专题3.8 圆与不规则图形面积（7种技巧方法9类题型）（全章方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.8 圆与不规则图形面积（7种技巧方法9类题型）（全章方法梳理与题型分类讲解）） 第一部分【题型与方法目录】 【题型与方法1】和差法........................................................1; 【题型与方法2】割补法........................................................2; 【题型与方法3】等积变形法....................................................3; 【题型与方法4】旋转等积法....................................................3; 【题型与方法5】对称等积法....................................................4; 【题型与方法6】整体法........................................................5; 【题型与方法7】推算法........................................................6; 【题型8】直通中考............................................................7; 【题型9】拓展延伸............................................................8. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】和差法 【例1】（2024·甘肃庆阳·二模）如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【变式1】（2024·广东中山·三模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ． 【题型2】割补法 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【变式1】（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【题型3】等积变形法 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的三等分点，求其中阴影部分的面积． 【变式1】（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 【变式2】（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，点是以为直径的半圆的三等分点，半径，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4】旋转等面积法 【例4】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川广元·模拟预测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【题型5】对称法 【例5】（2024·河南郑州·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C，以为对角线作正方形，点B在第四象限过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的表达式． (2)所对圆心角的度数为_______°，所在圆的半径为______． (3)求图中阴影部分的面积之和． 【变式1】（22-23九年级上·新疆·期末）如图，正方形内接于，直径，且，图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型6】整体法 【例6】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，正方形的对角线交于点，分别以、为圆心，为半径作弧，交、于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 【变式2】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）如图，是边长为 的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ． (结果保留根号和)． 【变式3】（21-22九年级上·广东肇庆·期末）如图，是各边长都大于2的三角形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形相邻两边上），则阴影部分的面积之和为 ． 【题型7】推理法 【例7】（20-21八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【变式1】（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图，矩形中，的平分线交于点，以为圆心，为半径画弧，这条弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【题型9】拓展延伸 【例】（20-21九年级上·江苏盐城·期末）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（  ） 有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机以一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 圆与不规则图形面积（7种技巧方法9类题型）（全章方法梳理与题型分类讲解）） 第一部分【题型与方法目录】 【题型与方法1】和差法........................................................1; 【题型与方法2】割补法........................................................3; 【题型与方法3】等积变形法....................................................7; 【题型与方法4】旋转等积法...................................................10; 【题型与方法5】对称等积法...................................................13; 【题型与方法6】整体法.......................................................16; 【题型与方法7】推算法.......................................................19; 【题型8】直通中考...........................................................23; 【题型9】拓展延伸...........................................................25. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】和差法 【例1】（2024·甘肃庆阳·二模）如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】先利用正方形的性质得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了正方形的性质． 解：四边形是边长为1的正方形， ， 图中阴影部分的面积 ． ∴图中阴影部分的面积为． 【变式1】（2024·广东中山·三模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可． 解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，E为的中点， ∴，是等边三角形，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【变式2】（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正方形的性质，根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型2】割补法 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，即可得阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积，据此即可求解，掌握割补法是解题的关键． 解：如图所示，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，则阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为平方厘米， 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是平方厘米． 【变式1】（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G，连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【题型3】等积变形法 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的三等分点，求其中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接、、，则，再根据点为半圆的三等分点得出，最后根据扇形面积公式计算即可得出答案． 解：如图，连接、、， ， 和等底等高， ， 点为半圆的三等分点， ， 半圆的直径， ， 阴影部分的面积． 【变式1】（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ． 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为． 故Ⅰ错误； ∵垂直平分， ∴点D与点B关于对称， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8， ∴阴影部分的周长的最小值为， ∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 故Ⅱ正确； 故选：B 【变式2】（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，点是以为直径的半圆的三等分点，半径，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查不规则图形面积的求法．根据题意连接，则，再分别求出三角形和扇形的面积即可． 解：如图，连接 点是以为直径的半圆的三等分点 与同底等高 点是以为直径的半圆的三等分点, , ． 故答案为． 【题型4】旋转等面积法 【例4】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，根据全等三角形的性质可得，然后求出，再求出，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明； （2）求出的长，再利用勾股定理列式求出的长，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再根据列式计算即可得解． 解：（1）证明：在正方形中，，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴， 由平行四边形的性质，， ∴， ∴ ， ． 【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题连接，，根据题意分析整个旋转过程中线段所扫过部分的面积，其实是大扇形与小扇形的面积之差，利用旋转的性质得到扇形的圆心角，再根据勾股定理，以及线段中点的性质算出、、，推出,利用扇形面积公式求解，即可解题． 解：连接，， O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置， ， ，，， ， ． H为边的中点， ， ， 阴影部分面积． 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质、勾股定理、线段中点的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【变式2】（2024·四川广元·模拟预测）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式且能准确识图是解题的关键．根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形的面积加上半圆面积再减去半圆面积． 解：∵ ， 故答案为：． 【题型5】对称法 【例5】（2024·河南郑州·三模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C，以为对角线作正方形，点B在第四象限过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的表达式． (2)所对圆心角的度数为_______°，所在圆的半径为______． (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)；(2)90，；(3)． 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 解：（1）反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）∵四边形是正方形，为对角线，， ∴点O是四边形的中心， 连接， ∴， ∴，为所在圆的直径， ∴所对圆心角的度数为， ∵， ∴， ∴所在圆的半径为； 故答案为：90，； （3）设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积， ∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·新疆·期末）如图，正方形内接于，直径，且，图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，根据圆的对称性和正方形的对称性可知，阴影部分面积是整个圆面积的一半，据此求解即可． 解：由圆的对称性和正方形的对称性可知，阴影部分面积是整个圆面积的一半， ∵直径， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形的面积，二次函数的性质，根据对称性，得到阴影部分的面积为半圆的面积，求解即可． 解：∵是函数的图象，是函数的图象， ∴，关于轴对称， ∴轴上方的阴影部分的面积等于轴下方圆内空白处的面积， ∴阴影部分的面积为半圆的面积，即为； 故选：B． 【题型6】整体法 【例6】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是，半径是的扇形的面积是解题关键．先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可． 解：该五边形的内角和为， 扇形区域总面积是， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，正方形的对角线交于点，分别以、为圆心，为半径作弧，交、于点，若，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，勾股定理，由四边形是正方形， 得，，，再根据勾股定理得，则，最后由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）如图，是边长为 的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ． (结果保留根号和)． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积和等边三角形的性质，掌握扇形的面积公式及等边三角形的性质是解题的关键. 取的中点，连接，根据等边三角形的性质，证明由三角函数求出，根据三角形的面积公式求出的面积；分别以点为圆心，以为半径画弧，得到个相同的扇形，根据扇形的面积公式求出一个扇形的面积，从而求出个扇形的总面积，根据“阴影部分的面积的面积个扇形的面积”计算即可. 解：如图, 取的中点, 连接. 是等边三角形，点是的中点，， ， ， 分别以点为圆心，以为半径画弧，得到个完全相同的扇形，每个扇形的面积为 ∴个相同的扇形的总面积为 )， 故答案为： 【变式3】（21-22九年级上·广东肇庆·期末）如图，是各边长都大于2的三角形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形相邻两边上），则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，三角形内角和．由题意知，三条弧的半径相同为1，圆心角的和为，然后代入扇形面积公式计算求解即可． 解：由题意知，三条弧的半径相同为1，圆心角的和为， ∴阴影部分的面积之和为， 故答案为：． 【题型7】推理法 【例7】（20-21八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断． 解：如图： 设的半径分别为， 总面积为：， 是直角三角形， ， ， =总面积 – 大半圆面积= （h为三角形AB边上的高） 在C运动过程中有：h先增大后减小， 故与之和的变化情况是先增大后减小， 故选：D 【点拨】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面积减去已知图形面积表示所求不规则图形面积并变形为显然的式子是关键． 【变式1】（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图，矩形中，的平分线交于点，以为圆心，为半径画弧，这条弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出的等腰直角三角形，进而求出，，证得，求得进而求得，根据阴影部分的面积即可求出结论． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 则阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键． 【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 解：如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 解：连接， 根据题意可得， ∵矩形， ∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 【题型9】拓展延伸 【例】（20-21九年级上·江苏盐城·期末）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（  ） 有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为；④图3中，在中随机以一点，则该点取自勒洛三角形部分的概率为，上述结论中，所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质，概率的概念分别判断即可． 解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误； ②夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确； ③设等边三角形DEF的边长为2， ∴勒洛三角形的周长=，圆的周长=，故③正确； ④设等边三角形DEF的边长为， ∴阴影部分的面积为：； △ABC的面积为：， ∴概率为：，故④错误； ∴正确的选项有②③； 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，概率的定义，正确的理解题意是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$