专题09 实数压轴题30题-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

专题09 实数压轴题30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为，所以432不是“佳佳数”．已知M是一个“佳佳数”，则M最大值是 ；交换M的百位数字与十位数字得到一个新三位数，在的末位数字后加2得到一个新的四位数，在的十位数字与个位数字之间添加的十位数字得到一个新四位数，若能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为 ． 6．（22-23七年级下·福建福州·期中）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 8．（22-23九年级上·山西临汾·期中）已知，则的值为 ． 9．（22-23九年级下·江苏常州·阶段练习）若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 10．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 11．（22-23八年级下·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 12．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）对于四位数正整数，若满足，则把M叫做“友好数”．将“友好数”M的个位字去掉得到的三位数记为s，将千位数字去掉得到的三位数记为t，并规定．则 ；若四位正整数（，，，x，y，m，n为整数）是“友好数”，且除以5余1，则满足条件的N的最大值为 ． 13．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∵，∴312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ；若三位数A是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为 ． 14．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）对于一个四位数n，其各个数位上的数字都不为0，若n的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n为“等和数”．将“等和数”n的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”，记， ．例如，， ，．计算 ；当，均是整数时，n的最大值为 ． 15．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，，A的千位数字与百位数字之差记为，，若是“宏志数”，则＝ ；若能被3整除，则满足条件的A的最小值是 ． 16．（22-23八年级下·重庆合川·期末）对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为 ；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若 为完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 17．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且，则称这个四位数为“差数”． 若四位数为“差数”，则 ．若“差数”，能被7整除，规定，且为正整数，则符合条件所有M的值的和为 ． 三、解答题 18．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 19．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 20．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 21．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 22．（21-22八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 23．（22-23八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 24．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 25．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（21-22八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 27．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 28．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 29．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（为正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值． 30．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 实数压轴题30题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 2．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 【答案】B 【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 4．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义的含义结合可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解，可得非负整数的数量，结合平方根的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解；∵， ∴3是81的四次方根；故①符合题意； 任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意； ∵ ， ∴的三次方根是；故③符合题意； ∵ ∴， 而， ∴， ∴非负整数有个，其中的平方根是， ∴整数的二次方根有4051个．故④不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活运用，理解题意是解本题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为，所以432不是“佳佳数”．已知M是一个“佳佳数”，则M最大值是 ；交换M的百位数字与十位数字得到一个新三位数，在的末位数字后加2得到一个新的四位数，在的十位数字与个位数字之间添加的十位数字得到一个新四位数，若能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为 ． 【答案】 954 【分析】本题考查了新定义，根据定义特点，百位数最大是9，十位数最大是8，个位数是1，即可得到；设M这个“佳佳数”是，则数N为，四位数P为；新四位数为，得，根据定义，分类计算即可． 【详解】∵三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”． ∴百位数最大是9，十位数最大是8，个位数是1， 故最大的“佳佳数”是981， 故答案为：981． 设M这个“佳佳数”是，则数N为，四位数P为； 新四位数为， ∴ ∵M最大， ∴， ∴， 当时，，此时，不能被7整除； 当时，，此时，不能被7整除； 当时，，此时，不能被7整除； 当时，，此时，能被7整除； 最大的“佳佳数”M是954． 6．（22-23七年级下·福建福州·期中）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 【答案】5 【分析】找到所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案 【详解】解：，，，，，，，，，， ∵表示任意实数的整数部分 由3个1，有5个2，有7个3，有9个4，有个5， 有个6，有个7，有个8，有个9， ∴原式， 故答案为：5； 【点睛】本题考查根数估算与规律题，解题的关键是找到两个平方数之间数字的个数及符号选择． 7．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值． 8．（22-23九年级上·山西临汾·期中）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 9．（22-23九年级下·江苏常州·阶段练习）若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解． 【详解】解： 的积是有理数，m是无理数， 是有理数， 令，（是有理数） 解得：， 当即， 时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质． 10．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 11．（22-23八年级下·浙江·期中）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可． 【详解】及且x、y、z是两两不等的实数， 且， ， ，， 与、均同号，或， 又，，故、不同号， ， ， ， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键． 12．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）对于四位数正整数，若满足，则把M叫做“友好数”．将“友好数”M的个位字去掉得到的三位数记为s，将千位数字去掉得到的三位数记为t，并规定．则 ；若四位正整数（，，，x，y，m，n为整数）是“友好数”，且除以5余1，则满足条件的N的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知的s为，t为，，根据即可得；先将，化简为，N为“友好数”，得出，根据，，，得出，根据除以5余1，得出为整数，求出，得出，，求出，即可知道满足条件的N的最大值． 【详解】解：根据题意知的s为，t为，， 根据即可得； ∵除以5余1知四位正整数N的个位是6， ， ∵N为“友好数”， ∴， 即， ∵，，， ∴， ， ∵除以5余1， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵要使N最大，则取值最大， ∴，， 此时． 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是实数的新定义运算内容，熟练掌握新定义运算法则是解题的关键． 13．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∵，∴312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ；若三位数A是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为 ． 【答案】 110 516 【分析】根据题意求出和，然后相加即可；设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，表示出和，求出，根据是完全平方数，得出，再根据题意求出a，b可能的取值，即可确定所有符合条件的A的值，问题得解． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 由题意可得：， ， ∴， ∵，a、b为正整数， ∴， ∵是完全平方数， ∴， ∴，，，，， 又∵，， ∴符合条件的A为279或358或437或516， ∴所有符合条件的A的最大值为516， 故答案为：110；516． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减运算，判断出是解题的关键． 14．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）对于一个四位数n，其各个数位上的数字都不为0，若n的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n为“等和数”．将“等和数”n的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”，记， ．例如，， ，．计算 ；当，均是整数时，n的最大值为 ． 【答案】 72 【分析】将代入进行计算即可得到答案；根据“等和数”的定义设： ，则，分别表示出，进行计算即可得到答案．本题主要考查了新定义下的实数的运算，读懂题意，正确设出是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 根据“等和数”的定义设： ， 则， ，， 为整数，即为整数，又因为各个数位上的数都不为0， 为13的倍数，且， ， ， 为整数， 设，则，其中为整数， ， ， 最大取7，此时， 即最大为96， 最大的值为：， 故答案为：72，9647． 15．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，，A的千位数字与百位数字之差记为，，若是“宏志数”，则＝ ；若能被3整除，则满足条件的A的最小值是 ． 【答案】 3 1471 【分析】本题考查了新定义数，正确理解定义，列出等式计算是解题的关键． 【详解】∵是“宏志数”， ∴， 解得， 故， 故答案为：3； 设四位自然数A的千位数字是m，百位数字是n，根据“宏志数”的定义得，十位数字是，个位数字是， 故， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵，能被3整除， （1）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数是5035； 当m取2，3，4，6，7时，的值都是分数，故都不符合题意； （2）当时，， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （3）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数3253； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （4）当时，， 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，被3整除，符合题意； 此时四位数为2362； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （5）当时，， 当时，，能被3整除，符合题意； 此时四位数1471； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； （6）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，被3整除，符合题意， 此时四位数是4540； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 故最小的四位数是1471， 故答案为：1471． 16．（22-23八年级下·重庆合川·期末）对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为 ；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若 为完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 9999 1265 【分析】根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；设“等合数”为，根据“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若为完全平方数，得到，再根据完全平方数的定义得到或，依此分析即可求解． 【详解】解：根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为； 设“等合数”为，则，即，为， ∴ ∵， ∴， 故原式 ∵为完全平方数， 即的值为1或4， ∵“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零， ∴或 若使的值最小，即的值最小为1， 当时，d的值为2， 则的值最小取3，的值为4， 此时“等合数”为； 当，d的值为5， 则的值最小取2，的值为6， 此时“等合数”为； ∵， 故满足条件的的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，用字母表示数字，理解新定义的运算是解题的关键． 17．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）若一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且，则称这个四位数为“差数”． 若四位数为“差数”，则 ．若“差数”，能被7整除，规定，且为正整数，则符合条件所有M的值的和为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了平方差公式的应用，新定义下的实数运算，一元一次方程的应用．理解题意，熟练掌握平方差公式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． 由四位数为“差数”，可得，计算求解可得的值，，由能被7整除，可得，即是整数；进而可求当，时，能被7整除；由，为正整数，可得为正整数，当时，，满足要求，此时；当时，，不满足要求，舍去；当时，，满足要求，此时；然后确定所有的M的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，∵四位数为“差数”， ∴， 解得，； ， ∵能被7整除， ∴， ∴是整数； ∴当，时，能被7整除； ， ∵为正整数， ∴为正整数， 当时，，满足要求，此时； 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求，此时； ∴当，，时，，此时M的值为； 当，，时，，此时M的值为； ∴符合条件所有M的值的和为； 故答案为：6，． 三、解答题 18．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴无理数的“麓外区间”是， 故答案为： （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， ∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是一个完全平方数，， ∵， ∴满足题意的m、n的值为：或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根的“麓外区间”是． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、无理数的估算，非负数的性质，解二元一次方程组，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“麓外区间”的定义． 19．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 20．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 21．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 22．（21-22八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 23．（22-23八年级上·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简下列各式： ① ② ③． 【答案】(1)， (2)12或28 (3)①，②，③ 【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b； （2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值； （3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值． 【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有，； 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 即a的值为12或28； （3）① ② ③设， 则 ， ∴． 【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 24．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． 25．（22-23八年级下·湖北黄冈·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算； （4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键． 26．（21-22八年级下·广西南宁·阶段练习）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3） ． 27．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 28．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为．    (1)点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上有一点，，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？ (3)若线段的中点为，线段上有一点，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，则的值为_______． 【答案】(1)， (2)当或时，原点恰为线段的三等分点 (3)的值为或 【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左减右加”即可求得结论； （2）先根据题意求得点M、N在数轴上对应的数，再根据点M、N运动规律求得运动后所对应的数，点O为的三等分点要分两种情形：或进行讨论，分别列方程求解，要注意对结果要进行验证； （3）以M，N，F三点为顶点的三角形是直角三角形，由，只要分两种情形进行讨论：或，运用勾股定理即可构建方程求解． 【详解】（1）解：长方形的长是个单位长度，且点在数轴上表示的数是， 点在数轴上表示的数为， 两点之间的距离为，长方形的长是个单位长度， 点在数轴上表示的数为； 故答案为：，； （2）由题意知，线段的中点为，则表示的数为，线段上有一点，且，则表示的数为． 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 即：，， 原点恰为线段的三等分点， 或且点在线段上，即M、N表示的数异号， ①当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意． ②当时，则有， 解得或， 经检验，不符合题意，舍去，符合题意； 综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点． （3）根据题意，因为M、N、F三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况： ①当时，点与点重合，此时，解得：； ②当时， ，， ，， ， ， ， ， 解得． ③如图，连接， 是长方形， ， ，或， 综上所述，的值为或．    【点睛】本题为动点问题，考查了实数与数轴上的点的对应关系及分类讨论思想，明确线段之间的数量关系，能够表示出线段长是解题的关键． 29．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（为正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值． 【答案】(1)0，3，6 (2)证明见解析，2 (3) 【分析】本题考了整式的混合运算，有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，得出关系式是解题的关键． （1）根据对数的定义计算即可； （2）设，，根据对数定义，知，，根据同底数幂相乘法则求出，然后材料二可求，即可得证，然后利用求解即可； （3）利用（2）中和材料二中，化简，得出，然后利用对数定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：0，3，6； （2）解：设，， 根据对数定义，知，， ∴， ∴ ∴， ∴ ； （3）解：根据题意，得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$