江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高三下学期一模考试数学试题

2024年江苏省苏州市南京师大苏州实验学校高考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 5. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 6. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则（ ） A. B. 不是周期函数 C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点 8. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8 C. 若随机变量服从，，则 D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 13. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为______． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差． （1）求及的通项公式； （2）记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 16. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 18. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． （1）求一个问题能被软件正确应答的概率； （2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 19. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 2024年江苏省苏州市南京师大苏州实验学校高考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】16 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ##5.75 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2）2497 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵为正三角形，，∴且. ∵，为的中点，∴， 又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形， 而，所以四边形为矩形，∴. 平面，∴平面. ∵平面，平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）0.75 （2）7或8 【19题答案】 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $