精品解析：安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期国庆假期作业数学试题

六安一中2025届高三年级国庆假期作业 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，，根据分段函数自变量范围，代入分段函数解析式求解即可. 【详解】，， 由，得. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，由集合间的关系即可判断. 【详解】由，得，记为， 由且，解得，记为， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 5. 已知，则在下列选项中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则可判断，再设，利用导数可判断其单调性，故可判断其余三项的正误. 【详解】因为， 故， 故即即， 设， 故， 因为，故， 故，故（不恒为0）， 故在上为增函数，故即, 故， 故选：C. 【点睛】思路点睛：与对数有关的大小比较，可先利用对数的运算性质改变原来的数的形式，必要时可利用同构构造函数，通过函数的单调性来比较大小. 6. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，令，可得在上单调递增，进而可得，，可得结论. 【详解】由题意可得，即， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，故与2的大小关系不确定. 故选：D. 7. 如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度. 【详解】 如图所示，在中，， 在中，, 则， 由正弦定理，，故得, 在中，. 故选：C. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数定义域为，则的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 已知函数存在两个零点，则 D. 函数在上为增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D. 【详解】对于A，由函数定义域为，则， 因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，函数定义域为R， 且，所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由函数存在两个零点，即为的两根， 则可得，令，， 结合函数图象可设，，则， 所以，所以，而k不一定为1，故C不正确； 对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确. 故选：AB. , 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A；利用余弦定理将角化边，即可判断B；由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式判断C；由正弦定理判断D. 【详解】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 11. 设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D. 【详解】对于A，，， 即关于对称，故A错误； 对于B，为偶函数，故，即关于对称， 由关于对称，知，故B正确； 对于C，关于对称和关于对称可得：， 故，即的周期为4， 所以，故C正确； 对于D，由得：， 即，令得，， 故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．． 12. 若、是关于的方程的两个根，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意得，，则或， 又，即，解得或（舍去）， 则， 所以 . 故答案为：. 13. 若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 14. 已知函数的值域为，其中，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的值域确定，得，且可知，再结合基本的不等式即可得得最小值. 【详解】解：函数的值域为，则有，即，且， 所以， 又由，所以，则 ，当且仅当且时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案. （2）确定，，根据，计算得到答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， ，，， 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解； （2）由正弦定理边化角，由三角恒等变换结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理知， 而， 故， 从而.由于是三角形内角，故， 从而，故， 亦即，显然，故. 【小问2详解】 因为，， 又，所以，解得，所以， 从而 . 不妨设，则， 即的取值范围是， 所以的取值范围是， 而， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 18. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明：函数在上有两个零点． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 证明：由（1）得，在上单调递增，又，， 所以在内有且只有一个零点， 当时，令 则，当时，恒成立，即在上单调递减， 又，，则存在，使得, 且当时，，即，则在上单调递增， ，故在上没有零点, 当时，有，即，则在上单调递减， 又，所以在上有且只有一个零点， 综上，函数在上有2个零点． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得. （2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 又，且当时，，所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 综上，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1详解】 因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2详解】 因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025届高三年级国庆假期作业 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知，则在下列选项中最小的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米. A. B. C. D. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 函数定义域为，则的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 已知函数存在两个零点，则 D. 函数在上为增函数 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．． 12. 若、是关于的方程的两个根，则____. 13. 若是奇函数，则_____，______． 14. 已知函数的值域为，其中，则的最小值为______. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）化简； （2）若，求的值． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）求的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明：函数在上有两个零点． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $