1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定，通过温故知新复习上节课量词命题类型，结合认知冲突展示错误与正确否定的对比，搭建从一般命题否定到含量词命题否定的学习支架。 其亮点在于通过互动探究的真值表、牛刀小试的命题否定练习，结合数学抽象和逻辑推理，采用从特殊到一般的归纳方法总结“量词互换、结论否定”规则，小结用表格梳理知识与口诀记忆。学生能提升逻辑推理能力，教师可获得清晰教学路径与丰富例题资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 1.2常用逻辑用语 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解含有一个量词的命题的否定的意义，能正确写出全称量词命题和存在量词命题的否定形式。 掌握全称量词命题的否定是存在量词命题、存在量词命题的否定是全称量词命题的规律。 能判断含有一个量词的命题的否定的真假。 通过对具体命题的否定操作，体会”量词互换、结论否定”的否定规则。 经历从特殊到一般的归纳过程，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养。 上节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题，请判断下列命题的类型： 所有的正方形都是矩形。（全称量词命题） 存在一个实数 x，使得 =2。（存在量词命题） 对任意 x∈R，都有 ≥0。（全称量词命题） 温故 知新 我们知道，对任何一个命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作 ¬p。那么： 命题”所有的正方形都是矩形”的否定是什么？ 命题”存在一个实数 x，使得 =2“的否定是什么？ “所有的正方形都是矩形”的否定不是”所有的正方形都不是矩形”，而是”存在一个正方形不是矩形”。 “存在一个实数 x，使得 =2”的否定是”对任意实数 x，都有 ≠2”。 认知冲突 由此可见，对含有量词的命题进行否定时，不仅要否定结论，还要改变量词。这就是我们今天要研究的内容——全称量词命题与存在量词命题的否定。 目标一：命题的否定 命题的否定 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非 p”或“p 的否定”。 命题 ¬p 的真假性 命题 ¬p 的真假性可以用下表（真值表）表示： 命题 命题 的否定 () 真 假 假 真 显然，¬p 与 p 不能同真或同假，其中一个为真，另一个必定为假。它们是互为否定的，从而有 ¬(¬p)=p。 6 1、写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假。 p:y=2x 是一次函数。 q:=-2。 r:的顶点是 " (1,0)。 解析 (1) 不是一次函数，是假命题。 ，是真命题。 ，是假命题。 否定概念体验 牛刀小试 2、写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假。 p:3+4>6. q:2,3 都是8的约数。 s:2024 年是闰年。 t:2 是素数。 解析 (1) , 是假命题。 (2) 不都是8的约数, 是真命题。(【易错】“都是”的否定是“不都是”，不是“都不是”) (3) 年不是闰年, 是假命题。 (4) 不是素数, 是假命题。 否定概念体验 牛刀小试 知识剖析 命题的否定与集合运算的关系 从集合角度理解“非”即集合运算“补集”。 设命题 p: 已知全集 U,x∈A, 则 ¬p:x∈U 且 x∉A⇔x∈A。 常见词语及它的否定 原词 > ( < ) 是 都是 任意 (所有) 存在 至多有 1 个 至少有 1 个 或 且 否定 ≤ ( ≥ ) 不是 不都是 某个 不存在 至少 2 个 1 个也没有 且 或 目标二：全称量词命题和存在量词命题的否定 规则 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题。 体验量词否定 3、命题 “∃x ∈ R, x² - 3x + 1 = 0”的否定是（ ） A. ∃x ∈ R, x² - 3x + 1 ≠ 0 B. 不存在 x ∈ R, x² - 3x + 1 ≠ 0 C. ∀x ∈ R, x² - 3x + 1 = 0 D. ∀x ∈ R, x² - 3x + 1 ≠ 0 4、“对于任意的 x ∈ R, x³ + x² + 1 ≥ 0”的否定是（ ） A. 不存在 x ∈ R, x³ + x² + 1 ≥ 0 B. 存在 x ∈ R, x³ + x² + 1 ≤ 0 C. 对任意的 x ∈ R, x³ + x² + 1 < 0 D. 存在 x ∈ R, x³ + x² + 1 < 0 3、答案 D 4、答案 D 辨析比较 “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析 1. 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词。 2. 与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定。因此对含有一个量词的命题进行否定时，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词。 牛刀小试 目标三 ：典型例题 题型1一般命题的真假判断 例1 判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假。 奇数不能被2整除； 实数的平方是正数； 当 时，； 已知 为正整数，当 时，，。 典例分析 牛刀小试 解析：（1）（2）（3）（4）都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题。 （1）是真命题。因为奇数是不能被 2 整除的整数。 （2）是假命题。反例：0 的平方还是 0，不是正数。 （3）是真命题。由 可得 且 ，所以 。 （4）是假命题。反例：， 也满足 。 判断一般命题真假的方法（提炼） （1）对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假。 （2）将一个命题改写成“若 p，则 q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下。 ① 通过逻辑推理可以由 p 得到 q，则可确定命题“若 p，则 q”为真；若可举出一个反例使得“若 p，则 q”不成立，则可确定命题“若 p，则 q”为假。 ② 从集合的观点，我们建立集合 A，B 与 p，q 之间的一种特殊联系：设集合 A={x∣p(x)}，B={x∣q(x)}，就是说，A 是能使 p 成立的对象 x 所构成的集合，B 是能使 q 成立的对象 x 所构成的集合，此时，命题“若 p，则 q”为真（意思就是“使 p 成立的对象也能使 q 成立”），即 A⊆B。 题型2全称量词命题、存在量词命题真假的判断 例2 判断下列全称量词命题的真假： ① ； ② 对每一个无理数 ， 也是无理数； ③ 末位是 0 的整数，可以被 5 整除。 （2）判断下列存在量词命题的真假： ① 至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整除； ② ； ③ 存在正实数 ，使 。 典例分析 牛刀小试 （1）① 因为 ，所以 ，所以 。所以该命题是真命题。 ② 是无理数，但 是有理数，所以该命题是假命题。 ③ 末位是 0 或 5 的整数，都能被 5 整除，所以该命题是真命题。 （2）① 真命题。如 10。 ② 真命题。由于 ，当 时，能使 ，所以该命题是真命题。 ③ 假命题。要使 成立，只有 ，而 0 不是正实数，因而不存在正实数 ，使 ，因此，该命题是假命题。 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 题型3 一般命题的否定 例3 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1) 空集是集合的子集； (2) 至少有一个质数是偶数； (3) 和都是的因数。 典例分析 牛刀小试 解析 (1) 命题的否定：空集不是集合的子集，是假命题。 (2) 命题的否定：没有一个质数是偶数，是假命题。 (3) 命题的否定：和不都是的因数，是假命题。 点评 在写一个命题的否定时，一是要注意否定词的对应，如“是”对应“不是”；二是要注意否定词添加的位置，否则容易得出错误的结论。 题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定 例4 典例分析 牛刀小试 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假。 (1) ：每一个素数都是奇数； (2) ：有理数都能写成分数的形式； (3) ：有些实数的绝对值是正数； (4) ：某些平行四边形是菱形； (5) ：可以被整除的数，末位数字是。 解析 (1) 由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，：存在一个素数不是奇数，是真命题。 是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题。 由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题。 由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题。 省略了全称量词“任何一个”，因此，：存在可以被整除的数，末位数字不是，是真命题。 易错警示 对于省略全称（存在）量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的形式，再写出命题的否定。对于(5)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误。写出命题的否定后可以结合它们的真假性（一真一假）进行验证。 题型5 由一般命题真假求参 例6 典例分析 牛刀小试 已知集合 ,若 是假命题,则实数 的取值范围是________. 解析 ：方法1 若 是真命题,则 , 是假命题时,. 方法2 若 是假命题,则 是真命题,即集合有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图 (1)(2)所示. 易得. 若求命题为假时参数的取值范围,则应求命题为真 时参数取值范围对应的补集. 题型6 由一般命题真假求参 例7 典例分析 牛刀小试 已知命题,使得是假命题,则实数的取值范围是______. 解析 方法1 当命题为真命题,即 使成立时,,(补集思想的应用) 命题为假命题时,实数的取值范围是 已知命题p为假命题求参数的值或取值范围的方法: 转化为¬p是真命题后,再求参数的值或取值范围. (1)全称量词命题为真命题求参数范围(值)的问题,常以会出现“恒成立”等词语. 解决此类问题,可构造函数,利用数形结合、分离参数等方法求参数的范围(值). 方法2 命题为假命题,则为真命题, 即使得成立. 方法3 设集合, 集合, 要使命题为假命题,则, 即,得 题型6 由一般命题真假求参 例8 典例分析 牛刀小试 ，求实数 的取值范围. 解析 令 令 , 故实数 的取值范围是 (2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题,直接分离参数,并利用条件求参数范围(值). 目标四 ：针对训练 举一反三 1、 “是奇数”的否定是() A. 不是奇数 B. 不是奇数 C. 不是奇数 D. 是奇数 解析：“是奇数”的否定是“不是奇数”.故选 A. 举一反三 2、 命题“”的否定是() A. B. C. D. 解析: 根据含一个量词的命题的否定方法: 修改量词, 否定结论, 可知“”的否定为“”, 故选 B.  举一反三 3 、已知 ,方程 有实根,则 为( B ) A. ,方程 有实根 B. ,方程 无实根 C. ,方程 有实根 D. ,方程 无实根 解析: 由题意,可得 为 ,方程 无实根.故选:B   举一反三 4、下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是() A.有的梯形对角线互相平分 B.三角形都有内切圆 C. D.  解析: 对于 A, “有的”是存在量词, 梯形的对角线不可能互相平分, 原命题为假命题, 其否定为真命题, 故 A 符合题意; 对于 B, 原命题是省略了全称量词的全称量词命题, 原命题为真命题, 其否定为假命题, B 不符合题意; 对于 C, 原命题是存在量词命题, 但它是一个真命题, 其否定为假命题, C 不符合题意; 对于 D, 原命题是全称量词命题, 取 , 则 , 原命题为假命题, 其否定为真命题, D 不符合题意.故选 A. 举一反三 5、 已知命题 ,命题 ,则(C) A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 解析: 当 时,,所以 为真命题, 当 时,,所以 为假命题, 所以 为假命题, 为真命题,所以只有 C 正确,故选: C.  举一反三 6、已知命题 若是假命题，且是真命题，求实数的取值范围. 解： ，恒有， 由，得. 因为是假命题，所以是真命题，即. 因为是真命题，所以方程有实数根， 即，解得. 综上可得，即实数的取值范围是. 目标五：小结 学海拾贝 【知识梳理】 命题的否定： 对命题p加以否定，得到新命题¬p。命题p与¬p的真假性一真一假。 含一个量词的命题的否定规则： 原命题类型 原命题形式 否定形式 结论 全称量词命题 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 否定口诀： 量词互换，结论否定。 学海拾贝 【方法总结】 写全称量词命题的否定时，将”∀“改为”∃“，并否定结论。 写存在量词命题的否定时，将”∃“改为”∀“，并否定结论。 对于省略了量词的命题，要先补全量词，再写否定。 学海拾贝 【易错提醒】 “都是”的否定是”不都是”（不是”都不是”）。 “至少有一个”的否定是”一个也没有”。 “至多有一个”的否定是”至少有两个”。 命题的否定与命题的否命题不同：命题的否定只否定结论，否命题同时否定条件和结论。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $