第二章 直线和圆的方程 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教A版选修一）

第二章 直线和圆的方程 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．16 D． 3．已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 4．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 5．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 6．已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 10．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是. D．点在直线上运动，，，则时的最大值是 11．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 12．若点在直线上，则的最小值为 ． 13．过点且垂直于直线的直线方程为 . 14．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 四、解答题 15．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 16．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 17．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 18．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 19．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意做出垂线，得到垂线方程，后依据题意求出新圆的半径，再建立方程组求出圆心即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为，所以半径为， 如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为， 故设其方程为，将带入其中， 可得，解得，所以垂线方程为， 因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上， 而圆心到直线的距离为， 故圆的半径为， 设圆心，已知，解得， 即圆心，故D正确. 故选：D 2．已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用给定条件得到，再进行基本不等式中‘1’的代换求解即可. 【详解】因为圆，所以圆心为， 因为圆刚好被直线平分， 所以直线必过点，代入直线中得到， 所以， 当且仅当时取等，此时解得，故C正确. 故选：C 3．已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 4．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 5．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 6．已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定边的中点坐标，及的形状，再由边的垂直平分线过两点，然后根据两点式计算方程即可. 【详解】因为边的中点为且， 所以为等腰直角三角形． 所以边的垂直平分线过， 故由两点式方程得， 即． 故选：B. 7．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 8．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 二、多选题 9．已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 【详解】由可知圆心为，半径为1； 由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为； 对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为，与圆的方程相减可得， 化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 故选：BD 10．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是. D．点在直线上运动，，，则时的最大值是 【答案】BD 【分析】A.讨论直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；B.根据一般式直线方程求直线的斜率，再根据三角函数求斜率的范围，即可求解倾斜角的范围；C.根据平行线间距离公式，即可求解；D.利用对称性，结合三点共线，即可求解. 【详解】A.过点，且过点的直线方程为， 若直线不过原点，设，，得，即， 所以满足条件的直线方程为或，故A错误； B. 直线的斜率，因为， 所以，则倾斜角的范围是，故B正确； C.直线，即与直线之间的距离，故C错误； D.设点关于的对称点为， 则，解得：，即， 如图，，当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确.    故选：BD 11．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    三、填空题 12．若点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，从而得的最小值为的最小值，结合点到直线距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】设，则， 因为的最小值为点到直线的距离，即， 所以的最小值为. 故答案为： . 13．过点且垂直于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】先利用两直线垂直求得所求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求得所求直线方程. 【详解】直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 则所求直线方程为， 化为一般式为. 故答案为： 14．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 16．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 17．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 【答案】，，． 【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键. 18．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一知的欧拉线即为的垂直平分线，根据与直线垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程； （2）由直线与圆相切得到圆的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 19．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程. （2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程. （3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标. 【详解】（1）设，由得， 化简得，则曲线的方程为；    （2）由题意知，设， 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 则，所以(舍去)或，即， 则， 则直线方程为；    （3）设直线方程为，设， 联立方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线始终经过此定点.    【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$