广东省拔尖创新人才2023-2024学年九年级上学期学科知识竞赛数学试卷（初赛）

2023-2024学年广东省拨尖创新人才九年级(上)学科知识竞赛数学试卷(初赛) 一、选择题(每小题4分,共60分) 1.(4分)计算下列各式,值最大的是( ) A.32 (﹣3)3 B.﹣32 (﹣3)3 C.32+(﹣3)3 D.﹣32 (﹣3) 2.(4分)已知实数x,y满足(x2+y2﹣1)2+x2+y2﹣3=0,则x2+y2的值是( ) A.1或﹣2 B.﹣1或2 C.2 D.1 3.(4分)如图为一个棱长为1的正方体的展开图,A、B、C是展开后小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( ) A.30 B.45 C.50 D.60 4.(4分)随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量.得到数据如下(单位:只):6,5,7,8,7,9,10,5,6,7,利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为( ) A.1500 B.10500 C.14000 D.15000 5.(4分)若分式不论x取何值总有意义,则m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m>1 C.m≤1 D.m<1 6.(4分)已知:a、b是正数,且a+b=2,则的最小值是( ) A. B. C. D. 7.(4分)实数a,b,c满足a﹣b+c=0,则( ) A.b2﹣4ac>0 B.b2﹣4ac<0 C.b2﹣4ac≥0 D.b2﹣4ac≤0 8.(4分)已知有理数x满足x,若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a,最大值为b,则ab的值为( ) A.﹣1 B.5 C.﹣5 D.1 9.(4分)如图,将 ABC绕点C(0,1)旋转180 得到 A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( ) A.(﹣a,﹣b) B.(﹣a,﹣b﹣1) C.(﹣a,﹣b+1) D.(﹣a,﹣b+2) 10.(4分)如图,在物理课上,小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧秤的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 11.(4分)如图,已知正方形ABCD的面积为9.它的两个顶点B,D是反比例函数(k>0,x>0)的图象上两点,若点D的坐标是(m,n),则m﹣n的值为( ) A.3 B.﹣3 C. D. 12.(4分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=36 ,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是( ) A.∠BCE=36 B.BC=AE C. D. 13.(4分)已知如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 14.(4分)如图,在反比例函数的图象上,有点P1,P2,P3,P4,…,Pn,… 它们的横坐标依次为1,2,3,4,…,n,…,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4,…,Sn,…,则S1+S2+S3+…S2024的结果为( ) A. B. C. D. 15.(4分)如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,tan∠BAC,AD=2,BD=4,连接CD,则CD长的最大值是( ) A.2 B.21 C.2 D.22 二、填空题(每小题5分,共30分) 16.(5分)计算:2cos30 . 17.(5分)已知xy≠1,且有3x2+2023x+5=0,5y2+2023y+3=0,则的值等于 . 18.(5分)若关于x的分式方程2a无解,则a的值为 . 19.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是5,那么另一组数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差的和为 . 20.(5分)如图,在平面直角坐标系中,∠OAB=60 ,∠AOB=90 ,反比例函数y1的图象经过点A,反比例函数y2的图象经过点B,则m的值为 . 21.(5分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60 ,AB=6,点M为AB边上一点,AM=4,点N为AD边上的一动点,沿MN将 AMN翻折,点A落在点P处,当点P在菱形的对角线上时,AN的长度为 . 三、解答题(每小题12分,共60分) 22.(12分)阅读材料一:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,… 材料二:求1+2+22+23+…+22019+22020的值. 解:设S=1+2+22+23+…+22019+22020①,将等式①的两边同乘以2, 得2S=2+22+23+24+…+22020+22021②, 用②﹣①得,2S﹣S=22021﹣1, 即S=22021﹣1. 即1+2+22+23+…+22019+22020=22021﹣1. 根据以上材料回答:(1)27的个位数字为 ; (2)1+2+22+23+…+22021+22022结果的个位数字为 ; (3)请计算1+7+72+73+…+799+7100的值. 23.(12分)图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123 ,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备厢,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27 . (1)求打开后备厢后,车后盖最高点B'到地面l的距离; (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由.(结果精确到0.01m,参考数据:sin27 ≈0.454,cos27 ≈0.891,tan27 ≈0.510,1.732) 24.(12分)某商品现在的售价为每件60元,进价为每件40元,每星期可卖出300件;市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件. (1)若调整后的售价为x元(x为正整数),每星期销售的数量为y件,求y与x的函数关系; (2)设每星期的利润为W元,问如何确定销售价格才能达到最大周利润; (3)为了使每周利润不少于6000元,求售价的范围. 25.(12分)如图, OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、Q同时从点O出发,分别沿x轴正方向和y轴正方向运动,速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位,点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N,连接PM、PN.设运动时间为t(秒). (1)求点M的坐标(用含t的式子表示); (2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值; (3)是否存在这样的直线l,总能平分四边形MNBP的面积?如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由; (4)连接AP,当∠OAP=∠BPN时,求点N到OA的距离. 26.(12分)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90 得DF,连接AE,CF. (1)求证:AE=CF; (2)若A,E,O三点共线,连接OF,求线段OF的长. (3)求线段OF长的最小值. 2023-2024学年广东省拨尖创新人才九年级(上)学科知识竞赛数学试卷(初赛) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题4分,共60分) 1.(4分)计算下列各式,值最大的是( ) A.32 (﹣3)3 B.﹣32 (﹣3)3 C.32+(﹣3)3 D.﹣32 (﹣3) 【分析】利用有理数的乘方法则,乘除法则,加法法则将各式计算后比较大小即可. 【解答】解:32 (﹣3)3=9 (﹣27)=﹣243; ﹣32 (﹣3)3=﹣9 (﹣27)=243; 32+(﹣3)3=9+(﹣27)=﹣18; ﹣32 (﹣3)=﹣9 (﹣3)=3; ∵243>3>﹣18>﹣243, ∴值最大的是﹣32 (﹣3)3, 故选:B. 2.(4分)已知实数x,y满足(x2+y2﹣1)2+x2+y2﹣3=0,则x2+y2的值是( ) A.1或﹣2 B.﹣1或2 C.2 D.1 【分析】令x2+y2=A,则(A﹣1)2+A﹣3=0,整理为(A﹣2)(A+1)=0,根据x2+y2≥0,即可得出答案. 【解答】解:令x2+y2=A, ∵x2+y2≥0, ∴A≥0, ∴(A﹣1)2+A﹣3=0, A2﹣2A+1+A﹣3=0, A2﹣A﹣2=0, (A﹣2)(A+1)=0, ∴A﹣2=0或A+1=0, 解得:A=2或﹣1(舍), ∴x2+y2=2, 故选:C. 3.(4分)如图为一个棱长为1的正方体的展开图,A、B、C是展开后小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( ) A.30 B.45 C.50 D.60 【分析】连接AC,则AC,BC,AB的长度可以计算出来,根据AC,BC,AB判定 ABC为直角三角形,根据AC=BC判定∠ABC=45 . 【解答】解:连接AC, 则AC BC, AB, ∵AC2+BC2=AB2 ∴ ABC直角三角形, ∵AC=BC, ∴∠A=∠B45 . 故选:B. 4.(4分)随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量.得到数据如下(单位:只):6,5,7,8,7,9,10,5,6,7,利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为( ) A.1500 B.10500 C.14000 D.15000 【分析】先求出样本中10户家庭使用环保方便袋的平均数量,再乘以小区家庭总户数即可. 【解答】解:∵小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量的平均数为7, ∴估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为1500 7=10500, 故选:B. 5.(4分)若分式不论x取何值总有意义,则m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m>1 C.m≤1 D.m<1 【分析】主要求出当x为什么值时,分母不等于0.可以采用配方法整理成(a+b)2+k(k>0)的形式即可解决. 【解答】解:分式不论x取何值总有意义,则其分母必不等于0, 即把分母整理成(a+b)2+k(k>0)的形式为 (x2﹣2x+1)+m﹣1=(x﹣1)2+(m﹣1), 因为论x取何值(x2﹣2x+1)+m﹣1=(x﹣1)2+(m﹣1)都不等于0, 所以m﹣1>0,即m>1, 故选:B. 6.(4分)已知:a、b是正数,且a+b=2,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【分析】得出b=2﹣a,代入求出W,得出表示x轴上一点C(a,0)到A(0,1),B(2,﹣2)的距离之和,根据勾股定理求出最小值AB长即可. 【解答】解:∵a,b均为正数,a+b=2,b=2﹣a, 设W, 从上式可以看出:第一个根号是表示点C(a,0)到A(0,1)的距离,第二个根号是点C(a,0)到B(2,﹣2)的距离, 最小值为AB(注意取值范围:0<a<2), ∴W最小值, 故选:A. 7.(4分)实数a,b,c满足a﹣b+c=0,则( ) A.b2﹣4ac>0 B.b2﹣4ac<0 C.b2﹣4ac≥0 D.b2﹣4ac≤0 【分析】根据根的判别式,一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时,b2﹣4ac≥0. 【解答】解:设一元二次方程为ax2+bx+c=0 当x=﹣1时,原方程化为a﹣b+c=0 所以一元二次方程为ax2+bx+c=0有实数根, 所以b2﹣4ac≥0. 故选:C. 8.(4分)已知有理数x满足x,若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a,最大值为b,则ab的值为( ) A.﹣1 B.5 C.﹣5 D.1 【分析】首先解不等式,求得x的范围,即可根据x的范围去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号,即可确定最大与最小值,从而求得. 【解答】解:x, 去分母得:3(3x﹣1)﹣2 7≥6x﹣2(5+2x) 去括号得:9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4, 移项得:9x﹣6x+4x≥﹣10+14+3, 合并同类项得:7x≥7, 把系数化为1得:x≥1, 当1≤x≤3时,3﹣x≥0,x+2>0, |3﹣x|﹣|x+2| =3﹣x﹣(x+2) =3﹣x﹣x﹣2 =1﹣2x, ∴﹣6≤﹣2x≤﹣2,﹣5≤1﹣2x≤﹣1, 当x>3时,3﹣x<0,x+2>0, |3﹣x|﹣|x+2| =x﹣3﹣(x+2) =﹣5, ∴|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为﹣5,最大值为﹣1, ∴a=﹣5,b=﹣1, ∴ab=﹣5 (﹣1)=5. 故选:B. 9.(4分)如图,将 ABC绕点C(0,1)旋转180 得到 A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( ) A.(﹣a,﹣b) B.(﹣a,﹣b﹣1) C.(﹣a,﹣b+1) D.(﹣a,﹣b+2) 【分析】设点A′的坐标是(x,y),根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称,再根据中点公式列式求解即可. 【解答】解:根据题意,点A、A′关于点C对称, 设点A′的坐标是(x,y), 则0,1, 解得x=﹣a,y=﹣b+2, ∴点A′的坐标是(﹣a,﹣b+2). 故选:D. 10.(4分)如图,在物理课上,小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧秤的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时,排开水的体积逐渐变小,根据阿基米德原理和称重法可知y的变化,注意铁块露出水面前读数y不变,离开水面后y不变,即可得出答案. 【解答】解:露出水面前排开水的体积不变,受到的浮力不变,根据称重法可知y不变; 铁块开始露出水面到完全露出水面时,排开水的体积逐渐变小,根据阿基米德原理可知受到的浮力变小,根据称重法可知y变大; 铁块完全露出水面后一定高度,不再受浮力的作用,弹簧秤的读数为铁块的重力,故y不变. 故选:C. 11.(4分)如图,已知正方形ABCD的面积为9.它的两个顶点B,D是反比例函数(k>0,x>0)的图象上两点,若点D的坐标是(m,n),则m﹣n的值为( ) A.3 B.﹣3 C. D. 【分析】求出AB=AD=3,然后表示出点B的坐标,再根据点B,D在反比例函数图象上列式计算即可. 【解答】解:∵正方形ABCD的面积为9, ∴AB=AD=3, ∵点D的坐标是(m,n), ∴点B的坐标是(m+3,n﹣3), ∵点B,D是反比例函数(k>0,x>0)的图象上两点, ∴mn=(m+3)(n﹣3), ∴m﹣n=﹣3, 故选:B. 12.(4分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=36 ,以点C为圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是( ) A.∠BCE=36 B.BC=AE C. D. 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72 ,再根据题意可得:CP平分∠ACB,从而可得∠BCE=∠ACE=36 ,然后利用等量代换可得∠A=∠ACE=36 ,从而可得AE=CE,再利用三角形的外角性质可得∠B=∠CEB=72 ,从而可得CB=CE,进而可得AE=CE=CB,最后根据黄金三角形的定义可得,从而可得,再利用三角形的面积可得,从而进行计算即可解答. 【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=36 , ∴∠ABC=∠ACB72 , 由题意得:CP平分∠ACB, ∴∠BCE=∠ACE∠ACB=36 , ∴∠A=∠ACE=36 , ∴AE=CE, ∵∠CEB=∠A+∠ACE=72 , ∴∠B=∠CEB=72 , ∴CB=CE, ∴AE=CE=CB, ∵ BCE是顶角为36 的等腰三角形, ∴ BCE是黄金三角形, ∴, ∴, ∴, ∴, 故A、B、D不符合题意,C符合题意; 故选:C. 13.(4分)已知如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【分析】要使DN+MN最小,首先应分析点N的位置.根据正方形的性质:正方形的对角线互相垂直平分.知点D的对称点是点B,连接MB交AC于点N,此时DN+MN最小值即是BM的长. 【解答】解:根据题意,连接BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值, 在Rt BCM中,BC=8,CM=6 根据勾股定理得:BM10, 即DN+MN的最小值是10; 故选:B. 14.(4分)如图,在反比例函数的图象上,有点P1,P2,P3,P4,…,Pn,… 它们的横坐标依次为1,2,3,4,…,n,…,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4,…,Sn,…,则S1+S2+S3+…S2024的结果为( ) A. B. C. D. 【分析】根据反比例函数k值的几何意义和矩形面积公式,先找到规律,用规律解决问题即可, 【解答】解:根据题意可得:当x=1时,P1的纵坐标为2; 当x=2时,P2的纵坐标为1; 当x=3时,P3的纵坐标为; 当x=4时,P4的纵坐标为; 当x=5时,P5的纵坐标为; ••• 则S1=1 (2﹣1)=2﹣1; S2=1 (1)=1; S3=1 (); S4=1 (); ••• Sn; S1+S2+S3+…Sn=2﹣1+1••• ∴S1+S2+S3+…S2024, 故答案为:D. 15.(4分)如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,tan∠BAC,AD=2,BD=4,连接CD,则CD长的最大值是( ) A.2 B.21 C.2 D.22 【分析】如图,在AD的下方作Rt ADT,使得∠ADT=90 ,DT=1,连接CT,则AT,证明 DAB∽ TAC,推出,推出TC=2,再根据CD≤DT+CT,可得CD≤1+2,由此即可解决问题. 【解答】解:如图,在AD的下方作Rt ADT,使得∠ADT=90 ,DT=1,连接CT,则AT, ∵2, ∴, ∵∠ADT=∠ABC=90 , ∴ ADT∽ ABC, ∴∠DAT=∠BAC, ∴∠DAB=∠TAC, ∵, ∴ DAB∽ TAC, ∴, ∴TC=2, ∵CD≤DT+CT, ∴CD≤1+2, ∴CD的最大值为1+2, 故选:B. 二、填空题(每小题5分,共30分) 16.(5分)计算:2cos30 4 . 【分析】根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂及零指数幂的运算法则计算即可. 【解答】解:原式=22+21+3 =4. 故答案为:4. 17.(5分)已知xy≠1,且有3x2+2023x+5=0,5y2+2023y+3=0,则的值等于 . 【分析】将5y2+2023y+3=0的两边同时除以y2并整理,可知x和是关于x的一元二次方程3x2+2023x+5=0的两个解,根据根与系数的关系求出的值即可. 【解答】解:∵5y2+2023y+3=0, ∴0,即3 ()2+20235=0, ∴x和是关于x的一元二次方程3x2+2023x+5=0的两个解, ∴. 故答案为:. 18.(5分)若关于x的分式方程2a无解,则a的值为 3或 . 【分析】直接解分式方程,再分类讨论当1﹣2a=0时,当1﹣2a≠0时,分别得出答案. 【解答】解:去分母得:x﹣a=2a(x﹣3), 整理得:(1﹣2a)x=﹣5a, 当1﹣2a=0时,方程无解,故a; 当1﹣2a≠0时,x3时,分式方程无解,则a=3, 则a的值为:3或; 故答案为:3或. 19.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是5,那么另一组数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差的和为 49 . 【分析】根据平均数的变化规律可得出数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数是3 2﹣2;先根据数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为5,求出数据3x1,3x2,3x3,3x4,3x5的方差是5 32,即可得出数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差的和. 【解答】解:∵数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2, ∴数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数是3 2﹣2=4; ∵数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为5, ∴数据3x1,3x2,3x3,3x4,3x5的方差是5 32=45, ∴数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的方差是45; ∴数据3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2的平均数和方差的和为:4+45=49. 故答案为:49. 20.(5分)如图,在平面直角坐标系中,∠OAB=60 ,∠AOB=90 ,反比例函数y1的图象经过点A,反比例函数y2的图象经过点B,则m的值为 1 . 【分析】根据题意,作BH⊥x轴,AM⊥y轴,∠OAB=60 ,∠AOB=90 ,∴ BHO∽ AMO,有,令OM=a,则BH,代入反比例函数y2得:x,所以OH,得:AM,所以,可求得m的值. 【解答】解:作BH⊥x轴,垂足为H,AM⊥y轴,垂足为M, ∵∠OAB=60 ,∠AOB=90 , ∴ BHO∽ AMO, ∴, 令OM=a,则BH, 代入反比例函数y2得:x, ∴OH,得:AM, ∴, 又∵AM•OM=m, ∴m=1. 故答案为1. 21.(5分)如图,在菱形ABCD中,∠A=60 ,AB=6,点M为AB边上一点,AM=4,点N为AD边上的一动点,沿MN将 AMN翻折,点A落在点P处,当点P在菱形的对角线上时,AN的长度为 4或10﹣2 . 【分析】分两种情况:①当点P在菱形对角线AC上时,由折叠的性质得:AN=PN,AM=PM,证出∠AMN=∠ANM=60 ,得出AN=AM=4; ②当点P在菱形对角线BD上时,设AN=x,由折叠的性质得:PM=AM=4,PN=AN=x,∠MPN=∠A=60 ,求出BM=AB﹣AM=2,证明 PDN∽ MBP,得出比例线段,可求出答案 【解答】解:分两种情况:①当点P在菱形对角线AC上时,如图1所示: 由折叠的性质得:AN=PN,AM=PM, ∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60 , ∴∠PAM=∠PAN=30 , ∴∠AMN=∠ANM=90 ﹣30 =60 , ∴AN=AM=4; ②当点P在菱形对角线BD上时,如图2所示: 设AN=x, 由折叠的性质得:PM=AM=4,PN=AN=x,∠MPN=∠A=60 , ∵AB=6, ∴BM=AB﹣AM=2, ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ADC=180 ﹣60 =120 ,∠PDN=∠MBP∠ADC=60 , ∵∠BPN=∠BPM+60 =∠DNP+60 , ∴∠BPM=∠DNP, ∴ PDN∽ MBP, ∴,即, ∴PDx, ∴, 解得:x=10﹣2或10+2(不合题意舍去), 综上所述,AN的长为4或10﹣2. 故答案为:4或10﹣2. 三、解答题(每小题12分,共60分) 22.(12分)阅读材料一:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,… 材料二:求1+2+22+23+…+22019+22020的值. 解:设S=1+2+22+23+…+22019+22020①,将等式①的两边同乘以2, 得2S=2+22+23+24+…+22020+22021②, 用②﹣①得,2S﹣S=22021﹣1, 即S=22021﹣1. 即1+2+22+23+…+22019+22020=22021﹣1. 根据以上材料回答:(1)27的个位数字为 8 ; (2)1+2+22+23+…+22021+22022结果的个位数字为 7 ; (3)请计算1+7+72+73+…+799+7100的值. 【分析】(1)认真阅读材料一,可得规律:当2的指数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,.......时,所得结果的个位上的数为2,4,8,6,2,4,8,6,2,......以2,4,8,6为循环出现的; (2)先认真阅读材料二,求出式子的值,再根据(1)得到的规律判断式子结果的各位数字,再减去1就可得出结果; (3)认真阅读材料二,根据材料二的规律计算(3)即可. 【解答】解:(1)由题意可得27的个位数字为:8; 故答案为:8; (2)1+2+22+23+…+22021+22022=22023﹣1, 22023个位上的数为8, ∴22023﹣1的个位上的数就是7. 故答案为:7. (3)阅读材料二可知, 设S=1+7+72+73+…+799+7100①,将等式①的两边同乘以7, 得7S=7+72+73+…+799+7100+7101②, ②﹣①得,6S=7101﹣1, 1+7+72+73+…+799+7100. 23.(12分)图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123 ,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备厢,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27 . (1)求打开后备厢后,车后盖最高点B'到地面l的距离; (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由.(结果精确到0.01m,参考数据:sin27 ≈0.454,cos27 ≈0.891,tan27 ≈0.510,1.732) 【分析】(1)作B′E⊥AD,垂足为点E,先求出B′E的长,再求出B′E+AO的长即可; (2)过C′作C′F⊥B′E,垂足为点F,先求得∠AB′E=63 ,再得到∠C′B′F=∠AB′C′﹣∠AB′E=60 ,再求得B′F=B′C′•cos60 =0.3m,从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3=1.85(m),最后比较即可. 【解答】解:(1)如图,作B′E⊥AD,垂足为点E, 在Rt AB′E中, ∵∠B′AD=27 ,AB′=AB=1m, ∴sin27 , ∴B′E=AB′sin27 ≈1 0.454=0.454m, ∵平行线间的距离处处相等, ∴B′E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15m, 答:车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m. (2)没有危险,理由如下: 如图,过C′作C′F⊥B′E,垂足为点F, ∵∠B′AD=27 ,∠B′EA=90 , ∴∠AB′E=63 , ∵∠AB′C′=∠ABC=123 , ∴∠C′B′F=∠AB′C′﹣∠AB′E=60 , 在Rt B′FC′中,B′C′=BC=0.6m, ∴B′F=B′C′•cos60 =0.3m. ∵平行线间的距离处处相等, ∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3=1.85m. ∵1.85>1.8, ∴没有危险. 24.(12分)某商品现在的售价为每件60元,进价为每件40元,每星期可卖出300件;市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件. (1)若调整后的售价为x元(x为正整数),每星期销售的数量为y件,求y与x的函数关系; (2)设每星期的利润为W元,问如何确定销售价格才能达到最大周利润; (3)为了使每周利润不少于6000元,求售价的范围. 【分析】(1)根据“每涨价1元,每个星期要少卖出10件;每降价1元,每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系. (2)设每星期所获利润为W,根据一星期利润等于每件的利润 销售量得到W与x的关系式;把解析式配成抛物线的顶点式,利用抛物线的最值问题即可得到答案; (3)分别根据60≤x≤90、40≤x≤60两种情况,求出每周利润不少于6000元时x的范围即可得. 【解答】解:(1)根据题意得:涨价时,y=300﹣10(x﹣60)(60≤x≤90), 降价时,y=300+20(60﹣x)(40≤x≤60), 整理得:y; (2)当涨价时,W=(x﹣40)(﹣10x+900) =﹣10(x﹣65)2+6250(60≤x≤90), 当x=65时,y的最大值是6250, 当降价时,W=(x﹣40)(﹣20x+1500) =﹣20(x﹣57.5)2+6125 (40≤x≤60), 所以定价为:x=57或x=58时利润最大,最大值为6120元. 综合以上两种情况,定价为65元时可获得最大利润为6250元; (3)当60≤x≤90时,﹣10(x﹣65)2+6250=6000, 解得:x=60或x=70, ∴60≤x≤70; 当40≤x≤60时,﹣20(x﹣57.5)2+6125=6000, 解得:x=55或x=60, ∴55≤x≤60, 综上,为了使每周利润不少于6000元,售价x的范围是55≤x≤70. 25.(12分)如图, OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、Q同时从点O出发,分别沿x轴正方向和y轴正方向运动,速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位,点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N,连接PM、PN.设运动时间为t(秒). (1)求点M的坐标(用含t的式子表示); (2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值; (3)是否存在这样的直线l,总能平分四边形MNBP的面积?如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由; (4)连接AP,当∠OAP=∠BPN时,求点N到OA的距离. 【分析】(1)过点A作x轴的垂线,分别交MN和x轴于点E和点F,利用三角形相似写出点M的坐标; (2)四边形的面积可以用分割法求解,① MNP和 BNP的面积之和;②四边形MNBO和 OMP的面积之差,其它方法亦可; (3)先判断四边形MNBP的形状,就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标(用含t的式子表示),然后消去t,得到直线l的解析式; (4)利用三角形相似解题,由∠OAP=∠BPN和∠AOB=∠PBN(由题意可知),得证 AOP∽ PBN,再利用相似的性质求出对应的t值,再由等面积法求高,求出点N到OA的距离. 【解答】解:(1)过点A作x轴的垂线,交MN于点E,交OB于点F, 由题意得:OQ=2t,OP=3t,PB=6﹣3t, ∵O(0,0),A(3,4),B(6,0), ∴OF=FB=3,AF=4,OA=AB, ∵MN∥OB, ∴∠OQM=∠OFA,∠OMQ=∠AOF, ∴ OQM∽ AFO, ∴, ∴, ∴QM, ∴点M的坐标是(). (2)∵MN∥OB, ∴四边形QEFO是矩形, ∴QE=OF, ∴ME=OF﹣QM=3, ∵OA=AB, ∴ME=NE, ∴MN=2ME=6﹣3t, ∴S四边形MNBP=S MNP+S BNP MN•OQ•BP•OQ =﹣6t2+12t =﹣6(t﹣1)2+6, ∵点P到达点B时,P、Q同时停止, ∴0<t<2, ∴t=1时,四边形MNBP的最大面积为6,四边形 MNBP面积不存在最小值. (3)∵MN=6﹣3t,BP=6﹣3t, ∴MN=BP, ∵MN∥BP, ∴四边形MNBP是平行四边形, ∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心,即MB的中点, 设中点为H(x,y), ∵M(),B(6,0), ∴x, y. ∴x, 化简得:y, ∴直线l的解析式为:y. (4)①当t=0时,点M和点P均在点O处,∠BPN=∠OAP=0 , 此时点N在点B处, ∴点N到OA的距离为 OAB边OA上的高,记为h, ∵S OABOB•AFOA•h, ∴6 45h, ∴点N到OA的距离为:h; ②当0<t<2时, ∵OQ=2t,QMt, ∴OMt, ∵MN∥OB, ∴, ∴OM=BNt, ∵OA=AB, ∴∠AOB=∠PBN, 又∵∠OAP=∠BPN, ∴ AOP∽ PBN, ∴, ∴, 解得:t1,t2=0(舍去). ∵MN=6﹣3t,AE=AF﹣OQ,ME=3, ∴MN=6﹣3, AE, ME, ∴AM. 设点N到OA的距离为h, ∵S AMNMN•AEAM•h, ∴, 解得:h; ③当t=2时,不符合题意; 综上所述:点N到OA的距离为或. 26.(12分)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90 得DF,连接AE,CF. (1)求证:AE=CF; (2)若A,E,O三点共线,连接OF,求线段OF的长. (3)求线段OF长的最小值. 【分析】(1)根据旋转的性质,对应线段和对应角相等,可证明 ADE≌ CDF,即可得到AE=CF; (2)先利用: ADE≌ CDF,求得CF的长,再利用 ABO∽ CPF,求得CP、PF的长,即可求得OF的长; (3)当O、E、P三点共线时,PE最小,即OF最小,根据勾股定理可得OP的长,从而得PE的长.和OF的最小值. 【解答】(1)证明:如图1,由旋转得:∠EDF=90 ,ED=DF, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=90 ,AD=CD, ∴∠ADC=∠EDF, 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF, ∴∠ADE=∠CDF, 在 ADE和 CDF中, ∵, ∴ ADE≌ CDF(SAS), ∴AE=CF; (2)解:如图2,过F作OC的垂线,交BC的延长线于P, ∵O是BC的中点,且AB=BC=2, ∵A,E,O三点共线, ∴OB, 由勾股定理得:AO=5, ∵OE=2, ∴AE=5﹣2=3, 由(1)知: ADE≌ CDF, ∴∠DAE=∠DCF,CF=AE=3, ∵∠BAD=∠DCP, ∴∠OAB=∠PCF, ∵∠ABO=∠P=90 , ∴ ABO∽ CPF, ∴2, ∴CP=2PF, 设PF=x,则CP=2x, 由勾股定理得:32=x2+(2x)2, x或(舍), ∴FP,OP, 由勾股定理得:OF, (3)解:如图3,由于OE=2,所以E点可以看作是以O为圆心,2为半径的半圆上运动, 延长BA到P点,使得AP=OC,连接PE, ∵AE=CF,∠PAE=∠OCF, ∴ PAE≌ OCF(SAS), ∴PE=OF, 当PE最小时,为O、E、P三点共线, OP5, ∴PE=OF=OP﹣OE=52, ∴OF的最小值是52. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$