个元素 B. 含有 2 个元素 C. 芰 D. 不能确定 例 2 若关于 x 的不等式 x- a 2 <1 的解 集为 {x｜x<1} ， 试判断关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ax＋1＝0 的根的情况 . 分析 先求出 a 再判断根的个数 . （ 1 ） 解一元一次不等式， 利用解集求 a ； 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 Δ=b 2 －4ac 根的情况 Δ>0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 有两个不相 等的实数根 ， 即 x 1 ＝ -b+ b 2 -4ac 姨 2a ， x 2 = -b- b 2 -4ac 姨 2a Δ＝0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 有两个相等 的实数根， 即 x 1 ＝x 2 ＝－ b 2a Δ<0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 无实数根 27 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） Δ＝a 2 -4 ， 利用 Δ>0 ， Δ＝0 ， Δ<0 的 情况讨论根的情况 . 解： 解不等式 x- a 2 <1 ， 得 x<1＋ a 2 ， 而 不等式 x- a 2 <1 的解集为 {x｜x<1} ， ∴1＋ a 2 ＝ 1 ， 解得 a＝0 ， ∴ 一元二次方程的根的判别 式 Δ＝a 2 -4＝-4<0 ， ∴ 关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ax＋1＝0 没有实数根 . 变式训练 2 若关于 x 的方程 kx 2 +2x-1=0 有两个不相 等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） A. k>-1 B. k<-1 C. k≥-1 且 k≠0 D. k>-1 且 k≠0 要点 2 一元二次方程根与系数的关系 若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 的两个根， 则 x 1 ＋x 2 ＝- b a ， x 1 x 2 ＝ c a . 应用一元二次方程的根与系数的关系 时， 常有以下变形： （ 1 ） x 2 1 ＋x 2 2 ＝ （ x 2 1 ＋2x 1 x 2 ＋x 2 2 ） -2x 1 x 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 - 2x 1 x 2 ； （ 2 ） （ x 1 -x 2 ） 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ； （ 3 ） |x 1 -x 2 |＝ （ x 1 -x 2 ） 2 姨 ＝ （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 ； （ 4 ） 1 x 1 ＋ 1 x 2 ＝ x 1 +x 2 x 1 x 2 ； （ 5 ） x 2 x 1 ＋ x 1 x 2 ＝ x 2 2 +x 2 1 x 1 x 2 ＝ （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 x 1 x 2 . 例 3 已知方程 2x 2 ＋3x-4＝0 的两根为 x 1 与 x 2 ， 求下列各式的值： （ 1 ） x 2 1 ＋x 2 2 ； （ 2 ） |x 1 -x 2 |. 解： 由一元二次方程根与系数的关系， 得 x 1 ＋x 2 ＝- 3 2 ， x 1 x 2 ＝-2. （ 1 ） 利用根与系数关系公式的变形 ， 可知 x 2 1 ＋x 2 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -2x 1 x 2 ＝ - 3 2 2 % 2 -2× （ -2 ） ＝ 25 4 . （ 2 ） ∵ （ x 1 -x 2 ） 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ＝ - 3 2 2 % 2 -4× （ -2 ） = 41 4 ， ∴|x 1 -x 2 |＝ （ x 1 -x 2 ） 2 姨 ＝ 41 姨 2 . 反思感悟 利用一元二次方程根与系数的关系求 由方程两根构成的代数式的值时， 关键是 把未知的代数式进行恒等变形， 转化为含 有 x 1 +x 2 和 x 1 x 2 的代数式， 然后整体代入求值 . 变式训练 3 已知方程 x 2 -3x+1=0 的两根为 x 1 与 x 2 ， 求下列各式的值： （ 1 ） x 3 1 +x 3 2 ； （ 2 ） x 2 x 1 + x 1 x 2 . 数 学 文 化 例 《九章算术》 第九章 “勾股” 问题 二十： 今有邑方不知大小， 各中开门 . 出北 门二十步有木， 出南门一十四步， 折而西行 一千七百七十五步见木， 问邑方几何 . 28 第二章 等式与不等式 学 根据题中的描述可画出示意图如图 2- 1-1 所示， 其中 A 点代表北门， B 处是木， C 点代表南门， 而且 AB=20 ， CD=14 ， DE= 1 775. 问邑方边长多少步 . 解： 设正方形的边长为 x. 则有 AF= x 2 ， DB=20+x+14=x+34. 根据 △ABF∽△DBE 可知 AF DE = AB DB ， 从而 AF · DB=AB · DE ， 因此 x 2 （ x+34 ） =20 · 177 5. 整理得 x 2 +34x-71 000=0 ， 解得 x=250 或 x=-284 （舍去） . ∴ 邑方边长 250 步 . F A B C D E 图 2-1-1 29 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 m＝10 或 m＝-1. 10. 解： 将方程 （ 2 018x ） 2 -2 017 · 2 019x-1＝0 化为 （ 2 018 2 x＋1 ）（ x-1 ） ＝0 ， ∴x 1 ＝- 1 2 018 2 ， x 2 ＝1 ， ∴m＝1. 同理， 由方程 x 2 ＋2 018x-2 019＝0 ， 可得 （ x＋2 019 ） （ x-1 ） ＝0 ， ∴x 3 ＝-2 019 ， x 4 ＝1 ， ∴n＝-2 019 ， ∴m-n＝2 020. 提升练习 11. A 【解析】 ∵4x 2 +5x+m= （ x+2 ）（ 4x+n ） =4x 2 + （ 8+n ） x+ 2n ， ∴8+n=5 ， m=2n ， ∴n=-3 ， m=-6. 故选 A. 12. ABD 【解析】 当 n=0 时， A 不正确； 选项 B 应 得到 b=c+a ； ∵c 2 +2 恒不为 0 ， 故 C 正确； 选项 D 应得 到 x=a- b 2 . 故选 ABD. 13. BD 【解析】 由 x 2 +xy-2y 2 =0 ， 得 （ x+2y ）（ x-y ） =0 ， 得 x=-2y 或 x=y. 当 x=-2y 时， x 2 +3xy+y 2 x 2 +y 2 = 4y 2 -6y 2 +y 2 4y 2 +y 2 =- 1 5 ； 当 x=y 时， x 2 +3xy+y 2 x 2 +y 2 = y 2 +3y 2 +y 2 y 2 +y 2 = 5 2 . 故选 BD. 14. 0 或 -1 或 1 2 【解析】 由 x 2 -x-2=0 ， 得 （ x-2 ）（ x+ 1 ） =0 ， 解得 x 1 =-1 ， x 2 =2. ∴B={-1 ， 2} . ∵A哿B ， ∴A=芰 ， {-1} 或 {2}. 当 A=芰 时， a=0 ； 当 A={-1} 时， a=-1 ； 当 A= {2} 时， a= 1 2 . 故 a=0 或 a=-1 或 a= 1 2 . 15. 解： ∵kx 2 +y 2 -2kx+2y-3k=k （ x 2 -2x-3 ） +y 2 +2y=0 ， 由题得 k （ x 2 -2x-3 ） +y 2 +2y=0 对任意的实数 k ， 等式 恒成立， ∴ x 2 -2x-3=0 ， y 2 +2y=0 0 ， ∴ x=3 ， y=0 0 ， x=3 ， y=-2 0 ， x=-1 ， y=0 0 ， x=-1 ， y=-2 0 ， ∴ 所有实数对 （ x ， y ）的集合为 { （ 3 ， 0 ）， （ 3 ， -2 ）， （ -1 ， 0 ）， （ -1 ， -2 ） } . 2.1.2 一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 ∵Δ= ［ - （ k+4 ）］ 2 -4×1×k=k 2 +4k+16= （ k+2 ） 2 + 12>0 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即方程的解集中 有 2 个元素 . 故选 B. 变式训练 2 D 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 kx 2 +2x-1=0 有两个不相 等的实数根， ∴k≠0 且 Δ=4-4k× （ -1 ） >0 ， 解得 k>-1. ∴k 的取值范围为 k>-1 且 k≠0. 故选 D. 变式训练 3 解： ∵ 方程 x 2 -3x+1=0 的两根为 x 1 与 x 2 ， ∴x 1 +x 2 =3 ， x 1 x 2 =1. （ 1 ） x 3 1 +x 3 2 = （ x 1 +x 2 ）（ x 2 1 -x 1 x 2 +x 2 2 ） = （ x 1 +x 2 ）［（ x 1 +x 2 ） 2 -3x 1 x 2 ］ =3× （ 3 2 -3×1 ） =18. （ 2 ） x 2 x 1 + x 1 x 2 = x 2 1 +x 2 2 x 1 x 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 x 1 x 2 = 3 2 -2×1 1 =7. 随堂练习 1. B 【解析】 由方程 x 4 -3x 2 +2=0 令 t=x 2 （ t≥0 ）， 则 t 2 -3t+2=0 ， ∴t=1 或 t=2 ， 即 x 2 =1 或 x 2 =2 ， ∴x=±1 或 x=± 2 姨 . 故选 B. 2. C 【解析】 由一元二次方程存在两个实数根得判 别式 Δ≥0 ， ∴Δ=m 2 -4m≥0 ， 解得 m≥4 或 m≤0 ， 故选 C. 3. BD 【解析】 设方程 x 2 -ax+2a=0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 故 Δ=a 2 -8a≥0 ， 解得 a≤0 或 a≥8. 由根与系数的关系 得， x 1 +x 2 =a ， x 1 x 2 =2a ， 故 x 2 1 +x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 =a 2 -2× （ 2a ） = 45 ， 即 a 2 -4a-45=0 ， 解得 a=-5 或 a=9 ， 且满足题意 . 故 选 BD. 4. 1 【解析】 ∵x 1 ， x 2 是方程 3x 2 -2x-2=0 的两个根， ∴x 1 +x 2 = 2 3 ， x 1 x 2 =- 2 3 ， ∴ （ x 1 +1 ）（ x 2 +1 ） =x 1 x 2 + （ x 1 +x 2 ） +1=- 2 3 + 2 3 +1=1. 5. 解： ∵x 1 ， x 2 是方程 2x 2 +5x-3=0 的两个根， ∴x 1 + x 2 =- 5 2 ， x 1 x 2 =- 3 2 . （ 1 ） ∵｜x 1 -x 2 ｜= （ x 1 -x 2 ） 2 姨 = （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = - 5 2 2 ) 2 -4× - 3 2 2 2 姨 = 49 4 姨 = 7 2 . （ 2 ） ∵ 1 x 2 1 + 1 x 2 2 = x 2 1 +x 2 2 x 2 1 x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 （ x 1 x 2 ） 2 = - 5 2 2 2 2 -2× - 3 2 2 2 - 3 2 2 2 2 = 37 9 . （ 3 ） ∵x 3 1 +x 3 2 = （ x 1 +x 2 ）（ x 2 1 -x 1 x 2 +x 2 2 ） = （ x 1 +x 2 ）［（ x 1 +x 2 ） 2 - 3x 1 x 2 ］ =- 215 8 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设方程的另一个根为 x 0 ， 则 -2＋x 0 ＝-3 ， 即 x 0 ＝-1. 故选 B. 2. A 【解析】 由 x （ x＋1 ） ＋ax＝0 ， 得 x 2 ＋ （ 1＋a ） x＝0. ∵ 方 程有两个相等的实数根， ∴ 判别式 Δ＝0. ∴a＝-1. 故选 A. 3. A 【解析】 把方程 a （ x＋m＋1 ） 2 ＋b＝0 看作关于 x＋1 的一元二次方程， 则 x 1 ＋1＝-2 ， x 2 ＋1＝1 ， 解得 x 1 ＝-3 ， x 2 ＝ 0. 故选 A. 4. A 【解析】 根据题意， 得 c≠b ， 且 Δ＝ ［ 2 2 姨 （ b- a ）］ 2 -4 （ c-b ）· 2 （ a-b ） ＝0 ，（ a-b ）（ a-b-c＋b ） ＝0 ， ∴a-b＝0 或 a-c＝0 ， ∴a＝b 或 a＝c ， ∴ 这个三角形为等腰三角形 . 故选 A. 5. AB 【解析】 ∵ 关于 x 的一元二次方程 （ m-1 ） x 2 - 2x-1=0 有两个实数根， ∴ m-1≠0 ， Δ=4+4 （ m-1 ） ≥0 0 ， 解得 m≥0 且 m≠1. 故选 AB. 6. -22±3 53 姨 7 【解析】 根据题意， 得 7x （ x＋5 ） ＋10＋ 9x-9＝0 ， 整理得 7x 2 ＋44x＋1＝0. ∴Δ＝44 2 -28＝1 908 ， ∴x＝ 36 参 考 答 案 -44± 1 908 姨 14 ＝ -22±3 53 姨 7 . 7. 21 4 【解析 】 由题意知 Δ=25-4a≥0 ， 且 x 1 ＋x 2 ＝5 ， x 1 x 2 ＝a. ∵x 2 1 -x 2 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ）（ x 1 -x 2 ） ＝10 ， ∴x 1 -x 2 ＝2 ， ∴ （ x 1 -x 2 ） 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ＝25-4a＝4 ， ∴a＝ 21 4 . 8. 3 【解析】 由题意知 n≠0 ， 则 1＋ 2 n - 1 n 2 ＝0 ， 即 1 n 2 - 2 n -1＝0. 又 ∵m 2 -2m-1＝0 ， 且 mn≠1 ， 即 m≠ 1 n ， ∴m ， 1 n 是方程 x 2 -2x-1＝0 的两个根， 则 m＋ 1 n ＝2. 故 mn+n+1 n ＝m＋1＋ 1 n ＝2＋1＝3. 9. -3 或 9 【解析 】 设 x 1 ， x 2 为方程的两个根 ， 则 x 1 +x 2 = k+1 2 ， x 1 x 2 = k+3 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， |x 1 -x 2 |＝1 ， k+1 2 2 * 2 -2 （ k＋3 ） ＝1 ， 解得 k＝9 或 k＝-3. 检验当 k＝9 或 k＝-3 时， Δ＞0 成立 . 10. 解： （ 1 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有 两个实数根 x 1 ， x 2 ， Δ= （ 2k-1 ） 2 -4 （ k 2 -1 ） =-4k+5≥0 ， 解 得 k≤ 5 4 ， ∴ 实数 k 的取值范围为 k≤ 5 4 . （ 2 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有两个实数 根 x 1 ， x 2 ， x 1 +x 2 =1-2k ， x 1 x 2 =k 2 -1. ∵x 2 1 +x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 =16+x 1 x 2 ， ∴ （ 1-2k ） 2 -2 （ k 2 -1 ） =16+ （ k 2 -1 ）， 即 k 2 -4k-12=0 ， 解得 k=-2 或 k=6 （舍去） . ∴ 实数 k 的值为 -2. 提升练习 11. C 【解析】 由题意可知有两根且两根不为 0 ， 设 为 x 1 ， x 2 ， 则 1 x 1 + 1 x 2 =0 ， ∴x 1 +x 2 =0. 又 ∵x 1 +x 2 =2 （ m 2 -1 ） =0 ， 故 m=±1. 当 m=-1 时， 方程为 x 2 +3=0 无实根， 舍去； 当 m=1 时， 方程为 x 2 -3=0 合题意， 故选 C. * 12. ABC 【解析 】 方程有一个正根一个负根 ， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m>0 ， f （ 0 ） <0 0 ， 即 m<0 ， 同时 m<0 时方程有一个正根 一个负根， 故 m<0 是方程有一个正根一个负根的充要条件， 故 A 正确； 方程有两个正根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m≥0 ， - b 2a = 3-m 2 >0 ， f （ 0 ） >0 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， 即 0<m≤1 ， 同时 0<m≤1 时方程有两个正根， 故 0<m≤1 是方程有两个正根的充要条件， 故 B 正确； 方程无实数 根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m<0 ， 即 1<m<9 ， 而 m>1 时方程可 能无实数根也可能有实数根， 故 m>1 是方程无实数根的 必要条件， 故 C 正确； m=3 时知方程 x 2 +3=0 无实数根 . 故选 ABC. 13. BD 【解析】 ∵Δ=2 2 -4×2× （ -1 ） =12>0 ， ∴ 方程有 两不相等实根 . 由根与系数的关系得， x 1 +x 2 =-1 ， x 1 x 2 = - 1 2 ， ∴A 错误， B 正确 . ∵x 1 x 2 <0 ， ∴x 1 ， x 2 异号 . 又 ∵x 1 + x 2 <0 ， x 1 <x 2 ， ∴｜x 1 ｜>｜x 2 ｜ ， ∴C 错误 . ∵x 1 为一元二次方程 2x 2 +2x-1=0 的根， ∴2x 2 1 +2x 1 -1=0 ， ∴x 2 1 +x 1 = 1 2 ， ∴D 正确 . 故选 BD. 14. x 2 -14x-1=0 【解析】 由根与系数的关系得 a+b= 2 ， ab=-1 ， ∴a 3 b 3 = （ ab ） 3 =-1. 又 ∵a 3 +b 3 = （ a+b ）（ a 2 -ab+b 2 ） = （ a+b ）［（ a+b ） 2 -3ab ］ =2×7=14 ， ∴ 以 a 3 ， b 3 为两根的一个 一元二次方程是 x 2 -14x-1=0. 15. （ 1 ） 证明 ： ∵Δ= （ m-3 ） 2 -4×m× （ -3 ）=m 2 +6m+9= （m+3 ） 2 ≥0 ， ∴ 方程总有两个实数根 . （ 2 ） 解： 由根与系数的关系得 x 1 x 2 =- 3 m <0 ， ∴m>0. ∵ 两根都是整数， ∴x 1 +x 2 =- m-3 m = 3 m -1 为整数 . 当 m=1 或 m=3 时满足题意 . 故 m 的整数值为 1 或 3. 2.1.3 方程组的解集 学习手册 变式训练 1 BD 【解 析 】 ∵ 3x-2y+7=0 ， ① 6x+ 1 2 y+5=0 ， 0 ② 由 ① +② ×4 得 ， 27x+27=0 ， 解得 x=-1 ， 将 x=-1 代入 ① 解得 y=2. 故选 BD. 变式训练 2 解 ： 方程组为 x+y+z=26 ， ① x-y=1 ， ② 2x-y+z=18 ， 2 ' ' ' & ' ' ' ( ③ 由 ③-① 得 ， x- 2y=-8④ ， 由 ②-④ 得 y=9. 将 y=9 代入 ② 得 x=10. 将 x= 10 ， y =9 代 入 ① ， 得 z =7. ∴ 方 程 组 的 解 集 为 { （ 10 ， 9 ， 7 ） } . 变式训练 3 12 【解析】 由 ①+②+③ ， 得 2 （ x+y+z ） =18 ， 即 x+y+ z=9④ ， ④-① ， 得 z=4 ； ④-② 得 x=2 ； ④-③ 得 y=3. ∴x+ 2y+z=12. 变式训练 4 解 ： 设 《毛诗 》 x 本 ， 《春秋 》 y 本 ， 《周易 》 z 本， 由题意得 x+y+z=94 ， 3x=4y=5z 0 ， 可设 3x=4y=5z=k （ k 为常数， 且 k≠0 ）， 将其代入 x+y+z=94 中， 得 k 3 + k 4 + k 5 =94 ， 解 得 k=120 ， 因此 x=40 ， y=30 ， z=24 ， 即 《毛诗》 40 本， 《春秋》 30 本， 《周易》 24 本 . 变式训练 5 解： 2x-y+1=0 ， ① x 2 -x-2y+6=0. 0 ② 由 ① 得 y=2x+1③ ， 把 ③ 代入 ② ， 整理得 x 2 -5x+4=0 ， 解得 x 1 =1 ， x 2 =4 ， 把 x=1 代入 ③ ， 得 y=3 ； 把 x=4 代入 ③ ， 得 y=9 ， ∴ 原方程的解集为 { （ 1 ， 3 ）， （ 4 ， 9 ） }. 37