第5章 一元一次方程 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】新教材2024-2025学年七年级上册数学课时通(北师大版2024)

年级上册·BS 数 学 第五章　一元一次方程 　本章综合提升 1. 分类讨论思想 　　当判定一元一次方程时方程中的未知系数存在的不确定的因素时往往需要进行分类讨论. 　　【例1】　已知a是非零整数，关于x的方程ax｜a｜－bx2＋x－2＝0是一元一 次方程，求a＋b的值与方程的解. 解：分情况讨论：（1）a＝b，｜a｜＝2，当a＝2时，b＝2，此时a＋b＝ 4，方程的解为x＝2；当a＝－2时，b＝－2，此时a＋b＝－4，方程的解为x ＝2； （2）｜a｜＝1，b＝0，解得a＝±1，b＝0；当a＝1时，由原方程，得x＋x －2＝0，解得x＝1，a＋b＝1＋0＝1；当a＝－1时，由原方程，得－x＋x－2 ＝0，不符合题意. 【变式训练1】（2023·九江月考）已知方程（1－m2）x2－（m＋1）x＋8＝ 0是关于x的一元一次方程，求m的值. 解：因为方程（1－m2）x2－（m＋1）x＋8＝0是关于x的一元一次方程， 所以1－m2＝0，－（m＋1）≠0，解得m＝±1，m≠－1，所以m＝1. 2. 整体思想 在解特殊类型的方程时，先把未知项看成一个整体，再把方程看成关于这个整体的一元一次方程，进而减少了方程的项数，使求解的过程变得简便易行. 　　【例2】　解方程：3（3x＋7）－ （3x＋7）＋ （3x＋7）＝－7（3x＋7）. 解：视（3x＋7）为一个整体，移项，得3（3x＋7）－ （3x＋7）＋ （3x＋7）＋7（3x＋7）＝0， 合并同类项，得 （3x＋7）＝0， 系数化为1，得3x＋7＝0，移项，得3x＝－7， 系数化为1，得x＝－ . 【变式训练2】李老师在课堂上提出这样一个问题：解方程： （2x＋5）－1＝4－ （2x＋5）. 小亮认为本题可设y＝2x＋5，因而原方程可化为 y－1＝4－ y，只要求 出y的值，即可求出x的值. （1）根据小亮的思路，求得y＝ 　 　，进而求得x＝ 　 　. 　 　 （2）利用上述方法解方程： － ＝ － . 解：设9x＋2＝y，原方程转化为 － ＝ － ，去分母，得3y－5y＝6y－8，移项，得3y－5y－6y＝－8，合并同类项，得－8y＝－8，系数化为1，得y＝1， 所以9x＋2＝1，移项，得9x＝1－2，合并同类项，得9x＝－1，系数化为1，得 x＝－ . 1. （2024·武威凉州区一模）下列方程中是一元一次方程的是（　C　） A. x＋y＝3 B. ＝4 C. 2x－x＝0 D. 2x－x 2. （2024·无锡惠山区一模）若x＝1是关于x的方程3x＋m＝4的解，则m的值 为（　B　） A. 7 B. 1 C. －1 D. －7 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. （2024·台州二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的 有19人.现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲 处x人，则（　D　） A. 27－x＝2（19＋20－x） B. 27＋x＝2（19－20－x） C. 27－x＝2（19＋20＋x） D. 27＋x＝2（19＋20－x） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. （2023·宝鸡二模）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三 日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三 天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个 字.已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则列方程为 ⁠ ⁠. 5. 数学文化　《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一 鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽.问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城， 每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完.在这个问题中， 城中有 户人家. x＋ 2x＋4x＝34 685　 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. （2023·无锡期中）小静同学按如图所示的程序输入一个正整数x，最后输出 的结果为2 031，则满足条件的x的不同值有 ⁠. 406或81或16或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. （2023·杭州一模）解方程： （1）5－2（x－1）＝3； 解：去括号，得5－2x＋2＝3，移项，得－2x＝3－2－5，合并同类项，得－2x ＝－4，系数化成1，得x＝2. （2） －1＝ . 解：去分母，得2（3x－2）－6＝5－4x，去括号，得6x－4－6＝5－4x，移 项，合并同类项，得10x＝15，系数化为1，得x＝1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. （2024·西安雁塔区四模）从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个 底面半径为5 cm，高为8 cm的空圆柱形玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水 杯的水面将下降多少？ 解：设凉水杯水面下降的高度是x cm，由题意得π×102x＝π×52×8，解得x＝2，故凉水杯的水面将下降2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. （2024·蚌埠模拟）甲、乙两港口相距80 km，一艘轮船从甲港口逆流向乙港口 航行速度为48 km/h，水流速度为2 km/h.现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙 港口，若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时 间相同，求甲港口到丙港口之间的距离. 解：设甲港口到丙港口之间的距离为x km，因为逆流速度为48 km/h，水流速度 为2 km/h，所以顺流速度为48＋2＋2＝52（km/h），由题意得 ＝ .解得x ＝38.4. 答：甲港口到丙港口之间的距离为38.4 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. （2023·南阳期末）爱读书是一种美德，快乐读书吧为促进孩子们阅读，特推 出两种付费借阅方式（每借阅一本为一次）.方式一：先购买会员证，每张会员 证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员 证，每次借阅付费3元.设小明一年内借阅x次（x为正整数）. （1）m＝ ，n＝ ⁠. 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用/元 60 70 … m 方式二的总费用/元 30 60 … n x＋50　 3x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）当借阅次数为x时，求方式二比方式一的总费用多多少元. 解：（2）3x－（x＋50）＝2x－50. 答：方式二比方式一的总费用多（2x－50）元. （3）通过计算说明当x＝23和x＝27时，分别应选择哪种付费方式更合算？ 解：（3）当x＝23时，x＋50＝73，3x＝69. 因为73＞69，故选择方式二更合算. 当x＝27时，x＋50＝77，3x＝81， 因为81＞77，故选择方式一更合算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （4）若小明计划今年到该书吧借阅的总费用为100元，请说明他选择哪种付费方 式借阅次数比较多？ 解：（4）方式一：令x＋50＝100，解得x＝50， 方式二：3x＝100，解得x＝33 . 因为50＞33 ，所以选择方式一他的借阅次数比较多. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. （2023·永州中考）关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m的值 为（　A　） A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 12. （2023·海南中考）若代数式x＋2的值为7，则x等于（　C　） A. 9 B. －9 C. 5 D. －5 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. （2023·大连中考）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今 有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何.”其大意 是：“今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人 数、鸡价各是多少.”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 ⁠ ⁠. 9x－11＝ 6x＋16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. （2023·德阳中考）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的 王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填 写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条 对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运 用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ ⁠. 39　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （2023·衢州中考）小红在解方程 ＝ ＋1时，第一步出现了错误： 解：2×7x＝（4x－1）＋1. …… （1）请在相应的方框内用横线画出小红的错误处. 解：2×7x＝（4x－1）＋ 　1　， …… 解：（1）如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）写出你的解答过程. 解：（2）去分母，得2×7x＝（4x－1）＋6， 去括号，得14x＝4x－1＋6， 移项，得14x－4x＝－1＋6， 合并同类项，得10x＝5， 系数化为1，得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （2023·北京中考）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头 长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设天头长为x cm， 由天头长与地头长的比是6∶4，可知地头长为 x cm， 边的宽为 cm＝ x cm， 装裱后的长为 cm＝ cm， 装裱后的宽为 cm＝ cm， 由题意可得 x＋100＝ ×4， 解得x＝24，所以 x＝4. 答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$