2.1.1 等式的性质与方程的解集-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 等式与不等式 学 学 习 目 标 1. 会用量词和逻辑语言梳理等式的性质 . 2. 理解恒等式的概念， 掌握常用的恒等 式， 会进行恒等变形 . 3. 熟练掌握 “十字相乘法” 分解因式 . 4. 理解方程解集的概念， 会求常见方程 以及含参的一次方程、 二次方程的解集 . 5. 通过对等式推理的基本形式和规则的 训练， 探索出解方程的核心方法， 培养学生 逻辑推理和数学运算的核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 恒等式的运用 含有字母的等式， 如果其中的字母取任 意实数时等式都成立， 则称其为恒等式， 也 称等式两边恒等 . 恒等式是进行代数变形的依据之一， 如 （ x-y ） 2 = ［ x+ （ -y ）］ 2 =x 2 +2x （ -y ） + （ -y ） 2 =x 2 -2xy+y 2 . 上式即利用了代换的思想， 根据两数和 的平方公式推导出了两数差的平方公式 . 例 1 化简： （ 2x+1 ） 2 - （ x-1 ） 2 . 分析 解本题有两种方法： 一是利用 两数和（差）的平方公式展开， 合并同类项； 二是利用原式 A 2 -B 2 的结构， 考虑平方差公 式 . 方法二较为简便， 利用了整体思想 . 解： 方法一： （ 2x+1 ） 2 - （ x-1 ） 2 = （ 4x 2 +4x+1 ） - （ x 2 -2x+1 ） =3x 2 +6x. 方法二： （ 2x+1 ） 2 - （ x-1 ） 2 = ［（ 2x+1 ） + （ x-1 ）］［（ 2x+1 ） - （ x-1 ）］ =3x （ x+2 ） =3x 2 +6x. 反思感悟 方法二是将 2x+1 看成平方差公式 A 2 - B 2 = （ A+B ）（ A-B ）中的 A ， 将 x-1 看成 B. 变式训练 1 化简： （ 1 ） （ a 2 +4 ） 2 -16a 2 ； （ 2 ） （ m 2 +1 ）（ m+1 ）（ m-1 ） - （ m 4 +1 ） . 第二章 等式与不等式 2.1 等 式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 23 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 例 2 若 4x 2 -3 （ a-2 ） x＋25 是完全平方式， 则 a 的值为 （ ） A. - 14 3 B. 26 3 C. - 14 3 或 26 3 D. 不存在 分析 依据平方项的特点， 写出完全 平方公式， 再通过解方程求出未知量 . 解析： ∵4x 2 -3 （ a-2 ） x＋25 ＝ （ 2x ） 2 -3 （ a-2 ） x＋ （ ±5 ） 2 ＝ （ 2x±5 ） 2 ， 即 4x 2 -3 （ a-2 ） x＋25＝ （ 2x＋5 ） 2 或 4x 2 -3 （ a-2 ） x＋ 25＝ （ 2x-5 ） 2 . ∴-3 （ a-2 ） ＝20 或 -3 （ a-2 ） ＝-20. 解得 a＝- 14 3 或 a＝ 26 3 . 故选 C. 变式训练 2 若 x 2 + （ a-2 ） x+9 是一个完全平方式， 则 a 的取值集合为 . 思考 你能写出 “立方和” 与 “立方 差” 公式吗？ 要点 2 十字相乘法 二次三项式 x 2 +Cx+D 的因式分解： C=a+b ， D=ab圯x 2 +Cx+D= （ x+a ）（ x+b ） . 二次三项式 Ex 2 +Fx+G 的因式分解： E=ac ， F =ad +bc ， G=bd圯Ex 2 +Fx +G = （ ax+b ）（ cx+d ） . 例 3 分解因式： x 2 +2x-15. 分析 0>-15=ab ， 0<2=a+b ， 从而 a ， b 一正一负 . 1 -3 1 5 -15= （ -3 ） ×5 ， 2= （ -3 ） +5. 解： x 2 +2x-15= （ x-3 ）（ x+5 ） . 变式训练 3 利用十字相乘法分解因式： （ 1 ） 2x 2 -7x+3 ； （ 2 ） 5x 2 -4xy-y 2 ； （ 3 ） 10 （ x+2 ） 2 -29 （ x+2 ） +10. 反思感悟 利用十字相乘法分解因式的步骤： （ 1 ） 竖分二次项与常数项； （ 2 ） 交叉相乘再相加； （ 3 ） 检验确定， 横写因式 . 24 第二章 等式与不等式 学 要点 3 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个 方程的解集 . 例 4 分别解关于 x 的方程 . （ 1 ） ax=2 ； （ 2 ） x 2 + （ a+2 ） x+2a=0 ， 其中 a∈R 是常数 . 分析 （ 1 ） 分类讨论， 讨论 a 与 0 的 关系； （ 2 ） 利用十字相乘， 对（ x+2 ）（ x+a ） =0 分类讨论， 讨论 a 与 2 的关系 . 解： （ 1 ） 当 a≠0 时， 等式两侧同除以 a ， 得 x= 2 a ， 解集为 2 a a $ ； 当 a=0 时， 方程变为 0=0 · x=2 ， 无解， 解集为 芰. 综上， 当 a≠0 时， 解集为 2 a a $ ； 当 a=0 时， 解集为 芰. （ 2 ） x 2 + （ a+2 ） x+2a=0圳 （ x+2 ）（ x+a ） =0. 当 a=2 时， 解集为 {-2} ； 当 a≠2 时， 解集为 {-2 ， -a}. 变式训练 4 求下列关于 x 的方程的解集 . （ 1 ） x （ x+2 ） =2x+4 ； （ 2 ） ax=x-1 （ a 为实数）； （ 3 ） x 2 -x-a 2 +a=0 （ a 为实数） . 反思感悟 求含参数的一元一次方程的解集时， 需注意讨论一次项系数是否为 0. 例 5 若实数 a ， b 满足 （ 4a＋4b ）（ 4a＋4b- 2 ） -8＝0 ， 则 a＋b＝ . 分析 整体法， 把 a+b 看作一个整体， 构造出方程， 进一步求解 . 解析： 设 a＋b＝x ， 则原方程可化为 4x （ 4x-2 ） -8＝0 ， 整理得（ 2x＋1 ）（ x-1 ） ＝0 ， 解得 x 1 ＝- 1 2 ， x 2 ＝1. 则 a＋b＝- 1 2 或 1. 变式训练 5 * 求方程（ x+1 ）（ x+2 ）（ x+3 ）（ x+4 ） =24 的 解集 . 25 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 数 学 文 化 例 我国古代数学著作 《九章算术》 中 有如下问题： “今有人持金出五关， 前关二 而税一， 次关三而税一， 次关四而税一， 次 关五而税一， 次关六而税一， 并五关所税， 适重一斤， 问本持金几何 . ” 其意思为： 今 有人持金出五关， 第一关收税金为持金的 1 2 ， 第二关收税金为剩余金的 1 3 ， 第三关 收税金为剩余金的 1 4 ， 第四关收税金为剩余 金的 1 5 ， 第五关收税金为剩余金的 1 6 ， 五 关所收税金之和恰好重 1 斤， 则此人总共持 金 （ ） A. 2 斤 B. 7 5 斤 C. 6 5 斤 D. 11 10 斤 分析 设总共持金 x 斤， 再根据题意 列式求解即可 . 解析： 设总共持金 x 斤， 再根据过五关 后剩 （ x-1 ） 斤列式计算即可 . 由题意得 x · 1- 1 2 2 " · 1- 1 3 2 " · 1- 1 4 2 " · 1- 1 5 2 " · 1- 1 6 2 " =x-1. 即 x · 1 2 · 2 3 · 3 4 · 4 5 · 5 6 =x-1圯x= 6 5 . 故 选 C. 26 参 考 答 案 第二章 等式与不等式 2.1 等 式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） （ a 2 +4 ） 2 -16a 2 = （ a 2 +4+4a ）（ a 2 +4-4a ） = （ a+2 ） 2 （ a- 2 ） 2 = （ a 2 -4 ） 2 =a 4 -8a 2 +16. （ 2 ） （ m 2 +1 ）（ m+1 ）（ m-1 ） - （ m 4 +1 ） = （ m 2 +1 ）（ m 2 -1 ） - （ m 4 +1 ） =m 4 -1-m 4 -1=-2. 变式训练 2 {-4 ， 8} 【解析】 ∵x 2 + （ a-2 ） x+9 是一个完全平方式， ∴x 2 + （ a-2 ） x+9= （ x±3 ） 2 ， ∴a-2=±6 ， ∴a=-4 或 a=8 ， 故 a 的 取值集合为 {-4 ， 8}. 变式训练 3 解： （ 1 ） 2x 2 -7x+3= （ x-3 ）（ 2x-1 ） . （ 2 ） 5x 2 -4xy-y 2 = （ x-y ）（ 5x+y ） . （ 3 ） 10 （ x+2 ） 2 -29 （ x+2 ） +10= ［ 2 （ x+2 ） -5 ］［ 5 （ x+2 ） -2 ］ = （ 2x-1 ）（ 5x+8 ） . 变式训练 4 解： （ 1 ） ∵x （ x+2 ） =2x+4 ， ∴x 2 +2x-2x-4=0 ， 即 x 2 -4= 0 ， ∴x=±2. 故原方程的解集为 {-2 ， 2} . （ 2 ） 由 ax=x-1 ， 得（ a-1 ） x=-1. 当 a-1=0 ， 即 a=1 时， 方程的解集为 芰 ； 当 a-1≠0 ， 即 a≠1 时， 方程的解集为 1 1-a a $ . （ 3 ） ∵x 2 -x-a 2 +a=x 2 -x-a （ a-1 ） = （ x-a ）［ x+ （ a-1 ）］， ∴ 原方程即为（ x-a ）［ x+ （ a-1 ）］ =0 ， 解得 x=a 或 x=1-a. 当 a=1-a ， 即 a= 1 2 时， 方程的解集为 1 2 2 & . 当 a≠1-a ， 即 a≠ 1 2 时， 方程的解集为 {a ， 1-a}. 变式训练 5 解： ∵ （ x+1 ）（ x+4 ） =x 2 +5x+4 ， （ x+2 ）（ x+3 ） =x 2 +5x+6 ， 利用整体法， 设 x 2 +5x=t. 则原方程可化为（ x+1 ）（ x+2 ）（ x+3 ）（ x+4 ） = （ x 2 +5x+4 ）· （ x 2 +5x+6 ） = （ t+4 ）（ t+6 ） =24. 即 t 2 +10t=0 ， 解得 t=0 或 t=-10. 当 t=0 ， 即 x 2 +5x=0 时， 解得 x=0 或 x=-5. 当 t=-10 ， 即 x 2 +5x=-10 时， 此方程无解 . 故原方程的解集为 {0 ， -5} . 随堂练习 1. B 【解析 】 方法一 ： （ x+3y ） 2 - （ 3x+y ） 2 = （ x 2 +6xy+ 9y 2 ） - （ 9x 2 +6xy+y 2 ） =x 2 +6xy+9y 2 -9x 2 -6xy-y 2 =8y 2 -8x 2 . 方法二 ： （ x+3y ） 2 - （ 3x+y ） 2 = ［（ x+3y ） + （ 3x+y ）］［（ x+ 3y ） - （ 3x+y ）］ = （ x+3y+3x+y ）（ x+3y-3x-y ） = （ 4x+4y ）（ -2x+ 2y ） =8 （ x+y ）（ -x+y ） =8y 2 -8x 2 . 2. CD 【解析】 ∵a=b ， ∴a-c=b-c ， 故 A 一定成立， 不符合题意； 由等式的性质可知 ac=bc ， 故 B 一定成立， 不符合题意； 当 c=0 时， a c 和 b c 无意义， 故 C 不一定 成立， 符合题意； 当 b=0 时， a b 无意义， 故 D 不一定 成立， 符合题意 . 故选 CD. 3. ACD 【解析】 显然集合 A={-1 ， 1} ， 对于集合 B= {x｜ax=1} 满足 B哿A ， 则当 B=芰 时， 集合 B 无解， 故 a= 0 ； 当 B≠芰 时， 集合 B= 1 a 2 & ， 则 1 a =1 或 1 a =-1 ， 得 a=1 或 a=-1. 综上， a=0 ， 1 或 -1. 故选 ACD. 4. 解： （ 1 ） ax 2 - （ a 2 +1 ） x+a= （ x-a ）（ ax-1 ） . （ 2 ） （ x 2 +x ） 2 -17 （ x 2 +x ） +60= （ x 2 +x-5 ）（ x 2 +x-12 ） = （ x 2 +x- 5 ）（ x-3 ）（ x+4 ） . 5. 解： （ 1 ） ∵x （ x+7 ） =x ， ∴x 2 +7x-x=0 ， 即 x 2 +6x= x （ x+6 ） =0 ， 解得 x=-6 或 x=0 ， 故方程的解集为 {-6 ， 0}. （ 2 ） 方程可化为 10x 3 - 15-20x 2 =1 ， 去分母， 得 20x- 3 （ 15-20x ） =6 ， 去括号， 得 20x-45+60x=6 ， 移项、 合并 同类项， 得 80x=51 ， 解得 x= 51 80 ， 故方程的解集为 51 80 2 & . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 a 2 b＋ab 2 ＝ab （ a＋b ） ＝2×3＝6. 故选 B. 2. A 【解析】 （ a＋b ） 2 ＋8 （ a＋b ） -20＝ ［（ a＋b ） -2 ］［（ a＋b ） ＋10 ］ ＝ （ a＋b-2 ）（ a＋b＋10 ） . 故选 A. 3. C 【解析】 ∵ （ x-5 ） （ x-b ） ＝x 2 - （ 5＋b ） x＋5b ， ∴ - （ 5+b ） =-3 ， 5b=a 2 ， 即 b=-2 ， a=-10 2 . 故选 C. 4. C 【解析】 ∵2x- （ x＋10 ） ＝5x＋2 （ x＋1 ）， ∴2x-x-10＝ 5x＋2x＋2 ， 即 -6x＝12 ， ∴x＝-2. 故选 C. 5. A 【解析】 ∵mx 2 -m＝m （ x 2 -1 ） ＝m （ x＋1 ）（ x-1 ）， x 2 - 2x＋1＝ （ x-1 ） 2 ， ∴ 公因式为 x-1. 故选 A. 6. 2 ， - 1 3 & 【解析 】 ∵3x （ x-2 ） ＝2-x ， ∴3x （ x-2 ） - （ 2-x ） ＝0 ， 即 3x （ x-2 ） ＋ （ x-2 ） ＝0 ， ∴ （ x-2 ）（ 3x＋1 ） ＝0 ， ∴x＝2 或 x＝- 1 3 ， ∴ 方程的解集为 2 ， - 1 3 & . 7. 8 【解析】 x 2 -8x＋15＝0 ， 即 （ x-5 ）（ x-3 ） ＝0 ， ∴x 1 ＝ 3 ， x 2 ＝5. 又 ∵△ABC 的两边长分别为 2 ， 3 ， ∴x≠5 ， 即 x＝3. ∴△ABC 的周长为 2＋3＋3＝8. 8. 5 或 -1 【解析】 由题意， 得 x 2x 2 x ＝x 2 -4x＝5 ， 即 x 2 -4x-5＝0 ， 解得 x＝5 或 x＝-1. 9. 10 或 -1 【解析 】 ∵ 将实数对 （ m ， 3m ） 放入其 中， 得到实数 5 ， ∴m 2 -9m-5＝5 ， 即 m 2 -9m-10＝0 ， 解得 35 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 m＝10 或 m＝-1. 10. 解： 将方程 （ 2 018x ） 2 -2 017 · 2 019x-1＝0 化为 （ 2 018 2 x＋1 ）（ x-1 ） ＝0 ， ∴x 1 ＝- 1 2 018 2 ， x 2 ＝1 ， ∴m＝1. 同理， 由方程 x 2 ＋2 018x-2 019＝0 ， 可得 （ x＋2 019 ） （ x-1 ） ＝0 ， ∴x 3 ＝-2 019 ， x 4 ＝1 ， ∴n＝-2 019 ， ∴m-n＝2 020. 提升练习 11. A 【解析】 ∵4x 2 +5x+m= （ x+2 ）（ 4x+n ） =4x 2 + （ 8+n ） x+ 2n ， ∴8+n=5 ， m=2n ， ∴n=-3 ， m=-6. 故选 A. 12. ABD 【解析】 当 n=0 时， A 不正确； 选项 B 应 得到 b=c+a ； ∵c 2 +2 恒不为 0 ， 故 C 正确； 选项 D 应得 到 x=a- b 2 . 故选 ABD. 13. BD 【解析】 由 x 2 +xy-2y 2 =0 ， 得 （ x+2y ）（ x-y ） =0 ， 得 x=-2y 或 x=y. 当 x=-2y 时， x 2 +3xy+y 2 x 2 +y 2 = 4y 2 -6y 2 +y 2 4y 2 +y 2 =- 1 5 ； 当 x=y 时， x 2 +3xy+y 2 x 2 +y 2 = y 2 +3y 2 +y 2 y 2 +y 2 = 5 2 . 故选 BD. 14. 0 或 -1 或 1 2 【解析】 由 x 2 -x-2=0 ， 得 （ x-2 ）（ x+ 1 ） =0 ， 解得 x 1 =-1 ， x 2 =2. ∴B={-1 ， 2} . ∵A哿B ， ∴A=芰 ， {-1} 或 {2}. 当 A=芰 时， a=0 ； 当 A={-1} 时， a=-1 ； 当 A= {2} 时， a= 1 2 . 故 a=0 或 a=-1 或 a= 1 2 . 15. 解： ∵kx 2 +y 2 -2kx+2y-3k=k （ x 2 -2x-3 ） +y 2 +2y=0 ， 由题得 k （ x 2 -2x-3 ） +y 2 +2y=0 对任意的实数 k ， 等式 恒成立， ∴ x 2 -2x-3=0 ， y 2 +2y=0 0 ， ∴ x=3 ， y=0 0 ， x=3 ， y=-2 0 ， x=-1 ， y=0 0 ， x=-1 ， y=-2 0 ， ∴ 所有实数对 （ x ， y ）的集合为 { （ 3 ， 0 ）， （ 3 ， -2 ）， （ -1 ， 0 ）， （ -1 ， -2 ） } . 2.1.2 一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 ∵Δ= ［ - （ k+4 ）］ 2 -4×1×k=k 2 +4k+16= （ k+2 ） 2 + 12>0 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 即方程的解集中 有 2 个元素 . 故选 B. 变式训练 2 D 【解析】 ∵ 关于 x 的方程 kx 2 +2x-1=0 有两个不相 等的实数根， ∴k≠0 且 Δ=4-4k× （ -1 ） >0 ， 解得 k>-1. ∴k 的取值范围为 k>-1 且 k≠0. 故选 D. 变式训练 3 解： ∵ 方程 x 2 -3x+1=0 的两根为 x 1 与 x 2 ， ∴x 1 +x 2 =3 ， x 1 x 2 =1. （ 1 ） x 3 1 +x 3 2 = （ x 1 +x 2 ）（ x 2 1 -x 1 x 2 +x 2 2 ） = （ x 1 +x 2 ）［（ x 1 +x 2 ） 2 -3x 1 x 2 ］ =3× （ 3 2 -3×1 ） =18. （ 2 ） x 2 x 1 + x 1 x 2 = x 2 1 +x 2 2 x 1 x 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 x 1 x 2 = 3 2 -2×1 1 =7. 随堂练习 1. B 【解析】 由方程 x 4 -3x 2 +2=0 令 t=x 2 （ t≥0 ）， 则 t 2 -3t+2=0 ， ∴t=1 或 t=2 ， 即 x 2 =1 或 x 2 =2 ， ∴x=±1 或 x=± 2 姨 . 故选 B. 2. C 【解析】 由一元二次方程存在两个实数根得判 别式 Δ≥0 ， ∴Δ=m 2 -4m≥0 ， 解得 m≥4 或 m≤0 ， 故选 C. 3. BD 【解析】 设方程 x 2 -ax+2a=0 的两根为 x 1 ， x 2 ， 故 Δ=a 2 -8a≥0 ， 解得 a≤0 或 a≥8. 由根与系数的关系 得， x 1 +x 2 =a ， x 1 x 2 =2a ， 故 x 2 1 +x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 =a 2 -2× （ 2a ） = 45 ， 即 a 2 -4a-45=0 ， 解得 a=-5 或 a=9 ， 且满足题意 . 故 选 BD. 4. 1 【解析】 ∵x 1 ， x 2 是方程 3x 2 -2x-2=0 的两个根， ∴x 1 +x 2 = 2 3 ， x 1 x 2 =- 2 3 ， ∴ （ x 1 +1 ）（ x 2 +1 ） =x 1 x 2 + （ x 1 +x 2 ） +1=- 2 3 + 2 3 +1=1. 5. 解： ∵x 1 ， x 2 是方程 2x 2 +5x-3=0 的两个根， ∴x 1 + x 2 =- 5 2 ， x 1 x 2 =- 3 2 . （ 1 ） ∵｜x 1 -x 2 ｜= （ x 1 -x 2 ） 2 姨 = （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = - 5 2 2 ) 2 -4× - 3 2 2 2 姨 = 49 4 姨 = 7 2 . （ 2 ） ∵ 1 x 2 1 + 1 x 2 2 = x 2 1 +x 2 2 x 2 1 x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 （ x 1 x 2 ） 2 = - 5 2 2 2 2 -2× - 3 2 2 2 - 3 2 2 2 2 = 37 9 . （ 3 ） ∵x 3 1 +x 3 2 = （ x 1 +x 2 ）（ x 2 1 -x 1 x 2 +x 2 2 ） = （ x 1 +x 2 ）［（ x 1 +x 2 ） 2 - 3x 1 x 2 ］ =- 215 8 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设方程的另一个根为 x 0 ， 则 -2＋x 0 ＝-3 ， 即 x 0 ＝-1. 故选 B. 2. A 【解析】 由 x （ x＋1 ） ＋ax＝0 ， 得 x 2 ＋ （ 1＋a ） x＝0. ∵ 方 程有两个相等的实数根， ∴ 判别式 Δ＝0. ∴a＝-1. 故选 A. 3. A 【解析】 把方程 a （ x＋m＋1 ） 2 ＋b＝0 看作关于 x＋1 的一元二次方程， 则 x 1 ＋1＝-2 ， x 2 ＋1＝1 ， 解得 x 1 ＝-3 ， x 2 ＝ 0. 故选 A. 4. A 【解析】 根据题意， 得 c≠b ， 且 Δ＝ ［ 2 2 姨 （ b- a ）］ 2 -4 （ c-b ）· 2 （ a-b ） ＝0 ，（ a-b ）（ a-b-c＋b ） ＝0 ， ∴a-b＝0 或 a-c＝0 ， ∴a＝b 或 a＝c ， ∴ 这个三角形为等腰三角形 . 故选 A. 5. AB 【解析】 ∵ 关于 x 的一元二次方程 （ m-1 ） x 2 - 2x-1=0 有两个实数根， ∴ m-1≠0 ， Δ=4+4 （ m-1 ） ≥0 0 ， 解得 m≥0 且 m≠1. 故选 AB. 6. -22±3 53 姨 7 【解析】 根据题意， 得 7x （ x＋5 ） ＋10＋ 9x-9＝0 ， 整理得 7x 2 ＋44x＋1＝0. ∴Δ＝44 2 -28＝1 908 ， ∴x＝ 36