1.1.3 集合的基本运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解两个集合的交集与并集的含义， 能求两个集合的交集与并集 . 2. 了解全集的含义， 理解在给定集合中 求一个子集的补集的含义， 会求给定子集的 补集 . 3. 能用维恩图表示集合的基本运算， 体 会表示集合的各种直观图对理解抽象概念的 作用 . 要 点 精 析 要点 1 交集 1. 交集的定义： 一般地， 给定两个集合 A ， B ， 由既属于 A 又属于 B 的所有元素 （即 A 和 B 的公共元素） 组成的集合， 称为 A 与 B 的交集， 记作 A∩B ， 读作 “ A 交 B ” . 图形表示： 注： 维恩图中的阴影部分表示 A∩B. 2. 交集运算的性质： 对于任意两个集合 A ， B ， 都有： （ 1 ） A∩B=B∩A ； （ 2 ） A∩A=A ； （ 3 ） A∩芰=芰∩A=芰 ； （ 4 ） 如果 A哿B ， 则 A∩B=A ， 反之也成立 . 思考 你能用维恩图表示交集运算的 各种情况吗？ 要点 2 并集 1. 并集的定义 一般地， 给定两个集合 A ， B ， 由这两 个集合的所有元素组成的集合， 称为 A 与 B 的并集， 记作 A∪B ， 读作 “ A 并 B ” . 图形表示： 注： 如图 1 、 图 2 都表示 A∪B. 2. 并集的性质： 对于任意两个集合 A ， B ， 都有： （ 1 ） A∪B=B∪A ； （ 2 ） A∪A=A ； （ 3 ） A∪芰=芰∪A=A ； （ 4 ） 如果 A哿B ， 则 A∪B=B ， 反之也 成立 . 注： 两个集合作并集运算时， 公共元素 只出现一次 . 思考 你能用维恩图表示并集运算的 各种情况吗？ 要点 3 补集 1. 全集的定义： 在研究集合与集合之间 的关系时， 如果所要研究的集合都是某一给 定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全 集， 通常用 U 表示 . 2. 补集的定义： 如果集合 A 是全集 U 的一个子集， 则由 U 中不属于 A 的所有元 1.1.3 集合的基本运算 A B A B A B 图 1 图 2 10 第一章 集合与常用逻辑用语 学 素组成的集合， 称为 A 在 U 中的补集， 记 作 U A ， 读作 “ A 在 U 中的补集” . 图形表示： 3. 补集运算具有的性质： （ 1 ） A∪ （ U A ） =U ； （ 2 ） A∩ （ U A ） =芰 ； （ 3 ） U （ U A ） =A ； （ 4 ） （ A∪B ） ∩C= （ A∩C ） ∪ （ B∩C ） ； （ A∩B ） ∪C= （ A∪C ） ∩ （ B∪C ） . 思考 你能用维恩图解释补集运算的 性质吗？ 例 1 （ 1 ） 已知全集 U={x ｜1≤x≤7 ， x∈N} ， 集合 A={1 ， 4 ， 7} ， B={3 ， 4 ， 6} ， 则 A∩B= ； A∪B = ； （ U A ） ∩B= ； （ U A ） ∪ （ U B ） = . （ 2 ） 已知全集 U={x｜x≥-5} ， 集合 A={x｜ -1<x≤2} ， B={x｜-3≤x<1} ， 则 A∩B= ； A∪B= ， （ U A ） ∪B= ， （ U A ） ∪ （ U B ） = . 分析 根据集合交、 并的定义进行运 算即可， 对于离散数集可以借助维恩图解 决； 对于特征性质为不等式的集合运算， 可以借助数轴辅助运算 . 解析： （ 1 ） A∩B={4} ， A∪B={1 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7}. 又 ∵ U A={2 ， 3 ， 5 ， 6} ， U B={1 ， 2 ， 5 ， 7} ， ∴ （ U A ） ∩B={3 ， 6} ， （ U A ） ∪ （ U B ） ={1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7} . （ 2 ） 借 助 如 图 1-1-1 所示的数轴可 知 A∩B = （ -1 ， 1 ） ， A∪B= ［ -3 ， 2 ］， （ U A ） ∪B= ［ -5 ， 1 ］ ∪ （ 2 ， +∞ ）， （ U A ） ∪ （ U B ） = U （ A∩B ） = ［ -5 ， -1 ］ ∪ ［ 1 ， +∞ ） . 反思感悟 解决集合运算的问题， 当集合是用列 举法表示时， 可以通过列举集合的元素得 到所求集合； 当集合是用描述法表示时， （如不等式形式表示的集合）， 则可以借助 数轴进行求解 . 解决集合的混合运算问题 时 ， 先算括号内的部分 ， 再求括号外的 部分 . 变式训练 1 （多选题） 已知全集 U=R ， 集合 A={x｜-1≤ x≤2 或 4<x<6} ， 集合 B={x｜1≤x<5} ， 则下列 集合运算正确的有 （ ） A. U A={x｜x<-1 或 2<x≤4 或 x≥6} B. A∩ （ U B ） ={x｜-1≤x<1 或 5≤x<6} C. （ U A ） ∪B={x｜x≤-1 或 1≤x<5 或 x>6} D. U （ U B ） ={x｜1≤x<5} 例 2 （ 1 ） 已知全集 U={x ｜x<10 ， x∈ N * } ， A ， B 为 U 的子集， A∩ （ U B ） ={2 ， 3} ， A∩B={5 ， 7} ， （ U A ） ∩ （ U B ） ={1 ， 4 ， 9} ， 则 A= ， B= ； （ 2 ） 已知 M ， N 为集合 I 的非空真子集， 且 M ， N 不相等， 若 N∩ （ I M ） =芰 ， 则 M∪ N= （ ） A. M B. N C. I D. 芰 分析 根据集合交、 并的定义进行运 算即可， 对于离散数集和抽象集合可以借 助维恩图解决， 抽象集合也可以利用满足 条件的具体集合来验证 . 解析： （ 1 ） U={1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， A U U A x -5 -3 -1 1 2 图 1-1-1 11 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 9} ， 结合图 1-1-2 （ A ） 可得， A={2 ， 3 ， 5 ， 7} ， B={5 ， 7 ， 6 ， 8} . （ 2 ） 方法一： 由 N∩ （ I M ） =芰 可知， N 与 I M 无公共元素， ∴N哿M ， 结合图 1-1-2 （ B ） 的维恩图， 可得 M∪N=M ， 故选 A. 方法二 ： 取 I ={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， M= {1 ， 2 ， 3} ， 则 I M={4 ， 5} ， 可取 N={1 ， 2} 满 足题意， 验证 B ， C ， D 不正确， 故选 A. 反思感悟 对抽象集合的运算关系进行化简或者 判断时， 可以通过举例子或者维恩图将抽 象问题具体化 . 变式训练 2 用图形直观表示集合的运算关系， 最早 是由瑞士数学家欧拉所创， 故将表示集合运 算关系的图形称为 “欧拉图” . 后来， 英国 逻辑学家约翰·维恩在欧拉图的基础上创建 了世人所熟知的 “维恩图” . 维恩用如图 1- 1-3 中的区域 Ⅱ 表示集合 （ ） A. A∩B B. A∩ （ U B ） C. （ U A ） ∩B D. （ U A ） ∩ （ U B ） 例 3 （ 1 ） 已知集合 A={-4 ， 2a+1 ， a 2 } ， B={a-5 ， 1-a ， 9} ， 若 9∈A∩B ， 则实 数 a 的取值范围为 ； （ 2 ） 设全集 U={2 ， 3 ， a 2 +2a-3} ， A={｜2a- 1｜ ， 2} ， U A=5 ， 则实数 a 的值为 . 分析 根据运算结果逆求集合或参数， 要注意分类讨论和检验集合元素的互异性 . 解析： （ 1 ） ∵9∈A∩B ， ∴9∈A 且 9∈B ， ∴2a+1=9 或 a 2 =9 ， 解得 a=4 或 a=±3. 当 a=4 时， A={-4 ， 9 ， 16} ， B={-1 ， -3 ， 9} ， 符合题意； 当 a=-3 时， A={-4 ， -5 ， 9} ， B={-8 ， 4 ， 9} ， 符合题意； 当 a=3 时， a-5=1-a=-2 ， 集合 B 中元素 不满足互异性， 故 a≠3. 综上所述， a 的取值范围为 {-3 ， 4}. （ 2 ） ∵ U A=5 ， ∴5∈U 且 5埸A ， ∴a 2 +2a-3=5 ， 解得 a=-4 或 a=2. 当 a=-4 时， A={9 ， 2} ， U={2 ， 3 ， 5} ， A 不是 U 的子集， 故舍去 . ∴a=2. 变式训练 3 已知集合 A ={-3 ， 2a-1 ， a 2 } ， B ={a - 4 ， 2-a ， 9} . （ 1 ） 若 -3∈A∩B ， 求实数 a 的值 . （ 2 ） 是否存在实数 a 使得 A∩B={9} ？ 请 说明理由 . A B 1 ， 4 ， 9 2 ， 3 5 ， 7 6 ， 8 M N I M I 图 1-1-2 （ A ） U Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ A B 图 1-1-3 图 1-1-2 （ B ） 12 第一章 集合与常用逻辑用语 学 例 4 某班有 36 名学生参加数学、 物 理、 化学课外探究小组， 每名学生至多参加 两个小组， 已知参加数学、 物理、 化学小组 的人数分别为 26 ， 15 ， 13 ， 同时参加数学和 物理小组的有 6 人， 同时参加物理和化学小 组的有 4 人， 则同时参加数学和化学小组的 有 人 . 分析 解决本题， 可以用以下两种方 法： 一是找出实际问题中人数对应的集合， 再根据维恩图即可列出方程求解； 二是直接 使用容斥原理列方程求解 . 解析： 方法一： 设参加数学、 物理、 化 学小组的学生构成的 集合分别为 A ， B ， C ， 同时参加数学和化学 小组的有 x 人 ， 由题 意可得如图 1-1-4 所 示的维恩图 . 由全班共 36 名学生可得， （ 26-6-x ） +6+ （ 15-10 ） +4+ （ 13-4-x ） +x=36 ， 解得 x=8. ∴ 同时参加数学和化学小组的有 8 人 . 方法二： 设参加数学、 物理、 化学小组 的学生构成的集合分别为 A ， B ， C ， 则 card （ A∪B∪C ） =36 ， card （ A ） =26 ， card （ B ） =15 ， card （ C ） =13 ， card （ A∩B ） =6 ， card （ B∩ C ） =4 ， card （ A∩C ） =x ， card （ A∩B∩C ） =0 ， 则同时参加数学和化学小组的有 x 人， 由全 班共 36 名学生可得 26+15+13-6-4-x=36 ， 解得 x=8. ∴ 同时参加数学和化学小组的有 8 人 . 反思感悟 在求解满足要求的集合元素个数的时 候， 可以利用维恩图进行求解， 或者利用 容斥原理解方程， 在利用维恩图求解此类 问题时， 先利用维恩图表示集合运算， 将 每一部分集合所对应的元素个数填写到相 应的集合中， 利用已知条件列方程 （组） 求解问题 . 变式训练 4 向 50 名学生调查对 A ， B 两事件的态 度， 有如下结果： 赞成 A 的人数是全体的五 分之三， 其余的不赞成， 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人， 其余的不赞成； 另外， 对 A ， B 都不赞成的学生数比对 A ， B 都赞成的学生 数的三分之一多 1 人， 对 A ， B 都不赞成的 学生有 人 . 数 学 文 化 例 1 集合运算中的元素个数问题： 在部分有限集中， 我们经常遇到有关集 合中元素个数的问题， 我们常用维恩图表示 两集合的交、 并、 补 . 如果用 card 表示有限 集合元素的个数， 即 card （ A ） 表示有限集 A 的元素个数， 则有如下结论： （ 1 ） card （ A∪B ） =card （ A ） +card （ B ） - card （ A∩B ）； * （ 2 ） card （ A∪B∪C ） =card （ A ） +card （ B ） + card （ C ） -card （ A∩B ） -card （ A∩C ） -card （ B∩ C ） +card （ A∩B∩C ） . 这一结论在计数上称为容斥原理 . 结合 维恩图对这两个结论进行证明 . A B C 6 4 x （ 26-6-x ） （ 13-4-x ） （ 15-10 ） 图 1-1-4 13 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 解： （ 1 ） 如图 1-1-5 （ A ）， ∵A∩B 区 域里的元素出现两次， ∴ 并集区域的元素个 数等于各个集合中元素个数和减去公共区域 元素和， ∴ 结论 （ 1 ） 成立 . （ 2 ） 如图 1-1-5 （ B ）， ∵A∩B ， A∩C ， B∩C 区域里的元素分别出现两次， 而 A∩ B∩C 区域里的元素出现三次， ∴A∪B∪C 区域中元素个数， 应该等于 A ， B ， C 区域 内的元素个数和减去 A 与 B ， A 与 C ， B 与 C 的公共区域元素个数， 再加上三个区域的 公共部分的元素， ∴ 结论 （ 2 ） 成立 . 例 2 集合论是德国数学家康托尔 （ G. Cantor ） 于 19 世纪末创立的 . 在他的集合理 论中， 用 card （ A ）表示有限集合中元素的个 数， 例如： A={a ， b ， c} ， 则 card （ A ） =3. 若 对于任意两个有限集合 A ， B ， 有 card （ A∪B ） =card （ A ） +card （ B ） -card （ A∩B ） . 某校举办运 动会 ， 高一 （ 1 ） 班参加田赛的学生有 14 人， 参加径赛的学生有 9 人， 两项都参加的 有 5 人， 那么高一 （ 1 ） 班参加本次运动会 的人数共有 （ ） A. 28 B. 23 C. 18 D. 16 分析 设参加田赛、 径赛的同学组成 集合， 再由集合论即可得解 . 解析： 设参加田赛的学生组成集合 A ， 则 card （ A ） =14 ， 参加径赛的学生组成集合 B ， 则 card （ B ） =9 ， 由题意得 card （ A∩B ） =5 ， ∴card （ A∪B ） =card （ A ） +card （ B ） -card （ A∩ B ） =14+9-5=18 ， ∴ 高一 （ 1 ） 班参加本次运动会的人数 共有 18 人 . 故选 C. A∩B∩C B∩C A∩B A∩C A B C A B A∩B 图 1-1-5 （ A ） 图 1-1-5 （ B ） 14 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3. D 【解析】 M={1 ， 2} ， N={1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 由 M哿 P哿N 可知， 集合 P 中一定含有 1 ， 2 ， 可能不含其他元 素， 或是含有 3 ， 4 中的部分或全部， ∴P 的个数与集合 {3 ， 4} 的子集个数相同， ∴ 有 2 2 =4 （个） . 故选 D. 4. C 【解析】 M= x x= k 2 - 1 3 ， k∈Z # $ = x x= 3k-2 6 ， ， k∈ ∈ Z ， P= y y= l 2 + 1 6 ， l∈Z ， ∈ = y y= 3l+1 6 ， l∈Z ， ∈ ， S= z z=m+ 1 6 ， ， m∈Z ∈ = z z= 6m+1 6 ， m∈Z ， ∈ . 集合 M ， P 都 表示被 3 除余 1 的数与 6 的商， ∴M=P ； 对于集合 P ， 当 l =2n ， n∈Z 时 ， P =S ， 当 l =2n -1 ， n ∈Z 时 ， P = z z= 6l-2 6 ， ∈ ， P 中存在不在 S 中的元素， ∴S芴P. 故选 C. 5. D 【解析】 集合 {x∈R｜x 2 -4=0} 中含有元素 2 ， -2 ， 故 A 错误； 集合 {x｜x>9 或 x<3} 表示大于 9 ， 小于 3 的所 有实数 ， 故 B 错误 ； 集合 { （ x ， y ） ｜x 2 +y 2 =0} 中含有点 （ 0 ， 0 ）， 故 C 错误； 集合 {x｜x>9 且 x<3} 中不含有任何元 素， 故为空集 . 故选 D. 6. B 【解析】 ∵A={1 ， 2} ， B={x｜x 2 - （ a+1 ） x+a＝0 ， a∈ R} ， 由 A=B ， 可得 1 ， 2 是方程 x 2 - （ a+1 ） x+a=0 的两根， 由韦达定理可得 1+2=a+1 ， 1×2=a ， ， 即 a=2 ， 故选 B. 7. B芴A 【解析】 B={ （ x ， y ） ｜y=2x ， x≠0} ， ∴B芴A. 8. -1 ， 0 ， 1 【解析】 集合 A 有且只有两个子集， 则 集合 A 中只有一个元素， 即方程 ax 2 +2x+a=0 只有一个 解 ， 当 a=0 时 ， 2x=0 ， x=0 ， 只有一个解 . 当 a≠0 时 ， Δ=4-4a 2 =0 ， a=±1. ∴a 的取值为 -1 ， 0 ， 1. 9. （ -∞ ， -4 ］ 【解析】 ∵B= x x< p 4 ， $ ， 又 ∵B哿A ， ∴ p 4 ≤-1 ， 解得 p≤-4. 10. 解： ① 若 B=芰 ， 则 2a-3≥a-2 ， 即 a≥1 ， 满足题意 . ② 若 B≠芰 ， 由 A勐B ， 得 a<1 ， 2a-3≥1 ， a-2≤2 2 / / / . / / / 0 ， a 无解 . 综上所述， 实数 a 的取值范围是 {a｜a≥1}. 提升练习 11. BCD 【解析】 芰 不是 {{芰}} 的元素， 故 A 错误； 芰 是任何集合的子集， ∴芰 是 {{芰}} 的子集， 故 B 正确； 芰 是 {芰} 的元素， 故 C 正确； 芰 是任何非空集合的真子 集， {芰} 有一个元素 芰 ， 是非空集合， 故 D 正确 . 故选 BCD. 12. AC 【解析】 当 x 取 ±1 时， 平方后为 1 ， ∴A ， C 正确 . 4 的平方等于 16 ， 不在集合中， ∴B ， D 不满足要 求 . 故选 AC. 13. 6 {0 ， 1 ， 2 ， 3} （答案不唯一） 【解析】 ∵ 集合 S={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 根据题意知， 只要有元素与之 相邻， 则该元素就不是孤立元素， ∴S 的无 “孤立元素” 的含四个元素的子集有 {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， {0 ， 1 ， 3 ， 4} ， { 0 ， 1 ， 4 ， 5} ， { 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， { 1 ， 2 ， 4 ， 5} ， {2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 共 6 个 . 14. {t｜1<t<2} 【解析】 由题意， 可知集合 A={x｜-t<x< 1 ， t>0} ， 集合 B={x ｜-1<x<2} ， ∵ 集合 A ， B 构成 “偏 食”， ∴ -t<-1<t ， 2> ， t 或 -t<2<t ， -1<-t ， ， 解不等式组 -t<-1<t ， 2>t ， ， 得 1<t<2 ； 解不等式组 -t<2<t ， -1<-t ， ， 得 t>2 ， t<1 ， ， 此时无解 . ∴ 实数 t 的取值范围为 1<t<2. 15. 解： 若 B=芰 ， 满足 B哿A ， 方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 - 1=0 无实数根， ∴Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） <0 ， 解得 a<-1. 若 B≠芰 ， 由 B哿A ， 得 B={0} 或 {-4} 或 {-4 ， 0}. 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 有两个相等实数根， 则 Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） =0 ， 即 a=-1 ， 此时 B={0} ， 满足题意 . 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 的两实数根为 0 ， -4 ， 则有 x （ x+4 ） =0 ， 即 x 2 +4x=0 ， ∴ 2 （ a+1 ） =4 ， a 2 -1=0 ， ， a=1. 综上所述， 实数 a 的取值范围为（ -∞ ， -1 ］ ∪{1} . 1.1.3 集合的基本运算 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 由题意， 全集 U=R ， 集合 A={x｜-1≤ x≤2 或 4<x<6} ， 集合 B={x｜1≤x<5}. ∴ U A={x｜x<-1 或 2< x≤4 或 x≥6} ， U B={x｜x≥5 或 x<1} ， ∴A∩ （ U B ） ={x｜-1≤x<1 或 5≤x<6} ， （ U A ） ∪B={x｜x<-1 或 1≤x<5 或 x≥6} ， U （ U B ） = B={x｜1≤x<5} . 故选 ABD. 变式训练 2 B 【解析】 由图形知， 区域 Ⅱ 表示元素在集合 A 中， 且不在集合 B 中， 故区域 Ⅱ 表示集合 A∩ （ U B ） . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） ∵-3∈A∩B ， ∴-3∈B. 若 a-4=-3 ， 则 a= 1 ， 此时集合 A 中， 2a-1=a 2 =1 ， 不符合题意； 若 2-a=-3 ， 则 a=5 ， 此时 A={-3 ， 9 ， 25} ， B={1 ， -3 ， 9} ， A∩B= {-3 ， 9} ， 符合题意 . 综上， a=5. （ 2 ） 若 A∩B={9} ， 则 9∈A. 若 2a-1=9 ， 则 a=5 ， 由 （ 1 ） 知 A∩B={-3 ， 9} ， 不符合题意 . 若 a 2 =9 ， 则 a=±3. 当 a=3 时， 集合 B 中 a-4=2-a=-1 ， 不符合题意 . 当 a=-3 时， A={-3 ， -7 ， 9} ， B={-7 ， 5 ， 9} ， 此时 A∩B={-7 ， 9} ， 不符合题意 . 因此， 不存在满足条件的实数 a. 变式训练 4 8 【解析】 由题意， 赞 成 A 的人数为 30 ， 赞成 B 的人数为 33 ， 设对 A ， B 都赞成的学生数为 x ， 则 对 A ， B 都不赞成的学生 A B x 1 3 x+1 30-x 33-x 变式训练 4 答图 28 参 考 答 案 数为 1 3 x+1 ， 如图可得， x+30-x+33-x+ 1 3 x+1＝50 ， ∴x＝ 21 ， 1 3 x+1＝8. 随堂练习 1. C 【解析】 ∵A={1 ， 2 ， 4 ， 6} ， B={1 ， 5} ， ∴A∪B= {1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6} . 故选 C. 2. C 【解析】 由题设， A= x x> 1 2 2 # ， 而 B={x｜-2<x< 3} ， ∴A∩B= x 1 2 <x<3 3 & . 故选 C. 3. C 【解析】 ∵ 全集 U= ［ 0 ， 1 ］， 集合 A={1} ， ∴ U A= ［ 0 ， 1 ） . 故选 C. 4. B 【解析】 依题意， 阴影部分所表示的集合中任 意元素 x 必须满足 x埸A 且 x∈B ， 即 x∈ U A 且 x∈B ， ∴ 图中阴影部分所表示的集合是 B∩ （ U A ） . 故选 B. 5. ABD 【解析】 已知 A={1 ， 4 ， x} ， B={1 ， x 2 } ， 可 知 x≠±1 且 x≠4 ， 由于 A∪B={1 ， 4 ， x} ， 可知 x 2 =4 或 x 2 =x ， 若 x 2 =4 ， ∴x=±2 ； 当 x=-2 时， 满足题意； 当 x=2 时满足题意， 若 x 2 =x ， ∴x=0 或 x=1 ； 当 x=0 时， 满足题 意； 当 x=1 时， 不满足题意 . 综上得， 满足条件的实数 x 的值是 -2 ， 0 ， 2. 故选 ABD. 6. 2 【解析】 ∵M∪{a}={a ， b} ， ∴M={b} 或 M={a ， b} ， ∴ 这样的集合 M 有 2 个 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 由题意， 根据并集的定义 A∪B={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}. 故选 C. 2. C 【解析】 ∵A={x｜2≤x≤5} ， B={1 ， 3 ， 4 ， 5} ， 则 A∩B={3 ， 4 ， 5} ， 故选 C. 3. D 【解析 】 由题意知 A={x ｜-2<x<5} ， B={x ｜x<1} ， 根据维恩图知， 阴影部分为 （ R A ） ∩B ， 而 R A={x｜x≤-2 或 x≥5} ， ∴ （ R A ） ∩B={x｜x≤-2} . 故选 D. 4. C 【解析】 由题意可得， （ 0 ， 0 ） 表示两个系统都 不正常， 电脑不能使用； （ 0 ， 1 ） 或 （ 1 ， 0 ） 表示两个系 统有一个正常、 一个不正常， 电脑能正常使用； （ 1 ， 1 ） 表示两个系统都正常， 电脑能正常使用 . A∪B 表示电脑 能正常使用， ∴C 正确 . 故选 C. 5. B 【解析 】 由 a∈A ， 得 a=2m （ m∈Z ） ， b∈B ， ∴b=2n+1 （ n∈Z ）， ∴a+b=2m+2n+1=2 （ m+n ） +1. 又 ∵m+ n∈Z ， ∴a+b∈B. 故选 B. 6. D 【解析】 ∵A∪B=R ， 即集合 A 与集合 B 包含了 所有的实数， 那么 m>2. 故选 D. 7. B 【解析】 ∵P茚Q={x｜x∈ （ P∪Q ）且 x埸 （ P∩Q ） } ， P= {x｜0≤x≤2} ， Q={x｜x>1} ， 则 P茚Q= {x｜0≤x≤1}∪{x｜x>2} ， 即 ［ 0 ， 1 ］ ∪ （ 2 ， +∞ ） . 故选 B. 8. A 【解析 】 依据题意画出 维恩图如图所示 ， 观察可知 P哿 （ U S ）， 故选 A. 9. { 3 ， 4 ， 5 ， 6} 【解 析 】 ∵A ={x ｜x≤6 ， x∈N} = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， B={x ｜x>2 ， x∈N} ， ∴A∩B= {3 ， 4 ， 5 ， 6}. 10. 26 【解析】 依题意， 足球爱好者比羽毛球爱好 者人数少， ∴ 同时爱好这两项的最多有 30 人； 当足球 爱好者与羽毛球爱好者的并集为全集时， 同时爱好这两 项运动的人最少， 设同时爱好这两项运动的有 x 人， 则 只爱好足球者有 （ 30-x ）人， 只爱好羽毛球者有 （ 32-x ） 人 ， 则 （ 30 -x ） + （ 32 -x ） +x =58 ， 解 得 x =4 ， 即 n∈ ［ 4 ， 30 ］， ∴q-p 的最大值为 26. 提升练习 11. ABD 【解析】 ∵P∪Q=P ， ∴Q哿P. 由 ax+2=0 得， ax=-2 ， 当 a=0 时， 方程无实数解， ∴Q=芰 ， 满足已知； 当 a≠0 时， x=- 2 a ， 令 - 2 a =1 或 2 ， ∴a=-2 或 -1. 综合 得 a=0 或 a=-2 或 a=-1. 故选 ABD. * 12. ABD 【解析】 当 B= （ -1 ， 4 ）， A= （ 3 ， 5 ］ 时， U B= ［ 4 ， 5 ］， 满足 U=A∪B= （ -1 ， 5 ］， A∩ （ U B ） = ［ 4 ， 5 ］， 但 是 A∩B= （ 3 ， 4 ） ≠芰 . 当 B= （ -1 ， 4 ）， A= ［ 4 ， 5 ］ 时， U B = ［ 4 ， 5 ］ ， 满 足 U=A∪B = （ -1 ， 5 ］ ， A∩ （ U B ） = ［ 4 ， 5 ］， 此时 A∩B=芰 ， 故 A 不一定正确， B 不一定正 确 . ∵A∩ （ U B ） = ［ 4 ， 5 ］， ∴A哿 ［ 4 ， 5 ］， U B哿 ［ 4 ， 5 ］ . 又 ∵U=A∪B= （ -1 ， 5 ］， ∴B= （ -1 ， 4 ）， 故 C 一定正确 . 当 B= （ -1 ， 4 ）， A= （ 3 ， 5 ］ 时， U B= ［ 4 ， 5 ］， 满足 U=A∪B= （ -1 ， 5 ］， A∩ （ U B ） = ［ ４ ， ５ ］， 此时 U A= （ -1 ， 3 ］， B∩ （ U A ） = （ -1 ， 3 ］ . 当 B= （ -1 ， 4 ）， A= ［ 4 ， 5 ］ 时， U B= ［ 4 ， 5 ］ ， 满足 U=A∪B= （ -1 ， 5 ］， A∩ （ U B ） = ［ 4 ， 5 ］， 此时， U A= （ -1 ， 4 ）， B∩ （ U A ） = （ -1 ， 4 ）， 故 D 不一定正确 . 故选 ABD. 13. ABC 【解析 】 ∵ 集合 M ， N ， P 为全集 U 的子 集， 且满足 M哿P哿N ， ∴ 作出维 恩图， 如图所示 . 由维恩图， 得 （ U N ） 哿 （ U P ）， 故 A 正确； （ U P ） 哿 （ U M ）， 故 B 正确 ； （ U P ） ∩ M=芰 ， 故 C 正确； （ U M ） ∩N≠ 芰 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 14. {y｜-2≤y≤16} 【解析】 由题意知， A={y｜y≥-2} ， B={y｜y=- （ x-1 ） 2 +16≤16} ， ∴A∩B={y｜-2≤y≤16} . * 15. 解： （ 1 ） A={x｜x 2 -x-2=0}={-1 ， 2} ， 当 a=2 时， B={x｜x 2 +2x+1=0}={x｜ （ x+1 ） 2 =0}={-1} ， ∴A∪B={-1 ， 2} . （ 2 ） ∵B≠芰 ， ∴Δ=a 2 -4 （ 2a-3 ） ≥0 ， 解得 a≥6 或 a≤2. ① 当 a=2 或 a=6 时， 集合 B 中有且只有一个元素， 当 a=2 时， B={-1} ， A∩B={-1} ， 满足 B哿 （ A∩B ）， 符合题意； 当 a=6 时， B={-3} ， A∩B=芰 ， 不满足题意 . ② 当 a>6 或 a<2 时， 集合 B 中有两个元素， 要满足 B哿 （ A∩B ）， 需要 A=B={-1 ， 2} ； U S P 第 8 题答图 P U M N 第 13 题答图 29 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 则方程 x 2 + （ 3-2a ） x+a 2 -6=0 有两个不相等的实数根 x 1 =-1 ， x 2 =2 ， 由韦达定理得 2a-3=1 ， a 2 -6=-2 2 ， 解得 a=2 ， 此时无解 . 综上所述， 实数 a 的取值集合为 {2} . 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 学习手册 变式训练 1 ABC 【解析】 3 能整除 15 ， 能判断真假， ∴A 是命 题； x 2 +2x+1= （ x+1 ） 2 ≥0 ， ∴B 是命题； 4 不小于 2 能判断 真假， ∴C 是命题； “你准备考北京大学吗 ？” 是疑问 句， 不是陈述句， 且无法判断真假， ∴D 不是命题 . 故选 ABC. 变式训练 2 D 【解析】 ∵x=0∈N ， x>0 不成立， 故 A 错误； R Q 表示无理数， 不存在 x∈ R Q ， x∈Z ， 故 B 错误 ； 当 x= 2 时， 2x-3<0 不成立， ∴坌x∈R ， 2x-3<0 不是真命题， 故 C 错误 ； 当 x=1 时， 2x 2 -3x+1=0 ， ∴埚x∈Z ， 2x 2 -3x+ 1=0 ， 故 D 正确 . 故选 D. 变式训练 3 解： 若 p 是真命题， 则 a≤x 2 对于 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 恒成 立， ∴a≤ （ x 2 ） min =1 ， 若 q 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 + 3x+2-a=0 有实数根， ∴Δ=9-4 （ 2-a ） =1+4a≥0 ， 即 a≥- 1 4 ； 若 p 和 q 同时为真命题 ， 则 a≤1 ， a≥- 1 4 2 ， ∴a∈ - 1 4 ， ， ) 1 . ∴ 当 p 和 q 中 至 少 有 一 个 是 假 命 题 时 ， 有 a ∈ -∞ ， - 1 4 4 + ∪ （ 1 ， +∞ ） . 随堂练习 1. C 【解析】 能判断真假的陈述句为命题 . 集合 {a ， b} 是本身的子集， 故 A 是假命题； 三角形中最多只有 一个内角是钝角， 故 B 是真命题； x>0 不能判断真假， 故 C 不是命题； 平面内垂直于同一条直线的两条直线平 行是真命题 . 故选 C. 2. D 【解析】 当 a=b=0 时， 满足 a 与 b 互为相反数， 不满足 a b =-1 ， 故 A 错误 ； 当 a=b=0 时， 方程 ax+b=0 有无数个实数根， 故 B 错误； 当 n=0 时， 不满足 n 2 >n ， 故 C 错误； 任何两个无理数之间都有一个有理数， 故 D 正确 . 故选 D. 3. A 【解析】 坌x∈R ， x 2 姨 ≥0 ， 则 x 2 姨 +1>0 ， ① 是真命题 ； ∵x=0 时 ， x∈N ， x 2 =0 ， ∴② 是假命题 ； ∵ 坌x∈N ， x≥0 ， 即 x埸 ［ -3 ， -1 ）， ∴③ 是假命题； ∵ 当且 仅当 x= 2 姨 或 x=- 2 姨 时， x 2 =2 ， 而 2 姨 埸Q ， 且 - 2 姨 埸Q ， ∴④ 是假命题 . ∴ 真命题的序号是 ① ， 共 1 个 . 故 选 A. 4. C 【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的 定义可知， A ， B ， D 是存在量词命题， C 是全称量词命 题 . 故选 C. 5. BC 【解析】 ∵ 不存在实数 x ， 使 x 2 +2<0 成立， 即 该命题为假命题， 故 A 错误； 该命题是存在量词命题， 例如无理数 2 3 姨 ， 它的立方是 2 ， 为有理数， 故 B 正 确； 该命题是存在量词命题， 例如 1 的倒数是它本身， 为真命题， 故 C 正确； 该命题是全称量词命题， 故 D 错 误 . 故选 BC. 6. ［ -3 ， +∞ ） 【解析 】 由题设命题为真命题 ， 则 Δ=4+4 （ a+2 ） ≥0 ， 解得 a≥-3. ∴a 的取值范围为［ -3 ， +∞ ） . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 由题知， A ， B ， D 都是可以判断真假 的陈述句或式子， C 无法判断真假 . 故选 C. 2. D 【解析】 a ， b ， c 中至少有一个是非负实数， 则 a ， b ， c 中非负实数的个数大于等于 1 个， ∴ 其等价命 题为 a ， b ， c 不全是负数 . 故选 D. 3. B 【解析 】 坌x∈R ， ｜x ｜≥0 成立 ， 故 A 正确 ； 坌x∈R ， （ x-1 ） 2 ≥0 ， 当且仅当 x=1 时， （ x-1 ） 2 =0 ， 故 B 错误； 埚x∈R ， x 3 >1 正确， 例如当 x=2 时， x 3 =8>1 ， 故 C 正确 ； 埚x∈Z ， x 2 -3x+2=0 正确 ， 例如 x=1 时或 x=2 时等式均成立， 故 D 正确 . 故选 B. 4. C 【解析】 若 m=2 ， n=-5 ， 满足 m>n ， 但 m 2 <n 2 ， 故 ① 错误； 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦， 并且 平分弦所对的弧， 故 ② 正确； 对角线互相平分且相等的 四边形是矩形， 故 ③ 错误； 如果两条弧相等， 那么它们 所对的圆心角相等， 故 ④ 正确； 若 a 2 姨 =a ， 则 a≥0 ， 故 ⑤ 错误 . 故选 C. 5. A 【解析】 若甲是假命题， 则乙、 丙、 丁是真命 题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的一根为 3 ， 由于两根之 和为 2 ， 则该方程的另一根为 -1 ， 两根异号， 合乎题意； 若乙是假命题， 则甲、 丙、 丁是真命题， 则 x=1 是方程 x 2 +ax+b=0 的一根， 由于两根之和为 2 ， 则另一根也为 1 ， 两根同号， 不合乎题意； 若丙是假命题， 则甲、 乙、 丁 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的两根为 1 和 3 ， 两根同号， 不合乎题意； 若丁是假命题， 则甲、 乙、 丙 是真命题， 则关于 x 的方程 x 2 +ax+b=0 的两根为 1 和 3 ， 两根之和为 4 ， 不合乎题意 . 综上所述， 甲命题为假命 题 . 故选 A. 6. ACD 【解析】 x 2 -x+ 1 4 = x- 1 2 4 + 2 ≥0 ， 故 A 为真命 题； 对于平面内任意的四边形， 其内角和都为 360° ， 故 B 为假命题； x 2 +3x+2= （ x+1 ）（ x+2 ） =0 ， 解得 x=-1 或 x= -2 ， 故 C 为真命题； x 3 +1=0 ， 解得 x=-1 ， 故 D 为真命 题 . 故选 ACD. 7. ［ 1 ， 2 ） 【解析】 若 x∈ ［ 2 ， 5 ］ 为假命题， 则有 30