第3章 整式及其加减 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】新教材2024-2025学年六年级上册数学课时通(鲁教版 五四制 2024)

年级上册·鲁教版 数 学 第三章　整式及其加减 　本章综合提升 1. 整体思想 整体思想是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题 的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论. 整式的化简求值的问题中，有些题目需要利用整体思想来解决. 　　【例1】　我们定义：对于数对（a，b），若a＋b＝ab，则（a，b）称 为“和积等数对”.如：因为2＋2＝2×2，－3＋ ＝－3× ，所以（2，2）， 都是“和积等数对”.若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn ＋m－2（mn－3）]－ 的值. 解：4[mn＋m－2（mn－3）]－2（3m2－2n）＋6m2＝4mn＋4m－8 （mn－3）－6m2＋4n＋6m2＝4mn＋4m－8mn＋24－6m2＋4n＋6m2＝－ 4mn＋4m＋4n＋24. 因为（m，n）是“和积等数对”，所以m＋n＝mn， 所以原式＝－4mn＋4（m＋n）＋24＝－4mn＋4mn＋24＝24. 【变式训练1】先化简，再求值：6xy＋7y＋[8x－（5xy－y＋6x）]，其中 x＋4y＝－1，xy＝－3. 解：6xy＋7y＋[8x－（5xy－y＋6x）]＝6xy＋7y＋8x－（5xy－y＋ 6x）＝6xy＋7y＋8x－5xy＋y－6x＝xy＋8y＋2x＝xy＋2（x＋4y）， 当x＋4y＝－1，xy＝－3时，原式＝－3＋2×（－1）＝－3－2＝－5. 2. 类比思想 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁 移到另一类数学对象的思想.类比思想是由两个或两类对象在某些方面的相同或 相似，得出他们在其他方面也可能相同或相似的推理方法. 课题学习“归纳”中的某些问题，需要利用类比思想来解决. 　　【例2】　探究拓展　阅读以下材料并填空. 【构建模型】 平面内有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点 画直线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有2个点时，可连成1条直线； 当有3个点时，可连成3条直线； 当有4个点时，可连成6条直线； 当有5个点时，可连成10条直线； …. （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现： 点的个数 可连成直线条数 2 1＝S2＝ 3 3＝S3＝ 4 6＝S4＝ 5 10＝S5＝ … … n Sn＝ 　　（3）推理：平面内有n个点，两点确定一条直线.取第一个点A有n种取 法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n（n－1）条直线，但 直线AB与直线BA是同一条直线，故应除以2，即Sn＝ . （4）结论：Sn＝ . 【拓展探究】 平面内有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角 形，一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析：当仅有3个点时，可作 个三角形； 当有4个点时，可作 个三角形； 当有5个点时，可作 个三角形； …. 1　 4　 10　 （2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现： 点的个数 可连成三角形个数 3 S3＝ 4 S4＝ 5 S5＝ … … n Sn＝ 　　（3）推理： 解：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取 第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，取第三个点C有（n －2）种取法，所以一共可以作n（n－1）（n－2）个三角形，但△ABC， △ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA是同一个三角形，故应除以6，即 Sn＝ . （4）结论： 解：Sn＝ . 【变式训练2】如图所示，点B，C，D均在线段AE上. （1）图中共有几条线段？ 解：（1）共有10条线段. 因为以点A为左端点向右的线段有：线段AB，AC， AD，AE， 以点B为左端点向右的线段有：线段BC，BD，BE， 以点C为左端点向右的线段有：线段CD，CE， 以点D为左端点向右的线段有：线段DE， 所以共有线段4＋3＋2＋1＝10（条）. （2）你能用上面的思路来解决“6位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采 用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比 赛”这个问题吗？ 解：（2）把6位同学看作直线上的6个点，每两位同学之间 的一场比赛看作一条线段，直线上6个点所构成的线段条数 就等于比赛的场数，所以一共要进行5＋4＋3＋2＋1＝15（场）比赛. 1. （2024·泰安新泰模拟）若5x3yn与－xmy2是同类项，则mn的值为（　B　） A. －6 B. 6 C. －9 D. 9 B 1 2 3 4 5 6 7 2. （2024·淄博沂源模拟）如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰 时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示.图中x1，x2，x3分别 表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内， 在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则x1，x2，x3的大小关 系是（　C　） A. x1＞x2＞x3 B. x1＞x3＞x2 C. x3＞x1＞x2 D. x3＞x2＞x1 C 1 2 3 4 5 6 7 3. （2024·济宁任城区月考）一列有理数按照以下规律排列：－1，2，－2，0， 3，－1，1，4，0，2，…，根据以上你发现的规律，请问第2 024个数是 ⁠. 4. 先化简，再求值：2（a2－2ab）＋ （ab－b2）－ （4a2－3b2），其中a＝ －2，b＝3. 解：2（a2－2ab）＋ （ab－b2）－ （4a2－3b2） ＝2a2－4ab＋ ab－ b2－2a2＋ b2＝－ ab， 当a＝－2，b＝3时，原式＝－ ×（－2）×3＝15. 676　 1 2 3 4 5 6 7 5. （2024·烟台芝罘区期末）阅读以下材料，并解决问题： 欲求1＋3＋32＋33＋34＋…＋330的值，可以按照如下步骤进行： 令S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋330①， 等式两边同时乘3，得3S＝3＋32＋33＋34＋…＋330＋331②， 由①，得3＋32＋33＋34＋…＋330＝S－1， 代入②，得3S＝S－1＋331， 解得S＝ （331－1）， 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋330＝ （331－1）. 请解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 （一）计算：（1）1＋5＋52＋53＋54＋…＋520. 解：令S＝1＋5＋52＋53＋54＋…＋520①， 等式两边同时乘5，得5S＝5＋52＋53＋54＋55＋…＋521②， 由①得，5＋52＋53＋54＋…＋520＝S－1， 代入②，得5S＝S－1＋521，解得S＝ ， 所以1＋5＋52＋53＋54＋…＋520＝ . 1 2 3 4 5 6 7 （2） ＋ ＋ ＋ ＋…＋ . 解：令S＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ①， 等式两边同时乘2，得2S＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ②， 由①，得 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝S－ ，代入②，得2S＝1＋S－ ，解得S＝1－ ， 所以 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ . 1 2 3 4 5 6 7 （二）数形结合：如图，由图①到图②是一个正方形衍生出两个小正方形，图③ 是图②中每个新生小正方形再衍生出两个正方形……按照这个的规律，图⑥中共 有正方形 个. A. 25 B. 26 C. 25－1 D. 26－1 D　 1 2 3 4 5 6 7 6. （2024·泰安新泰月考）【观察思考】 如图所示，第1个图案中正三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6 cm； 第2个图案中正三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8 cm；第3个图案中 正三角形的个数为10，正方形的个数为3，周长为10 cm；第4个图案中正三角形 的个数为14，正方形的个数为4，周长为12 cm；…. 【规律发现】 （1）第5个图案中正三角形的个数为 ⁠. （2）第n个图案中正三角形的个数为 ⁠. 18　 4n－2　 1 2 3 4 5 6 7 【规律应用】 （3）照此规律，当一个图案的周长为2 024 cm时，这个图案中有多少个正三角 形？有多少个正方形？ 解：（3）因为第1个图案的周长为6 cm；第2个图案的周长为8 cm；第3个图案的 周长为10 cm；第4个图案的周长为12 cm；…， 所以第n个图案的周长为（2n＋4） cm， 所以当一个图案的周长为2 024 cm时，即2n＋4＝2 024，解得n＝1 010， 所以这个图案中有4×1 010－2＝4 038个正三角形，1 010个正方形. 1 2 3 4 5 6 7 7. （2023·聊城中考）如图所示，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数 阵.从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： （3，5），（7，10），（13，17），（21，26），（31，37），….如果单独把 每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律. 请写出第n个数对： ⁠. （n2＋n＋1，n2＋2n＋2）　 1 2 3 4 5 6 7 $$