江浙皖高中（县中）发展共同体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷（江皖卷）

绝密★考试结束前 2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考 数学 命题：启东中学 审题：东阳中学昆山中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷： 4。参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.集合A={r2-4x一5=0，B={r-6x十5=0}，则集合AUB中的元素个数有（▲） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若复数：满足三+1 =1+i,则：的虚部是(A） 2-1 A.-2 B.2 C.-2i D.2i 3.某校一个数学兴惠小组四位学生参加一次竞赛中，最高分为280分，最低分为220分，且四位学生得 分的中位数与平均数相同，则4位学生的平均成绩为（▲） A.240 B.250 C.260 D.270 4.设ae(0,x,且2sina+cosa=l,则sin2a=(▲) 7 7 24 A.25 B.-25 c器 D.25 5.如图，在正四棱柱ABCD一A1B1CD中，己知AB=3,AA1=4,则四面体A1BCD 的体积是（▲） A.12 B.15 C.18 D.21 第5题图 6.F1,F分别是椭圆。+y=1的左，右焦点，过F作直线交椭圆于A,B两点。若6刷=2.则△FB 的面积为（▲） A.√2 B.2W5 c.35 D.42 7.已知向量a,b,c满足a·c=b-4d=c=2,则a-l的最小值是（▲） A.0 B.2 c.5 D.5 8.已知函数x)的定义域为R,且对任意x∈R,满足x十1)一x一1)≥x,红十3)一x一3)≤3x,且 1)=1,则51)=（▲） A.651 B.676 C.1226 D.1275 高三数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.若随机变量XW4,G),从X的取值中随机抽取K(K∈N,K≥2)个数据，记这K个数据的平均值为 Y,则随机变量YN似， 亡上随机变量服从正态分布M,.则PU一≤≤十o)=0,6827,Pu 2a≤n≤μ+2a)=0.9545,Pu一3a≤n≤μ十3a)=0.9973.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15 毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑透了16颗圆润华美的珍珠，将它串成 一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为Y,则（▲） A.随机变量Y的标准差为 16 B.随机变量r-N5, 27 C.P2≤Y≤16=0.9759 D.PY<14)=0.0455 10.己知函数fx)=sinr-xCOSx,则（▲） A.x)在(O,)上单调递增 B.x=0是)的极值点 C.x)在（一2m,2)上有3个零点 D.x)是周期函数 11.在平面直角坐标系xOy中，4，)，B2,小，Cx,为)为抛物线y2=4红上的三点，F为抛物线的 焦点，且F+F+F元=0，则（▲） A.十x2十为=3 B.x≤2=1,2,3) C.存在三点小，B.C,使√气，√石，√写分别为一个三角形的三条边长 D汁+ 三、填空题：本题共3小题，每5分，共15分. 12.在(@左”展开式中户的系数为-270.则a的值为人一 13.2024年巴黎奥运会女子乒乓球决塞，中国选手陈梦与孙颗莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决，她们技 艺精湛，顾强拼搏，展现国球风采，为观众带来了视觉盛宴。现甲、乙两名乒乓球选手进行一场七局 四胜的比塞，即谁先赢4局的比赛，谁就获胜，比寒结束。已知每一局比赛甲胜的概率为，乙胜的 概率为3 且第一局乙获胜，则甲最终以4比2获胜的概率为▲一： 14.设a是与 n 的差的绝对值最小的整数，则十a十…十a=▲ 四、解答题：本题共5小顾，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边为a,b,c.若a+ccosB=c+bcosC. (1)求B的值： (2)若△ABC的外接圆半径R=2,求△4BC的面积的取值范围. 高三数学试愿第2页（共4页） 16.(本题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=1,M1=4,D是AM1中点，E在棱BB,上，且BE=3BE. (1)求证：平面CDE⊥平面AMCC: (2)求平面CDE与平面ABC的夹角的余弦值. A B 第16器图 17.(本题满分15分) 己知点A,B是抛物线C:y2=8x上不同的两点，F为抛物线C的焦点， (1)若直线AB过点F,且向量OA+OB与向量a=(2,√2)共线，求直线AB的方程： (2)若∠AOB=T,且抛物线在点AB处的两条切线相交于点P,求P的轨迹方程. 2 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本题满分17分) 己知函数x)=alhr一x一a, (1)讨论x)的单调性： (2)若x,x<x)是x)的两个零点， ①求a的取值范围： ②求证： 2 <0（(x)为函数fx)的导函数). 19.(本题满分17分) 设数列{a,}的各项均为正数，对于给定的正整数m(m≥2)，a。a1a。2…a=a对任意 m(n>m,n∈N”)都成立，则称数列{an}是“G.数列” (1)已知数列{a.}是“G2数列"，且a1=a2=2,a,=a。=3,求a,和a6: (2)设甲：{a,}是正项等比数列，乙：a.}是“G.数列”，证明：甲是乙的充分不必要条件： (3)若{a}既是“G,数列”，又是“G,数列”，证明：{a.}是等比数列. 高三数学试题第4项（共4页）高三数学参考答案 （第 1 页 共 6 页） 2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级 10月联考 数学参考答案 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.【答案】C 【解析】由题设得：A＝{－1，5}，B＝{1，5}，所以 A∪B＝{－1，1，5}，故答案选 C 2.【答案】A 【解析】由 z＋1 z－1 ＝1＋i，得 z＝1－2i，故 z的虚部是－2. 3.【答案】B 【解析】设另两位学生的成绩为 x，y，则x＋y 2 ＝ 220＋x＋y＋280 4 ，得 x＋y 2 ＝250 ，故答案选 B . 4.【答案】C. 【解析】由题设可知，α∈(0， π)， 2sinα＋cosα＝1 sin2α＋cos2α＝1 sinα＝4 5 cosα＝－3 5 ，所以 sin2α＝2sinαcosα＝－24 25 . 5.【答案】A 【解析】VABC1D＝V 柱－4VA1－ABD＝36－24＝12. 6.【答案】B. 【解析】法一：F1(－2 2，0),设直线 AB方程为：y＝k(x＋2 2)，代入x 2 9 ＋y2＝1整理得：(9k2＋1)x2＋36 2k2x ＋72k2－9＝0，由弦长公式及|AB|＝2得 k＝± 3 3 ，故直线 AB的倾斜角为π 6 或 5π 6 ，所以 S△F2AB＝ 1 2 ×|AB| ×|F1F2|sin∠AF1F2＝1 2 ×2×4 2×1 2 ＝2 2. 法二：设|AF1|＝x，∠AF1F2＝α，则|AF2|＝6－x，|F1F2|＝4 2，由余弦定理得：x2＋32－2×4 2×x× 2cosα＝(6－x)2，化简得：x＝ 1 3－2 2cosα ，即|AF1|＝ 1 3－2 2cosα ，同理可得：|BF1|＝ 1 3＋2 2cosα ，|AF1| ＋|BF1|＝|AB|＝2， 1 3－2 2cosα ＋ 1 3＋2 2cosα ＝2，解得 cosα＝± 3 2 ,所以α＝π 6 或 5π 6 ，sinα＝1 2 ，S△F2AB＝ 1 2 × |AB|×|F1F2|sinα＝2 2. 7.【答案】D 【解析】不妨设 c＝(2，0)，则可设 a＝(1，t)，b＝(2cosθ＋8，2sinθ)，则|a－b|＝ (2cosθ－7)2＋(2sinθ－t)2 ≥|2cosθ－7|≥5.当 a＝(1，0)，b＝(6，0)，|a－b|＝5. 8.【答案】A 【解析】由 3x≥f(x＋3)－f(x－3)＝f(x＋3)－f(x＋1)＋f(x＋1)－f(x－1)＋f(x－1)－f(x－3)≥(x＋2)＋x＋(x －2)≥3x，所以 f(x＋1)－f(x－1)＝x,即 f(x＋2)－f(x)＝x＋1,所以 f(51)＝f(51)－f(49)＋f(49)－f(47)＋ …＋ f(3)－f(1)＋f(1)＝2(50＋48＋…＋2)＋1＝651. 高三数学参考答案 （第 2 页 共 6 页） 二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.） 9.【答案】BC 【解析】由题设可知，随机变量 Y~N(15，1 4 ) ，故标准差为1 2 ，答案 A 错误，答案 B 正确； P(27 2 ≤Y ≤16)＝1－P(Y＜27 2 )－P(Y＞16)＝1－1 2 （1－P(27 2 ≤Y≤33 2 )）－1 2 (1－P(14≤Y≤16)）)＝1 2 [P(27 2 ≤Y≤33 2 )＋ P(14≤Y≤16)]＝1 2 (0.9545＋0.9973)＝0.9759，答案 C 正确；P(Y＜14)＝1 2 （1－0.9545）＝0.02775，答案 D错误. 10.【答案】AC 【解析】因为 f′(x)＝xsinx＞0，x∈(0，π)，所以 f(x)在(0，π)上单调递增 ，答案 A正确；当 x∈(－π，0) 时，f′(x)＝xsinx＞0，所以 x＝0不是 f(x)的极值点，答案 B错误；当 x∈(－2π，－π)时，f′(x)＜0，f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，当 x∈(－π，π)时，f′(x)＞0，f(x)在(－π，π)上单调递增，当 x∈(π，2π) 时，f′(x)＜0，f(x)在(π，2π)上单调递减.又因为 f(－2π)＞0，f(－π)＜0，f(π)＞0，f(2π)＜0，所以 f(x) 在(－2π，2π)上有 3个零点，答案 C正确；当 x＝π＋2kπ，k∈Z时，f(π＋2kπ)＝π＋2kπ，所以 f(x)不 是周期函数，答案 D错误. 11.【答案】ABD 【解析】由题设可知 F(1，0)，FA → ＋FB → ＋FC → ＝(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＋(x3－1，y3)＝(x1＋x2＋x3－3， y1＋y2＋y3)＝(0，0)，所以 x1＋x2＋x3＝3，且 y1＋y2＋y3＝0，故 A正确；y21＝(y2＋y3)2≤2(y 2 2＋y 2 3)，所 以，x1≤2(x2＋x3)＝2(3－x1)x1≤2，同理可得，x2≤2，x3≤2，故 B正确；不妨设 y1≥0，y2≥0，y3 ＜0，则 y1＝2 x1，y2＝2 x2，y3＝－2 x3，代入 y1＋y2＋y3＝0，得 2 x1＋2 x2－2 x3＝0，所以 x1＋ x2＝ x3，故 C不正确；由 x1＋x2＋x3＝3， x1＋ x2＝ x3， x1x2＝(x1＋x2－ 3 2 )2，x21＋x 2 2＋x 2 3＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2 ＋x2x3＋x3x1)＝9－2x1x2－2x3(x1＋x2)＝9－2(x1＋x2－ 3 2 )2－2[3－(x1＋x2)](x1＋x2)＝9－2(x1＋x2)2＋6(x1 ＋x2)－ 9 2 －6(x1＋x2)＋2(x1＋x2)2＝ 9 2 ，故 D正确. 三、填空题（本题共 3小题，每 5分，共 15分.） 12.【答案】－3 【解析】设 r＋1项为 x2项，则 5－r－r 2 ＝2，解得 r＝2，其系数为 C25a3＝－270，故 a＝－3. 13.【答案】 3 256 【解析】甲最终以 4比 2获胜，即甲在第 2，3，4，5局比赛中胜 3局，且第 6局获胜，其概率为：C34( 1 4 )3 × 3 4 ＝ 3 256 14.【答案】390 【解析】an＝k， 则 n 3 ∈(k－1 2 ，k+1 2 )，n 3 ∈(k2－k＋1 4 ，k2+k＋1 4 )，n∈[3k2－3k+1，3k2＋3k]，故有 6k 个 n，使 an＝k，所以 a1＋a2＋…＋a100＝6×1＋12×2＋18×3＋24×4＋30×5＋10×6＝390. 高三数学参考答案 （第 3 页 共 6 页） 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(本题满分 13分） 解：（1）因为 a＋ccosB＝c＋bcosC，由余弦定理得： a＋c×a 2＋c2－b2 2ac ＝c＋b×a 2＋b2－c2 2ab ， 2分 整理得： a2＋c2－b2 2ac ＝ 1 2 ， 4分 又 B∈(0，π 2 )，所以 B＝π 3 . 6分 （2）S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝4 3sinAsinC 7分 ＝4 3sinAsin(2π 3 －A) ＝4 3sinA( 3 2 cosA＋1 2 sinA) ＝2 3( 3 2 sin2A＋1 2 － 1 2 cosA) ＝2 3sin(2A－π 6 )＋ 3 . 10分 因为△ABC是锐角三角形，所以 π 6 ＜A＜π 2 ， 所以， π 6 ＜2A－π 6 ＜ 5π 6 ，即 1 2 ＜sin(2A－π 6 )≤ 1， 12分 所以 2 3＜2 3sin(2A－π 6 )＋ 3 ≤3 3. 13分 16．(本题满分 15分） （1）证明：设 C1D的中点为 F，过 F作 GG1∥AA1分别交 AC，A1C1于 G，G1， 则 G，G1分别为 AC，A1C1的中点， 2分 所以 FG1＝1 2 A1D＝1， 由 BB1＝AA1＝4，BE＝3B1E，得 B1E＝1，即 FG1＝B1E，又因为 FG1∥B1E， 所以四边形 B1EFG1是平行四边形， 所以 EF∥B1G1， 4分 因为 G1是 A1C1的中点， △A1B1C1为正三角形，所以 B1G1⊥A1C1， 由正三棱柱的性质得,AA1⊥底面 A1B1C1，且 B1G1底面 A1B1C1，所以 B1G1⊥AA1，A1C1 ∩AA1＝A1 所以 B1G1⊥平面 AA1C1C ． 6分 又因为 EF∥B1G1，所以 EF⊥平面 AA1C1C， EF平面 C1DE，所以平面 C1DE⊥平面 AA1C1C． 8分 （2）以 BC中点 O为原点，OA，OC，OO1(O1为 B1C1中点）分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角 坐标系 O－xyz，则 D( 3 2 ，0，2)，E(0，－1 2 ，3)，C1(0，1 2 ，4)， 10分 易得平面 ABC的一个法向量 n1＝(0，0，1)， 11分 设向量 n2＝(x，y，z) 为平面 C1DE一个法向量， C1D → ＝( 3 2 ，－ 1 2 ，－2) ，C1E → ＝(0，－1，－1)， 则由 n2·C1D → ＝0，n2·C1E → ＝0，得 3 2 x－1 2 y－2z＝0，y+z＝0， 高三数学参考答案 （第 4 页 共 6 页） 令 z＝1，得 n2＝( 3，－1，1)， 13分 设平面 C1DE 与 平面 ABC的夹角为θ， 则 cosθ＝| n1·n2 |n1|·|n2| |＝ 5 5 ． 所以平面 C1DE 与 平面 ABC的夹角的余弦值为 5 5 ． 15分 17．(本题满分 15分） 解：（1）抛物线 C的焦点 F(2，0)． 1分 由题意可知，直线 AB的斜率存在并设为 k，故直线 AB方程为：y＝k(x－2)， 代入 y2＝8x整理得： k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0． 3分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 4(k2＋2) k2 ， y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝k[ 4(k2＋2) k2 －4]＝8 k ， OA → +OB → ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝( 4(k2＋2) k2 ， 8 k )， 5分 因为向量OA → +OB → 与向量 a＝(2， 2)共线， 所以 2k k2＋2 ＝ 2 2 ，解得 k＝ 2， 7分 故所求直线 AB的方程为： 2x－y－2 2＝0． 8分 （2）不妨设 )4,2( 1 2 1 ttA ， )4,2( 2 2 2 ttB )0,0( 21  tt ， 当 0y 时， xy 22 ， x y 2'  ， 从而点 A处的切线斜率为 1 1 1 t k  ，同理， 2 2 1 t k  ， 因为∠AOB＝π 2 ，所以 1 22 21  tt ，即 421 tt 11分 又点 A处的切线方程为 1 1 21 tx t y  ，点B处的切线方程为 2 2 21 tx t y  ， 设交点P的坐标为 ),( 00 yx ，则         20 2 0 10 1 0 21 21 tx t y tx t y ， 从而 1t 和 2t 方程 02 00 2  xtyt 的两个解 所以 4 2 0 21  xtt ，即 80 x ， 所以点P的轨迹方程为 8x . 15分 高三数学参考答案 （第 5 页 共 6 页） 18．(本题满分 17分） 解：（1）f(x)＝alnx－x－a的定义域为(0，＋∞) ， f ′(x)＝a x －1＝a－x x ． 1分 当 a≤ 0时，x∈ (0，＋∞)， f ′(x)＜0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 2分 当 a＞0时，x∈ (0，a)，f ′(x)＞0时，x∈ (a，＋∞)时， f ′(x)＜0， 所以，f(x)在 x∈ (0，a)上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减． 3分 （2）①因为 x1，x2(x1＜x2)是 f(x)的两个零点， 由（1）可知 a＞0，x1∈(0，a)，x2∈ (a，＋∞)， 且 fnax(x)＝alna－2a＞0，解得：a＞e2． 5分 而当 a＞e2时，f(1)＝－1－a＜0， f(a4)＝4alna－a4－a＜4a2－a4－a＜－a＜0， 所以，f(x)有两个零点．故 a的取值范围是(e2，＋∞)． 7分 ②因为 x1，x2(x1＜x2)是 f(x)的两个零点，所以， alnx1－x1－a＝0 alnx2－x2－a＝0a＝ x2－x1 lnx2－lnx1 ， 9分 f ′(x2＋x1 2 )＝ x2－x1 lnx2－lnx1 － x2＋x1 2 x2＋x1 2 ， 令 x2＝tx1，代入上式得： f ′(x2＋x1 2 )＝2(t－1)－(t＋1)lnt (t＋1)lnt (t＞1)． 11分 令 g(t)＝2(t－1)－(t＋1)lnt(t＞1)， g′(t)＝1－1 t －lnt，g′′(t)＝1 t2 － 1 t ＝ 1－t t2 ＜0(t＞1)， 13分 所以 g′(t)在(1，＋∞)上单调减，且 g′(1)＝0，所以 g′(t)＜0(t＞1)， 所以 g(t)在(1，＋∞)上单调减，且 g(1)＝0，所以 g(t)＜0(t＞1)， 15分 所以 f ′(x2＋x1 2 )＝2(t－1)－(t＋1)lnt (t＋1)lnt ＜0(t＞1)． 又因为 f ′(x)在(0，＋∞)上是减函数，且 x21＋x 2 2 2 ＞ x2＋x1 2 ， 所以，f ′( x21＋x 2 2 2 )＜f ′(x2＋x1 2 )＜0 ． 17分 19．(本题满分 17分） 【解】（1）因为 na 是“ 2G 数列”，所以 5354321 aaaaaa  ，解得 4 27 5 a ， 又 5 465432 aaaaaa  ，所以 26 a . 4分 （2）首先证明甲是乙的充分条件， 设等比数列 na 的公比为 q（ 0q ），则 11  nn qaa ， 所以 kn  时， 2nknkn aaa  ，所以当 mn  时，      12111121   mnnnnmnmnmnmnmnmnmnmn aaaaaaaaaaaa  ， 高三数学参考答案 （第 6 页 共 6 页） 所以 na 是“ mG 数列”，即甲是乙的充分条件. 7分 下证甲是乙的不必要条件， 设数列 na 是“ mG 数列”，m≥2， 定义数列 na 满足：a1＝a2＝…＝am＝1，am+1＝am+2＝…＝a2m＝2， an+2m＝ a2m+!n+m an+2m-1·an+2m-2·…·an+1·an ，n∈N* 则数列 na 是“ mG 数列”，但不是等比数列。 综上，甲是乙的充分不必要条件. 10分 （3）因为 na 是“ 2G 数列”，所以 3n 时， 52112 nnnnnn aaaaaa  ， 即 4 2112 nnnnn aaaaa  ， ① 因为 na 是“ 3G 数列”，所以 4n 时， 7321123 nnnnnnnn aaaaaaaa  ， 即 6 321123 nnnnnnn aaaaaaa  ， ② 12分 由①得，当 4n 时， 1 4 1 23     nn n nn aa a aa ； nn n nn aa aaa 1 4 1 32     ， 将上述两式代入②得， 6 1 4 1 11 1 4 1 n nn n nn nn n a aa a aa aa a       ， 整理得 84 1 4 1 nnn aaa   ，因为 na 的各项均为正数，所以 211 nnn aaa  ， 所以数列 na 从第 3项开始为等比数列， 设公比为 0q ，则 33  nn qaa ， 3n ， 15分 在①中令 4n 得 446532 aaaaa  ，即 q a a 32  ；令 3n 得 4 35421 aaaaa  ，即 2 3 1 q aa  ， 所以 1 1  nn qaa ， Nn ，所以 q a a n n 1 为常数， 所以 na 是等比数列. 17分