1.1.1 集合及其表示方法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 学 学 习 目 标 1. 通过实例， 了解集合的含义， 理解元 素与集合之间的关系， 了解空集、 集合相等 的含义 . 2. 掌握集合中元素的特点 . 3. 能用自然语言、 图形语言、 符号语言 刻画集合， 能选择列举法或描述法表示不同 的集合 . 4. 掌握集合的分类与几种常见数集的表 示方法 . 5. 理解区间的概念及其表示方法， 会用 区间表示实数集 . 要 点 精 析 要点 1 集合与元素的相关概念 1. 集合的概念 一般地， 把一些能够确定的、 不同的对 象汇集在一起， 就说由这些对象组成一个集 合 （有时简称为集）， 组成集合的每个对象 都是这个集合的元素 . 集合通常用英文大写字母 A ， B ， C ， … 表示， 集合的元素通常用英文小写字母 a ， b ， c ， …表示 . 思考 你能举出一个集合的例子吗 ？ 并指出它的元素 . 2. 元素与集合的关系 思考 举出一个集合的例子， 你能用 符号表示某一个对象与你所举的集合之间 的关系吗？ 3. 集合的分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两 类： 含有有限个元素的集合称为有限集， 含 有无限个元素的集合称为无限集 . 一般地， 我们把不含任何元素的集合称 为空集， 记作 芰. 注： 0埸芰. 思考 你能举出一个有限集、 一个无 限集的例子吗？ 例 1 下列各组对象能否构成集合？ 若 能， 请指出它们是有限集还是无限集 . ① 比较接近 1 的正数的全体； ② 最小的自然数； 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集 合 1.1.1 集合及其表示方法 关系 语言表达 符号 读法 属于 a 是集合 A 的元素 a∈A a 属于 A 不属于 a 不是集合 A 的元素 a埸A a 不属于 A 1 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ③ 在平面直角坐标系中所有第三象限 的点； ④ 小于 18 的， 既是正奇数又是质数的数； ⑤ 在实数范围内方程组 x 2 -x+1=0 ， x+y= = 1 的 解的全体 . 分析 根据集合的定义来判断对象能 否确定一个集合， 再根据描述来判断集合 中元素的个数 . 解： 对于 ① ， “比较接近 1 ” 的判断标 准不明确， 故不能构成集合； 对于 ②③④⑤ ， 都能构成集合， 其中 ② ④⑤ 是有限集， ③ 是无限集 . 变式训练 1 下列各组对象能否构成集合？ 若能， 请 指出它们是有限集还是无限集 . （ 1 ） 接近 3 姨 的实数； （ 2 ） 方程 x 2 -2x-3=0 的所有解； （ 3 ） 小于 1 500 的正奇数 . 要点 2 集合的元素的三个特征 集合的元素具有以下特点： （ 1 ） 确定性： 集合的元素必须是确定的； （ 2 ） 互异性： 对于一个给定的集合， 集 合中的元素一定是不同的； （ 3 ） 无序性 ： 集合中的元素可以任意 排列 . 思考 关于集合元素的三个特征， 你 能举出正反两方面的例子吗？ 例 2 （多选题） 下列说法正确的有 （ ） A. 不等于 3 的所有奇数可以组成一个 集合 B. 高一年级的所有高个子同学可以组 成一个集合 C. {1 ， 3 ， 5} 与 {3 ， 1 ， 5} 是不同的 集合 D. 由 0 ， 1 ， 1 ， 4 ， 0 组成的集合有三个 元素 分析 根据集合的元素的三个特征进 行判断 . 解析： 可根据集合中元素的确定性进行 判断， 故 A 正确； “高个子” 的判断标准不明确， 故不能 组成集合， 故 B 错误； 两个集合的元素完全相同， 由集合中元 素的无序性可知两个集合是相同的集合， 故 C 错误； 根据集合中元素的互异性可知 ， 由 0 ， 1 ， 1 ， 4 ， 0 组成的集合中只有 0 ， 1 ， 4 三个元素， 故 D 正确 . 故选 AD. 变式训练 2 下列说法： ① 高一年级所有的矮个女同 学可以组成一个集合； ② 所有的正偶数可以 2 第一章 集合与常用逻辑用语 学 组成一个集合； ③ {1 ， -1} 和 {x｜x 2 =1} 是相 同的集合； ④ {1 ， -1 ， ｜-1｜} 是含有三个元 素的集合 . 其中正确的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 要点 3 几种常见的数集及其记法 常见数集之间的关系： 思考 你能用文字语言来说明正整数 集合、 自然数集合、 整数集合、 有理数集 合、 实数集合之间的关系吗？ 例 3 （ 1 ） 下列所给关系： ①π∈R ； ② 3 姨 埸Q ； ③0∈N * ； ④0∈芰 ； ⑤｜- 3 姨 ｜∈ Z. 其中正确的有 （写出所有正确的 序号） . （ 2 ） 集合 A 中的元素 x 满足 6 6-x ∈N ， x∈N ， 则集合 A 中的元素为 . 分析 （ 1 ） 根据元素是否满足集合的 特征来判断； （ 2 ） 对分母进行分类讨论 . 解析： （ 1 ） ①② 正确， ③④⑤ 错误 . （ 2 ） ∵ 6 6-x ∈N ， x∈N ， ∴6-x 应该是 6 的正约数， ∴6-x=1 或 6-x=2 或 6-x=3 或 6-x=6 ， ∴x=5 或 4 或 3 或 0 ， ∴A 中元素为 0 ， 3 ， 4 ， 5. 变式训练 3 下列关系： ①0埸N ； ②-3∈Z ； ③- 3 姨 ∈Q ； ④-1埸N. 其中正确的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 要点 4 集合的表示方法 1. 列举法 把集合中的元素一一列举出来 （相邻元 素之间用逗号分隔）， 并写在大括号内， 以 此来表示集合的方法称为列举法 . 注： ① 列举法表示集合， 一般不考虑顺 序； ② 有限集可用列举法表示， 有规律的无 限集也可以用列举法表示， 可按照规律列 出几个元素作为代表， 其他元素用省略号 表示 . 思考 你能举出一个用列举法表示的 集合吗？ 2. 描述法 一般地， 如果属于集合 A 的任意一个元 素 x 都具有性质 p （ x ）， 而不属于集合 A 的元 素都不具有这个性质， 则性质 p （ x ） 称为集 合 A 的一个特征性质， 此时集合 A 可以用 它的特征性质 p （ x ）表示为 {x｜p （ x ） }. 这种表示 集合的方法， 称为特征性质描述法， 简称为 集合 意义 记法 自然数集 所有非负整数组成的集合 N 正整数集 在自然数集 N 中， 去掉元 素 0 之后的集合 N + 或 N * 整数集 所有整数组成的集合 Z 有理数集 所有有理数组成的集合 Q 实数集 所有实数组成的集合 R ' ' ' ' & ' ' ' ' ( 有理 数集 Q 整数集 Z ' ' ' ' & ' ' ' ' ( Z 正整数集 N + 或 N * {0} 分数集 Z 自然数集 N 实数 集 R 负整数集 无理数集 3 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 描述法 . 注： 集合 {x｜p （ x ） } 中所有在另一个集合 I 中的元素组成的集合可表示为 {x∈I｜p （ x ） }. 思考 你能举出一个用描述法表示的 集合吗？ 例 4 用描述法表示下列集合： （ 1 ） 坐标不在第一、 三象限的点的集合； （ 2 ） 所有被 3 除余 1 的正整数的集合； （ 3 ） 使 y= 1 x 2 +x-6 有意义的实数 x 的集合； （ 4 ） B= 1 3 ， 2 4 ， 3 5 ， 4 6 ， 5 7 ， 6 8 " # . 分析 先弄清楚集合中代表元素是什 么， 元素所具有的特征是什么， 再用适当 的方式表示出特征性质 . 解： （ 1 ） { （ x ， y ） ｜xy≤0} . （ 2 ） {x｜x=3n+1 ， n∈N} . （ 3 ） {x ｜x 2 +x-6≠0} . （ 4 ） x x= n n+2 ， n∈N 且 1≤n≤6 6 # . 反思感悟 用描述法表示集合时， 要明确集合中 元素的公共属性， 即把握住集合的代表元 素以及元素的特征性质 . 变式训练 4 用描述法表示下列集合： （ 1 ） 第一象限点的集合； （ 2 ） 偶数集合； （ 3 ） 18 的正因数构成的集合 . 要点 5 区间及其表示 1. 区间的概念 设 a ， b 是两个实数， 如果 a<b ， 则： 集合 {x｜a≤x≤b} 可简写为［ a ， b ］， 并称 为闭区间； 集合 {x｜a<x<b} 可简写为（ a ， b ）， 并称为 开区间； 集合 {x ｜a≤x<b} 可简写为［ a ， b ）， 集合 {x｜a<x≤b} 可简写为（ a ， b ］， 并称为半开半闭 区间 . 这里的实数 a ， b 分别称为区间的左 、 右端点， b-a 称为区间的长度 . 注： 一般地， 区间的左端点的值小于右 端点的值 . 思考 你能各举出一个开区间、 一个 闭区间、 一个左开右闭区间、 一个左闭右 开区间的例子吗？ 2. 无穷大的概念 如果用 “ +∞ ” 表示 “正无穷大 ”， 用 “ -∞ ” 表示 “负无穷大”， 则： 实数集 R 可表示为区间（ -∞ ， +∞ ）； 集合 {x｜x≥a} 可表示为区间［ a ， +∞ ）， 集 合 {x｜x>a} 可表示为区间（ a ， +∞ ）； 集合 {x｜x≤a} 可表示为区间（ -∞ ， a ］， 集 合 {x｜x<a} 可表示为区间（ -∞ ， a ） . 注： 无穷大是一个符号， 不是一个数， 以 -∞ ， +∞ 为区间的一端时， 这一端必须用 小括号 . 思考 你能举出用 “ +∞ ” 表示的一个 左闭右开区间的例子吗？ 例 5 将下列集合用区间表示出来 : （ 1 ） {x｜-5≤2x+1≤1} ； 4 第一章 集合与常用逻辑用语 学 （ 2 ） {x｜ （ x+2 ）（ x-3 ） <0} ； （ 3 ） {y｜y=x 2 +2} ； （ 4 ） {x｜y=x 2 +2}. 分析 先根据集合的特征性质确定元 素的范围， 再根据区间的定义表示出来 . 解： （ 1 ） {x｜-5≤2x+1≤1}={x｜-3≤x≤0} ， 用区间表示为［ -3 ， 0 ］ . （ 2 ） {x｜ （ x+2 ）（ x-3 ） <0}={x｜-2<x<3} ， 用区 间表示为（ -2 ， 3 ） . （ 3 ） {y｜y=x 2 +2}={y｜y≥2} ， 用区间表示为 ［ 2 ， +∞ ） . （ 4 ） {x｜y=x 2 +2}={x｜x∈R} ， 用区间表示为 （ -∞ ， +∞ ） . 变式训练 5 将下列集合用区间表示出来： （ 1 ） {x｜｜x-1｜<2} ； （ 2 ） {x｜x 2 <4} ； （ 3 ） {x｜y=-x 2 } ； （ 4 ） {y｜y=-x 2 }. 数 学 文 化 例 中国古代重要的数学著作 《孙子算 经》 下卷有题： 今有物， 不知其数 . 三三数 之， 剩二； 五五数之， 剩三； 七七数之， 剩 二 . 问： 物几何？ 现有如下表示： 已知 A={x｜x=3n+2 ， n∈ N * } ， B={x｜x=5n+3 ， n∈N * } ， C={x｜x=7n+2 ， n∈ N * } ， 则 x∈A ， 且 x∈B ， 且 x∈C ， 则下列选 项中符合题意的整数 x 为 （ ） A. 8 B. 127 C. 37 D. 23 分析 将选项中的数字逐一代入集合 A ， B ， C 的表达式， 检验是否为集合 A ， B ， C 的元素， 即可选出正确选项 . 解析： ∵8=7×1+1 ， 则 8埸C ， 选项 A 错 误 . 127=3×42+1 ， 则 127埸A ， 选项 B 错误 . 37=3×12+1 ， 则 37埸A ， 选项 C 错误 . 23=3× 7+2 ， 故 23∈A ； 23=5×4+3 ， 故 x∈B ； 23= 7×3+2 ， 故 x∈C ， 选项 D 正确 . 故选 D. 5 参 考 答 案 1.1 集 合 1.1.1 集合及其表示方法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 接近 3 姨 的实数不具有确定性， 不能构 成集合 . （ 2 ） 解方程得 x=3 或 x=-1 ， 能构成集合， 是 有限集 . （ 3 ） 一个数是否为小于 1 500 的正奇数是确 定的， 能构成集合， 是有限集 . 变式训练 2 C 【解析】 “矮个” 不具有确定性， ∴① 说法错误； 一个数是否为 “正偶数” 是确定的， 可以组成一个集 合， ∴② 说法正确； 方程 x 2 =1 的解为 1 或 -1 ， 用列举法 表示集合 {x｜x 2 =1} 即为 {1 ， -1} ， ∴③ 说法正确； |-1|=1 ， 由集合元素互异性， ∴④ 说法错误 . 故选 C. 变式训练 3 C 【解析】 0 是自然数， ∴① 是错误的； -3 是整数， ∴② 是正确的； - 3 姨 是无理数， ∴③ 是错误的； -1 不是 自然数， ∴④ 是正确的 . 故选 C. 变式训练 4 解： （ 1 ） 第一象限点的横坐标和纵坐标都是正数， ∴ 集合表示为 { （ x ， y ） |x>0 ， y>0} . （ 2 ） 偶数能够被 2 整 除， ∴ 偶数集合表示为 {x|x=2n ， n∈Z} . （ 3 ） 由因数的 定义得集合为 x 18 x ∈N # $ . 变式训练 5 解： （ 1 ） 解不等式得 -1<x<3 ， ∴ 表示为 （ -1 ， 3 ） . （ 2 ） 解不等式得 -2<x<2 ， ∴ 表示为 （ -2 ， 2 ） . （ 3 ） y=-x 2 中 x∈R ， ∴ 表示为 （ -∞ ， +∞ ） . （ 4 ） y=-x 2 中 y≤0 ， ∴ 表示为 （ -∞ ， 0 ］ . 随堂练习 1. B 【解析 】 根据集合中的元素具有确定性知 ， “某中学所有聪明的学生 ” “中国各地的美丽乡村 ” “中国篮球协会中所有优秀的球员” 都不能构成集合， “不小于 5 的所有自然数” 具有确定性， 可以构成集合 . 故选 B. 2. C 【解析】 由题意， A茚B= {2 ， 3 ， 6 ， 9 ， 8 ， 12} ， 则所有元素之和为 2+3+6+9+8+12=40. 故选 C. 3. D 【解析】 由题意， 集合 M={a ， b ， c} 中， 根据 集合元素的互异性， 可得 a ， b ， c 互不相等， 故 △ABC 一定不是等腰三角形， ∴△ABC 不可能是等腰直角三角 形 . 故选 D. 4. BD 【解析】 {x｜x=2k-1 ， k∈N}={-1 ， 1 ， 3 ， … } ， 故 A 不 符 合 题 意 ； { x ｜x =2k +1 ， k ∈N ， k ≥2} = {5 ， 7 ， 9 ， … } ， 故 B 符合题意 ； {x ｜x=2k+3 ， k∈N}= {3 ， 5 ， 7 ， … } ， 故 C 不符合题意； {x｜x=2k+5 ， k∈N}= {5 ， 7 ， 9 ， … } ， 故 D 符合题意 . 故选 BD. 5. {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 【解析 】 ∵A={x∈N ｜1≤x<6} ， ∴A={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} . 6. {-2 ， 0 ， 2} 【解析】 当 a>0 ， b>0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = a a + b b =2 ； 当 a>0 ， b<0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = a a - b b =0 ； 当 a<0 ， b>0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b =- a a + b b =0 ； 当 a<0 ， b<0 时， ｜a｜ a + ｜b｜ b = - a a - b b =-2. 故答案为 {-2 ， 0 ， 2} . 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 某班年龄较小的同学， 其中 “较小” 标准不确定， 即不满足集合中元素的确定性， 故 A 不能 组成集合； 二元一次方程 x+y=1 的解符合集合中元素的 确定性、 互异性以及无序性， 故 B 能组成集合； 我国古 代的四大发明包括造纸术、 火药、 印刷术、 指南针， 符 合集合中元素的确定性、 互异性以及无序性， 故 C 能组成 集合； 平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素 的确定性、 互异性以及无序性， 故能组成集合 . 故选 A. 2. A 【解析 】 ∵A={x ｜x>1} ， ∴2∈A ， 3∈A ， 1埸A ， 0埸A. 故选 A. 3. B 【解析】 A 中两个集合的元素不相同， 点的坐 标不同， B 中两个集合的元素相同， C 中 M 的元素为 点， N 的元素为数， D 中 M 的元素为数， N 的元素为 点， 故 A ， C ， D 都不正确 . 故选 B. 4. C 【解析 】 易知 a≠0 ， ∵ a ， b a ， ， , 1 ={a 2 ， a+b ， 0} ， ∴ b a =0 ， 即 b=0 ， ∴{a ， 0 ， 1}={a 2 ， a ， 0} . ∴a 2 =1 ， 解 得 a=-1 或 a=1. 当 a=1 时， 集合为 {1 ， 0 ， 1} ， 不符合集 合中元素的互异性 ， 故舍去 ； 当 a=-1 时 ， 集合为 {-1 ， 0 ， 1} . ∴a=-1 ， b=0. ∴a 2 021 +b 2 020 = （ -1 ） 2 021 +0 2 020 =-1. 故选 C. 5. AC 【解析】 ∵ 由 a 2 ， 2-a ， 4 组成一个集合 A ， 且 第一章 集合与常用逻辑用语 参 考 答 案 25 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 集合 A 中含有三个元素， ∴ 只需 a 2 ≠2-a ， a 2 ≠4 ， 2-a≠4 4 $ $ $ # $ $ $ % ， 解得 a≠±2 且 a≠1 ， 因此排除 B ， D. 故选 AC. 6. B 【解析】 由 2 （ a+b 2 姨 ） =p+q 2 姨 ， 得 2a=p ， q=2b ， 一一对应， 则 {y｜y=2x ， x∈X}=X ， 故 ① 正确； 由 a+b 2 姨 2 姨 =b+ 2 姨 a 2 =p+q 2 姨 ， 得 p=b ， q= a 2 ， 一一对 应， 则 y y= x 2 姨 ， x∈X X ) =X ， 故 ② 正确； 由 1 a+b 2 姨 = a a 2 -2b 2 + 2 姨 - b a 2 -2b 2 2 + =p+q 2 姨 ， 得 p= a a 2 -2b 2 ， q= -b a 2 -2b 2 ， 一一对应， 则 y y= 1 x ， x∈X X - =X ， 故 ③ 正确； -1- 2 姨 ∈X ， 但方程 -1- 2 姨 =x 2 无解， 则 {y｜y=x 2 ， x∈ X} 与 X 不相同， 故 ④ 错误 . 故选 B. 7. ［ -3 ， +∞ ） 【解析】 由区间定义可以将集合表示 为 ［ -3 ， +∞ ） . 8. 18 【解析 】 当 x=0 ， y=2 时 ， z=0 ； 当 x=1 ， y=2 时， z=6 ； 当 x=0 ， y=3 时， z=0 ； 当 x=1 ， y=3 时， z=12. ∴A⊙B 所有元素的和为 0+6+12=18. 9. {-3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9} 【解析 】 由题意 ， 集合 P= x 6 x-3 ∈Z 且 x∈Z X ) ， 可得 6 x-3 ∈Z ， 则 -6≤x- 3≤6 ， 解得 -3≤x≤9 且 x∈Z ， 当 x=-3 时， 6 -3-3 =-1∈ Z ， 满足题意 ； 当 x=-2 时， 6 -2-3 =- 6 5 埸Z ， 不满足题 意； 当 x=-1 时， 6 -1-3 =- 3 2 埸Z ， 不满足题意； 当 x=0 时， 6 0-3 =-2∈Z ， 满足题意； 当 x=1 时， 6 1-3 =-3∈Z ， 满足题意； 当 x=2 时 ， 6 2-3 =-6∈Z ， 满足题意； 当 x= 3 时， 6 3-3 ， 此时分母为零， 不满足题意； 当 x=4 时 ， 6 4-3 =6∈Z ， 满足题意； 当 x=5 时， 6 5-3 =3∈Z ， 满足题 意 ； 当 x=6 时 ， 6 6-3 =2∈Z ， 满足题意 ； 当 x=7 时 ， 6 7-3 = 3 2 埸Z ， 不满足题意 ； 当 x=8 时 ， 6 8-3 = 6 5 埸Z ， 不满足题意； 当 x=9 时， 6 9-3 =1∈Z ， 满足题意 . 综上可 得， 集合 P={-3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}. 10. （ -∞ ， 1 ］ 1 【解析 】 由 1∈A 得 ， x 2 +a=1 ， ∴a=1-x 2 ≤1 ； 由 （ 1 ， 2 ） ∈A 得， 2=1 2 +a ， ∴a=1. 提升练习 11. B 【解析】 {0} 表示元素为 0 的集合， 而 0 只表 示一个元素， 故 ① 错误； ② 符合集合中元素的无序性， 故 ② 正确； 当 x≠0 时所含元素最多， 此时 x ， -x ， ｜x｜ ， x 2 姨 ， （ x 2 姨 ） 2 ， - x 3 3 姨 分别可化为 x ， -x ， x 2 ， ∴ 最多可含有三 个元素， 故③ 正确； ④ 中元素有无穷多个， 不能一一列 举 ， 故 不 能 用 列 举 法 表 示 ， 故 ④ 错 误 ； 集 合 A = x x= 1 n ， n∈N + X ) 是无限集 ， 故 ⑤ 错误 . ∴ 只有 ②③ 正 确， 故选 B. 12. AD 【解析】 ∵P 中至少含有两个元素 m ， n ， 若 m=0 ， 则 n≠0 ， 则 n n =1∈P. 若 m≠0 ， 则 m-m=0∈P ， m m =1∈P ， ∴P 中必有 0 ， 1 ， ∴A 正确 . ∵1∈Z ， 2∈Z ， 而 1 2 埸Z ， ∴ 整数集不是数域， ∴B 错误 . 令数集 M=Q∪ { 3 姨 } ， 则 1∈M ， 但 1+ 3 姨 埸M ， ∴C 错误 . 数域中有 1 ， 一定有 1＋1＝2 ， 1＋2＝3 ， 递推下去， 可知数域必为无 限集， ∴D 正确 . 故选 AD. * 13. BC 【解析 】 ∵ 非空集合 S={x ｜m≤x≤n} 满足 ： 当 x∈S 时， 有 x 2 ∈S. ∴ 当 m∈S 时， 有 m 2 ∈S ， 即 m 2 ≥ m ， 解得 m≥1 或 m≤0 ； 同理 ， 当 n∈S 时 ， 有 n 2 ∈S ， 即 n 2 ≤n ， 解得 0≤n≤1. m=1 ， 必有 m 2 =1∈S ， 故必有 n≥m ， 0≤n≤1 X ， 解得 m=n=1 ， ∴S={1} ， 故 A 错误； m=- 1 2 ， 必 有 m 2 = 1 4 ∈S ， 故必有 n≥m 2 ， 0≤n≤1 X ， 解得 1 4 ≤n≤1 ， 故 B 正确； 若 n= 1 2 ， 有 m≤ 1 2 ， m≤m 2 ， m 2 ≤ 1 2 2 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， 解得 - 2 姨 2 ≤m≤0 ， 故 C 正确； 若 n=1 ， 有 m≤1 ， m≤m 2 ， m 2 ≤1 2 $ $ $ # $ $ $ % ， 解得 -1≤m≤0 或 m=1 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 14. 解： 若选 ① ， A 是空集， 则关于 x 的方程 ax 2 - 3x+2=0 无解， 此时 a≠0 ， Δ=9-8a<0 ， 即 a> 9 8 ， ∴a 的取值范围为 9 8 ， + 2 + ∞ . 若选 ② ， A 中只有一个元素， 则方程 ax 2 -3x+2=0 有且只有一个实数根 . 当 a=0 时， 方程为一元一次方程， 满足条件 . 当 a≠0 时， 方程有两个相等的实数根， 此时 Δ=9- 8a=0 ， 解得 a= 9 8 ， ∴a=0 或 a= 9 8 . ∴ 实数 a 的值组成的集合为 0 ， 9 8 X - . 若选 ③ ， A 中有两个元素， 则关于 x 的方程 ax 2 -3x+ 2=0 有两个不相等的实数根， 26 参 考 答 案 ∴a≠0 ， 且 Δ= （ -3 ） 2 -8a>0 ， 解得 a< 9 8 且 a≠0 ， ∴ 实数 a 的值组成的集合为 a a< 9 8 且 a≠0 0 # . * 15. 解： （ 1 ） ∵2∈A ， ∴ 1 1-2 =-1∈A. ∵-1∈A ， ∴ 1 1- （ -1 ） = 1 2 ∈A. ∵ 1 2 ∈A ， ∴ 1 1- 1 2 =2∈A. ∴A 中至少还有两个元素为 -1 ， 1 2 . （ 2 ） A 不是双元素集合 . 理由如下： ∵x∈A ， ∴ 1 1-x ∈A ， 1 1- 1 1-x = x-1 x ∈A. 由于 x≠1 且 x≠0 ， x 2 -x+1= x- 1 2 2 & 2 + 3 4 >0 ， 则 x 2 - x+1≠0 ， 则 x （ 1-x ） ≠1 ， 可得 x≠ 1 1-x ， 由 x 2 -2x+1≠-x ， 即（ x- 1 ） 2 ≠-x ， 可得 1 1-x ≠ x-1 x ， 故集合 A 中至少有三个元素， ∴ 集合 A 不是双元素 集合 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知 A 中有三个元素为 x ， 1 1-x ， x-1 x （ x≠1 且 x≠0 ）， 且 x · 1 1-x · x-1 x =-1. 设 A 中有一个元素为 m ， 则 1 1-m ∈A ， m-1 m ∈A ， 且 m · 1 1-m · m-1 m =-1 ， ∴A= x ， 1 1-x ， x-1 x ， m ， 1 1-m ， m-1 m 0 m ， 且集合 A 中所有元素之积为 1. 由于 A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设 1 1-x 2 & 2 =1 或 x-1 x 2 & 2 =1 ， 解得 x=0 （舍去） 或 x=2 或 x= 1 2 . 此时， 2∈A ， -1∈A ， 1 2 ∈A ， 由题意得 1 2 +2-1+m+ 1 1-m + m-1 m = 14 3 ， 整理得 6m 3 - 19m 2 +m+6=0 ， 即（ m-3 ）（ 2m+1 ）（ 3m-2 ） =0 ， 解得 m=- 1 2 或 3 或 2 3 ， ∴A= 1 2 ， 2 ， -1 ， - 1 2 ， 3 ， 2 3 0 m . 1.1.2 集合的基本关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 ∵M= x x= n+2 6 ， n∈Z 0 m ， N= x x= 2n+1 6 ， 0 n∈ m Z ， n+2 表示整数， 2n+1 表示奇数， 故 N哿M ， 故 选 C. 变式训练 2 32 【解析】 集合 M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {5} ， {1 ， 2} ， {1 ， 5} ， {2 ， 5} ， {1 ， 2 ， 5} ， ∴ 集合 M 的所 有子集的元素之和为（ 1+2+5 ） ×4=32. 变式训练 3 C 【解析】 A={x｜x 2 +x=0 ， x∈R}={-1 ， 0} ， ∴ 集合 A 的 非空子集个数为 2 2 -1=3 ， 故选 C. 变式训练 4 ACD 【解析】 A ， C 选项由集合与集合间的关系可 知， 均正确； B 选项由于符号 ∈ 用于元素与集合间， 故 选项错误； D 选项由元素与集合间的关系即可判断正确 . 故选 ACD. 变式训练 5 BD 【解析】 M={ （ -5 ， 3 ） } 是点集， N={-5 ， 3} 是数 集， M≠N ， 故 A 错误； M={1 ， -3} ， N={-3 ， 1} ， M=N ， 故 B 正确； M=芰 ， N={0} ， M≠N ， 故 C 错误； M={x｜x 2 - 3x+2=0}={1 ， 2} ， M=N ， 故 D 正确 . 故选 BD. 随堂练习 1. C 【解析】 由题意可得集合 M 为 {1 ， 2 ， 3} 的子 集， ∴M 的子集有 芰 ， {1} ， {2} ， {3} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {2 ， 3} ， {1 ， 2 ， 3} ， ∴ 共有 8 个 . 故选 C. 2. C 【解析】 { （ 1 ， 0 ） } 是由一个点（ 1 ， 0 ）构成的点集 合， ∴0埸{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 A 错误； 1 2 2 m 芫{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 B 错误； （ 1 ， 0 ） ∈{ （ 1 ， 0 ） } ， 故 C 正确， D 错误 . 故选 C. 3. D 【解析】 由图可知， B哿A ， ∵A={1 ， 2 ， 3} ， 由 选项可知 {1 ， 3}哿A. 故选 D. 4. A 【解析】 集合 A={x|-1＜x＜2} ， 且 B哿A. 分析各 选项， 只有 {0 ， 1}哿A 满足题意 . 故选 A. 5. 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 【解析 】 集合 {0 ， 1} 的所有子集为 芰 ， {0} ， {1} ， {0 ， 1} 共 4 个 . 6. 4 【解 析 】 ∵ { 1}哿A哿{1 ， 2 ， 3} ， ∴A ={1} 或 {1 ， 2} 或 {1 ， 3} 或 {1 ， 2 ， 3} ， 故答案为 4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 空集的子集是空集， 故 ① 错误； 空集 只有一个子集， 就是它本身， 故 ② 错误； 空集是任何非 空集合的真子集， 故 ③ 错误； 空集是任何非空集合的真 子集， 故 ④ 正确 . 故选 B. 2. B 【解析】 N={-1 ， 0} ， ∴N芴M ， 故选 B. 27