第一章 因式分解（复习课件）数学鲁教版五四制八年级上册

单元复习课件 第一章 因式分解 鲁教版五四制·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能够区别因式分解的定义与整式乘法，能准确提取公因式，处理首项负号和提取后括号内项的完整性，能灵活识别平方差公式，精准应用完全平方公式进行因式分解。 3.将实际问题转化为因式分解模型（如整除问题、 几何面积、简便计算） 2.能综合运用提公因式与公式法分解因式。 单元学习目标 定义 因式分解 公式法 与整式乘法关系 平方差公式 一提：公因式 核心概念 互逆运算 提公因式法 应用场景 三查： 结果是否最简 基本方法 二套：公式法 关键技巧 符号处理 整体思想 分解步骤 简便计算 几何问题 完全平方公式 单元知识图谱 考点一、 因式分解的基本概念 因式分解的定义： 把一个________化成几个______的积的形式。 2.因式分解与整式乘法的关系：二者是______运算。 因式分解的结果要求：每个因式必须是______式， 且分解要彻底. 多项式 整式 互逆 整 考点串讲 考点二、 提公因式法 公因式的组成： 系数的__________与相同字母的__________。 2.提取公因式后，括号内项数与原多项式项数______。 若首项系数为负，应先提取______号。 最大公约数 最低次幂 相同 负 考点串讲 考点三、 公式法 1．平方差公式 2.完全平方公式： 考点串讲 考点四、综合应用 提公因式 套公式 1. 分解步骤口诀： 先____________， 再____________， 最后检查是否彻底。 若多项式含(m−n)和(n−m)， 可通过__________化为相同因式。 2. 提取负号 考点串讲 例1：  题型一、因式分解的定义 学完因式分解后,李老师在黑板上写下了4个等式: ①15x2y=3x·5xy; ②(x+y)(x-y)=x2-y2; ③x2-2x+1=(x-1)2; ④x2-3x+1=x 其中是因式分解的有 (　    ) A.0个　　　    B.1个　　　    C.2个　　　    D.3个 B 解析：　 ①中等号左边不是多项式; ②是整式的乘法; ④中等号右边的 不是整式; ③是因式分解.故选B. 题型剖析 题型一、因式分解的定义 判断因式分解的技巧 第一步： 结果是不是整式乘积 第二步：是否彻底分解 总结口诀： “先看形式积，再验乘还原； 提公因式要彻底，公式结构需辨明； 符号变形是难点，分解完成查三遍。” 题型剖析 变式： 题型一、因式分解的定义    D 下列各式从左到右的变形是因式分解的是(　    ) A.x2+2x+3=(x+1)2+2 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-xy+y2=(x-y)2 D.2x-2y=2(x-y) 解析：①x-3xy=x(1-3y),从左到右的变形是因式分解; ②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形是整式的乘法.故选D. 题型剖析 题型二、因式分解与整式乘法的关系 例2： 解析：①x-3xy=x(1-3y),从左到右的变形是因式分解; ②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形是整式的乘法.故选D. 对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3从左到右的变形,表述正确的是 (　    ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是乘法运算,②是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算 D 题型剖析 题型二、因式分解与整式乘法的关系 区分因式分解与整式乘法的关系的技巧 （1）整式乘法：“组装积木” → 把多个小部件（因式）拼成一个大整体（多项式）。 （2）因式分解：“拆解积木” → 把大整体（多项式）拆回小部件（因式）的乘积。 （3）口诀： “乘法是展开，分解是拆开；方向相反，结果互逆。” 题型剖析 题型二、因式分解与整式乘法的关系 变式：    如图,用一张如图①所示的正方形纸片、三张如图②所示的长方形纸片、两张如图③所示的正方形纸片拼成一个大长方形(如图④). (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积S(写出两种即可); (2)根据(1)中所得结果,写出一个表示因式分解的等式.   图①     图②      图③      图④ 解析    (1)①S=x2+3xy+2y2 ②S=(x+y)(x+2y). (2)x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y). 题型剖析 题型三、公因式 例3： 在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中,公因式是 (　    ) A.m B.m(a-x) C.m(a-x)(x-b) D.(a-x)(b-x) c 解析 ：   m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)=m(a-x)(x-b)+mn(a-x)(x-b)=m (a-x)(x-b)(1+n),则公因式为m(a-x)(x-b).故选C. 题型剖析 题型三、公因式 准确找到公因式口诀 “一系数二字母，多项式要整体看； 负号开头提负号，分解彻底再停笔！” 题型剖析 变式： 题型三、公因式 多项式7x2y+21xy2的公因式为 (　    ) A.7xy　　　    B.7x2y2　　　    C.xy　　　    D.x2y2 A 解析：　∵7x2y+21xy2=7xy·x+7xy·3y,∴7x2y+21xy2的公因式为7xy,故选A. 题型剖析 题型四、提公因式法 例4： 下列因式分解正确的是 (　    ) A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1) B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C.3(y-x)2+2(x+y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) A 解析：  mn(m-n)-m(n-m)=-mn(n-m)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1),故A 选项正确;6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+3q-1),故B选项不正确; 3(y-x)2+2(x+y)不能分解因式,故C选项不正确;3x(x+y)-(x+y)2=(x +y)(2x-y),故D选项不正确.故选A. 题型剖析 题型四、提公因式法 提公因式法分解因式的技巧与步骤详解 （1）步骤： 确定公因式 提取公因式 （2）口诀：一找系数最大公约， 二找字母最低幂； 负号开头要提取， 多项式整体别忘记！ 题型剖析 题型四、提公因式法 变式： 解： 该几何体从正面、左面看都是长方形,从上面看是圆, 因此这个几何体是圆柱,故选A. 如图,小明准备设计一个长方形的手工作品,已知长方形的长和宽分别为a、b(a>b),周长为20,面积为16,则a2b-ab2的值为(　  ) A.96　　　    B.480　　　    C.320　　　    D.160 A 题型剖析 题型四、提公因式法 解析：　∵长方形的长和宽分别为a、b(a>b),周长为20,面积为16, ∴2(a+b)=20,ab=16, ∴a+b=10, ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=102-4×16=100-64=36, ∵a>b,∴a-b=6, ∴原式=ab(a-b)=16×6=96.故选A. 题型剖析 例5： 题型五、用平方差公式分解因式 下列各式:①-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y); ②(m+n)2-(a-b)2=(m+n+a-b)(m+n-a-b); ③0.002 5a - ab2=a  ④a8-1=(a4)2-12=(a4+1)(a4-1);⑤-x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y), 其中利用平方差公式分解因式正确的有 (　    ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 题型剖析 题型五、用平方差公式分解因式 解析：　　 ①-x2-y2不能分解因式;②(m+n)2-(a-b)2=[(m+n)+(a-b)] [(m+n)-(a-b)]=(m+n+a-b)·(m+n-a+b); ③0.002 5a-  ab2= a =a   ; ④a8-1=(a4)2-12=(a4+1) (a4-1)=(a4+1)(a2+1)(a2-1)=(a4+1)(a2+1)(a+1)(a-1); ⑤正确.故选B. 题型剖析 题型五、用平方差公式分解因式 平方差公式的适用条件 1.必须是两项（不能是三项或更多） 2.两项都是完全平方 3.中间是“减号” 题型剖析 题型五、用平方差公式分解因式 变式： 解析　∵2 0222 022-2 0222 020=2 0222 020×(2 0222-1)=2 0222 020× (2 022+1)×(2 022-1)=2 023×2 0222 020×2 021, ∴2 023×2 0222 020×2 021=2 023×2 022n×2 021. ∴n=2 020.故选A. 若2 0222 022-2 0222 020=2 023×2 022n×2 021, 则n的值是 (　    ) A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 A 题型剖析 题型六、用完全平方公式分解因式 下列各式:①x2-6x+9;②25a2+10a-1; ③x2-4x-4;④4x2-x+  . 其中不能用完全平方公式分解因式的个数为 (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 例6： C 解析：    x2-6x+9=(x-3)2,故①能用完全平方公式分解因式; 25a2+10a-1与x2-4x-4中不存在两数的平方和,故②③不能用完全平 方公式分解因式; =4x2-2x+ ,故④不能用完全平方公 式分解因式.故选C. 题型剖析 题型六、用完全平方公式分解因式 完全平方公式的适用条件 1.必须是三项式、首项和末项必须是完全平方数、中间项必须是首尾平方根乘积的2倍 2.口诀： “首平方，尾平方，首尾二倍中间放； 符号看中间，分解结果写平方！” 题型剖析 题型六、用完全平方公式分解因式 变式： 解析:原式=(x2-1)2-6(x2-1)+32=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2,故选D. 将多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式,结果正确的是 (　    ) A.(x-2)4 B.(x2-2)2 C.(x2-4)2 D.(x+2)2(x-2)2 D 题型剖析 1． B 解：   A.棱柱的侧棱与底面棱长度不一定相等,故A错误; B.一个n棱柱有3n条棱,9÷3=3,故底面一定是三角形,故B正确; C.长方体和正方体都是棱柱,故C错误;D.柱体的上、下两 底面必须完全相同,故D错误.故选B. 下列说法正确的是 (　    ) A.棱柱的各条棱的长度都相等 B.有9条棱的棱柱的底面一定是三角形 C.长方体和正方体不是棱柱 D.柱体的上、下两底面可以大小不一样 针对训练 2． 【活动材料】有若干个如图①所示的长方形和正方形硬纸片. 【活动要求】用若干个这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形,通过不同的方法计算面积,探求相应的等式. 例如,由图②我们可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)或(a+2b) (a+b)=a2+3ab+2b2. 图① 图② 针对训练   【问题解决】 (1)选取正方形、长方形硬纸片共8个,拼出如图③所示的长方形,直接写出相应的等式:　　　　　　　　　    ; (2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式, 并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内; (3)分解因式:2b2-3ab+a2=　　　　　　    .(直接写出结果,不需要画图)   图③ 图④ 针对训练 2． 解析：    (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:   (3)(b-a)(2b-a). 针对训练 3． 对于任意正整数n,代数式2n(n2+2n+1)-2n2(n+1)的值都能被4整除吗?请说明理由. 解析：　都能被4整除. 理由:原式=2n3+4n2+2n-2n3-2n2=2n2+2n=2n(n+1). ∵n为正整数, ∴n与n+1中必有一个为偶数,∴2n(n+1)是4的整数倍. ∴对于任意正整数n,代数式2n(n2+2n+1)-2n2(n+1)的值都能被4整除. 针对训练 4． 阅读理解:把多项式am+an+bm+bn分解因式. 解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 解法二:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b) 根据以上信息,解答下列问题: (1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;(写一种解法即可) (2)已知:a,b,c为三角形ABC 的三边长,且a3-a2b+5ac-5bc=0, 试判断三角形ABC的形状,并说明理由. 针对训练 4． 解析     (1)m2x-3m+mnx-3n =(m2x-3m)+(mnx-3n) =m(mx-3)+n(mx-3) =(m+n)(mx-3). (2)三角形ABC是等腰三角形,理由如下: ∵a3-a2b+5ac-5bc=0,∴(a3-a2b)+(5ac-5bc)=0,∴a2(a-b)+5c(a-b) =0,∴(a2+5c)(a-b)=0,∵a>0,c>0,∴a2+5c>0,∴a-b=0,∴a=b, ∵a,b,c为三角形ABC的三边长,∴三角形ABC是等腰三角形. 针对训练 5． 把下列各式分解因式: (1)-3x2y+12x2yz-9x3y2; (2)5a2b(a-b)3-15ab2(b-a)2; (3)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y); (4)(a-3)2+2a-6. 解析     (1)原式=-3x2y(1-4z+3xy). (2)原式=5a2b(a-b)3-15ab2(a-b)2 =5ab(a-b)2[a(a-b)-3b] =5ab(a-b)2(a2-ab-3b). (3)原式=(x-y)(a+b+c). (4)原式=(a-3)2+2(a-3) =(a-3)(a-3+2) =(a-3)(a-1). 针对训练 6． 阅读下列材料: 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式仅用上述其中一种方法无法分解,如x2-2xy+y2-16.我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行因式分解. 过程如下:x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4). 这种因式分解的方法叫分组分解法.请利用这种分组分解的思想方法 解决下列问题: (1)因式分解:a2-6ab+9b2-36; (2)△ABC的三边长a,b,c满足a2+c2+2b2-2ab-2bc=0, 判断△ABC的形状并说明理由. 针对训练 6． 解析 ：   (1)a2-6ab+9b2-36=(a-3b)2-36=(a-3b-6)(a-3b+6). (2)△ABC是等边三角形. 理由:∵a2+c2+2b2-2ab-2bc=0, ∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0, ∴(a-b)2+(b-c)2=0, ∴a-b=0,且b-c=0, ∴a=b,且b=c, ∴a=b=c, ∴△ABC是等边三角形. 针对训练 7． 如图所示,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正 在一块半径为R的圆形板材上剪去半径为r的四个小圆,小刚 测得R=6.8 dm,r=1.6 dm,他想知道剩余部分(阴影部分)的面 积,你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚吗?请写出 求解过程.(结果保留π) 针对训练 7． 解析　根据题意得剩余部分的面积 =πR2-4πr2=π(R2-4r2)=π(R+2r)(R-2r), 将R=6.8 dm,r=1.6 dm代入, 得剩余部分的面积=π×(6.8+3.2)×(6.8-3.2)=36π(dm2). 答:剩余部分的面积为36π dm2. 针对训练 8． 小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:你、爱、中、数、学、国. 现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (　    ) A.你爱数学 B.你爱学 C.爱中国 D.中国爱你 D 解析    3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)·(x-1)(a-b). ∵3对应“中”,x+1对应“国”,x-1对应“爱”,a-b对应“你”, ∴结果呈现的密码信息可能是中国爱你.故选D. 针对训练 9． 阅读材料: 利用公式法可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为 a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx +c(a≠0)的配方法,运用多项式的配方法及平方差公式能对 一些多项式进行因式分解.例如:x2+4x-5=x2+4x+ - -5= (x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1). 根据以上材料,解答下列问题. (1)分解因式:x2+2x-8; 针对训练 9． (2)求多项式x2+4x-3的最小值; (3)已知a,b,c是△ABC的三边长, 且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, 求△ABC的周长. 针对训练 9． 解析    (1)x2+2x-8=x2+2x+1-1-8 =(x+1)2-9 =(x+1-3)(x+1+3) =(x-2)(x+4). (2)x2+4x-3=x2+4x+ - -3=(x+2)2-7, ∵(x+2)2≥0, ∴(x+2)2-7≥-7, ∴多项式x2+4x-3的最小值为-7. 针对训练 ✅ 知识构建：因式分解 核心概念→提取公因数→公式法→综合应用 ✅ 思想方法： 数形结合、转化思想、分类讨论、建模思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$