专题10 新定义下的实数运算30题-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题10 新定义下的实数运算30题 一、单选题 1．（23-24八年级上·北京石景山·期中）对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 2．（23-24八年级上·重庆北碚·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，后则显示的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果为，若的最大值为2021，那么的最小值为2019． 以上说法正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的一半，则称这个四位数为“半倍数”，对于“半倍数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“半倍数”的百位上的数字与十位上的数字之和为4，且能被7整除，则所有满足条件的“半倍数”中的最大值与最小值的差为 ． 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 7．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）我们用符号表示一个不大于实数x的最大的整数，如：，则按这个规律， ， ． 9．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）对于实数a，b，定义的含义为当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 10．（23-24八年级上·重庆·期中）对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称为“吉安数”，例如：，∵且，是“吉安数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 ；若是“吉安数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”的最大值为 11．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是 ． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，则 ；若，则的值为 ． 13．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，.现对进行如下操作：.这样对只需要进行3次操作后变为1，类似地，只需要进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是 ． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，．，现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 . 15．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若表示不超过的最大整数（如等）、根据定义计算下面算式： ． 16．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 17．（23-24八年级上·重庆·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”． （1）直接写出最小的“等等数” ． （2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ． 三、解答题 18．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）定义：任意两个数á，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“求实数”. (1)若，，求出a,，b的“求实数”c； (2)如果 求a， b的“求实数”c，并证明：无论 m取何值时“求实数”c总是非正数； 19．（23-24八年级上·重庆·期中）对于整数定义运算，（其中为常数），如． (1)当，时，求的值； (2)若，，求的值． 20．（23-24八年级上·山东日照·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； 21．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 22．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（、均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：____，_____； (2)计算：； (3)将化为（、均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 23．（23-24八年级上·湖北·周测）如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求x的值； (2)记，，，求的值． 24．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题． 今年7月8日—9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，个相同的因数相乘记为．如，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为（即）．一般地，若（且，，为正整数），则叫做关于的“绿色发展数”，记为（即）． (1)计算以下列“绿色发展数”的值： ______，______，______． (2)观察（1）中、、三数及其计算结果，猜想与（且，，）之间的关系，并证明你的猜想． (3)如果我们将题目中的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，且．用含的式子表示． 25．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，…； 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有_______都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：_______； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解． 27．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 28．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 29．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读以下材料： 阅读以下材料： ①材料一、现定义某种运算“★”，对于任意两个数、，都有．请按上面的运算解答下面问题： （1）； （2） ②材料二：一般地，个相同因数相乘，记为，如，此时叫做以为底的对数，记为（即）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即）．如，叫做以为底的对数，记为． 计算以下各对数的值：________；________；________． 30．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 新定义下的实数运算30题 一、单选题 1．（23-24八年级上·北京石景山·期中）对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算①根据新运算的运算方法，分类讨论：，，判断出是否等于即可；②由①，推得，所以不一定成立；③举反例，判断出与的关系即可． 【详解】解：①时， ，， ； 时， ，， ； ①符合题意． ②由①，可得：， 当时， ， 不一定等于， 当时， ， 不一定等于， 不一定成立， ②不符合题意． ③当时， 取， ， 不成立， ③不符合题意， 说法中正确的有1个：①． 故选：A． 2．（23-24八年级上·重庆北碚·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，后则显示的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果为，若的最大值为2021，那么的最小值为2019． 以上说法正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数的奇偶性问题以及有绝对值的函数最值问题，解题的关键是读懂题意．①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则可知最大值是5；③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可． 【详解】解：根据题意可得出：， ， ， 故①不符合题意； ②对于2，3，6，按如下次序输入：2，3，6，可得， 按如下次序输入：2，6，3，可得， 按如下次序输入：3，2，6，可得， 按如下次序输入：3，6，2，可得， 按如下次序输入：6，2，3，可得， 按如下次序输入：6，3，2，可得， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是5， 故②不符合题意； ③对于随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果为，若的最大值为2021， 由②得当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值； ∴设为较大的数字，当时， ， 解得：， 故此时输入后得到的最小数为： ， 故③符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数，把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．，都是正整数），当时，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下实数的混合运算，先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出的最大值即可． 【详解】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为， ， ， ； 将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，都是正整数， 最大为6时，最大， 此时， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级上·重庆·期中）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的一半，则称这个四位数为“半倍数”，对于“半倍数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“半倍数”的百位上的数字与十位上的数字之和为4，且能被7整除，则所有满足条件的“半倍数”中的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 1125 4905 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意列出相关式子求解即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：1125； 设的千位数上的数字为，百位数上的数字为， “半倍数”的百位上的数字与十位上的数字之和为4， 十位数上的数字为， “半倍数”百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的一半， 千位上的数字与个位上的数字之和为8， 个位数上的数字为， ，（，且，为整数）， ， ， 能被7整除， ，且，为整数， 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，能被7整除，此时； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，能被7整除，此时； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，能被7整除，此时； 当，时，，不能被7整除，舍去； 当，时，，不能被7整除，舍去； 所有满足条件的“半倍数”中的最大值与最小值的差为； 故答案为：4905． 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）定义一种新的运算“”，若，则． ①依定义， ； ②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方等知识，①直接根据新定义即可求解设，②，，根据新运算定义用表示得方程即可求解，理解并运用新运算的定义是解题的关键． 【详解】解：①依题意可得， ∴， ∴， 设，， ②依题意可知：，， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：，． 7．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 【答案】 138 1289 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“善雅数”的定义直接进行求解即可； （2）根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”的定义， ， 当最大时，则最大， ∴当，时，最大， 故答案为：，． 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）我们用符号表示一个不大于实数x的最大的整数，如：，则按这个规律， ， ． 【答案】 3 【分析】先估算出，以及的范围，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3，． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键． 9．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）对于实数a，b，定义的含义为当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据无理数的估算和定义新运算，求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且a和b为两个连续正整数， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的平方根，无理数的估算，定义新运算．理解并掌握新定义，是解题的关键． 10．（23-24八年级上·重庆·期中）对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称为“吉安数”，例如：，∵且，是“吉安数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 ；若是“吉安数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”的最大值为 【答案】 【分析】根据“吉安数”的概念列方程求出a的值，进而求出这个数；首先根据题意设，然后根据“吉安数”的概念求解判断即可． 【详解】∵一个“吉安数”为， ∴ 解得， ∴这个数为； ∵是一个完全平方数 ∴设，x是正整数， ∴ 当时， ∵若是“吉安数”，是一个四位正整数 ∴不符合题意，应舍去， ∴当时， ∵， ∴9461是一个“吉安数”， ∴满足条件的“吉安数”的最大值为9461． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了新定义的理解和掌握，熟记“吉安数”的概念是解题的关键． 11．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是 ． 【答案】256 【分析】结合题中的操作顺序，对256进行运算，结合二次根式的估算， 要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，关键是确定第三次操作后数的大小不能大于4，第二次操作时根号内的数不大于16，而一次操作时正整数必须不大于256，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是256， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，则 ；若，则的值为 ． 【答案】 64 77 【分析】设，根据题意和同底数幂乘法的逆用即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 设， 由题意得：， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64，77 【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用,理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键． 13．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，.现对进行如下操作：.这样对只需要进行3次操作后变为1，类似地，只需要进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，无理数的估算．利用逆向思维进行求解，根据新定义，先求第3次操作前a的最大整数，然后求第2次，最后求第1次的最大整数即可． 【详解】解：∵，， ∴第3次操作前a的最大整数为8， ∵，， ∴第2次操作前a的最大整数为， ∵，， ∴第1次操作前a的最大整数为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，．，现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 . 【答案】65535 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，根据新定义，求第4次操作前，a的最大整数，依次求得最大值，进而即可求解． 【详解】解：，，；， 所以只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535 故答案为：65535 15．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若表示不超过的最大整数（如等）、根据定义计算下面算式： ． 【答案】2011 【分析】本题主要考查是一道定义新运算型问题，首先对每个式子进行分母有理化，即可确定每个式子的值，然后相加即可． 【详解】解：， 而， ∴， 设第式子是： ， ， ， ， 则：， 故可求得每个式子均为1， 所求式子一共为2011项， ∴， 故答案为：2011． 16．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可． 【详解】， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以的最小值为8， 故答案为：4，8 17．（23-24八年级上·重庆·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”． （1）直接写出最小的“等等数” ． （2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ． 【答案】 或或 【分析】本题主要考查了实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． （1）根据是千位上的数，以及最小的正整数是1和最小的四位数百位上是0，可求出和的值，结合题意即可求解 （2）根据题意得到：，，结合题意推得，分别写出满足等式的所有情况，结合题意分析即可求解． 【详解】解：（1）∵是四位正整数中千位上的数字，故若使得四位正整数是最小的“等等数”； 则取最小的正整数，取最小的整数， ∵， 故，． ∴最小的“等等数”是． 故答案为：； （2）根据题意知：，， ∵， ∴， 即当，，此时，；∵，则这个“等等数”是； 或当，，此时，；∵，则这个“等等数”是； 或当，，此时，；则这个“等等数”是； ∴满足条件的“等等数”是或或． 故答案为：或或． 三、解答题 18．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）定义：任意两个数á，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“求实数”. (1)若，，求出a,，b的“求实数”c； (2)如果 求a， b的“求实数”c，并证明：无论 m取何值时“求实数”c总是非正数； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查新定义运算，完全平方公式的应用： （1）利用新定义运算法则计算即可； （2）利用新定义运算法则表示出c，再根据平方的非负性即可证明． 【详解】（1）解：将，代入， 得：； （2）解：将代入， 得：， ， 无论 m取何值时“求实数”c总是非正数． 19．（23-24八年级上·重庆·期中）对于整数定义运算，（其中为常数），如． (1)当，时，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义，将值代入计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法可得，，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， ，， ． 20．（23-24八年级上·山东日照·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，完全平方公式的变形求值： （1）①根据新定义可得；②根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，即，再根据完全平方公式的变形求出，则． 【详解】（1）解；①由题意得，， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 21．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查新定义运算及整数指数幂，解题关键是理解新定义运算并进行运用． 22．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（、均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：____，_____； (2)计算：； (3)将化为（、均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 【答案】(1)1，； (2)； (3)． 【分析】（）根据，则，然后计算； （）根据平方差公式计算，出现，化简为计算； （3）分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算； 本题考查了实数的运算，平方差公式和完全平方公式的运用，熟练掌握运算法则及能读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，； （2） ， ， ； （3）， ， ， ． 23．（23-24八年级上·湖北·周测）如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求x的值； (2)记，，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的新定义运算问题，正确理解定义是解题的关键． （1）根据定义，列式计算即可． （2）根据定义，列式计算即可． 【详解】（1）∵，则，， ∴， 解得． （2）∵，则，，，， ∴，，， ∴ ． 24．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题． 今年7月8日—9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，个相同的因数相乘记为．如，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为（即）．一般地，若（且，，为正整数），则叫做关于的“绿色发展数”，记为（即）． (1)计算以下列“绿色发展数”的值： ______，______，______． (2)观察（1）中、、三数及其计算结果，猜想与（且，，）之间的关系，并证明你的猜想． (3)如果我们将题目中的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为，且．用含的式子表示． 【答案】(1)1，3，4 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查新定义运算，涉及对“绿色发展数”定义的理解、同底数幂的乘法运算法则和非负数和为零的条件等知识，读懂题意，弄清新定义，按要求计算是解决问题的关键． （1）根据“绿色发展数”定义直接求解即可得到答案； （2）由（1）中的计算结果，结合“绿色发展数”定义，由同底数幂的乘法运算法则计算即可得证； （3）根据非负数和为零的条件，结合（2）中结论和“绿色发展数”，由同底数幂的乘法运算证明即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， 由“绿色发展数”定义可知，，，， 故答案为：1，3，4； （2）解：． 证明如下： 由（1）中，，则， 设，， 则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵6关于的“绿色发展数”为，216关于的“绿色发展数”为， ∴，， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3)． 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式． （1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：∵， 又是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， 有2019个加数，， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，…； 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有_______都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：_______； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解． 【答案】(1)奇数；5和6 (2)证明见解析 (3)第2023个智慧数是2700，它的智慧分解为676和674 【分析】本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法． （1）由小明的探究可得，（，且为整数）是除1外，所有的奇数；根据探究可求得11的智慧分解； （2）借助小明的探究思路，可证猜想； （3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵（，且为整数）， ∴除1外，所有奇数都是智慧数； ． 故答案为：奇数；5和6； （2）证明：设，且为整数， ∵， ∴， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（，且为整数）均为智慧数； （3）解：据探究得，智慧数是奇数时，且为整数，智慧数是4的倍数时，且为整数， ∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数， ∵，， ∴第2023个智慧数是2700， ∵2700能被4整除， ∴， 即第2023个智慧数为2700，它的智慧分解为676和674． 27．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)与 (2)1 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 （2）解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； （3）解：数对一个“对称数对”是， 或， 或． 28．（23-24八年级上·河南南阳·期中）对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下： (1)．如．已知的结果是6，求的值． (2)．如．已知结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是 的关键． （1）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据平方根的定义即可求解； （2）根据题目所给新定义的运算法则，得出，根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵ ∴，则 ∴． （2）解：由题意，得， ∵， ∴ ，则， ∴ ∴． 29．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读以下材料： 阅读以下材料： ①材料一、现定义某种运算“★”，对于任意两个数、，都有．请按上面的运算解答下面问题： （1）； （2） ②材料二：一般地，个相同因数相乘，记为，如，此时叫做以为底的对数，记为（即）一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即）．如，叫做以为底的对数，记为． 计算以下各对数的值：________；________；________． 【答案】①（1）；（2） ②2；4；6 【分析】此题考查了新定义，整式的混合运算，有理数的乘方运算，理解题中的新定义是解本题的关键． ①利用题中的新定义计算即可得到结果； ②利用题中的对数定义计算即可得到结果． 【详解】解：①（1） ； （2） ． ②； ； ． 30．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及正确理解题目所给的复数的定义． （1）把代入即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据计算即可； （3）先归纳出每4个数为一组，每组按照的顺序排列，即可进行计算． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，1； （2）解： ， ； （3）解：根据题意可得： ∵i，，，，，，，…… ∴每4个数为一组，每组按照的顺序排列； ， ∴ ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$