第1章 因式分解 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　因式分解 本章综合提升 1. 数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系， 寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题， 将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想. 借助拼图解释平方差公式及完全平方公式，解释整式变形并直观地进行因式 分解. 　　【例1】　推理能力　我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证. 受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图①一张边长为 a 的正方形纸片剪 去2个长为 a 、宽为 b 的长方形以及3个边长为 b 的正方形之后，拼成了如图②所 示的长方形.观察图①和图②的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有 a ， b 的等式表示从图①到图②的变化过程： ⁠ ⁠. a2－2 ab －3 b2＝（ a ＋ b ）（ a － 3b ）　 【变式训练1】模型观念　如图所示，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中 一块是边长为 a 的正方形，两块是边长为 b 的正方形，三块是长为 a ，宽为 b 的矩 形（ a ＞ b ）.观察图形，发现多项式 a2＋3 ab ＋2 b2可因式分解为 ⁠ ⁠. （ a ＋ b ） （ a ＋2 b ）　 2. 整体思想 　　所谓整体思想，就是在解题时，从整体考虑问题，根据题目结构特征， 把一组数或某个代数式看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结 构、整体与局部的内在联系，获取解题途径.利用这种思想方法，常可以化 繁为简，化难为易. （1）在因式分解中将某些式子看成一个整体进行因式分解；（2）利用因式 分解进行计算或化简求值时，经常要将某些式子整体代入求值. 　　【例2】　（2023·四川雅安期末改编）已知 a ＋ b ＝2，则多项式 a2－ b2＋4 b ＋2 025的值为 ⁠. 【变式训练2】已知 xy ＝2， x －3 y ＝3，则2 x3 y －12 x2 y2＋18 xy3＝ ⁠. 2 029　 36　 3. 转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时，我们 通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽 象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题. 利用因式分解进行变形转化，求解代数式的值，判断几何图形的形状等. 　　【例3】　已知 a2（ b ＋ c ）＝ b2（ a ＋ c ）＝2 023，且 a ， b ， c 互不相等， 则 c2（ a ＋ b ）－2 024＝ ⁠. 【变式训练3】阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学 有很大的帮助.所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定 是恒等的.例如：解方程 x2－4 x ＋4＝0，则（ x －2）2＝0，∴ x1＝ x2＝2.已知 x2－ 2 x ＋ y2＋4 y ＋5＝0，求 x ， y 的值，则有（ x2－2 x ＋1）＋（ y2＋4 y ＋4）＝0， ∴（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝0，解得 x ＝1， y ＝－2.解方程 x2－2 x －3＝0，则有 x2－2 x ＋1－1－3＝0，∴（ x －1）2＝4，解得 x1＝3， x2＝－1. －1　 根据以上材料解答下列各题： （1）若 a2＋4 a ＋4＝0，求 a 的值. 解：（1）直接配方，得（ a ＋2）2＝0，解得 a1＝ a2＝－2. （2）若 x2－4 x ＋ y2＋6 y ＋13＝0，求（ x ＋ y ）－2 024的值. 解：（2）∵ x2－4 x ＋ y2＋6 y ＋13＝0， ∴（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝0， 解得 x ＝2， y ＝－3. ∴（ x ＋ y ）－2 024＝（2－3）－2 024＝（－1）－2 024＝1. （3）若 a2－2 a －8＝0，求 a 的值. 解：（3）∵ a2－2 a －8＝0， ∴（ a －1）2＝9， 两边开平方，得 a －1＝±3， ∴ a1＝4， a2＝－2. 1. （2024·泰安肥城期中）下列代数式变形中，属于因式分解的是（　B　） A. m （ m －2）＝ m2－2 m B. 2 m ＋4＝2（ m ＋2） C. x2－ x ＋ ＝（ x － ）2 D. m2－2＋ ＝（ m ＋ ）2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （2024·淄博张店区期中）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解且 因式分解正确的是（　D　） A. a2－4 b2＝（ a ＋4 b ）（ a －4 b ） B. x2－4＋3 x ＝（ x ＋2）（ x －2）＋3 x C. 4 xy2－4 x2 y － y3＝ y （4 xy －4 x2－ y2） D. x2－5 x ＋6＝（ x －2）（ x －3） 3. （2024·烟台芝罘区期中）下列因式分解正确的是（　C　） A. ax ＋ y ＝ a （ x ＋ y ） B. x2＋ x －2＝ x （ x ＋1）－2 C. 2 x2－ x ＝ x （2 x －1） D. x2－16＝（ x －4）2 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （2024·济宁任城区期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解的有 （　B　） ① x2－4 x ＋4；②9 x2－3 x ＋1；③4 x2＋4 x －1；④25 x2－20 xy ＋16 y2；⑤ x2＋1 － x . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. （2023·淄博临淄区期中）若4 x2－（ k －1） x ＋9能用完全平方公式因式分 解，则 k 的值是（　B　） A. 13 B. 13或－11 C. －11 D. 无法确定 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （2024·济宁任城区月考）一个长方形的长与宽分别为 a ， b ，若周长为10，面 积为5，则 ab3＋2 a2 b2＋ a3 b 的值为 ⁠. 7. 几何直观　我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.如图所 示，观察图①， a2－1＝ a （ a －1）＋（ a －1）＝（ a －1）（ a ＋1）.接下来， 观察图②，通过类比思考，因式分解： a3－1＝ ⁠ ＝ ⁠. 125　 a2（ a －1）＋ a （ a －1）＋ （ a －1）　 （ a －1）（ a2＋ a ＋1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （2024·泰安肥城期中）请将下列式子进行因式分解： （1） n3（ m －2）＋ n （2－ m ）； 解：原式＝ n3（ m －2）－ n （ m －2） ＝ n （ m －2）（ n2－1） ＝ n （ m －2）（ n ＋1）（ n －1）. （2）（ a2＋4）2－16 a2. 解：原式＝（ a2＋4＋4 a ）（ a2＋4－4 a ） ＝（ a ＋2）2（ a －2）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024·烟台芝罘区期中）因式分解： （1）2 x2 y －8 xy ＋8 y ； 解：原式＝2 y （ x2－4 x ＋4）＝2 y （ x －2）2. （2）（ m2－5）2＋2（ m2－5）＋1. 解：原式＝（ m2－5＋1）2 ＝（ m2－4）2＝[（ m ＋2）（ m －2）]2 ＝（ m ＋2）2（ m －2）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （2024·济宁任城区月考）观察下列式子的因式分解做法： ① x2－1＝（ x －1）（ x ＋1）； ② x3－1＝（ x －1）（ x2＋ x ＋1）； ③ x4－1＝（ x －1）（ x3＋ x2＋ x ＋1）. （1）模仿以上做法，尝试对 x5－1进行因式分解： x5－1＝ ⁠ ⁠. （2）观察以上结果，猜想 xn －1＝ ⁠. （ n 为正整数，直接写结果，不用验证） （ x －1）（ x4＋ x3 ＋ x2＋ x ＋1）　 （ x －1）（ ＋ ＋…＋ x ＋1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值. 解：根据上述规律，可得27－1＝（2－1）（26＋25＋24＋23＋22＋2＋1）， ∴26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2023·济宁中考）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　C　） A. （ a ＋3）2＝ a2＋6 a ＋9 B. a2－4 a ＋4＝ a （ a －4）＋4 C. 5 ax2－5 ay2＝5 a （ x ＋ y ）（ x － y ） D. a2－2 a －8＝（ a －2）（ a ＋4） C 12. （2023·淄博中考）因式分解：2 a2－8 b2＝ ⁠. 2（ a ＋2 b ）（ a －2 b ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$