精品解析：河南省项城市第三高级中学2023届高三上学期摸底考试数学（文）试题

项城三高2022-2023学年度上期高三摸底考试 高三数学试卷（文） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数f(x)＝，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 9. 如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，，则棱锥的体积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 12. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 若，满足约束条件，则最大值为_____________． 14. 已知函数，若，则________． 15. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 16. 六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______． 三、解答题：本题共6大题，70分．请写出必要的文字说明和解题步骤. 17. 已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式; （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 20. 已知a是实数，函数． （1）若，求a值及曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的单调性． 21. 已知函数，． （1）若是的极值点， 求并讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分． 选修4-5：不等式选讲 22. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 选修4-4：做保险与参数方程 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的一般式方程和曲线C的标准方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 项城三高2022-2023学年度上期高三摸底考试 高三数学试卷（文） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再求集合与的并集 【详解】由题意得，则． 故选：C 2. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项. 【详解】由于，所以命题为真命题； 由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题； 所以真命题，、、为假命题. 故选：A． 3. 设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】由是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 对于①中，由，则或与相交，所以不正确； 对于②中，由，则或或与相交，所以不正确； 对于③中，由，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得， 所以正确的； 对于④中，由，可得，所以正确. 故选：B. 4. 函数f(x)＝，的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可． 【详解】∵f(x)＝， ∴，， ∴函数是奇函数，排除D， 当时，，则，排除B，C. 故选：A． 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 6. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】求出当直线与圆相切时a,b的关系即可判断. 【详解】解：当直线与圆相切时， 则有，解得或， 所以“”是“直线与圆相切”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调增函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图象关于直线对称，∴， 又函数在上为单调增函数，∴， 即，∴， 故选：B. 8. 已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】由已知可得－2，3是方程的两根， 则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确； 对于B，化简为，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，化简为：，解得，D错误． 故选：D. 9. 如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，将异面直线与所成的角转化为或其补角，即可求解． 【详解】在三棱柱中，， 异面直线与所成的角为或其补角， 连接，底面，平面， ，又，， 平面， 又平面，， 由，可得， ，， 又，， 在△中，， 即异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 10. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数有两个极值点等价于其导函数有两个不同的正零点，对a分类讨论，结合图象易得结果. 【详解】因为函数有两个极值点， 所以有两个不同的正零点， 因为， 当时，在恒成立， 则在上单调递增， 不可能有两个正根（舍）， 当时，令，得， 令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 若有两个不同的正根， 则， 解得. 故选B 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，，则棱锥的体积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的性质可知，球心与矩形外接圆圆心连线垂直于矩形所在平面，根据长度关系计算可得四棱锥底面积和高，代入棱锥体积公式可求得结果. 【详解】矩形ABCD外接圆圆心为其对角线交点，由球的性质可知：平面ABCD，   ，，矩形ABCD的面积为 ，   ，， 所以. 故选：A. 12. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 若，满足约束条件，则的最大值为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由，可得， 画出直线，将其上下移动， 结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值， 由，解得， 此时，故答案为6. 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 14 已知函数，若，则________． 【答案】-7 【解析】 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 15. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【解析】 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 16. 六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正八面体的结构特征求出内切球半径，求出a＝4，即可求出正八面体的体积. 【详解】解：设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4． 故内切球圆心O到各顶点的距离为． 故在正三棱锥O－ABC中，， 故． 由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径. 所以该正八面体内切球体积为． 故答案为：. 三、解答题：本题共6大题，70分．请写出必要的文字说明和解题步骤. 17. 已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式; （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图象由函数最值求得，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得的解析式，再利用整体法求函数值域即可. 【小问1详解】 由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故， 周期，，，则， 从而，代入点，得， 则，，即，， 又，则. . 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 故可得； 再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象 故可得； ，， ，. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用等体积法即即可求解. 【小问1详解】 解：∵平面平面，平面平面于,且， ∴，平面，∴， 又，∴， 又，∴平面. 【小问2详解】 解：由（1）得，， 又，，， ∴，, ∴, 又平面平面，平面平面于， ∴点到平面的距离即为点到直线的距离， 故点到平面的距离为，则，设点到平面的距离为， ∵,∴，即， 解得：，即点到平面的距离为. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A的大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得． （2）由余弦定理结合基本不等式进行求解． 详解：（Ⅰ）由正弦定理可得： 从而可得：，即 又为三角形内角，所以，于是 又为三角形内角，所以． （Ⅱ）由余弦定理：得：， 所以，所以. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题． 20. 已知a是实数，函数． （1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的单调性． 【答案】（1），；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）化简并对其求导，由的值构建方程，求得a，进而由点斜式表示切线方程； （2）对求导，令，表示两根，利用分类讨论含参数的根所在区间，从而得其导函数的正负关系，即原函数的单调性对应增减. 【详解】（1），， 则，，，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即； （2），， 令，得，． ①当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在区间上单调递增． ②当时，即当时， 此时，当，则； 当时，． 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，即当时，对任意的，． 此时，函数在区间上单调递减． 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间单调递减． 【点睛】本题考查利用函数的导数分析含参函数的单调性，还考查了由导数的几何意义求在函数某点处的切线方程，属于难题. 21. 已知函数，． （1）若是的极值点， 求并讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增；（2）由 ，得，令，利用二次求导可得其最小值，则..的范围可求． 【详解】（1），. 因为是的极值点， 所以，可得． 所以，. 因为在上单调递增，且时，， 所以时，，，单调递减； 时， ，，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增． （2）由得， 因为，所以. 设， 则. 令， 则， 显然在内单调递减，且， 所以时，，单调递减， 则，即， 所以在内单减，从而. 所以. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解. （二）选考题：共10分．请考生在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分． 选修4-5：不等式选讲 22. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将不等式变为；分别在，和三种情况下去掉绝对值符号，从而解不等式求得结果；（2）根据可将不等式变为，从而得到，进而可知，解不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，原不等式为： 当时，不等式变为：，解得： 当时，不等式变为：，无解 当时，不等式变为：，解得： 不等式的解集为： （2）当时，， 则不等式为： 化简为：，解得： 由得：，解得： 故所求实数的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解问题，关键是能够通过分类讨论去掉绝对值符号，属于常规题型. 选修4-4：做保险与参数方程 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）求直线l的一般式方程和曲线C的标准方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值． 【答案】（1）直线l：，曲线C： （2） 【解析】 【分析】(1)对于直线l消去参数t即可求得一般方程，对于曲线C，运用 ， ，即可求得标准方程； (2)由于点P在直线l上，重新设定直线l的参数方程， 使得参数t表示直线上的点到P点的带符号的距离，与椭圆C联立方程， 运用韦达定理即可求解. 【小问1详解】 直线l的参数方程为（t为参数）， 消去t化为一般式方程为； 曲线C的极坐标方程为，由于， 代入上式， 化为标准方程为； 【小问2详解】 设直线l的参数方程为 （t为参数）， 则参数t表示直线l上的点到P点的带符号的几何距离，代入， 得，由韦达定理得：， 则； 综上，直线l的一般方程为：，曲线C的标准方程为：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$