精品解析：安徽省淮南市龙湖中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024~2025学年九年级第一学期学情监测（一） 数学试卷 （温馨提示：本次监测时间2 小时，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 2. 下列式子中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 6. 将二次函数图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　） A. B. C. D. 7. 某区为加强了对教师队伍的建设的投入，2019年投入1000万元，预计2020年、2021年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 10. 对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 下列方程中，属于一元二次方程的有______________________（填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 12. 已知二次函数y＝mx2+(m2﹣3)x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝______． 13. 顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为__________． 14. （1）已知： 是关于x方程 的两实数根，且 ，则k的值为__________． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两实数根，则的最小值是__________． 三、解方程（本大题共1小题，共8分） 15. 解下面的方程： （1） （2） 四、解答题（本题共8小题，共82分） 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式： （2）当时，求此函数的最小值与最大值． 17. 观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 18. 为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有个 人参与了本次活动． （1）x的值是多少？ （2）再经过几轮转发后，参与人数会超过人？ 19. 已知抛物线 （1）该抛物线的对称轴为 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （3）若， 设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围． 20. 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21. 第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元． (1)如果购买件(10＜＜60)，每件的单价为元，请写出关于的函数关系式； (2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量． 22. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年九年级第一学期学情监测（一） 数学试卷 （温馨提示：本次监测时间2 小时，满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 3， B. 3，6 C. 3，1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项系数分别为3，， 故选：A． 2. 下列式子中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、二次函数，符合题意； C、是一元二次方程，不符合题意； D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，分当时，原方程为，此时为一元一次方程，有实数根；当当时，方程为一元二次方程，，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴当时，原方程为，解得，原方程有实数根，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，， 故选A． 5. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】x2-8x+15=0， 分解因式得：（x-3）（x-5）=0， 可得x-3=0或x-5=0， 解得：x1=3，x2=5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故选B 6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案. 【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得： 再向下平移3个单位，可得： 故答案为：C. 【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的. 7. 某区为加强了对教师队伍的建设的投入，2019年投入1000万元，预计2020年、2021年两年共投入4000万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率）”设经费的年平均增长率为x，根据“2019年投入1000万元，则2020年投入1000（1＋x），2021年投入为1000（1＋x）2，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：依题意得2020年投入1000（1＋x），2021年投入为1000（1＋x）2， ∴1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝4000． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 10. 对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 下列方程中，属于一元二次方程的有______________________（填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是， 故答案为： ②③⑤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 12. 已知二次函数y＝mx2+(m2﹣3)x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝______． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】由二次函数的性质，对称轴为x==，且函数有最大值，可得m＜0, 解关于m的方程可得答案. 【详解】解：根据题意知,,且m＜0, 整理该方程可得m-2m-3=0 , 解得:m=-1或m=3(舍), 故答案为: -1. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质-对称轴与最值. 13. 顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据顶点坐标设抛物线解析式为，再根据与抛物线 的形状相同、开口方向相反得出的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， 由于与抛物线 的形状相同、开口方向相反， ， 故函数解析式为． 故答案为：． 14. （1）已知： 是关于x的方程 的两实数根，且 ，则k的值为__________． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两实数根，则的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据题意进行代数求值即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，得到，求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）是关于x的方程 的两实数根， ， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，关于x的方程 ，，符合题意， 当时，关于x的方程 ，，不符合题意， ， 故答案为：； （2） m，n是关于x的一元二次方程 的两实数根， ，， ， 方程有两个实数根， ， ， ， 故答案为：． 三、解方程（本大题共1小题，共8分） 15. 解下面的方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用公式法求解，先用判别式，判断根的存在性，再代入求根公式即可求解； （2）用因式分解法求解，先用十字相乘法将方程左边进行因式分解，得出或，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 四、解答题（本题共8小题，共82分） 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式： （2）当时，求此函数的最小值与最大值． 【答案】（1） （2）当时，函数最大值为0，最小值为． 【解析】 【分析】（1）把代入，建立方程组再求解即可； （2）由，可得函数最小值，再分别计算当与时的函数值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，函数最大值为0，最小值为． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的利用待定系数法求解二次函数的解析式是解本题的关键． 17. 观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8. (2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键. 18. 为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有个 人参与了本次活动． （1）x的值是多少？ （2）再经过几轮转发后，参与人数会超过人？ 【答案】（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过人． 【解析】 【分析】（1）第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，根据两轮转发共有111人参与列出方程求解即可； （2）根据103=1000，104=10000可得第四轮转发后参与人数会超过人，即可得答案． 【详解】（1）∵第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人， ∴1+x+x2=111， 解得：，（舍）， ∴的值为． （2）∵103=1000，104=10000，1+102+103＜10000， ∴第四轮转发后参与人数会超过人， ∴再经过两轮转发后，参与人数会超过人． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为111人建立方程是关键． 19. 已知抛物线 （1）该抛物线的对称轴为 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （3）若， 设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】（1）直线； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识． （1）根据题意可得抛物线的对称轴； （2）抛物线的顶点在x轴上，当时，，进而可得a的值； （3）根据关于直线的对称点为，根据二次函数的性质可得m的取值范围． 【小问1详解】 由 则对称轴为直线 故答案为：直线； 【小问2详解】 ∵抛物线顶点在x轴上， 即当时，， ∴， 解得或． 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为． ∵，， 当时，抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小， ∴或． 20. 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：________，________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）秒或秒； （3）存在秒，使得五边形的面积等于． 【解析】 【分析】（）根据题意列式即可求解； （）根据勾股定理构建出方程即可求解； （）由题意可得，再根据矩形和五边形的面积可得的面积为，进而由三角形的面积可得，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，利用含的代数式表示各自线段的关系，并根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由勾股定理得，， 解得，， ∴当秒或秒时，的长度等于； 【小问3详解】 解：存在秒，能够使得五边形的面积等于，理由如下： 当点运动到点时，两点停止运动， ∴ ， ∵ 长方形的面积为， 当五边形的面积等于时，的面积为， ∴， 解得，(不合题意，舍去)， ∴存在秒，使得五边形的面积等于． 21. 第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元． (1)如果购买件(10＜＜60)，每件的单价为元，请写出关于的函数关系式； (2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量． 【答案】（1）y＝150－x；（2）40件 【解析】 【分析】（1）若购买x件（10＜x＜60），每件的单价=140-（购买数量-10），依此可得y关于x的函数关系式； （2）设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件，分两种情况：①当30＜x≤40时，则60≤100-x＜100；②当40＜x＜60时，则40＜100-x＜60；根据购买两批T恤衫一共花了9200元列出方程求解即可． 【详解】(1)购买x件(10＜x＜60)时，y＝140－(x－10)＝150－x． 故y关于x的函数关系式是y＝150－x； (2)设第一批购买x件，则第二批购买(100－x)件. ①当30＜x≤40时，则60≤100－x＜100，则x(150－x)＋80(100－x)＝9200， 解得＝30(舍去)，＝40； ②当40＜x＜60时，则40＜100－x＜60， 则x(150－x)+(100-x) [150-(100-x)]＝9200， 解得x＝30或x=70,但40＜x＜60，所以无解； 答：第一批购买数量为40件． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8． 【解析】 【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标； （3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标． 【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1， ∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点， ∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2）， ∴P点纵坐标为﹣2， 代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=， ∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）； （3）∵点P抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4）， 过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2， ∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4）， ∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t， ∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB =（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8， ∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6， ∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$