专题07 二次根式化简的五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题07 二次根式化简的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用数轴化简二次根式 类型二、利用二次根式性质化简 类型三、利用二次根式性质化简求值 类型四、双重二次根式化简 类型五、利用分母有理化化简绝对值 压轴专练 类型一、利用数轴化简二次根式 例1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式1-1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 变式1-2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 变式1-3．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 例2．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 变式2-1．当时，化简： 变式2-2．已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则 ． 变式2-3．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 变式2-4．已知的三边长、、满足，求的周长． 类型三、利用二次根式性质化简求值 例3．已知，，则 ． 变式3-1．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2049 变式3-2．已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 变式3-3．已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 类型四、双重二次根式化简 例4．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 变式4-1．形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 变式4-2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 类型五、分母有理化化简二次根式 例5．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 变式5-1．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：________； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 变式5-2．在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若自然数能使为整数，则可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 4．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    5．已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 6．（1）计算： （2）实数，在数轴上的位置如图所示．化简：． 7．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 8．已知，求a、b、c的值． 9．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ①______； ②（为正整数）______； (2)小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，，（，）再根据平方根的定义可得： ，，（，）； 直接写出以下算式的结果： ①______； ②______； (3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ； (4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决： 题目：若实数、满足条件，求的值． 10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次根式化简的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用数轴化简二次根式 类型二、利用二次根式性质化简 类型三、利用二次根式性质化简求值 类型四、双重二次根式化简 类型五、利用分母有理化化简绝对值 压轴专练 类型一、利用数轴化简二次根式 例1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选A． 变式1-1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 变式1-2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，利用数轴得出，结合得出，进而利用绝对值、完全平方公式和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解∶由数轴知：， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：b． 变式1-3．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 类型二、利用二次根式性质化简 例2．已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 变式2-1．当时，化简： 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，根据绝对值的意义，二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 变式2-2．已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则 ． 【答案】84 【分析】本题考查了二次根式的非负性，勾股定理的逆定理，先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：84 变式2-3．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 先利用已知条件确定y的符号，进而得到，再根据二次根式的性质，将根号内的表达式分解为平方项和非平方项的乘积，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 变式2-4．已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到，，，求出，，，进而求解即可． 【详解】解：， ∴ ∴， ，，， ，，， ． ∴的周长为14． 类型三、利用二次根式性质化简求值 例3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 变式3-1．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2049 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的性质，利用配方法将变形为再将代入求值即可． 【详解】解：将代数式变形为完全平方： 将代入，得： 原式 故选C． 变式3-2．已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式3-3．已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 【答案】143或187 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意可得，由x、y是正整数，可设，不妨设，且a、b都是正整数，则可推出，可解得，或，，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是正整数， ∴可设，不妨设，且a、b都是正整数， ∴， ∴， ∴，或，， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为：143或187． 类型四、双重二次根式化简 例4．观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 变式4-1．形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 变式4-2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 类型五、分母有理化化简二次根式 例5．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 变式5-1．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：________； (2)计算：； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴， ∴． 变式5-2．在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，∴， ∴，∴； （3）解：∵，∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，有，将二次根式转化为绝对值问题，结合绝对值的性质求解． 【详解】由题意得， 即，， 故选：B． 2．若自然数能使为整数，则可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质和化简．分别代入各选项的值，逐项化简即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，不符合题意； B.当时，，不符合题意； C.当时，，不符合题意； D.当时，，符合题意； 故选：D 3．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】2 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可． 【详解】解：由数轴，得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：2． 5．已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 6．（1）计算： （2）实数，在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先进行二次根式的乘法运算，绝对值和乘方的运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可； （2）利用数轴表示数的方法得到，，，然后根据二次根式的性质化简后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由数轴知：，，， ∴ ． 7．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 8．已知，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质． 根据，得出，即可得出，，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， 解得：，，． 9．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． (1)小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ①______； ②（为正整数）______； (2)小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，，（，）再根据平方根的定义可得： ，，（，）； 直接写出以下算式的结果： ①______； ②______； (3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ； (4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决： 题目：若实数、满足条件，求的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3) (4) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的性质及运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可； ②根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可； （4）把原式变形为，进一步变形得到，利用非负数的性质求出a、b的值，再分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （2）解：① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3）解： ； （4）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$