精品解析：云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷

祥云县第一中学2025届高三年级上学期见面考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求集合，再求集合的混合运算. 【详解】，， 所以. 故选：A 2. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算结合共轭复数求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 3. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解． 【详解】由已知，， 在上的投影向量为， 故选：B． 5. 从甲队30人､乙队20人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.82 D. 0.74 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可. 【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人， 这人答对题目的平均数为， 所以这人答对题目的方差为， 故选：C. 6. 直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解． 【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，函数图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象， 所以的对称中心为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A 7. 一个长为，宽为的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为 ，，， ，依次沿 ，，，，折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，，， 取中点，连接，又，所以， 且，， 则，所以，且，平面， 所以平面， 则. 故选：B 8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 关于点中心对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项. 【详解】， ， 函数的最小正周期，故A错误； ，所以函数图象关于点中心对称，故B正确； ，所以函数的最大值为，故C正确； 由，，函数在区间单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数的正负来分析原函数的单调性，从而解决问题，对于奇偶性判断，首先看定义域，再验证恒等式是否成立，就可作出判断. 【详解】对于A，，当时，，， 所以，故在上递减，故A是错误的； 对于B，当时，，故B是正确的； 对于C，当时，，，，所以， 故在上递增，又由在上递减，所以的极小值为，故C是正确的； 对于D，由于的定义域为，定义域不关于原点对称，故D是错误的； 故选：BC． 11. 抛物线的焦点为，经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，分别过点､点作抛物线的切线，两切线相交于点，则（ ） A. 当时， B. 面积的最小值为2 C. 点在一条定直线上 D. 设直线的倾斜角为为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用韦达定理结合弦长公式求解出对应的倾斜角即可. 选项B：利用求解出的面积有最小值即可. 选项C:利用导数结合切线方程求解出点的坐标满足的方程求解出相应的定点. 选项D：分情况讨论，找到倾斜角和的关系求解即可. 【详解】易知抛物线的方程为，直线的方程为， 将代入，整理得，设， 则， 所以 ， 由，得，所以，所以或，所以A不正确； 因为，当且仅当时，的面积有最小值2，故B正确； 抛物线的方程为，求导得，切线的方程为， 切线的方程为，联立可得点的坐标为， 故点在一条定直线上，所以C正确； 当时，显然； 当时，因为，所以，这说明直线与直线互相垂直，所以.所以D正确， 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等差数列，，，构成等比数列，则的值是______．（任写出一个即可） 【答案】1或（任写一个即正确） 【解析】 【分析】设公差为，依题意有，求得或，可求的值. 【详解】设等差数列公差为，由，，构成等比数列，则有， 即，解得或， 时，；时，. 故答案为：1或（任写一个即正确） 13. 已知，且，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角的取值范围，得到，再利用倍角公式把转化为齐次式求解. 【详解】由，得， 即，又，所以， 从而． 故答案为：3 14. 已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为______. 【答案】 ①. 256 ②. 【解析】 【分析】利用分步计数原理求解第一空即可，求解出每一个排列的均值再求平均值即可. 【详解】由题意可知，的不同排列有个； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，所有的256个的排列所得的的平均值为：. 故答案为：256，. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的极值. 【答案】（1） （2）极大值，无极小值 【解析】 【分析】（1）求出时函数的导数，可求得在点处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程. （2）求时函数的导数，对通分后的函数式局部二次求导来判断导函数的符号，从而确定原函数的单调性，结合，得出极值. 【小问1详解】 由得，， ， ， 又， 在处的切线方程为. 【小问2详解】 由得，可知函数的定义域为， , 设， ， 在上单调递减， 当时，，此时，故在上单调递增， 当时，，此时，故在上单调递减， 又， 在处有极大值，函数无极小值. 17. 如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，且，在棱上，且满足，连接． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形重心定理结合已知证得，再利用线面平行的判定推理作答. （2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦作答. 【小问1详解】 在三棱锥中，，分别为，的中点，则是的重心，而， 则，连接，如图，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为与都为等边三角形，则，又平面平面，有， 即，以点O为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的一个法向量，则，令，得， 令直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 甲､乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲､乙两人各积1分的概率为.记甲､乙两人的答题总次数为. （1）求； （2）当时，求甲得分的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用条件概率公式建立关于的方程求解； （2）先求出随机变量X的取值，结合第一问利用条件概率公式求解对应的概率，即可求解分布列，然后代入期望公式求解. 【小问1详解】 记“第次答题时为甲”，“甲积1分”， 则， ， 所以， 则，解得. 【小问2详解】 由题意可知当时，可能的取值为， 则由（1）可知：， ， 的分布列为： 0 1 2 随机变量的数学期望为. 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的几何性质，列方程组求解即可； (2) (i)设其方程为，根据已知条件可知，利用已知条件可推出点是的中点，可表达出点坐标，将其带入到椭圆方程中，求出，即可得到点； (ii) 设，分别联立直线，和椭圆的方程，结合韦达定理与平面向量的坐标运算，化简即可得解. 【小问1详解】 由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 (i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥云县第一中学2025届高三年级上学期见面考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 从甲队30人､乙队20人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ） A. 0.8 B. 0.675 C. 0.82 D. 0.74 6. 直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 7. 一个长为，宽为的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为 ，，， ，依次沿 ，，，，折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 关于点中心对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递减 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 11. 抛物线的焦点为，经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，分别过点､点作抛物线的切线，两切线相交于点，则（ ） A. 当时， B. 面积的最小值为2 C. 点在一条定直线上 D. 设直线的倾斜角为为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等差数列，，，构成等比数列，则的值是______．（任写出一个即可） 13. 已知，且，则________． 14. 已知为中不同数字的种类，如与视为不同的排列，则的不同排列有______个（用数字作答）；所有的排列所得的平均值为______. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 16. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的极值. 17. 如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，且，在棱上，且满足，连接． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 甲､乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲､乙两人各积1分的概率为.记甲､乙两人的答题总次数为. （1）求； （2）当时，求甲得分的分布列及数学期望. 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $