第1章 专题1 因式分解的方法（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　因式分解 专题一　因式分解的方法 分组分解法 1. 先阅读下列材料，再因式分解. 要把多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn 因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提 出 a ；再把它的后两项分成一组，并提出 b ，从而得到 a （ m ＋ n ）＋ b （ m ＋ n ）.这时由于 a （ m ＋ n ）与 b （ m ＋ n ）又有公因式（ m ＋ n ），于是可提出公 因式（ m ＋ n ），从而得到（ m ＋ n ）（ a ＋ b ）.因此有 am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝ （ am ＋ an ）＋（ bm ＋ bn ）＝ a （ m ＋ n ）＋ b （ m ＋ n ）＝（ m ＋ n ）（ a ＋ b ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 请用上面提供的方法分解因式： （1） a2－ ab ＋ ac － bc ； 解：原式＝（ a2－ ab ）＋（ ac － bc ）＝ a （ a － b ）＋ c （ a － b ）＝（ a － b ）（ a ＋ c ）. （2） m2＋5 n － mn －5 m . 解：原式＝（ m2－ mn ）＋（5 n －5 m ）＝ m （ m － n ）－5（ m － n ）＝（ m －5）（ m － n ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 把下列各式因式分解： （1）4 x2－2 x － y2－ y ； 解：原式＝（4 x2－ y2）－（2 x ＋ y ）＝（2 x ＋ y ）·（2 x － y ）－（2 x ＋ y ）＝ （2 x ＋ y ）（2 x － y －1）. （2） a2＋ b2－9＋2 ab . 解：原式＝ a2＋2 ab ＋ b2－9＝（ a ＋ b ）2－9＝（ a ＋ b ＋3）（ a ＋ b －3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 十字相乘法 3. 分解因式 x2＋3 x ＋2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次 项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字 交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这 样，我们可以得到 x2＋3 x ＋2＝（ x ＋1）（ x ＋2）.请利用这种方法，分解因式2 x2－3 x －2＝ ⁠. 4. 因式分解： a2－3 a －4＝ ⁠. （2 x ＋1）（ x －2）　 （ a ＋1）（ a －4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 用“十字相乘法”因式分解： （1） x2－5 x －36；　　（2） x2＋3 x －18； 解：（1） x2－5 x －36＝（ x －9）（ x ＋4）. （2） x2＋3 x －18＝（ x ＋6）（ x －3）. （3）2 x2－3 x ＋1；　　（4）6 x2＋5 x －6. 解：（3）2 x2－3 x ＋1＝（2 x －1）（ x －1）. （4）6 x2＋5 x －6＝（2 x ＋3）（3 x －2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2023·上海青浦区期末）因式分解：（ x2－5 x ）2－16. 解：（ x2－5 x ）2－16 ＝（ x2－5 x ）2－42 ＝[（ x2－5 x ）＋4][（ x2－5 x ）－4] ＝（ x2－5 x ＋4）（ x2－5 x －4） ＝（ x －1）（ x －4）（ x2－5 x －4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 添（拆）项法 7. 我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实多项式的因 式分解还有别的方法，下面介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”. 例题： x3＋8＝ x3＋2 x2－2 x2＋8（添上2 x2，再减去2 x2，使多项式的值不变） ＝（ x3＋2 x2）－（2 x2－8）（分成两组） ＝ x2（ x ＋2）－2（ x ＋2）（ x －2）（两组分别因式分解） ＝ ⁠. （两组有公因式，再提公因式） （1）请将上面的例题补充完整. （ x ＋2）（ x2－2 x ＋4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）仿照上述方法因式分解：64 x4＋1. 解：（2）64 x4＋1＝64 x4＋16 x2＋1－16 x2＝（8 x2）2＋2·8 x2·1＋12－16 x2＝（8 x2＋1）2－（4 x ）2＝（8 x2＋1＋4 x ）（8 x2＋1－4 x ）. （3）若 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且满足3 a2＋4 b2－6 a －16 b ＋19＝0， c 为 整数，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（3）△ ABC 是等腰三角形.理由如下： ∵3 a2＋4 b2－6 a －16 b ＋19＝0， ∴3 a2－6 a ＋3＋4 b2－16 b ＋16＝0， ∴3（ a2－2 a ＋1）＋4（ b2－4 b ＋4）＝0， ∴3（ a －1）2＋4（ b －2）2＝0， ∴ a －1＝0， b －2＝0，∴ a ＝1， b ＝2. ∵ a ， b ， c 是△ ABC 的三边长， ∴ b － a ＜ c ＜ b ＋ a ，∴1＜ c ＜3. 又∵ c 为整数，∴ c ＝2，∴ b ＝ c ＝2， ∴△ ABC 是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 把下列各式因式分解： （1）4 x4＋1； 解：原式＝4 x4＋4 x2＋1－4 x2＝（2 x2＋1）2－4 x2＝（2 x2＋2 x ＋1）（2 x2－2 x ＋1）. （2） x4＋4 y4. 解：原式＝ x4＋4 y4＋4 x2 y2－4 x2 y2 ＝（ x2＋2 y2）2－（2 xy ）2 ＝（ x2＋2 y2＋2 xy ）（ x2＋2 y2－2 xy ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 换元法 9. 推理能力　某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充 了一道这样的题：对多项式（ a2＋4 a ＋2）（ a2＋4 a ＋6）＋4进行因式分解，有 个学生解答过程如下： 解：设 a2＋4 a ＝ b 则原式＝（ b ＋2）（ b ＋6）＋4…第一步 ＝ b2＋8 b ＋16…第二步 ＝（ b ＋4）2…第三步 ＝（ a2＋4 a ＋4）2.…第四步 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？ （填选项）. A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为 ⁠. C　 （ a ＋2）4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）请你模仿以上方法对多项式（ x2－6 x ）·（ x2－6 x ＋18）＋81进行因 式分解. 解：设 x2－6 x ＝ y ， 则原式＝ y （ y ＋18）＋81 ＝ y2＋18 y ＋81＝（ y ＋9）2 ＝（ x2－6 x ＋9）2＝（ x －3）4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 因式分解：（ x2＋3 x －2）（ x2＋3 x ＋4）－16. 解：设 x2＋3 x ＝ y ， 则原式＝（ y －2）（ y ＋4）－16 ＝ y2＋2 y －24 ＝（ y ＋6）（ y －4） ＝（ x2＋3 x ＋6）（ x2＋3 x －4） ＝（ x －1）（ x ＋4）（ x2＋3 x ＋6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$