精品解析：重庆市拔尖强基联盟2025届高三上学期10月联合考试数学试卷

重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试 数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 命题学校：育才中学 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可. 【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合. 即图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法算出复数，由模长公式计算. 【详解】复数满足，得， 则. 故选：B. 3. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 58 B. 68 C. 116 D. 136 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可. 【详解】因为，所以即 所以 故选：B. 4. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 80小时 B. 90小时 C. 100小时 D. 120小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数， 得到，即，又， 所以，得到， 故选：C. 5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】由题意，如图， ， 故选：A 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由可推导出，可得出，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 对任意的，，则函数的定义域为， ， 所以，函数为奇函数， 因为内层函数为增函数，外层函数在上为减函数， 所以，函数在上的减函数， 由可得， 所以，，即， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得. 【详解】由， 得， 则，由为锐角，则， 又，， 故， 所以 ， 由二倍角余弦公式得，则. 又为锐角，所以， 故. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围. 【详解】当，恒成立， ，即恒成立. 不妨令，则 设，有，， 当时，，在上单调递增，有， 所以时， ，当且仅当时等号成立. 故， 当且仅当，即时上式取得等号， 由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解， 所以，得. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 问题等价于恒成立，由，利用，得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，所以，故A错误； 对B，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在上的投影向量为，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 若函数在上单调递增，则的最小值为 C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 当时，若方程在区间内的解为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正余弦型函数的周期判断A，根据正弦型函数的单调性判断B，根据图象平移判断C，根据正弦型函数的对称性及诱导公式判断D. 【详解】对A，周期均为，故A正确； 对B，时，，由在上单调递增， 所以，解得，故B正确； 对C，当时，，函数的图象向右平移个单位得到 ，故C错误； 对D，当时，，即， 由可知， 因为，且，所以由正弦函数性质可知， 即，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，赋值法令和计算即可；对B，易知为偶函数，不能确定；对C，运用已知条件推出关于中心对称，进而得到关于中心对称；对D，由为偶函数得周期为2，结合条件得到， 求出，进而求. 【详解】对于A，令，令，则，A正确； 对于B，为奇函数，则为偶函数，则求不出，故B错误； 对于C，， 又，则， 则关于中心对称. ，结合函数图象平移， 关于中心对称，C正确； 对于D，由于为偶函数，结合C所得对称中心，知周期为2，且，， 又则，且 ， ， 则D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数解析式分别代入计算可得结果. 【详解】根据分段函数性质可得， 由可得，即. 故答案为： 13. 育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为______________m． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，，由正切函数的定义得出，进而得出点为的外心，根据已知条件及余弦定理，正弦定理即可求解． 【详解】 由题可知，，， 设，在中，，所以， 同理可得，所以点为的外心，且外接圆半径为， 由余弦定理得，，所以， 由正弦定理得，，则， 所以该雕塑的高度为， 故答案为：． 14. 已知函数，则函数的零点个数是______________. 【答案】112 【解析】 【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数. 【详解】作出的图象，如图， 令，考虑方程的根，由图象可知有16个根， 分别设为，由图象知， ， 再考虑，分别作出直线， 可知原函数共有零点个. 故答案为：112 【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知，，成等比数列，用等差数列基本量列方程并求解，再由等差数列通项公式可得结论； （2）分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论. 【小问1详解】 设正项等差数列的公差为，则， 由成等比数列， 得，则， 又，即，解得（舍），或. 所以. 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题意得，， 则，且， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和为. 16. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流. 心流 无心流 总计 女生 35 男生 15 合计 100 （1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？ （2）在体验到心流的学生中，有，两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当为何值时最大？请证明你的结论. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）答案见解析 （2）当时，最大. 【解析】 【分析】（1）先计算，得到列联表，再求出卡方值，再判断即可；（2）先求出，再根据阶乘公式化简得到，作差比较大小得到，则为增函数，运用函数单调性可得到答案. 【小问1详解】 因为调查的女生人数为：，所以调查的男生人数为：. 所以2×2列联表如下： 心流 无心流 总计 女生 35 5 40 男生 45 15 60 合计 80 20 100 零假设:学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别无关. 根据公式和数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立, 因此可以认为成立,即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关. 【小问2详解】 当时, 的值最大. ,运用阶乘公式整理得到， . 由于，则，则为增函数.则当时， 最大. 17. 在中，的对边分别为，，，且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. （1）求； （2）若面积为，，点在线段上，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：利用正弦定理和余弦定理可得，即； 选择②：由诱导公式可得，再结合可得； （2）根据三角形面积以及角的正切值可解得，再由点的位置关系利用向量可求出结果. 【小问1详解】 若选择①， 由可得， 利用正弦定理可得，整理可得； 所以，又， 可得. 若选择②, 由诱导公式可得； 由可得， 可得，所以， 即. 【小问2详解】 如下图所示： 由面积为可得，即， 又且，所以； 又可得； 易知， 由可得， 即可得； 由点在线段上，且，可得， 所以 即的长为. 18. 已知圆交轴于，两点，椭圆过点且以为长轴. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，. ①求证：为定值； ②已知直线，与椭圆分别交于，，，，且，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析②四边形面积的最大值为3. 【解析】 【分析】（1）令.设椭圆C的标准方程为，椭圆经过，代入计算即可; （2）①画出图形，显然直线与垂直，设直线，则直线l与椭圆交于, 由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有， 运用点差法得到.②画出图形，得到联立方程得，则直线l1与椭圆交线长为,同理可得直线l2与椭圆的一个交点算出D到直线l1的距离， 得到四边形面积 ，结合.得到.和分情况讨论，结合基本不等式得到四边形面积的最大值即可. 【小问1详解】 由,令得，令. 则可设椭圆C的标准方程为，椭圆经过， 代入计算得到.则椭圆的标准方程. 【小问2详解】 ①显然直线与垂直，设直线，则 直线l与椭圆交于, 由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有， 于是,由于则则. ②由题知，则易知 令得，则直线l1与椭圆交线长为， 同理可得直线l2与椭圆的一个交点， 则D到直线l1的距离， 所以四边形面积 . 由于.则. 当时，四边形不存在. 当时， 所以四边形面积的最大值,在时取到. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.有时候可以借助基本不等式求解. 19. 已知函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求函数的解析式； （2）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1） （2）1 （3） 由（2）知，，则，， ， 又由（2）知：在恒成立，则在上恒成立， 当且仅当时取等号，则令， 则 ， ，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据两函数关于对称求解析式即可； （2）先探求时成立，再证明当时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可； （3）根据（2）可得，转化为，再由，累加相消即可得证. 【小问1详解】 设图象上任意一点，则其关于直线的对称点为， 由题意知，点在函数图象上， 所以， 所以. 【小问2详解】 不妨令， 则在上恒成立， 注意到且在上是连续函数，则是函数的一个极大值点， 所以，又， 所以，解得 下面证明：当时，在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即在上恒成立，又， 所以， 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到，再令，利用（2）中式子得，能够利用累加相消是证明的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试 数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 命题学校：育才中学 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 58 B. 68 C. 116 D. 136 4. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 80小时 B. 90小时 C. 100小时 D. 120小时 5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的最小正周期 B. 若函数在上单调递增，则的最小值为 C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 D. 当时，若方程在区间内的解为，，则 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ） A. B. C. 曲线关于点中心对称 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______________. 13. 育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为______________m． 14. 已知函数，则函数的零点个数是______________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列满足：且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，求数列的前项和. 16. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流. 心流 无心流 总计 女生 35 男生 15 合计 100 （1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？ （2）在体验到心流的学生中，有，两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当为何值时最大？请证明你的结论. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 在中，的对边分别为，，，且满足_______________. 请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题. （1）求； （2）若面积为，，点在线段上，且，求的长. 18. 已知圆交轴于，两点，椭圆过点且以为长轴. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，. ①求证：为定值； ②已知直线，与椭圆分别交于，，，，且，求四边形面积的最大值. 19. 已知函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求函数的解析式； （2）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $