1.1.2 集合的基本关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解集合之间包含与相等的含义， 能 识别给定集合的子集、 真子集， 并会用列举 法求有限集的所有子集、 所有真子集 . 2. 能使用维恩图表示集合的基本关系， 会判断集合之间包含与不包含的关系 . 要 点 精 析 要点 1 子集与真子集的定义 1. 子集： 一般地， 如果任意 x∈A ， 都 有 x∈B ， 那么集合 A 称为集合 B 的子集， 记作 A哿B （或 B勐A ）， 读作 “ A 包含于 B ” （或 “ B 包含 A ”） . 注： A 中 x 的任意性， 反之也成立 . 2. 真子集： 一般地， 如果 A哿B ， 且存 在 x∈B ， 使得 x埸A ， 那么集合 A 称为集合 B 的真子集， 记作 A芴B （或 B芡A ）， 读作 “ A 真包含于 B ” （或 “ B 真包含 A ”） . 注： B 中至少存在一个元素 . 维恩图： 如果用平面上一条封闭曲线的 内部来表示集合， 那么我们就可以作出示意 图来形象地表示集合之间的关系， 这种示意 图通常称为维恩图 . 例如， A芴B 可用右图 表示 . 思考 你能用维恩图表示 A哿B 吗？ 例 1 判断下列各组集合之间的关系： （ 1 ） A= （ x ， y ） 2x-y=1 ， x+4y= = 5 = ( ， B={ （ x ， y ） ｜ y=x} ， C= （ x ， y ） y x = = = 1 ； （ 2 ） A= y y= 1 x = = ， B={x｜y= x-1 姨 } ， C= {y｜y=x 2 +2x+3} ； （ 3 ） A= x x=k+ 1 2 ， k∈Z + = ， B= x x= k+1 2 ， k∈Z = = ； （ 4 ） A={y｜y=a 2 +1 ， a∈N} ， B={y｜y=b 2 +2b+ 2 ， b∈N}. 分析 对于集合关系的判定， 首先要 弄清楚集合中元素的类别是点集还是数集 和图形集等， 再根据集合的特征性质列举 表示后判断或是把性质进行变形， 根据性 质的推出关系， 判断出集合的关系 . 解： （ 1 ） ∵A={ （ 1 ， 1 ） } ， （ 1 ， 1 ） 满足 y=x 和 y x =1 ， ∴A哿B 且 A哿C. 又 ∵B ， C 中含有元素 （ 2 ， 2 ）不在 A 中， ∴A芴B ， A芴C. ∵C={ （ x ， y ） ｜y=x （ x≠0 ） } ， ∴C哿B. 又 ∵ （ 0 ， 0 ） ∈B 且 （ 0 ， 0 ） 埸C ， ∴C芴B ， ∴A芴C芴B. （ 2 ） ∵A={y｜y≠0} ， B={x｜x≥1} ， C={x｜y= （ x+1 ） 2 +2}={y｜y≥2} ， ∴C芴B芴A. （ 3 ） 对于集合 A ， 特征性质 x=k+ 1 2 = 2k+1 2 ， k∈Z. 对于集合 B ， 特征性质 1.1.2 集合的基本关系 A B 6 第一章 集合与常用逻辑用语 学 x= k+1 2 = 2n+1 2 ， k=2n ， n ， k=2n-1 1 # # # # " # # # # $ ， n∈Z ， ∴A芴B. （ 4 ） 对于集合 A ， 由于 a∈N ， ∴a 2 +1 表 示从 0 开始的自然数的平方与 1 的和 . 对于集合 B ， 特征性质 y =b 2 +2b +2 = （ b+1 ） 2 +1 ， 由于 b∈N ， ∴b 2 +2b+2 表示从 1 开始的自然数的平方与 1 的和， ∴ 集合 A 中 比集合 B 中多一个元素 1 ， ∴B芴A. 反思感悟 判断集合间关系的常用方法： （ 1 ） 列举法， 当集合元素比较少时 ， 可以将两个集合元素一一列举， 得出两个 集合之间的关系； （ 2 ） 特征性质法， 明确集合的代表元 素是什么， 集合元素的特征性质是什么， 再利用集合元素特征性质的关系进行判断； （ 3 ） 数形结合法， 利用维恩图、 数轴 或者平面直角坐标系等图形进行直观的判断 . 变式训练 1 集 合 M = x x= 1 3 + n 6 ， n∈ ∈ ( Z ， N = x x= 1 6 + n 3 ， n∈ ∈ ∈ Z ， 则下列关系正确的 是 （ ） A. M哿N B. M=N C. N哿M D. M芴N 例 2 写出集合 {a ， b ， c} 的所有子集 和真子集 . 分析 根据子集的定义， 所求的子集 中元素应该与 a ， b ， c 有关， 子集中元素 个数可以含有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 分情况写出即 可， 但要注意元素具有无序性， 避免重复； 真子集从子集中去掉集合本身即可 . 解： 元素个数为 0 的子集为 芰 ； 元素个数为 1 的子集为 {a} ， {b} ， {c} ； 元素个数为 2 的子集为 {a ， b} ， {a ， c} ， {b ， c} ； 元素个数为 3 的子集为 {a ， b ， c}. 上述集合中除 {a ， b ， c} 外的集合为真 子集 . 反思感悟 按照子集元素个数由少到多依次写出 子集， 保证所列举的子集不重不漏 . 同时利 用子集个数的公式进行检验： 当一个集合 有 n 个元素时， 这个集合有 2 n 个子集， 2 n - 1 个真子集， 2 n -1 个非空子集， 2 n -2 个非 空真子集 . 变式训练 2 设集合 M={1 ， 2 ， 5} ， 则集合 M 所有子 集的元素之和为 . 例 3 （ 1 ） 集合 M={a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 } 的子集有 个， 真子集有 个； （ 2 ） 满足 {1 ， 2}芴M哿{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 的集合 M 有 个 . 分析 对于子集个数的计数问题， 可 以采用穷举法或是利用公式计算 . 解析： （ 1 ） 方法一： 由于集合 M 的子 集中的元素将从 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 中取得， 可以按子集中有 0 个、 1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个元素分别写出子集， 一共有 32 个， 真子集有 32-1=31 （个） . 方法二： 由于集合 M 的子集中的元素 将从 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 中取得， 每个元素要 么被取， 要么不被取， 每个元素都有两种情 7 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 况， 故一共有 2 5 种情况， ∴ 子集有 2 5 个， 真子集有 2 5 -1=31 （个） . （ 2 ） 由 {1 ， 2}芴M 知， M 中除含有 1 ， 2 外， 还必须含有其他的元素， 由 M哿{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 可得， M 中其他元素可以在 3 ， 4 ， 5 中选择， ∴M 相当于在 {3 ， 4 ， 5} 的每个真 子集中再加入元素 1 ， 2 ， 而 {3 ， 4 ， 5} 的真子 集有 2 3 -1=7 （个）， ∴ 符合条件的集合 M 共 有 7 个 . 反思感悟 利用穷举法计数， 或者利用子集个数 公式进行计算 . 变式训练 3 已知集合 A={x｜x 2 +x=0 ， x∈R} ， 则集合 A 的非空子集个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 要点 2 子集与真子集的性质 1. 子集具有的性质 （ 1 ） 反身性： A哿A ； （ 2 ） 传递性： 若 A哿B ， B哿C ， 则 A哿C ； （ 3 ） 规定： 芰哿A （ A 为任意集合） . 2. 真子集具有的性质 （ 1 ） 传 递 性 ： 若 A芴B ， B芴C ， 则 A芴C ； （ 2 ） 规定： 芰芴A （ A 为非空集合） . 思考 你能说出子集具有的性质与真 子集具有的性质相同点和不同点吗？ 例 4 （多选题） 下列说法中， 正确的有 （ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若 A芴B ， B芴C ， 则 A芴C C. 任何一个集合必有两个或两个以上 的子集 D. 若不属于 B 的元素一定不属于 A ， 则 A哿B 分析 对于子集、 真子集有关的概念 辨析问题， 要抓住考查的定义及性质要求， 特别要注意对空集的这种特殊情况的考虑 . 解析： 空集不能是空集的真子集， 故 A 选项不正确； 集合的真包含关系满足传递性， 故 B 选 项正确； 空集只有它本身一个子集， 故 C 选项不 正确； 集合 B 之外的元素一定不在集合 B 中， 又不在集合 A 中， ∴ 集合 A 只能是 B ， 或是 真包含在 B 中， ∴A哿B ， 故 D 选项正确 . 故选 BD. 变式训练 4 （多选题） 下列关系式正确的有 （ ） A. {1}哿{1 ， 2} B. 芰∈{1 ， 2} C. {2}哿{1 ， 2} D. 1∈{1 ， 2} 要点 3 集合的相等 1. 定义： 一般地， 如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同， 则称集合 A 与集合 B 相 等， 记作 A＝B ， 读作 “ A 等于 B ” . 2. 结论： 如果 A哿B 且 B哿A ， 则 A＝B ； 反之， 如果 A＝B ， 则 A哿B 且 B哿A. 思考 你能用维恩图表示两个集合相 等吗？ 例 5 设集合 A={1 ， x ， y} ， B={x ， xy ， x 2 } ， 8 第一章 集合与常用逻辑用语 学 且 A=B ， 求 x 2 021 +y 2 022 . 分析 根据两个集合相等， 可以得到 两个集合的元素对应相等， 再分情况对应 相等得到关于 x ， y 的方程组， 解出方程 组， 但要注意验证 x ， y 必须满足集合中元 素的互异性 . 解： 若 xy=1 ， y=x 2 2 ， 则 x=1 ， y=1 2 ， 经检验不满足 集合元素的互异性， ∴ x=1 ， y= 2 1 舍去 . 若 y=xy ， 1=x 2 2 ， 则 x=1 ， y∈ 2 R 或 x=-1 ， y=0 2 . 当 x=1 时， 不满足元素的互异性； 当 x=-1 ， y=0 满足元 素的互异性， ∴x=-1 ， y=0 ， ∴x 2 021 +y 2 022 =-1. 变式训练 5 （多选题） 给出以下几组集合， 其中是 相等集合的有 （ ） A. M={ （ -5 ， 3 ） } ， N={-5 ， 3} B. M={1 ， -3} ， N={-3 ， 1} C. M=芰 ， N={0} D. M={x｜x 2 -3x+2=0} ， N={1 ， 2} 数 学 文 化 例 1 当两个集合中有一个集合为另一 集合的子集时， 称这两个集合之间构成 “全 食”； 当两个集合有公共元素， 但互不为对 方子集时， 称两集合之间构成 “偏食” . 对于 集合 A= - 1 2 ， - 1 3 ， 1 3 ， 1 2 2 2 ， B={x｜ax 2 +2= 0 ， a≤0} ， 若 A 与 B 构成 “全食” 或构成 “偏食”， 则 a 的取值集合为 . 分析 对于新定义型集合问题， 关键 是理解新定义， 然后将新定义的语言翻译 成集合语言， 从而运用集合知识解决 . 因为 集合中含有字母， 所以注意需要对字母进 行分类讨论 . 解析： 当 a=0 时， B=芰 ， 此时满足 B哿 A ， 两个集合之间构成 “全食”， 符合条件 . 当 a≠0 时， B= - - 2 a 姨 ， - 2 a 姨 2 姨 ， 当 - 2 a 姨 = 1 2 时， 构成 “全食”， 解得 a=-8 ； 当 - 2 a 姨 = 1 3 时， 构成 “全食”， 解得 a=-18. 综上所述， a 的取值集合为 {0 ， -8 ， -18}. 例 2 在数学漫长的发展过程中， 数学 家发现在数学中存在着神秘的 “黑洞” 现 象 . 数学黑洞： 无论怎样设值， 在规定的处 理法则下， 最终都将得到固定的一个值， 再 也跳不出去， 就像宇宙中的黑洞一样 . 目前 已经发现的数字黑洞有 “ 123 黑洞” “卡普 雷卡尔黑洞” “自恋性数字黑洞” 等 . 定义： 若一个 n 位正整数的所有数位上数字的 n 次 方和等于这个数本身， 则称这个数是自恋 数 . 已知所有一位小于 4 的正整数的自恋数 组成集合 A ， 集合 A 的真子集个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 分析 根据自恋数的定义 ， 求出 A ， 即可求出真子集个数 . 解析： 依题意， A={1 ， 2 ， 3} ， 故 A 的 真子集个数为 7. 故选 C. 反思感悟 若集合中元素个数有 n 个， 则其子集 有 2 n 个， 真子集有 2 n -1 个， 非空子集有 2 n -1 个， 非空真子集有 2 n -2 个 . 9 参 考 答 案 ∴a≠0 ， 且 Δ= （ -3 ） 2 -8a>0 ， 解得 a< 9 8 且 a≠0 ， ∴ 实数 a 的值组成的集合为 a a< 9 8 且 a≠0 0 # . * 15. 解： （ 1 ） ∵2∈A ， ∴ 1 1-2 =-1∈A. ∵-1∈A ， ∴ 1 1- （ -1 ） = 1 2 ∈A. ∵ 1 2 ∈A ， ∴ 1 1- 1 2 =2∈A. ∴A 中至少还有两个元素为 -1 ， 1 2 . （ 2 ） A 不是双元素集合 . 理由如下： ∵x∈A ， ∴ 1 1-x ∈A ， 1 1- 1 1-x = x-1 x ∈A. 由于 x≠1 且 x≠0 ， x 2 -x+1= x- 1 2 2 & 2 + 3 4 >0 ， 则 x 2 - x+1≠0 ， 则 x （ 1-x ） ≠1 ， 可得 x≠ 1 1-x ， 由 x 2 -2x+1≠-x ， 即（ x- 1 ） 2 ≠-x ， 可得 1 1-x ≠ x-1 x ， 故集合 A 中至少有三个元素， ∴ 集合 A 不是双元素 集合 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 A 中有三个元素为 x ， 1 1-x ， x-1 x （ x≠1 且 x≠0 ）， 且 x · 1 1-x · x-1 x =-1. 设 A 中有一个元素为 m ， 则 1 1-m ∈A ， m-1 m ∈A ， 且 m · 1 1-m · m-1 m =-1 ， ∴A= x ， 1 1-x ， x-1 x ， m ， 1 1-m ， m-1 m 0 m ， 且集合 A 中所有元素之积为 1. 由于 A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设 1 1-x 2 & 2 =1 或 x-1 x 2 & 2 =1 ， 解得 x=0 （舍去） 或 x=2 或 x= 1 2 . 此时， 2∈A ， -1∈A ， 1 2 ∈A ， 由题意得 1 2 +2-1+m+ 1 1-m + m-1 m = 14 3 ， 整理得 6m 3 - 19m 2 +m+6=0 ， 即（ m-3 ）（ 2m+1 ）（ 3m-2 ） =0 ， 解得 m=- 1 2 或 3 或 2 3 ， ∴A= 1 2 ， 2 ， -1 ， - 1 2 ， 3 ， 2 3 0 m . 1.1.2 集合的基本关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵M= x x= n+2 6 ， n∈Z 0 m ， N= x x= 2n+1 6 ， 0 n∈ m Z ， n+2 表示整数， 2n+1 表示奇数， 故 N哿M ， 故 选 C. 变式训练 2 32 【解析】 集合 M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {5} ， {1 ， 2} ， {1 ， 5} ， {2 ， 5} ， {1 ， 2 ， 5} ， ∴ 集合 M 的所 有子集的元素之和为（ 1+2+5 ） ×4=32. 变式训练 3 C 【解析】 A={x｜x 2 +x=0 ， x∈R}={-1 ， 0} ， ∴ 集合 A 的 非空子集个数为 2 2 -1=3 ， 故选 C. 变式训练 4 ACD 【解析】 A ， C 选项由集合与集合间的关系可 知， 均正确； B 选项由于符号 ∈ 用于元素与集合间， 故 选项错误； D 选项由元素与集合间的关系即可判断正确 . 故选 ACD. 变式训练 5 BD 【解析】 M={ （ -5 ， 3 ） } 是点集， N={-5 ， 3} 是数 集， M≠N ， 故 A 错误； M={1 ， -3} ， N={-3 ， 1} ， M=N ， 故 B 正确； M=芰 ， N={0} ， M≠N ， 故 C 错误； M={x｜x 2 - 3x+2=0}={1 ， 2} ， M=N ， 故 D 正确 . 故选 BD. 随堂练习 1. C 【解析】 由题意可得集合 M 为 {1 ， 2 ， 3} 的子 集， ∴M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {3} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {2 ， 3} ， {1 ， 2 ， 3} ， ∴ 共有 8 个 . 故选 C. 2. C 【解析】 { （ 1 ， 0 ） } 是由一个点（ 1 ， 0 ）构成的点集 合， ∴0埸{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 A 错误； 1 2 2 m 芫{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 B 错误； （ 1 ， 0 ） ∈{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 C 正确， D 错误 . 故选 C. 3. D 【解析】 由图可知， B哿A ， ∵A={1 ， 2 ， 3} ， 由 选项可知 {1 ， 3}哿A. 故选 D. 4. A 【解析】 集合 A={x|-1＜x＜2} ， 且 B哿A. 分析各 选项， 只有 {0 ， 1}哿A 满足题意 . 故选 A. 5. 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 【解析 】 集合 {0 ， 1} 的所有子集为 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 共 4 个 . 6. 4 【解 析 】 ∵ { 1}哿A哿{1 ， 2 ， 3} ， ∴A ={1} 或 {1 ， 2} 或 {1 ， 3} 或 {1 ， 2 ， 3} ， 故答案为 4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 空集的子集是空集， 故 ① 错误； 空集 只有一个子集， 就是它本身， 故 ② 错误； 空集是任何非 空集合的真子集， 故 ③ 错误； 空集是任何非空集合的真 子集， 故 ④ 正确 . 故选 B. 2. B 【解析】 N={-1 ， 0} ， ∴N芴M ， 故选 B. 27 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3. D 【解析】 M={1 ， 2} ， N={1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 由 M哿 P哿N 可知， 集合 P 中一定含有 1 ， 2 ， 可能不含其他元 素， 或是含有 3 ， 4 中的部分或全部， ∴P 的个数与集合 {3 ， 4} 的子集个数相同， ∴ 有 2 2 =4 （个） . 故选 D. 4. C 【解析】 M= x x= k 2 - 1 3 ， k∈Z # $ = x x= 3k-2 6 ， ， k∈ ∈ Z ， P= y y= l 2 + 1 6 ， l∈Z ， ∈ = y y= 3l+1 6 ， l∈Z ， ∈ ， S= z z=m+ 1 6 ， ， m∈Z ∈ = z z= 6m+1 6 ， m∈Z ， ∈ . 集合 M ， P 都 表示被 3 除余 1 的数与 6 的商， ∴M=P ； 对于集合 P ， 当 l =2n ， n∈Z 时 ， P =S ， 当 l =2n -1 ， n ∈Z 时 ， P = z z= 6l-2 6 ， ∈ ， P 中存在不在 S 中的元素， ∴S芴P. 故选 C. 5. D 【解析】 集合 {x∈R｜x 2 -4=0} 中含有元素 2 ， -2 ， 故 A 错误； 集合 {x｜x>9 或 x<3} 表示大于 9 ， 小于 3 的所 有实数 ， 故 B 错误 ； 集合 { （ x ， y ） ｜x 2 +y 2 =0} 中含有点 （ 0 ， 0 ）， 故 C 错误； 集合 {x｜x>9 且 x<3} 中不含有任何元 素， 故为空集 . 故选 D. 6. B 【解析】 ∵A={1 ， 2} ， B={x｜x 2 - （ a+1 ） x+a＝0 ， a∈ R} ， 由 A=B ， 可得 1 ， 2 是方程 x 2 - （ a+1 ） x+a=0 的两根， 由韦达定理可得 1+2=a+1 ， 1×2=a ， ， 即 a=2 ， 故选 B. 7. B芴A 【解析】 B={ （ x ， y ） ｜y=2x ， x≠0} ， ∴B芴A. 8. -1 ， 0 ， 1 【解析】 集合 A 有且只有两个子集， 则 集合 A 中只有一个元素， 即方程 ax 2 +2x+a=0 只有一个 解 ， 当 a=0 时 ， 2x=0 ， x=0 ， 只有一个解 . 当 a≠0 时 ， Δ=4-4a 2 =0 ， a=±1. ∴a 的取值为 -1 ， 0 ， 1. 9. （ -∞ ， -4 ］ 【解析】 ∵B= x x< p 4 ， $ ， 又 ∵B哿A ， ∴ p 4 ≤-1 ， 解得 p≤-4. 10. 解： ① 若 B=芰 ， 则 2a-3≥a-2 ， 即 a≥1 ， 满足题意 . ② 若 B≠芰 ， 由 A勐B ， 得 a<1 ， 2a-3≥1 ， a-2≤2 2 / / / . / / / 0 ， a 无解 . 综上所述， 实数 a 的取值范围是 {a｜a≥1}. 提升练习 11. BCD 【解析】 芰 不是 {{芰}} 的元素， 故 A 错误； 芰 是任何集合的子集， ∴芰 是 {{芰}} 的子集， 故 B 正确； 芰 是 {芰} 的元素， 故 C 正确； 芰 是任何非空集合的真子 集， {芰} 有一个元素 芰 ， 是非空集合， 故 D 正确 . 故选 BCD. 12. AC 【解析】 当 x 取 ±1 时， 平方后为 1 ， ∴A ， C 正确 . 4 的平方等于 16 ， 不在集合中， ∴B ， D 不满足要 求 . 故选 AC. 13. 6 {0 ， 1 ， 2 ， 3} （答案不唯一） 【解析】 ∵ 集合 S={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 根据题意知， 只要有元素与之 相邻， 则该元素就不是孤立元素， ∴S 的无 “孤立元素” 的含四个元素的子集有 {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， {0 ， 1 ， 3 ， 4} ， { 0 ， 1 ， 4 ， 5} ， { 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， { 1 ， 2 ， 4 ， 5} ， {2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 共 6 个 . 14. {t｜1<t<2} 【解析】 由题意， 可知集合 A={x｜-t<x< 1 ， t>0} ， 集合 B={x ｜-1<x<2} ， ∵ 集合 A ， B 构成 “偏 食”， ∴ -t<-1<t ， 2> ， t 或 -t<2<t ， -1<-t ， ， 解不等式组 -t<-1<t ， 2>t ， ， 得 1<t<2 ； 解不等式组 -t<2<t ， -1<-t ， ， 得 t>2 ， t<1 ， ， 此时无解 . ∴ 实数 t 的取值范围为 1<t<2. 15. 解： 若 B=芰 ， 满足 B哿A ， 方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 - 1=0 无实数根， ∴Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） <0 ， 解得 a<-1. 若 B≠芰 ， 由 B哿A ， 得 B={0} 或 {-4} 或 {-4 ， 0}. 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 有两个相等实数根， 则 Δ= ［ 2 （ a+1 ）］ 2 -4 （ a 2 -1 ） =0 ， 即 a=-1 ， 此时 B={0} ， 满足题意 . 当方程 x 2 +2 （ a+1 ） x+a 2 -1=0 的两实数根为 0 ， -4 ， 则有 x （ x+4 ） =0 ， 即 x 2 +4x=0 ， ∴ 2 （ a+1 ） =4 ， a 2 -1=0 ， ， a=1. 综上所述， 实数 a 的取值范围为（ -∞ ， -1 ］ ∪{1} . 1.1.3 集合的基本运算 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 由题意， 全集 U=R ， 集合 A={x｜-1≤ x≤2 或 4<x<6} ， 集合 B={x｜1≤x<5}. ∴ U A={x｜x<-1 或 2< x≤4 或 x≥6} ， U B={x｜x≥5 或 x<1} ， ∴A∩ （ U B ） ={x｜-1≤x<1 或 5≤x<6} ， （ U A ） ∪B={x｜x<-1 或 1≤x<5 或 x≥6} ， U （ U B ） = B={x｜1≤x<5} . 故选 ABD. 变式训练 2 B 【解析】 由图形知， 区域 Ⅱ 表示元素在集合 A 中， 且不在集合 B 中， 故区域 Ⅱ 表示集合 A∩ （ U B ） . 故选 B. 变式训练 3 解： （ 1 ） ∵-3∈A∩B ， ∴-3∈B. 若 a-4=-3 ， 则 a= 1 ， 此时集合 A 中， 2a-1=a 2 =1 ， 不符合题意； 若 2-a=-3 ， 则 a=5 ， 此时 A={-3 ， 9 ， 25} ， B={1 ， -3 ， 9} ， A∩B= {-3 ， 9} ， 符合题意 . 综上， a=5. （ 2 ） 若 A∩B={9} ， 则 9∈A. 若 2a-1=9 ， 则 a=5 ， 由 （ 1 ） 知 A∩B={-3 ， 9} ， 不符合题意 . 若 a 2 =9 ， 则 a=±3. 当 a=3 时， 集合 B 中 a-4=2-a=-1 ， 不符合题意 . 当 a=-3 时， A={-3 ， -7 ， 9} ， B={-7 ， 5 ， 9} ， 此时 A∩B={-7 ， 9} ， 不符合题意 . 因此， 不存在满足条件的实数 a. 变式训练 4 8 【解析】 由题意， 赞 成 A 的人数为 30 ， 赞成 B 的人数为 33 ， 设对 A ， B 都赞成的学生数为 x ， 则 对 A ， B 都不赞成的学生 A B x 1 3 x+1 30-x 33-x 变式训练 4 答图 28