精品解析：安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

高河中学2025届高三第二次考试数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：集合， . 所以. 故选：C 【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 3. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用常见基本函数的图像性质结合给定区间一一判断即可得出答案. 【详解】A选项由，可得函数在区间上为减函数，区间上为增函数，则可得在区间上不是增函数，故A选项不对； B选项由，因4＞1，则由指数函数的性质可得在区间上为增函数，故B选项正确； C选项由，因，则由对数函数的性质可得在区间上为减函数，故C答案不对； D选项由，则由反比例函数的性质可得在区间上为减函数，故D答案不对. 综上可得：B选项正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了常见基本函数图像性质的应用，属于基础题. 4. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，与， 选项A：没有幂函数图像； 选项B：中，中，不符合； 选项C：中，中，不符合； 选项D：中，中，符合. 故选：D. 5. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果． 【详解】由题意作函数与的图象如下， ∵方程有四个不同的解，且， ∴关于对称，即， 当得或，则，故， 故选：A. 6. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点与方程的根的关系，转化为两个函数的交点，作出函数与的图像，利用数形结合即可得出选项. 【详解】 令，得； 在同一平面直角坐标系中分别作出和的图象， 如图所示.观察可知，它们有3个交点，即函数有3个零点， 故选：D 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，解题的关键把问题转化作出函数图像，此题属于中档题. 7. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数在区间上是单调减函数，可得，进而得出结论． 【详解】函数在区间上是单调减函数，． 且， 令，解得：． ，解得． 实数的取值范围是，． 故选：D． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 8. 已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】[方法一]：在中，令，则， 再令，得， ∴.又令，得，又∵，∴. 再令，得，∵，∴. ∴，故选A. [方法二]：由得，， 所以 .因为在中， 令，得，而是偶函数， 所以，∴.于是， 再中，令，得， ∴，故选A. [方法三]： ， ， ， ， 0， ， ， ， 0. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知，则下列不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例说明判断ABD，结合不等式的性质利用作差法判断C. 【详解】当时，都没有意义，故A错误； 当时，，故B错误； ，因为，，所以，即，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：ABD 10. 已知定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”以下函数是“定义域上的优美函数”的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据“定义域上的优美函数”的定义，对A、B、C、D一一验证. 【详解】由题意：定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”： 对于A：，， .，故A正确； 对于A：，， 当，此时， 不符合，故B错误； 对于C：， ，而， ， ，即，故C正确； 对于D：， 当时，恒成立. ， ，故D正确. 故选：ACD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证． 11. 已知函数 若关于的方程有 5 个不同的实根，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可． 【详解】解：作出函数，的图象如下： 因为关于的方程有5个不同的实根， 令，则方程有2个不同的实根，则，解得或， 若，则或， 令， ∴或，解得； 当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去； ∴综上可得. 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，可得，由此可求. 【详解】解：因为，当时，, 所以，， 因为， 所以， 故答案为： 13. 若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本不等式求出的最大值，即可得出结果. 【详解】， ，当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子利用基本不等式求出最大值. 14. 已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与两曲线的切点分别为，，由题意结合导数的几何意义可得直线的方程可表示为和，进而可得，即可得解. 【详解】对求导得，对求导得， 设直线与两曲线的切点分别为，， 则切线的方程可表示为； 切线的方程也可表示为， 所以， 消去整理得即， 令， 易知函数在上单调递减，且， 所以的解为， 所以直线l的斜率． 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的运算，考查了运算能力，属于中档题. 四、解答题（共5小题77分） 15. 设集合，集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据交集先将元素2代入集合，求出的值再逐一验证； （2）对进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集. 【小问1详解】 由题意得． ， 即，化简得：， 即，解得：， 经检验当，满足 当，满足 【小问2详解】 ，故 ①当空集，则，即，得或； ②当为单元素集，则，即，得或， 当，舍去；当符合； ③当为双元素集，则，则有，无解， 综上：实数的取值范围为. 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 17. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】（1）； （2）售价为9元时，利润最大为9万元 【解析】 【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式； （2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 ，因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元. 18. 已知函数. （1）设. ①求方程=2的根； ②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】 【分析】（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab的值. 【详解】（1）因为，所以. ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由条件知. 因为对于恒成立，且， 所以对于恒成立. 而，且， 所以，故实数的最大值为4. （2）因为函数只有1个零点，而， 所以0是函数的唯一零点. 因为，又由知， 所以有唯一解. 令，则， 从而对任意，，所以是上的单调增函数， 于是当，；当时，. 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数. 下证. 若，则，于是， 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾. 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 【点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 19 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若为的导函数，有两个不相等的极值点，求的最小值. 【答案】（1）在区间上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，对进行求导，即可得到答案； （2）对函数求导有，结合二次函数的性质可得，构造函数，利用导数求最值即可得到答案 【小问1详解】 当时，， ， 所以在区间上单调递增； 【小问2详解】 ， 由题意得，和是方程的两个不相等的正实根，则 ，解得， 所以，， 由于，所以，， 所以， 令，， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以最小值为. 【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高河中学2025届高三第二次考试数学试题 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知，则下列不一定成立是（ ） A. B. C D. 10. 已知定义域为A的函数，若对任意的，都有，则称函数为“定义域上的优美函数”以下函数是“定义域上的优美函数”的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知函数 若关于的方程有 5 个不同的实根，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12 已知函数，则__________． 13. 若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 14. 已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为______． 四、解答题（共5小题77分） 15. 设集合，集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 17. 某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 18. 已知函数. （1）设. ①求方程=2的根； ②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值. 19. 已知. （1）当时，求的单调区间； （2）若为的导函数，有两个不相等的极值点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$