2024-2025学年人教版九年级上册第一次月考模拟试卷

2024-2025学年九年级上学期第一次月考模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 2．某炮兵部队实弹演习在某宽阔平地区域发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第秒时落地，则在下列哪一个时间段炮弹的高度最高（    ） A．第8秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 3．关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 4．用配方法将一元二次方程变形为的形式是（ ） A． B． C． D． 5．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知方程 2x2﹣x﹣3＝0 的两根为 x1，x2，那么＝(    ) A．﹣ B． C．3 D．﹣3 7．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知二次函数的图象对称轴为，且图象经过点，．则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 9．若关于的方程的一个根为2，则的值为 ． 10．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 11．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，当时，则x的取值范围是 ． 12．某饰品店购进了一批挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．设每个挂件降价元，如果商家每天要盈利840元，请列出方程： ． 13．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ． 14．如图，已知二次函数的图象经过点，矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C恰好在二次函数的图象上，矩形长和宽的比为2∶1，则图中阴影部分的面积之和为 ． 15．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）． （1）对于任意实数k，函数图象一定经过点(﹣2，﹣1)和点 ； （2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ． 16．已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 17．按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0． （5）(6x－1)2＝25； 18．某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2023年在2021年的基础上增加投入资金1600万元．从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ 19．先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根． 21．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 22．英国物理学家焦耳做了大量实验，于1840年确定了电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间之间的关系为：，其中表示电流通过导体产生的热量（单位：），表示电流（单位：），表示导体的电阻（单位：），表示通电时间（单位：），现有某品牌足浴盆，启动其按摩功能时，电动机启动，其电动机线圈电阻为，按摩5分钟，电动机线圈产生的热量是，求通过电动机线圈的电流． 23．在平面直角坐标系中，点，，（点，不重合）在抛物线（）上． (1)当时，求二次函数的顶点坐标； (2)①若，则的值为______； ②已知二次函数的对称轴为，当时，求的取值范围． 24．解一元二次方程 (1) (2) 25．在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，总有，求m的取值范围． 26．在平面直角坐标系中，抛物线 当抛物线的顶点在轴上时，求该抛物线的解析式； 不论取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式； 若有两点，，且该抛物线与线段始终有交点，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2．B 【分析】根据炮弹在第秒时落地得抛物线的对称轴为，根据最接近，即可得． 【详解】解：∵此炮弹在第秒时落地， ∴抛物线的对称轴为， ∵最接近， ∴炮弹在第秒时的高度达到最高， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 3．C 【分析】设，则原方程可变形为（1），利用一元二次方程根的判别式可得，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变形为（1）， ∴， ∴当，即时，方程（1）没有实数根， 即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确； 当，即时，方程（1）有两个相等实数根， ∴， 解得：， 即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确； 当，即时，方程（1）有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴无实数根，有2个不相等的实数根， ∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实数根，故④⑤错误； ∴正确的说法有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题． 4．D 【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】 移项得， 配方得， 故选:D. 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5．C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 6．A 【分析】根据根与系数的关系得到+= , =,再通分得到=,然后利用整体代入的方法计算. 【详解】根据题意得,+= , =, 所以=. 故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根时: ,. 7．A 【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意． B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意． C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意． D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 8．D 【分析】利用待定系数法求得a的值，然后分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象对称轴为， ， A、若，则， 二次函数为， 图象经过点，． ，解得， 故A错误； 、若，则， 二次函数为， 图象经过点，． ，解得， 故错误； 、若，则， 二次函数为， 图象经过点，． ，解得， 故错误； 、若，则， 二次函数为， 图象经过点，． ，解得， 故正确； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求得a的值是解题的关键． 9． 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 10． 【分析】直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案． 【详解】解：∵常数项为0， ∴， 解得：或2， 又∵，即， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键． 11．x＞1或x<-3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＞1或x<-3． 故答案为：x＞1或x<-3 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 12． 【分析】设每个挂件降价元，则每天的销售量为件，根据“商家每天要盈利840元”列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每个挂件降价元，则每天的销售量为件， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 13． 【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可． 【详解】解：点到轴的距离小于2， ， 点在二次函数的图象上， ， 当时，有最小值为1． 当时，， 的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 14． 【分析】根据点（0,10）求出抛物线的解析式，根据矩形长和宽的比为2∶1判断四边形OECD是正方形，求出C点的坐标，根据抛物线的对称性，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 即可求得阴影部分的面积. 【详解】∵此二次函数的图象经过点， ∴． ∵此二次函数图象的对称轴是y轴，且矩形ABCD的长和宽的比为，阴影部分的面积等于正方形OECD的面积， 设点C的坐标为， ∵四边形OECD是正方形， ∴，解得（舍去负值），， ∴点C的坐标是， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称性及其性质是关键. 错因分析：中等题．失分原因：①没有掌握二次函数图象对称的性质；②解一元二次方程出错． 15． （0，1） 0 【分析】（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案； （2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m＞﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可． 【详解】解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）． ∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝1， 当x＝0时，y＝0+0+1＝1， ∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1）， 故答案为：（0，1）； （2）∵k为任意正实数， ∴k＞0， ∴函数图象开口向上， ∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵x＞m时，y随x的增大而增大， ∴， 故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质，明确二次函数的性质是解题的关键． 16．③④ 【分析】根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】令则，即该抛物线与y轴的交点坐标是； ①错误； 联立得： ∴当时，，抛物线与直线有交点； ②错误； 抛物线顶点坐标为 直线与坐标轴交点为 ∵该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界） ∴ 解得 ∴ ③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∵抛物线经过，且时，， ∴抛物线与x轴一定有一个交点在点与之间． 故④正确； 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 17．（）x1=1+，x2=1﹣；（2）x1=﹣，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=4，x2=﹣2；（5）x1=1, x2 【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式； （2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解； （3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解； （4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） 移项得，x2﹣2x=﹣ ， 配方得，x2﹣2x+1=﹣+1， （x﹣1）2= ， ∴x﹣1=± ∴x1=1+，x2=1﹣； （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0， （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0，7x﹣6=0， ∴x1=﹣，x2=； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10x+5=0 ∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40， ∴x= ， ∴x1=，x2=； （4）x2﹣2x﹣8=0． （x-4）（x+2）=0， ∴x-4=0，x+2=0， ∴x1=4，x2=-2； （5）(6x－1)2＝25 两边开方，得6x－1=±5 ∴x1=1, x2． 【点睛】本题考查解一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18．从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为． 【分析】设年平均增长率为x，根据2023年在2021年的基础上增加投入资金1600万元，列出方程求解可得． 【详解】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x． 根据题意得：． 解得(舍去)， 答：从2021年到2023年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键． 19．， 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【详解】解： ∵a是方程x2－x=6的根， ∴a2－a=6． ∴原式=． 20．（1）且；（2） ， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知k≠0，再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0，从而可得关于k的不等式组，解不等式组即可得； （2）由（1）可写出满足条件的k的最大整数值，代入方程后求解即可得. 【详解】解：（1） 依题意，得， 解得且； (2) ∵是小于9的最大整数， ∴ 此时的方程为， 解得，. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键. 21．(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 22． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据公式，把电阻为，5分钟时间导线产生的代入公式，得到方程是解决问题的关键． 【详解】解：5分钟， 由题意得：， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：通过电动机线圈的电流． 23．(1) (2)①；②或 【分析】（1）先将代入抛物线，然后再化成顶点式即可解答； （2）①先分别求得，再根据得到关于a的分式方程求得a的值，再看是否与B、C重合即可解答；先求得抛物线的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据二次函数的增减性和对称性即可解答． 【详解】（1）解：将代入抛物线可得：． 所以二次函数的顶点坐标为． （2）解:①将代入可得： 将代入可得： ∵ ∴ 解得： 经检验：是分式方程的解 ∴当时， ∵ ∴点B与点C重合，故，即； ②二次函数的对称轴为，即 当时，，二次函数图像开口向上，当 时，y随x的增大而增大 由轴对称可得点关于的对称点为 ∵ ∴，即 当时，，二次函数图像开口向下，当 时，y随x的增大而增大 由轴对称可得点关于的对称点为 ∵ ∴，即 综上，或，即或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质、二次函数的增减性和对称性等知识点，灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键． 24．(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．熟练掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，是解本题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 25．(1)抛物线的对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式求出即可； （2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线（）的对称轴为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，， ∴，都在对称轴右侧， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴； （3）∵，， ∵， ∴距离对称轴更近，，则的中点在对称轴的右侧， ∴， 解得：． 26．(1);(2) ;(3). 【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，-m+1），根据顶点在x轴上，得出-m+1=0，求出m=1，即可得出抛物线的解析式；（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，-m+1），即可得出顶点在直线y=-x+1上；（3）把点A（-1，0）代入求出m的值，再把B（1，0）代入求出m的值，即可求得m的取值范围． 【详解】∵， ∴顶点坐标是， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的顶点在直线上； 当抛物线过点时， ， 解得，， 当抛物线过点时， ， 解得，， 故． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、求直线的解析式等知识，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$