精品解析：广东省茂名市化州市部分学校2024-2025学年高二上学期学科知识水平综合测试（一）数学试题

2024—2025学年度第一学期学科知识水平综合测试 高二数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 3. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 4. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　) A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品 C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品 5. 在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 6. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项将合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 10. 给定组数，则（ ） A. 中位数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ . 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 14. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号) ① (＋＋)2＝2()2； ②·(－)＝0 ； ③向量与的夹角是60°； ④BD1与AC所成角的余弦值为. 四､解答题：本题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知空间三点，在直线上有一点满足. （1）求的长； （2）求点的坐标. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求的值. 18. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为. （1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率； （2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率. 19. 如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. （1）证明：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期学科知识水平综合测试 高二数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】由可得，即， 所以. 故选：B 2. 若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法得复数，再根据复数相关概念判断即可. 【详解】 因此的实部是，虚部是，， 故选：D 【点睛】本题考查复数除法法则、复数相关概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 4. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　) A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品 C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品 【答案】C 【解析】 【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案． 【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5. 在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 6. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 7. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量， ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，求得，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项将合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 10. 给定组数，则（ ） A. 中位数为3 B. 标准差为 C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数、标准差、众数与百分位数的定义计算即可一一判定选项. 【详解】将该组数从小到大排列：，显然中位数是，众数是2和3，而，即第9个数5为第85百分位数，故AC正确，D错误； 易知该组数的平均数， 所以其标准差为，故B正确. 故选：ABC 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象，依次可求得，即得，利用周期公式判断A；结合正弦函数的图象代值检验即可判断B；将看成整体角，利用正弦函数的图象单调性即可判断C；利用平移规律、运用诱导公式化简判断D即得. 【详解】由图知，，设的最小正周期为， 则，解得，故A 正确 ； 则，把点代入中，可得， 因，故得，故； 因时，， 故是图象的一个对称中心，即B正确； 对于C，设，因，则得， 而在上单调递减，故在区间上单调递减，即C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位长度后 即得到函数为，故D错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分. 12. 已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ . 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值． 【详解】， 当且仅当时取等号 故答案为： 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】或或 【解析】 【分析】判断当时的单调性，根据单调性求出的取值范围，当时，求出的取值范围并验证. 【详解】当时单调递减，因为， 所以，所以或， 当时，则， 所以，所以， 所以， 所以都满足题意， 所以或或. 14. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号) ① (＋＋)2＝2()2； ②·(－)＝0 ； ③向量与的夹角是60°； ④BD1与AC所成角的余弦值为. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律及空间向量基本定理一一计算可得； 【详解】解：因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为， 对于①，， 因为，则，所以，故①正确； 对于②，因为，故②正确； 对于③，因为，显然为等边三角形，则， 所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确； 对于④，因为，， 则，， 所以， 所以，故④不正确． 故答案为：①②． 四､解答题：本题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 16. 已知空间三点，在直线上有一点满足. （1）求的长； （2）求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量的模长个数计算求解； （2）设，根据向量垂直和平行的坐标表示列方程组求解可得. 【小问1详解】 因为,所以的长. 【小问2详解】 设，则， 由，即， 因为共线，故存在实数使得，即 所以，解得， 所以点H的坐标为. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由已知可求范围，，利用正弦函数的性质可得，，根据两角差的正弦函数公式可求函数解析式，即可求解函数的值域． （2）由（1）及已知可求，根据范围利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解的值． 【详解】解：（1）因为 ，时，，，可得，， ，即函数的值域为，； （2）， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质可，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题． 18. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为. （1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率； （2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、， 所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、. 记年龄在内的名志愿者分别记为、、， 年龄在的名志愿者分别记为、，年龄在内的名志愿者记为， 则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、 、、、、、、、，共种可能； 而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、 、、、，共种可能. 所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为. 【小问2详解】 解：甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、 、、、，共种可能； 而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、 、，共种可能. 故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为. 19. 如图所示为直四棱柱，，分别是线段的中点. （1）证明：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:因为直四棱柱中，， 则为正三角形， 又是线段的中点，则， 是线段的中点，则， 而，所以， 又平面， 所以平面. （2）存在， 的长为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知为正三角形，则，又可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理的逆定理可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求得平面的一个法向量为，假设在线段上存在点，使得平面，令，利用求出，进而求出即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知为正三角形，则， 在中，，， 则，所以， 又在直四棱柱中，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以， 假设在线段上存在点，使得平面， 令，则， 所以， 由平面，得， 所以，解得， 则 所以， 即的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $