1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解命题的否定的含义， 会写出给定 命题的否定， 并会判断其真假 . 2. 掌握全称量词命题与存在量词命题的 否定， 能够正确使用存在量词对全称量词命 题进行否定， 能够正确使用全称量词对存在 量词命题进行否定， 并会判断其真假 . 要 点 精 析 要点 1 命题的否定 一般地， 对命题 p 加以否定， 就得到一 个新的命题， 记作 “ 劭p ”， 读作 “非 p ” 或 “ p 的否定” . 注： 一个命题与它的否定真假相反 . 思考 如果一个命题是真命题， 它的 否定是真命题还是假命题？ 例 1 写出下列命题的否定， 并判断所 得命题的真假 . （ 1 ） 2 姨 是无理数； （ 2 ） 3 和 4 都是 15 的因数； （ 3 ） 若 m 2 +n 2 =0 ， 则实数 m ， n 全为零； （ 4 ） 至少有一个质数是偶数； （ 5 ） 能被 3 整除的数， 也能被 4 整除； （ 6 ） 三角形的两边之和大于第三边 . 解： （ 1 ） 命题的否定： 2 姨 不是无理 数 . 是假命题 . （ 2 ） 命题的否定： 3 和 4 不都是 15 的因 数 . 是真命题 . （ 3 ） 命题的否定： 若 m 2 +n 2 =0 ， 则实数 m ， n 不全为零 . 是假命题 . （ 4 ） 命题的否定： 任意的质数都不是偶 数 . 是假命题 . （ 5 ） 命题的否定 ： 存在能被 3 整除的 数， 不能被 4 整除 . 是真命题 . （ 6 ） 命题的否定： 存在一个三角形， 它 的两边之和不大于第三边 . 是假命题 . 反思感悟 在判断命题或者命题的否定真假的时 候， 可以利用命题与其否定之间的真假关 系进行判断； 一个命题与它的否定真假相反 . 变式训练 1 （多选题） 下列命题的否定为真命题的 有 （ ） A. 若 x 2 -x-12=0 ， 则 x=4 B. 若 x 2 >5 ， 则 x> 5 姨 C. 在 △ABC 中， 若 AB<BC ， 则有 ∠ACB< ∠BAC D. 埚x∈R ， x 2 -x+1=0 要点 2 全称量词命题与存在量词命题 的否定 1. 存在量词命题的否定 一般地， 存在量词命题 “ 埚x∈M ， p （ x ）” 的否定是全称量词命题 “ 坌x∈M ， 劭p （ x ）” . 思考 如果一个存在量词命题是真命 题， 它的否定是真命题还是假命题？ 2. 全称量词命题的否定 一般地， 全称量词命题 “ 坌x∈M ， q （ x ）” 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 18 第一章 集合与常用逻辑用语 学 的否定是存在量词命题 “ 埚x∈M ， 劭q （ x ）” . 思考 如果一个全称量词命题是真命 题， 它的否定是真命题还是假命题？ 例 2 （ 1 ） 命题 ： 埚n∈N ， n 2 >3n+5 ， 则该命题的否定为 （ ） A. 坌n∈N ， n 2 >3n+5 B. 坌n∈N ， n 2 ≤3n+5 C. 埚n∈N ， n 2 ≤3n+5 D. 埚n∈N ， n 2 <3n+5 （ 2 ） 命题 “ 坌x>0 ， x x-1 >0 ” 的否定是 （ ） A. 埚x<0 ， x x-1 ≤0 B. 埚x>0 ， 0≤x≤1 C. 坌x>0 ， x x-1 ≤0 D. 坌x<0 ， 0≤x≤1 解析： （ 1 ） 坌n∈N ， n 2 ≤3n+5 ， 故选 B. （ 2 ） 对于 x x-1 >0 ， 解得 x<0 或 x>1 ， ∴ 命题 “ 坌x >0 ， x x-1 >0 ” 的否定是 “ 埚x>0 ， 0≤x≤1 ” . 故选 B. 变式训练 2 全称命题 “ 坌x∈R ， x 2 +2x+3≥0 ” 的否 定是 （ ） A. 坌x∈R ， x 2 +2x+3＜0 B. 坌x埸R ， x 2 +2x+3≥0 C. 埚x∈R ， x 2 +2x+3≤0 D. 埚x∈R ， x 2 +2x+3＜0 数 学 文 化 例 1 老师带甲、 乙、 丙、 丁四名学生 去参加数学竞赛， 考试结束后老师向四名学 生了解考试情况， 四名学生回答如下 . 甲说： “我们四人都没考好 . ” 乙说： “我们四人中 有人考得好 . ” 丙说： “乙和丁至少有一人 没考好 . ” 丁说： “我没考好 . ” 结果， 四名 学生有两人说对了， 则四名学生中说对的两 人是 （ ） A. 甲、 丙 B. 乙、 丁 C. 丙、 丁 D. 乙、 丙 解析： 甲、 乙两人说的话矛盾， 必有一 对一错， 如果丁正确， 则丙也是对的， ∴ 丁是 错误的， 可得丙正确， 此时， 乙正确 . 故选 D. 例 2 （多选题） 对 坌x∈R ， ［ x ］ 表 示不超过 x 的最大整数 . 18 世纪， y= ［ x ］ 被 “数学王子” 高斯采用， 因此得名为高斯函 数， 人们更习惯称为 “取整函数”， 则下列 命题中的真命题有 （ ） A. 埚x∈R ， x= ［ x ］ B. 埚x∈R ， x= ［ x ］ -1 C. 埚x∈R ， x= ［ x ］ +1 D. 坌x ， y∈R ， ［ x ］ + ［ y ］ ≤ ［ x+y ］ 解析： 当 x∈Z 时， x= ［ x ］； 当 x埸Z 时 ， 设 k<x<k+1 （ k∈Z ）， 则 ［ x ］ =k ， 则［ x ］ <x< ［ x ］ +1. 综上， ［ x ］ ≤x< ［ x ］ +1 ， A 正确， B ， C 选项均错误 . 由上可知， ［ x ］ ≤x< ［ x ］ +1 ， 设 x= ［ x ］ + {x} ， 则 0≤{x}<1. 若 0≤{x}+{y}<1 ， 则［ x+y ］ = ［ x ］ + ［ y ］； 若 1≤{x}+{y}<2 ， 则［ x+y ］ = ［ x ］ + ［ y ］ +1. 综上， 坌x ， y∈R ， ［ x ］ + ［ y ］ ≤ ［ x+y ］， D 选项正确 . 故选 AD. 19 参 考 答 案 x∈{x｜x<2 或 x>5} ， 若 x∈{x｜x<1 或 x>4} 是假命题， 则 x∈ {x｜1≤x≤4} ， ∴x 的取值范围是 1≤x<2 ， 即 x 的取值范围 是 ［ 1 ， 2 ） . 8. 5 【解 析 】 当 x≥3 时 ， 2x≥6圯 2x -1≥5 ， ∵ “坌x≥3 ， 使得 2x-1≥m ” 是真命题， ∴m≤5. 9. ①③圯② 【解析】 若 ①③ 成立， 则 ｜α+β ｜=｜α ｜+｜β ｜> 4 2 姨 >5 ； 若 ①② 成立 ， 如 α=10 ， β=1 ， 但 ③ 不成立 ； 若 ②③ 成立， 如 α=20 ， β=-5 ， 但 ① 不成立 . 10. 解： （ 1 ） 若 p 为真命题， 即对于任意实数 x 都 有 ax 2 +ax+1>0 恒成立， 当 a=0 时， 满足题意， 当 a≠0 时， 则 a>0 ， Δ=a 2 -4a<0 0 ， 解得 0<a<4 ， 综上所述， a∈ ［ 0 ， 4 ） . （ 2 ） 若 q 为真命题， 即关于 x 的方程 x 2 -x+a=0 有实 数根， 则 Δ=1-4a≥0 ， 解得 a≤ 1 4 . 若 p 与 q 都是假命题， 则 a<0 或 a≥4 ， a> 1 4 0 ， 解得 a≥4 ， 若 p 与 q 中至少有一个为真命题， 则 a∈ （ -∞ ， 4 ） . （ 3 ） 若 p 与 q 中有且仅有一个为真命题， 则 0≤x<4 ， a> 1 4 0 或 a<0 或 a≥4 ， a≤ 1 4 0 ， 解得 1 4 <a<4 或 a<0 ， 综上所述， a∈ （ -∞ ， 0 ） ∪ 1 4 ， ， + 4 . 提升练习 11. D 【解析 】 非 p 是真命题 ， ∴p 是假命题 ； ∴ 埚x∈{x｜1<x<3} ， x-a≥0 无解； ∴ 当 1<x<3 时， a≤x 不成 立， ∴a≥3. 故选 D. 12. C 【解析】 ∵ 甲预测说： 我不会获奖， 丙获奖， 而丙预测说： 甲的猜测是对的， ∴ 甲和丙的说法要么同 时与结果相符， 要么同时与结果不符 . 若甲和丙的说法 同时与结果相符， 则丁的说法也对， 这与 “四人的预测 中有两人的预测与结果相符， 另外两人的预测与结果不 符” 相矛盾， 故错误 . 若甲和丙的说法与结果不符， 则 乙、 丁的预测成立， ∴ 甲获奖， 丁不获奖； 丙获奖， 乙 不获奖 . 故选 C. 13. BD 【解析】 A 中， x=-1<0 ， y=3>0 有 x+y>0 ， 假 命题； B 中 ， 矩形的对角线相等 ， 真命题 ； C 中 ， 若 m≥1 ， 有 Δ=4 （ m+1 ） 2 -4m （ m+3 ） =4-4m≤0 ， 显然 mx 2 - 2 （ m+1 ） x+m+3>0 ， 在 m=1 时， 解集不为 R ， 假命题； D 中， 若 a+7 是无理数， 则 a 是无理数， 真命题 . 故选 BD. 14. ［ 2 ， +∞ ） 【解析 】 ∵坌x∈R ， ax 2 +2 2 姨 x+a- 1≥0 成立， 当 a=0 时， 2 2 姨 x-1≥0 ， 不恒成立； 当 a≠0 时， a>0 ， Δ=8-4a （ a-1 ） ≤0 0 ， 解得 a≥2. 综上所述， 实数 a 的 取值范围是［ 2 ， +∞ ） . * 15. 解： 对于 p ： （ 2x-3 ） min ≥m 2 -4m 成立 ， 而 x∈ ［ 0 ， 1 ］， 有 （ 2x-3 ） min =-3 ， ∴-3≥m 2 -4m ， ∴1≤m≤3. 对于 q ： 存在 x∈ ［ -1 ， 1 ］， 使得不等式 x 2 -2x+m- 1≤0 成立， 只需 （ x 2 -2x+m-1 ） min ≤0 ， 而 （ x 2 -2x+m-1 ） min =-2+m ， ∴-2+m≤0 ， ∴m≤2. （ 1 ） 若 p 为真， 则 1≤m≤3. （ 2 ） 若 p ， q 有且只有一个为真， 则 p ， q 一真一假 . 若 q 为假命题， p 为真命题， 则 1≤m≤3 ， m>2 0 ， ∴2<m≤3 ； 若 p 为假命题， q 为真命题， 则 m<1 或 m>3 ， m≤2 0 ， ∴m<1. 综上所述， m<1 或 2<m≤3. 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析 】 ∵x 2 -x-12=0 ， （ x-4 ）（ x+3 ） =0 ， 解得 x=-3 或 x=4 ， ∴ 若 x 2 -x-12=0 ， 则 x=4 为假命题， 其否命 题为真 ， 故 A 符合题意 ； ∵x 2 >5 ， 解得 x<- 5 姨 或 x> 5 姨 ， ∴x 2 >5 ， 则 x> 5 姨 为假命题， 其否命题为真， 故 B 符合题意； 三角形中， 大边对大角， ∴ 在 △ABC 中， 若 AB<BC ， 则有 ∠ACB<∠BAC 为真命题， 其否命题为 假， 故 C 不符合题意； ∵Δ=1-4=-3<0 ， 则 x 2 -x+1=0 无 解， ∴埚x∈R ， x 2 -x+1=0 为假命题， 其否命题为真， 故 D 符合题意 . 故选 ABD. 变式训练 2 D 【解析】 由全称量词命题的否定知， 命题 “坌x∈ R ， x 2 +2x+3≥0 ” 的否定是 “埚x∈R ， x 2 +2x+3<0 ” . 故选 D. 随堂练习 1. D 【解析】 3 不能被 2 整除， 故 A 错误； 对顶角 相等， 故 B 错误； 5 是奇数， 故 C 错误； 7>6 ， 故 D 正 确 . 故选 D. 2. A 【解析】 若 a=-3 ， 满足 a 2 = （ -3 ） 2 =9>1 ， 且 -3<1 ， 故 A 符合题意； 若 a=-1 ， 不满足 a 2 >1 ， 故 B 不符合题 意 ； 若 a=1 ， 不满足 a 2 >1 ， 故 C 不符合题意 ； 若 a=3 ， 满足 a 2 =3 2 =9>1 ， 但 a>1 ， 不是反例， 故 D 不符合题意 . 故选 A. 3. B 【解析 】 若 a 2 +b 2 ≠0 ， 则可得 ①a≠0 且 b≠0 ； ②a≠0 且 b=0 ； ③a=0 且 b≠0 ， 三种情况， ∴a ， b 不全 为 0. 故选 B. 4. D 【解析】 由命题 p ： 坌x>0 ， x 2 >0 ， ∴劭p 为埚x 0 > 0 ， x 2 0 ≤0. 故选 D. 5. A 【解析】 由存在量词命题否定的定义知， 劭p 为 坌x∈R ， x 2 ≤2 021. 故选 A. 6. {a｜a≤1} 【解析】 由题意， 命题 “坌1≤x≤2 ， 使 x 2 -a≥0 ” 是真命题， ∴坌1≤x≤2 ， x 2 -a≥0 恒成立， 即 x 2 ≥a 恒成立 . ∵ 当 1≤x≤2 时， 1≤x 2 ≤4 ， ∴a≤1 ， a 的 取值范围是 {a｜a≤1} . 31 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词 命题， ∴ “ 坌x<0 ， x 2 +ax-1≥0 ” 的否定是 “ 埚x<0 ， x 2 + ax-1<0 ” . 故选 C. 2. D 【解析 】 存在量词命题的否定 p ： 埚x∈M ， p （ x ）； 它的否定 劭p ： 坌x∈M ， 劭p （ x ）， ∴ 命题 “埚x∈ Z ， 使 x 2 +2x+m≤0 ” 的否定是 “对于任意 x∈Z ， 都有 x 2 +2x+m>0 ” . 故选 D. 3. D 【解析】 ∵P∩Q=Q 且 P≠Q ， ∴ 集合 Q 是集合 P 的真子集， ∴ 集合 Q 中的元素都是集合 P 的元素， 但是 集合 P 中有的元素集合 Q 中是没有的 ， ∴A ， B ， C 正 确， D 错误 . 故选 D. 4. D 【解析 】 全称量词命题的否定为 埚a ， b∈R ， 使方程 ax=b 的解不唯一或不存在 . 故选 D. 5. B 【解析 】 由题知方程 x 2 -2x-m=0 有实数解 ， ∴Δ= （ -2 ） 2 -4× （ -m ） ≥0 ， 解得 m≥-1. 故选 B. 6. D 【解析】 若命题 “ 坌x∈R ， ｜x｜-1+m>0 ” 是假命 题， ∴埚x∈R ， 使得 ｜x｜-1+m≤0 成立是真命题， 即 ｜x｜-1+ m≤0 对于 x∈R 有解 ， ∴m≤1-｜x ｜ ， ∴m≤ （ 1-｜x ｜ ） max . ∵ ｜x ｜≥0 ， ∴-｜x ｜≤0 ， 1-｜x ｜≤1 ， ∴ （ 1-｜x ｜ ） max =1 ， ∴m≤1 ， ∴ 实数 m 的取值范围是（ -∞ ， 1 ］ . 故选 D. 7. BD 【解析】 当 x=2 时， 2 2 -4×2+3=-1<0 ， 不满足 坌x∈ （ 1 ， 3 ）， x 2 -4x+3>0 ， ∴ 原命题为假命题， 否定为 真命题 ， 故 A 不符合题意 ； 坌a ， b∈R ， a 2 -ab+b 2 = a- b 2 2 ) 2 + 3 4 b 2 ≥0 ， ∴ 原命题为真命题， 则否定为假命 题 ， 故 B 符合题意； x 2 =3 ， 解得 x=± 3 姨 ， ∴埚x∈Q ， x 2 =3 为假命题， 则否定为真命题， 故 C 不符合题意； 当 x=0 时， x 2 <1 ， ∴埚x∈N ， x 2 <1 为真命题， 则否定为假命 题， 故 D 符合题意 . 故选 BD. 8. 坌x∈R ， x 2 +2x+5≠0 【解析】 由存在命题的否定 形式可得， “埚x∈R ， x 2 +2x+5=0 ” 的否定是 “坌x∈R ， x 2 +2x+5≠0 ” . 9. 埚x>-1 ， x 2 +2x≥1 【解析 】 命题 “坌x>-1 ， x 2 + 2x<1 ” 的否定是埚x>-1 ， x 2 +2x≥1. 10. 0 ， 3 4 )4 【解析】 由题意知， 不等式 ax 2 +4ax+3> 0 对 x∈R 恒成立， 当 a=0 时， 可得 3>0 ， 恒成立满足； 当 a≠0 时 ， 若不等式恒成立则需 a>0 ， Δ=16a 2 -12a<0 0 ， 解 得 0<a< 3 4 ， ∴a 的取值范围是 0 ， 3 4 44 . 提升练习 11. D 【解析】 全称量词 “任意” 改为存在量词 “存 在 ”， 另一方面 “至多有三个 ” 的否定是 “至少有四 个” . 故选 D. 12. AB 【解析 】 ∵ “ 坌x∈M ， ｜x ｜>x ” 为 真 命 题 ， ∴M哿 （ -∞ ， 0 ） . 又 ∵ “埚x∈M ， x>3 ” 是假命题 ， ∴ “ 坌x∈M ， x≤3 ” 为真命题， ∴M哿 （ -∞ ， 3 ］ . 综上可知， M哿 （ -∞ ， 0 ） . 故选 AB. 13. 存在三个正数 a ， b ， c ， 三个数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 全小于 2 【解析】 根据全称量词命题的否定是存在 量词命题 ， ∴ 命题 “对于任意三个正数 a ， b ， c ， 三个 数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 中至少有一个不小于 2 ” 的否定 为 “存在三个正数 a ， b ， c ， 三个数 a+ 1 b ， b+ 1 c ， c+ 1 a 全小于 2 ” . 14. a>1 【解析】 ∵ “ 埚x∈R ， x 2 -2x+a≤0 ” 是假命 题， ∴坌x∈R ， x 2 -2x+a>0 恒成立 . ∴4-4a<0 ， 解得 a>1. 15. 解： （ 1 ） 坌a∈R ， a 都能写成小数形式， 此命 题是真命题 . （ 2 ） 埚x∈Q ， x 没有倒数， 有理数 0 没有倒数， 故 此命题是真命题 . （ 3 ） 坌m∈R ， 方程 x 2 +x-m=0 必有实根 . 当 m=-1 时， 方程无实根， 是假命题 . （ 4 ） 埚x∈R ， 使 x 2 +x+4≤0. ∵x 2 +x+4= x+ 1 2 2 4 2 + 15 4 >0 恒成立， ∴ 为假命题 . 1.2.3 充分条件、 必要条件 学习手册 变式训练 1 BCD 【解析 】 若 a≠0 ， b=0 ， 则 ab=0 ； 若 ab≠0 ， 则 a ， b 都不为 0 ， 则 “ a≠0 ” 是 “ ab≠0 ” 的必要不充 分条件， 故 A 为假命题 . 若二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正 根一负根， 则两根之积为负， 即 c a <0 ， 从而 ac<0 ， 故 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根一负根” 的 必要条件； 若 ac<0 ， 则 Δ=b 2 -4ac>0 ， c a <0 ， 即方程有 两根且两根之积为负， ∴ 二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根 一负根， 故 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 +bx+c=0 有一正根 一负根” 的充分条件 . 综上 “ ac<0 ” 是 “二次方程 ax 2 + bx+c=0 有一正根一负根” 的充要条件， 故 B 为真命题 . ∵M={x ｜mx 2 + （ m+2 ） x+2=0} 为单元素集 ， 若 m=0 ， 则 M= {-1} 符合题意； 若 m≠0 ， 则 Δ= （ m+2 ） 2 -8m=0 ， 则 m=2 ， 则 M={-1} 符合题意 . 综上 M={x｜mx 2 + （ m+2 ） x+2=0} 为单元 素集， 则 m=0 或 2 ， 因此 “ m=2 ” 是 M={x｜mx 2 + （ m+2 ） x+ 2=0} 为单元素集” 的充分而不必要条件， 故 C 是真命 题 . ∵a>1 ， ∴ 1 a -1= 1-a a <0 ， 但是若 1 a <1 ， 则 a>1 或 a< 0 ， 则 “ a>1 ” 是 “ 1 a <1 ” 的充分不必要条件， 故 D 是真 命题 . 故选 BCD. 变式训练 2 D 【解析】 原命题可写为 “ 埚1≤x≤3 ， a≤x 2 -2x ”， 32