第1章 因式分解 自我测评卷（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章自我测评卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. （2023·济南天桥区期中）下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的 是（　B　） A. （ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a2－ b2 B. 4 m2＋4 m ＋1＝（2 m ＋1）2 C. x2＋3 x －1＝ x （ x ＋3）－1 D. a2＋1＝ a （ a ＋ ） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 多项式6 a3 b2－3 a2 b2－18 a2 b3分解因式时，应提取的公因式为（　D　） A. 3 a2 b B. 3 ab2 C. 3 a3 b3 D. 3 a2 b2 D 3. 下列多项式能用完全平方式的是（　C　） A. x2－2 x －1 B. （ a ＋ b ）（ a － b ）－4 ab C. a2＋ ab ＋ b2 D. y2＋2 y －1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. （2023·四川攀枝花中考）以下因式分解正确的是（　B　） A. ax2－ a ＝ a （ x2－1） B. m3＋ m ＝ m （ m2＋1） C. x2＋2 x －3＝ x （ x ＋2）－3 D. x2＋2 x －3＝（ x －3）（ x ＋1） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图①所示，将边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形，并沿图中 的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积，甲同学写出了一个等式 a2－ b2 ＝（ a ＋ b ）（ a － b ），乙同学也写出了一个等式（ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2， 则（　C　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 多项式2 x3－4 x2＋2 x 因式分解为（　A　） A. 2 x （ x －1）2 B. 2 x （ x ＋1）2 C. x （2 x －1）2 D. x （2 x ＋1）2 A 7. 把多项式 x2＋ ax ＋ b 分解因式，得（ x ＋1）（ x －3），则 a ， b 的值分别是 （　B　） A. a ＝2， b ＝3 B. a ＝－2， b ＝－3 C. a ＝－2， b ＝3 D. a ＝2， b ＝－3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式 分解，正确的是（　D　） A. x2＋2 x ＝ x （ x ＋2） B. x2－2 x ＋1＝（ x －1）2 C. x2＋2 x ＋1＝（ x ＋1）2 D. x2＋3 x ＋2＝（ x ＋2）（ x ＋1） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. （2023·四川达州开江期末）若 x －2是多项式 x2－4 x ＋ k 的一个因式，则 k 的 值为（　C　） A. －4 B. 1 C. 4 D. 8 10. 已知 d ＝ x4－2 x3＋ x2－12 x －5，则当 x2－2 x －5＝0时， d 的值为（　A　） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. （2023·湖南常德中考）因式分解： a3＋2 a2 b ＋ ab2＝ ⁠. 12. 利用因式分解计算：3032－606×297＋2972＝ ⁠. 13. （2023·河南洛阳嵩县期末）如图所示，边长分别为 a ， b 的长方形，它的周 长为15，面积为10，则3 a2 b ＋3 ab2＝ ⁠. a （ a ＋ b ）2　 36　 225　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 已知关于 x 的二次三项式 x2＋7 x ＋ n 有一个因式为（ x ＋1），则 n 的值 为 ⁠. 15. 两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成（ x ＋1）（ x ＋9）；乙因看错了常数项而分解成（ x －2）（ x －4），则将原多项式 因式分解后的正确结果应该是 ⁠. 16. 如果多项式4 x2＋（ m －1） x ＋ 是完全平方式，那么 m ＝ 　 或－ 　. 6　 （ x －3）2　 或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（本大题共8个小题，共80分） 17. （10分）把下列各式因式分解： （1）9（ m ＋ n ）2－（ m － n ）2； 解：原式＝[3（ m ＋ n ）]2－（ m － n ）2＝[3（ m ＋ n ）＋（ m － n ）][3（ m ＋ n ）－（ m － n ）]＝4（2 m ＋ n ）·（ m ＋2 n ）. （2） x2（ x － y ）＋ y2（ y － x ）. 解：原式＝ x2（ x － y ）－ y2（ x － y ）＝（ x － y ）（ x2－ y2）＝（ x － y ）（ x － y ）（ x ＋ y ）＝（ x － y ）2（ x ＋ y ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. （8分）在复习因式分解时，于老师提出了这样一个问题：“一个奇数的平方 减1，结果一定是几的倍数.”请你用所学的知识回答这个问题. 解：设奇数为2 n ＋1（ n 为整数），由题意，得（2 n ＋1）2－1＝（2 n ＋1＋1） （2 n ＋1－1）＝2 n （2 n ＋2）＝4 n （ n ＋1）. 因为 n 为整数，所以 n 与 n ＋1中必有一个偶数，所以 n （ n ＋1）是偶数（或者 说是2的倍数），所以结果一定是8的倍数. 19. （8分）已知 x －1＝ ，求代数式（ x ＋1）2－4（ x ＋1）＋4的值. 解：原式＝（ x ＋1－2）2＝（ x －1）2. 当 x －1＝ 时，原式＝（ ）2＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （8分）已知4 x ＝3 y ，求代数式（ x －2 y ）2－（ x － y ）（ x ＋ y ） －2 y2的值. 解：（ x －2 y ）2－（ x － y ）（ x ＋ y ）－2 y2 ＝（ x2－4 xy ＋4 y2）－（ x2－ y2）－2 y2 ＝ x2－4 xy ＋4 y2－ x2＋ y2－2 y2 ＝－4 xy ＋3 y2 ＝－ y （4 x －3 y ）. 因为4 x ＝3 y ，所以4 x －3 y ＝0. 所以原式＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （10分）阅读下列题目的解题过程： 已知 a ， b ， c 为△ ABC 的三边，且满足 a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4，试判断△ ABC 的形状. 解：∵ a2 c2－ b2 c2＝ a4－ b4，（A） ∴ c2（ a2－ b2）＝（ a2＋ b2）（ a2－ b2），（B） ∴ c2＝ a2＋ b2，（C） ∴△ ABC 是直角三角形. 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ⁠. （2）写出错误的原因. 解：没有考虑 a ＝ b 的情况. （3）写出本题正确的结论. 解：△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. C 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （10分）（2024·浙江义乌期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数 问题的一种体现，如图所示，利用图①中边长分别为 a ， b 的正方形，以及长为 a 、宽为 b 的长方形卡片若干张，拼成图②正方形和图③长方形. （1）请写出一个能够表示图②面积关系的乘法公式. （1）（ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2. （2）请用两种不同的代数式表示图③的面积，写出一个表示因式分解的等式. （2）2 a2＋3 ab ＋ b2＝（2 a ＋ b ）（ a ＋ b ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）利用上述方法，画出面积为2 a2＋5 ab ＋2 b2的长方形，并求出此长方形的 周长（用含 a ， b 的代数式表示）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）2 a2＋5 ab ＋2 b2＝（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）， 如图所示. ∴这个长方形的长和宽分别为（2 a ＋ b ）和（ a ＋2 b ）， ∴此长方形的周长为2（2 a ＋ b ＋ a ＋2 b ）＝6 a ＋6 b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （12分）阅读下列材料： 把形如 ax2＋ bx ＋ c 的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做 配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a2±2 ab ＋ b2＝（ a ± b ）2. 例如：（ x －1）2＋3，（ x －2）2＋2 x ， ＋ x2是 x2－2 x ＋4的三种不 同形式的配方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 请根据阅读材料解决下列问题： （1）将 x2－6 x ＋4按三种不同的形式配方. 解：（1） x2－6 x ＋4＝（ x －3）2－5， x2－6 x ＋4＝（ x －2）2－2 x ， x2－6 x ＋4＝ － x2. （2）将 a2＋ ab ＋ b2配方.（至少两种形式） 解：（2）（答案不唯一） a2＋ ab ＋ b2＝（ a ＋ b ）2－ ab ， a2＋ ab ＋ b2＝ ＋ b2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）已知 a2＋ b2＋ c2－ ab －3 b －2 c ＋4＝0，求 a ＋ b － c 的值. 解：（3） a2＋ b2＋ c2－ ab －3 b －2 c ＋4＝0， ＋ ＋（ c2－2 c ＋1）＝0， ＋ （ b2－4 b ＋4）＋（ c2－2 c ＋1）＝0， ＋ （ b －2）2＋（ c －1）2＝0， ∴ a － b ＝0， b －2＝0， c －1＝0， ∴ a ＝1， b ＝2， c ＝1， ∴ a ＋ b － c ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （14分）阅读理解　先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题. 已知多项式2 x3－ x2＋ m 有一个因式是2 x ＋1，求 m 的值. 解法一：设2 x3－ x2＋ m ＝（2 x ＋1）（ x2＋ ax ＋ b ）， 则2 x3－ x2＋ m ＝2 x3＋（2 a ＋1） x2＋（ a ＋2 b ） x ＋ b ， 比较系数，得解得 ∴ m ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解法二：设2 x3－ x2＋ m ＝ A （2 x ＋1）（ A 为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算，取 x ＝－ ，2· －（－ ）2＋ m ＝ 0，故 m ＝ . 选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于 x 的多项式 x2＋ mx －15有一个因式是 x －3， m ＝ ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）已知 x4＋ mx3＋ nx －16有因式 x －1和 x －2，求 m ， n 的值. 解：（2）设 x4＋ mx3＋ nx －16＝ A （ x －1）（ x －2）（ A 为整式）， 分别令 x ＝1和 x ＝2，得 解得 （3）已知 x2＋2 x ＋1是多项式 x3－ x2＋ ax ＋ b 的一个因式，求 a ， b 的值，并将 该多项式分解因式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（3）设 x3－ x2＋ ax ＋ b ＝（ x ＋ p ）（ x2＋2 x ＋1）. ∵（ x ＋ p ）（ x2＋2 x ＋1）＝ x3＋（2＋ p ） x2＋（1＋2 p ） x ＋ p . ∴解得 ∴多项式 x3－ x2＋ ax ＋ b ＝ x3－ x2－5 x －3， ∴ x3－ x2－5 x －3＝（ x －3）（ x2＋2 x ＋1）＝（ x －3）（ x ＋1）2， ∴ a ＝－5， b ＝－3，该多项式分解因式为 x3－ x2－5 x －3＝（ x －3） （ x ＋1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$