精品解析：江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2024届高三下学期一模考试数学试题

2024年江苏省苏州市南京师大苏州实验学校高考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，得，解得，所以， 又，. 故选：D. 2. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由样本空间和事件包含的样本点个数，利用古典概型概率公式计算可得. 【详解】因为样本空间，又， 则，所以， 样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点， 由古典概型概率公式，． 故选：D. 3. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 【答案】D 【解析】 【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 则. 故选：C 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，两边同时取自然对数并整理， 得，， 则，则给氧时间至少还需要小时 故选： B 6. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】推出的等价式子，即可判断出结论. 【详解】为钝角三角形. ∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 7. 已知函数，则（ ） A. B. 不是周期函数 C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误； 对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减， 所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误； 对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确. 故选：D. 8. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8 C. 若随机变量服从，，则 D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合互斥事件易判断A错；将8个数排序，结合百分位数概念可判断B项；结合二项分布图象的对称特征得；结合残差概念可直接判断D项. 【详解】对于A，若事件A和事件B互斥，，未必有，A错； 对于B，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字， 由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B正确； 对于C，因为变量服从，且， 则，故C正确； 对于D，由，得样本点的残差为，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】因为， 所以，即， 令，得，故A正确； 因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】，故. 故答案为： 13. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】将直三棱柱外补全成长方体，从而可得直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，从而可得，再根据重要不等式，即可求解． 【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故答案为：16． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 【答案】 ①. ②. ##5.75 【解析】 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； 第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以, 故答案为：； 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差． （1）求及的通项公式； （2）记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 【答案】（1）， （2）2497 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，结合与之间的关系分析可知数列为等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解； （2）根据题意可得，结合基本不等式可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为，，成等差，则，且， 当时，可得，解得或（舍去）； 当时，可得， 两式相减得，整理得， 且，则； 可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. 【小问2详解】 因为，由（1）可得，即， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知； 当时，因为， 所以； 综上所述：. 所以数列的前50项和为. 16. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小． 【小问1详解】 由题意可得，， 可得，，可得， 可得，， 解得，， 所以离心率， 所以椭圆的方程为，离心率； 【小问2详解】 由（1）可得， 【小问3详解】 【小问4详解】 由题意设直线的方程为，则， 设，， 联立，整理可得， 显然，且，， 直线，的斜率，， 则 ， 因为，即，解得， 所以直线的斜率． 即的值为3． 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵为正三角形，，∴且. ∵，为的中点，∴， 又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形， 而，所以四边形为矩形，∴. 平面，∴平面. ∵平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面； （2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，由（1）又可得， 如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， . 设平面的法向量为， 由，得，令，则，， 设与平面所成的角为，则 ， ∴与平面所成角的正弦值为 18. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． （1）求一个问题能被软件正确应答的概率； （2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75 （2）7或8 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解. 【小问1详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B， 由题意可知：，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则，可得， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可得； 所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大. 19. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】 函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省苏州市南京师大苏州实验学校高考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 6. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则（ ） A. B. 不是周期函数 C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点 8. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8 C. 若随机变量服从，，则 D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 13. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为______． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差． （1）求及的通项公式； （2）记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 16. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 18. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． （1）求一个问题能被软件正确应答的概率； （2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 19. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $