1.2.1 命题与量词-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 学 学 习 目 标 1. 了解命题的概念， 会判断简单命题的 真假 ． 2. 通过已知的数学实例， 理解全称量词 与存在量词的意义， 会用符号语言表示全称 量词命题和存在量词命题 ． 3. 会判断全称量词命题与存在量词命题 的真假 . 要 点 精 析 要点 1 命题 可供真假判断的陈述语句就是命题， 而 且， 判断为真的语句称为真命题， 判断为假 的语句称为假命题 . 注： 一个命题， 要么是真命题， 要么是 假命题 . 思考 你能举出一个真命题、 一个假 命题的例子吗？ 例 1 下列语句是命题的有 ， 是真命题的有 . （填序号） ① 你会说英语吗？ ② 一个数不是正数就 是负数 . ③ 这幅画真漂亮！ ④ 并非所有的人 都喜欢足球 . ⑤x 2 -1>0 （ x∈R ） . 分析 根据命题的定义要求： 一是可 供真假判断， 二是陈述语句 . 解析： ① 是疑问句， 不是命题； ② 是命 题， ∵ 一个数还可以是 0 ， ∴ 是假命题； ③ 是 感叹句， 不是命题； ④ 是命题， 有人喜欢足 球， 也有人不喜欢足球， ∴ 是真命题； ⑤ 是 命题， 当 x=0 时， 该命题不成立， ∴ 是假 命题 . 变式训练 1 （多选题） 下列语句是命题的有 （ ） A. 3 是 15 的约数 B. x 2 +2x+1≥0 C. 4 不小于 2 D. 你准备考北京大学吗？ 要点 2 量词 1. 全称量词与全称量词命题 一般地， “任意” “所有” “每一个” 在陈述中表示所述事物的全体， 称为全称量 词， 用符号 “ 坌 ” 表示 . 含有全称量词的命题， 称为全称量词 命题 . 符号表示： 坌x∈M ， r （ x ） . 思考 你能举出一个全称量词命题的 例子吗？ 2. 存在量词与存在量词命题 “存在” “有” “至少有一个” 在陈述 中表示所述事物的个体或部分， 称为存在量 词， 用符号 “ 埚 ” 表示 . 含有存在量词的命题， 称为存在量词命 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 15 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 题， 符号表示： 埚x∈M ， s （ x ） . 思考 你能举出一个存在量词命题的 例子吗？ 例 2 判断下列命题是全称量词命题还 是存在量词命题， 用符号 “ 坌 ” 或 “ 埚 ” 表 示， 并判断其真假 . （ 1 ） 自然数的平方大于或等于零； （ 2 ） 存在实数 x ， 满足 x 2 ≥2 ； （ 3 ） 有些平行四边形的对角线不互相 垂直； （ 4 ） 存在实数 a ， 使函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大 . 分析 确定命题中含有的量词， 即可 确定该命题是全称量词命题还是存在量词 命题 . 解： （ 1 ） 全称量词命题， 坌n∈N ， n 2 ≥ 0 ， 真命题 . （ 2 ） 存在量词命题， 埚x∈R ， x 2 ≥2 ， 取 x=2 ， 则 x 2 =4≥2 ， 真命题 . （ 3 ） 存在量词命题， 埚 平行四边形， 它 的对角线不互相垂直， 当平行四边形不是菱 形时， 其对角线不互相垂直， 真命题 . （ 4 ） 存在量词命题， 埚a∈R ， 函数 y= ax+b 的值随 x 的增大而增大， 当 a>0 时， 则 函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大， 真命题 . 反思感悟 要判定全称量词命题为真命题， 可以 由已知条件进行逻辑推理， 判断其为真命 题， 也可以对限定集合中每个元素一一验 证结论成立； 要判定全称量词命题为假命 题， 可以举出限定集合中的一个元素， 说 明结论不成立 . 要判定存在量词命题为真命 题， 可以举出限定集合中的一个元素， 说 明结论成立； 要判定存在量词命题为假命 题， 可以由已知条件进行逻辑推理， 判断 其为假命题， 也可以对限定集合中每个元 素一一验证结论不成立 . 变式训练 2 下列命题中是真命题的是 （ ） A. 坌x∈N ， x>0 B. 埚x∈ R Q ， x∈Z C. 坌x∈R ， 2x-3<0 D. 埚x∈Z ， 2x 2 -3x+1=0 * 例 3 （ 1 ） 已知命题 “ 坌x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≥0 ” 是真命题， 求实数 a 的取值范围； （ 2 ） 已知命题 “ 埚x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≥0 ” 是真命题， 求实数 a 的取值范围 . 分析 根据命题的真假， 可以把问题 转化为不等式成立问题， 再利用参变量分 离求最值来解决 . （ 1 ） （ 2 ） 问题中最关键 的词： （ 1 ） 中是任意， 而 （ 2 ） 中是存在 . 解： （ 1 ） 由题意可知不等式 x 2 -a≥0 在 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 上恒成立， 即 a≤x 2 在 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 上恒成立， 令 y=x 2 ， 则 y min =1 ， ∴a≤1 ， 故实 数 a 的取值范围为 （ -∞ ， 1 ］ . （ 2 ） 由题意可知存在 x∈ ［ 1 ， 2 ］， 使得 不等式 x 2 -a≥0 成立 ， 即存在 x∈ ［ 1 ， 2 ］， 使 a≤x 2 成立， 令 y=x 2 ， 则 y max =4 ， ∴a≤4 ， 故实数 a 的取值范围为（ -∞ ， 4 ］ . 反思感悟 含有量词命题的真假求参数的取值范 围， 可以考虑将参数和变量进行分离， 根 据变量的最值求解参数范围 . 本题中， a 为 参数， x 为变量 . 16 第一章 集合与常用逻辑用语 学 变式训练 3 命题 p ： “ 坌x∈ ［ 1 ， 2 ］， x 2 -a≥0. ” 命 题 q ： “ 埚x∈R ， x 2 +3x+2-a=0. ” 若 p 和 q 中至少有一个是假命题， 求实数 a 的取值 范围 . 数 学 文 化 * 例 1 某大学同一宿舍有甲、 乙、 丙、 丁四名男生， 周末上午没有课， 待在宿舍 中， 一人在锻炼， 一人在玩手机， 一人在学 习， 另外一人在休息， 每个人都做着不一样 的事情 . 有以下五个命题： （ 1 ） 甲不在休息， 也不在锻炼； （ 2 ） 乙不在学习， 也不在休息； （ 3 ） 若丙在休息， 则甲在学习； （ 4 ） 丁不在锻炼， 也不在休息； （ 5 ） 丙不在锻炼， 也不在学习 . 若上面的命题都是真命题， 问这四个人 各自在做什么 . 分析 本题条件较多， 比较复杂， 可 以通过列表找出命题之间的矛盾部分得到 答案 . 解： 结合五个命题， 可以列表如下： 由表格看出， 丙在休息， 乙在锻炼， 由 （ 3 ） 可知， 甲在学习， 最后我们推出丁在玩 手机 . 例 2 “红豆生南国， 春来发几枝？ 愿 君多采撷， 此物最相思 . ” 这首 《相思》 是 唐代山水田园诗人王维的作品 . 王维， 字摩 诘， 号摩诘居士， 苏轼有云： “味摩诘之 诗， 诗中有画 ； 观摩诘之画 ， 画中有诗 . ” 这首诗中， 在当时的条件下， 可以作为命题 的是 （ ） A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思 分析 根据命题的定义判断可得出 结论 . 解析： “红豆生南国” 是陈述句， 所述 事件在唐代是事实， 故本句是命题； “春来 发几枝” 是疑问句， 不是命题； “愿君多采 撷” 是祈使句， 不是命题； “此物最相思” 是感叹句， 不是命题 . 故选 A. 玩手机 学习 不 不 甲 乙 丙 丁 休息 不 不 不 锻炼 不 不 不 17 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则方程 x 2 + （ 3-2a ） x+a 2 -6=0 有两个不相等的实数根 x 1 =-1 ， x 2 =2 ， 由韦达定理得 2a-3=1 ， a 2 -6=-2 2 ， 解得 a=2 ， 此时无解 . 综上所述， 实数 a 的取值集合为 {2} . 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 学习手册 变式训练 1 ABC 【解析】 3 能整除 15 ， 能判断真假， ∴A 是命 题； x 2 +2x+1= （ x+1 ） 2 ≥0 ， ∴B 是命题； 4 不小于 2 能判断 真假， ∴C 是命题； “你准备考北京大学吗 ？” 是疑问 句， 不是陈述句， 且无法判断真假， ∴D 不是命题 . 故选 ABC. 变式训练 2 D 【解析】 ∵x=0∈N ， x>0 不成立， 故 A 错误； R Q 表示无理数， 不存在 x∈ R Q ， x∈Z ， 故 B 错误 ； 当 x= 2 时， 2x-3<0 不成立， ∴坌x∈R ， 2x-3<0 不是真命题， 故 C 错误 ； 当 x=1 时， 2x 2 -3x+1=0 ， ∴埚x∈Z ， 2x 2 -3x+ 1=0 ， 故 D 正确 . 故选 D. 变式训练 3 解： 若 p 是真命题， 则 a≤x 2 对于 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 恒成 立， ∴a≤ （ x 2 ） min =1 ， 若 q 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 + 3x+2-a=0 有实数根， ∴Δ=9-4 （ 2-a ） =1+4a≥0 ， 即 a≥- 1 4 ； 若 p 和 q 同时为真命题 ， 则 a≤1 ， a≥- 1 4 2 ， ∴a∈ - 1 4 ， ， ) 1 . ∴ 当 p 和 q 中 至 少 有 一 个 是 假 命 题 时 ， 有 a ∈ -∞ ， - 1 4 4 + ∪ （ 1 ， +∞ ） . 随堂练习 1. C 【解析】 能判断真假的陈述句为命题 . 集合 {a ， b} 是本身的子集， 故 A 是假命题； 三角形中最多只有 一个内角是钝角， 故 B 是真命题； x>0 不能判断真假， 故 C 不是命题； 平面内垂直于同一条直线的两条直线平 行是真命题 . 故选 C. 2. D 【解析】 当 a=b=0 时， 满足 a 与 b 互为相反数， 不满足 a b =-1 ， 故 A 错误 ； 当 a=b=0 时， 方程 ax+b=0 有无数个实数根， 故 B 错误； 当 n=0 时， 不满足 n 2 >n ， 故 C 错误； 任何两个无理数之间都有一个有理数， 故 D 正确 . 故选 D. 3. A 【解析】 坌x∈R ， x 2 姨 ≥0 ， 则 x 2 姨 +1>0 ， ① 是真命题 ； ∵x=0 时 ， x∈N ， x 2 =0 ， ∴② 是假命题 ； ∵ 坌x∈N ， x≥0 ， 即 x埸 ［ -3 ， -1 ）， ∴③ 是假命题； ∵ 当且 仅当 x= 2 姨 或 x=- 2 姨 时， x 2 =2 ， 而 2 姨 埸Q ， 且 - 2 姨 埸Q ， ∴④ 是假命题 . ∴ 真命题的序号是 ① ， 共 1 个 . 故 选 A. 4. C 【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的 定义可知， A ， B ， D 是存在量词命题， C 是全称量词命 题 . 故选 C. 5. BC 【解析】 ∵ 不存在实数 x ， 使 x 2 +2<0 成立， 即 该命题为假命题， 故 A 错误； 该命题是存在量词命题， 例如无理数 2 3 姨 ， 它的立方是 2 ， 为有理数， 故 B 正 确； 该命题是存在量词命题， 例如 1 的倒数是它本身， 为真命题， 故 C 正确； 该命题是全称量词命题， 故 D 错 误 . 故选 BC. 6. ［ -3 ， +∞ ） 【解析 】 由题设命题为真命题 ， 则 Δ=4+4 （ a+2 ） ≥0 ， 解得 a≥-3. ∴a 的取值范围为［ -3 ， +∞ ） . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 由题知， A ， B ， D 都是可以判断真假 的陈述句或式子， C 无法判断真假 . 故选 C. 2. D 【解析】 a ， b ， c 中至少有一个是非负实数， 则 a ， b ， c 中非负实数的个数大于等于 1 个， ∴ 其等价命 题为 a ， b ， c 不全是负数 . 故选 D. 3. B 【解析 】 坌x∈R ， ｜x ｜≥0 成立 ， 故 A 正确 ； 坌x∈R ， （ x-1 ） 2 ≥0 ， 当且仅当 x=1 时， （ x-1 ） 2 =0 ， 故 B 错误； 埚x∈R ， x 3 >1 正确， 例如当 x=2 时， x 3 =8>1 ， 故 C 正确 ； 埚x∈Z ， x 2 -3x+2=0 正确 ， 例如 x=1 时或 x=2 时等式均成立， 故 D 正确 . 故选 B. 4. C 【解析】 若 m=2 ， n=-5 ， 满足 m>n ， 但 m 2 <n 2 ， 故 ① 错误； 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦， 并且 平分弦所对的弧， 故 ② 正确； 对角线互相平分且相等的 四边形是矩形， 故 ③ 错误； 如果两条弧相等， 那么它们 所对的圆心角相等， 故 ④ 正确； 若 a 2 姨 =a ， 则 a≥0 ， 故 ⑤ 错误 . 故选 C. 5. A 【解析】 若甲是假命题， 则乙、 丙、 丁是真命 题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的一根为 3 ， 由于两根之 和为 2 ， 则该方程的另一根为 -1 ， 两根异号， 合乎题意； 若乙是假命题， 则甲、 丙、 丁是真命题， 则 x=1 是方程 x 2 +ax+b=0 的一根， 由于两根之和为 2 ， 则另一根也为 1 ， 两根同号， 不合乎题意； 若丙是假命题， 则甲、 乙、 丁 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的两根为 1 和 3 ， 两根同号， 不合乎题意； 若丁是假命题， 则甲、 乙、 丙 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的两根为 1 和 3 ， 两根之和为 4 ， 不合乎题意 . 综上所述， 甲命题为假命 题 . 故选 A. 6. ACD 【解析】 x 2 -x+ 1 4 = x- 1 2 4 + 2 ≥0 ， 故 A 为真命 题； 对于平面内任意的四边形， 其内角和都为 360° ， 故 B 为假命题； x 2 +3x+2= （ x+1 ）（ x+2 ） =0 ， 解得 x=-1 或 x= -2 ， 故 C 为真命题； x 3 +1=0 ， 解得 x=-1 ， 故 D 为真命 题 . 故选 ACD. 7. ［ 1 ， 2 ） 【解析】 若 x∈ ［ 2 ， 5 ］ 为假命题， 则有 30 参 考 答 案 x∈{x｜x<2 或 x>5} ， 若 x∈{x｜x<1 或 x>4} 是假命题， 则 x∈ {x｜1≤x≤4} ， ∴x 的取值范围是 1≤x<2 ， 即 x 的取值范围 是 ［ 1 ， 2 ） . 8. 5 【解 析 】 当 x≥3 时 ， 2x≥6圯 2x -1≥5 ， ∵ “坌x≥3 ， 使得 2x-1≥m ” 是真命题， ∴m≤5. 9. ①③圯② 【解析】 若 ①③ 成立， 则 ｜α+β ｜=｜α ｜+｜β ｜> 4 2 姨 >5 ； 若 ①② 成立 ， 如 α=10 ， β=1 ， 但 ③ 不成立 ； 若 ②③ 成立， 如 α=20 ， β=-5 ， 但 ① 不成立 . 10. 解： （ 1 ） 若 p 为真命题， 即对于任意实数 x 都 有 ax 2 +ax+1>0 恒成立， 当 a=0 时， 满足题意， 当 a≠0 时， 则 a>0 ， Δ=a 2 -4a<0 0 ， 解得 0<a<4 ， 综上所述， a∈ ［ 0 ， 4 ） . （ 2 ） 若 q 为真命题， 即关于 x 的方程 x 2 -x+a=0 有实 数根， 则 Δ=1-4a≥0 ， 解得 a≤ 1 4 . 若 p 与 q 都是假命题， 则 a<0 或 a≥4 ， a> 1 4 0 ， 解得 a≥4 ， 若 p 与 q 中至少有一个为真命题， 则 a∈ （ -∞ ， 4 ） . （ 3 ） 若 p 与 q 中有且仅有一个为真命题， 则 0≤x<4 ， a> 1 4 0 或 a<0 或 a≥4 ， a≤ 1 4 0 ， 解得 1 4 <a<4 或 a<0 ， 综上所述， a∈ （ -∞ ， 0 ） ∪ 1 4 ， ， + 4 . 提升练习 11. D 【解析 】 非 p 是真命题 ， ∴p 是假命题 ； ∴ 埚x∈{x｜1<x<3} ， x-a≥0 无解； ∴ 当 1<x<3 时， a≤x 不成 立， ∴a≥3. 故选 D. 12. C 【解析】 ∵ 甲预测说： 我不会获奖， 丙获奖， 而丙预测说： 甲的猜测是对的， ∴ 甲和丙的说法要么同 时与结果相符， 要么同时与结果不符 . 若甲和丙的说法 同时与结果相符， 则丁的说法也对， 这与 “四人的预测 中有两人的预测与结果相符， 另外两人的预测与结果不 符” 相矛盾， 故错误 . 若甲和丙的说法与结果不符， 则 乙、 丁的预测成立， ∴ 甲获奖， 丁不获奖； 丙获奖， 乙 不获奖 . 故选 C. 13. BD 【解析】 A 中， x=-1<0 ， y=3>0 有 x+y>0 ， 假 命题； B 中 ， 矩形的对角线相等 ， 真命题 ； C 中 ， 若 m≥1 ， 有 Δ=4 （ m+1 ） 2 -4m （ m+3 ） =4-4m≤0 ， 显然 mx 2 - 2 （ m+1 ） x+m+3>0 ， 在 m=1 时， 解集不为 R ， 假命题； D 中， 若 a+7 是无理数， 则 a 是无理数， 真命题 . 故选 BD. 14. ［ 2 ， +∞ ） 【解析 】 ∵坌x∈R ， ax 2 +2 2 姨 x+a- 1≥0 成立， 当 a=0 时， 2 2 姨 x-1≥0 ， 不恒成立； 当 a≠0 时， a>0 ， Δ=8-4a （ a-1 ） ≤0 0 ， 解得 a≥2. 综上所述， 实数 a 的 取值范围是［ 2 ， +∞ ） . * 15. 解： 对于 p ： （ 2x-3 ） min ≥m 2 -4m 成立 ， 而 x∈ ［ 0 ， 1 ］， 有 （ 2x-3 ） min =-3 ， ∴-3≥m 2 -4m ， ∴1≤m≤3. 对于 q ： 存在 x∈ ［ -1 ， 1 ］， 使得不等式 x 2 -2x+m- 1≤0 成立， 只需 （ x 2 -2x+m-1 ） min ≤0 ， 而 （ x 2 -2x+m-1 ） min =-2+m ， ∴-2+m≤0 ， ∴m≤2. （ 1 ） 若 p 为真， 则 1≤m≤3. （ 2 ） 若 p ， q 有且只有一个为真， 则 p ， q 一真一假 . 若 q 为假命题， p 为真命题， 则 1≤m≤3 ， m>2 0 ， ∴2<m≤3 ； 若 p 为假命题， q 为真命题， 则 m<1 或 m>3 ， m≤2 0 ， ∴m<1. 综上所述， m<1 或 2<m≤3. 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析 】 ∵x 2 -x-12=0 ， （ x-4 ）（ x+3 ） =0 ， 解得 x=-3 或 x=4 ， ∴ 若 x 2 -x-12=0 ， 则 x=4 为假命题， 其否命 题为真 ， 故 A 符合题意 ； ∵x 2 >5 ， 解得 x<- 5 姨 或 x> 5 姨 ， ∴x 2 >5 ， 则 x> 5 姨 为假命题， 其否命题为真， 故 B 符合题意； 三角形中， 大边对大角， ∴ 在 △ABC 中， 若 AB<BC ， 则有 ∠ACB<∠BAC 为真命题， 其否命题为 假， 故 C 不符合题意； ∵Δ=1-4=-3<0 ， 则 x 2 -x+1=0 无 解， ∴埚x∈R ， x 2 -x+1=0 为假命题， 其否命题为真， 故 D 符合题意 . 故选 ABD. 变式训练 2 D 【解析】 由全称量词命题的否定知， 命题 “坌x∈ R ， x 2 +2x+3≥0 ” 的否定是 “埚x∈R ， x 2 +2x+3<0 ” . 故选 D. 随堂练习 1. D 【解析】 3 不能被 2 整除， 故 A 错误； 对顶角 相等， 故 B 错误； 5 是奇数， 故 C 错误； 7>6 ， 故 D 正 确 . 故选 D. 2. A 【解析】 若 a=-3 ， 满足 a 2 = （ -3 ） 2 =9>1 ， 且 -3<1 ， 故 A 符合题意； 若 a=-1 ， 不满足 a 2 >1 ， 故 B 不符合题 意 ； 若 a=1 ， 不满足 a 2 >1 ， 故 C 不符合题意 ； 若 a=3 ， 满足 a 2 =3 2 =9>1 ， 但 a>1 ， 不是反例， 故 D 不符合题意 . 故选 A. 3. B 【解析 】 若 a 2 +b 2 ≠0 ， 则可得 ①a≠0 且 b≠0 ； ②a≠0 且 b=0 ； ③a=0 且 b≠0 ， 三种情况， ∴a ， b 不全 为 0. 故选 B. 4. D 【解析】 由命题 p ： 坌x>0 ， x 2 >0 ， ∴劭p 为埚x 0 > 0 ， x 2 0 ≤0. 故选 D. 5. A 【解析】 由存在量词命题否定的定义知， 劭p 为 坌x∈R ， x 2 ≤2 021. 故选 A. 6. {a｜a≤1} 【解析】 由题意， 命题 “坌1≤x≤2 ， 使 x 2 -a≥0 ” 是真命题， ∴坌1≤x≤2 ， x 2 -a≥0 恒成立， 即 x 2 ≥a 恒成立 . ∵ 当 1≤x≤2 时， 1≤x 2 ≤4 ， ∴a≤1 ， a 的 取值范围是 {a｜a≤1} . 31