期中真题必刷压轴60题（11个考点专练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

期中真题必刷压轴60题（11个考点专练） 【含江苏各市压轴大题】 考点一 数轴上的动点问题 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图,某点从数轴上的A点出发,第1次向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动2个单位长度至C点,第3次从C点向右移动3个单位长度至D点,第4次从D点向左移动4个单位长度至E点,,依此类推,经过n次移动后该点到原点的距离为100个单位长度,则符合条件的n的和为(    ) A．396 B．399 C．402 D．405 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 3．（2023七年级上·江苏苏州·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 4．（23-24七年级上·江苏南京·期中）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ； (2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ； (3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？ 考点二 数轴上的折叠问题 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若数轴上A，B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是﹣10，并且A，B两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．﹣6或﹣14 D．﹣1或﹣9 2．（23-24七年级上·江苏常州·期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： （1）已知点，，表示的数分别为1，，-3．观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是____，，两点之间的距离为_____． （2）数轴上，点关于点的对称点表示的数是_____． （3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____；若此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____； （4）若数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，当点与点重合时，点表示的数是_____，点表示的数是_____(用含，的式子表示这两个数)． 考点三 化简绝对值 1．（2024七年级上·江苏·期中）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 考点四 根据绝对值的几何意义求最值 1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）式子的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 考点五 有理数混合运算及应用的压轴题 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S－S＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是(     ） A．42100－1 B．42020－1 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ， ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 4．（23-24七年级上·江苏常州·期中）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 考点六 有理数中新定义运算 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例：，，，．则值是 ． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 4．（23-24七年级上·江苏·期中）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 考点七 代数式的值压轴题 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知三个有理数a、b、c，其积是负数，其和是正数，当时，代数式的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 5．（23-24七年级上·江苏南京·期中）已知代数式，当x=0时，该代数式的值为-1 （1）求c的值； （2）若x=1时，该代数式的值为-1，试求a+b的值； （3）若x=3时，该代数式的值为-10，试求当x=-3时该代数式的值． 考点八 整式的的应用压轴 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为的正方形纸片．按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，当时，裁剪正方形后剩余部分的面积为______； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长为______（用含的代数式表示）； (2)若将裁得的正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多5，则的值为______．（直接写出答案） 4．（23-24七年级上·江苏常州·期中）某超市在国庆期间对顾客购物实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 不超过500元 打9折 超过500元 其中500元打9折，超过500元的部分打7折 (1)小李一次购物600元，他实际付款 元； (2)若顾客在超市一次购物x元，写出他的实际付款金额； (3)如果小李前后两次购物合计1200元，第一次购物a元（），第二次购物元，若，小李前后两次购物共付款多少元？ 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，则A，B两点之间的距离是______． (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为______（用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，求代数式的值； (4)若，，，点A、B、C在数轴上开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B与点C分别以每秒4个单位长度和x个单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，的值不变，求x的值． 考点九 数字、图形规律压轴题 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（　　）上． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 考点十 整式加减中的无关类问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，m（m＞1），现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为S1，S2．设面积为S1的长方形一条边为x．若无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变，此时S1﹣S2的值为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 3．（2023七年级上·江苏·期中）已知，． (1)若，，求的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； (2)已知，且的值与x无关，求y的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 a … … 6 4 b 0 … … 3 1 … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_____，____． (2)【归纳规律】表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：____． (3)观察表格，下列说法正确的有_____（填序号）． ①当时，                 ②当时， ③当时，                 ④当时， (4)【应用迁移】若代数式与代数式（为常数且，），若无论x取何值，的值始终小于的值，分别写出a与m，b与n的关系：____，___ 考点十一 江苏地区期中考试压轴题型汇总 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 7．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． (1)A、B两点之间的距离等于 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； (3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． (1)从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，若完成了8次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m． ①用含n的代数式表示m； ②求该位置距离原点O最近时n的值； (3)从如图的位置开始，当甲乙相遇时游戏结束，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上点和点表示的数为，则与 之间的距离为．请回答下列问题： (1)①若，则的值为_____ ； ②，且为整数，则 x 的值为_____ ． (2)在数轴上，点分别表示数．动点沿数轴从点 开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动，设 点在数轴上表示的数为．在此过程中，点 的运动速度始终保持每秒个单位长度．设点的运动时间为秒． ①当_____时，； ②在整个运动过程中，请用含的代数式表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（11个考点专练） 【含江苏各市压轴大题】 考点一 数轴上的动点问题 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图,某点从数轴上的A点出发,第1次向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动2个单位长度至C点,第3次从C点向右移动3个单位长度至D点,第4次从D点向左移动4个单位长度至E点,,依此类推,经过n次移动后该点到原点的距离为100个单位长度,则符合条件的n的和为(    ) A．396 B．399 C．402 D．405 【答案】B 【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律，写出表达式就可解决问题． 【详解】解：第1次点A向右移动1个单位长度至点B，则B表示的数，0+1=1； 第2次从点B向左移动2个单位长度至点C，则C表示的数为1-2=-1； 第3次从点C向右移动3个单位长度至点D，则D表示的数为-1+3=2； 第4次从点D向左移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为2-4=-2…； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：， 当移动次数为奇数时， 解得：， 当移动次数为偶数时，解得：． ， 故选． 【点睛】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 3．（2023七年级上·江苏苏州·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)，或 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴动点问题、点是[，]的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：，或； （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6， 当时，，因此秒； 第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧， 当时，，因此秒， 第八种情况， 为[，]的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 4．（23-24七年级上·江苏南京·期中）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 5．（23-24七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ； (2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ； (3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？ 【答案】(1)， (2)3 (3)秒或秒 【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数； （2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动， 当移动时间为秒时，； 又点表示有理数， 当移动时间为秒时，点表示的数为． 故答案为：，； （2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为， 此时． 故答案为：； （3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 考点二 数轴上的折叠问题 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若数轴上A，B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是﹣10，并且A，B两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．﹣6或﹣14 D．﹣1或﹣9 【答案】C 【分析】分点B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况找出点B表示的有理数，结合折线与数轴的交点表示的有理数为点A，B表示的有理数的平均数，即可求出结论． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的有理数是﹣10﹣8＝﹣18， ∴折线与数轴的交点表示的有理数是＝﹣14； 当点B在点A的右侧时，点B表示的有理数是﹣10+8＝﹣2， ∴折线与数轴的交点表示的有理数是＝﹣6． 故选C． 【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及数轴上中点的求法．注意数轴上的点和数之间的对应关系． 2．（23-24七年级上·江苏常州·期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】4或5或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 【答案】(1)-4 (2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8． 【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可； （2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点， ∴4表示的点与-4表示的点重合， 故答案为∶-4； （2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点， ∴表示数9的点与表示数-5的点重合； 故答案为∶ -5； ②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧）， ∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5， ∵中心点是表示2的点， ∴A、B两点表示的数分别是-3，7； ③当点P在点A的左侧时， ∵PA+PB＝12， ∴-3-x+7-x=12， 解得x=-4； 当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形； 当点P在点A的右侧时， ∵PA+PB＝12， ∴x-(-3)+x-7=12， 解得x=8， 综上x的值为-4或8． 【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： （1）已知点，，表示的数分别为1，，-3．观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是____，，两点之间的距离为_____． （2）数轴上，点关于点的对称点表示的数是_____． （3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____；若此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____； （4）若数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，当点与点重合时，点表示的数是_____，点表示的数是_____(用含，的式子表示这两个数)． 【答案】（1）-2或4；；（2）；（3）；；；（3）； 【分析】（1）根据数轴即可求出与点的距离为3的点表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点的中点公式计算即可； （3）根据数轴上两点的中点公式即可求出对称中心所表示的数，从而求出结论； （4）设点表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a，再根据中点公式列出等式即可求出结论． 【详解】解：（1）由数轴可知：点的距离为3的点表示的数是-2或4；，两点之间的距离为1－= 故答案为：-2或4；； （2）点关于点的对称点表示的数是2×1－= 故答案为：； （3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则此时对称中心所表示的数为 则与点重合的点表示的数是2×（-1）－=； ∵此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)， ∴设M点所表示的数为m，则N点所表示是数为m＋2019 ∵当点与点重合时，点与点也恰好重合， ∴ 解得：m= ∴M点所表示的数为，则N点所表示是数为m＋2019= 故答案为：；； （4）∵数轴上，两点间的距离为 (在左侧)， ∴设点表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a ∵表示数的点到，两点的距离相等， ∴ 解得：p=，即点表示的数是 ∴点Q表示的数为． 故答案为：；． 【点睛】此题考查的是数轴的相关运算，掌握数轴上两点之间的距离公式和中点公式是解决此题的关键． 考点三 化简绝对值 1．（2024七年级上·江苏·期中）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 考点四 根据绝对值的几何意义求最值 1．（23-24七年级·江苏苏州·期中）设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，异号，再根据，以及，即可确定，，，，，在数轴上的位置，而表示到，，三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】解：∵， ∴a，c异号， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵表示到，，三点的距离的和， 当在时距离最小， 即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定，，，，，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）式子的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 解法一：分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得； 解法二：由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解法一：设， 当时， ， ∴，最小值为：18； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：18． 综上，原式的最小值为：8． 解法二：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数到表示1和5的数的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可知当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， 综上所述，当时，，，能同时取到最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：8． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题． 如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数， (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： 若点在线段上，则________； 若，求点表示的有理数； 求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）． 【答案】(1)或； (2)； 或；有最小值，最小值为，此时 【分析】（1）根据两点之间的距离公式可得，再建立绝对值方程可得的值； （2）由点在线段上，根据绝对值的意义即可求解； 分点在点左侧，点在点和点之间，点在点右侧时三种情况分析即可； 分位于点左侧，位于点与点之间，位于点与点之间，位于点右侧时四种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得：或， 故答案为：或； （2）∵点在线段上， ∴， 故答案为：； 由题意得：当点在点左侧时，即时， ，解得：； 当点在点和点之间时，即时， ，无解； 当点在点右侧时，即时， ，解得：； ∴点表示的有理数或； 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， ∴， 综上可知：有最小值，最小值为，此时． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离； （1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可； （2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为； （3）解绝对值方程即可； （4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题． 【详解】（1）②；                   ③； 故答案为：7，3． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为， 故答案为：． （3）∵ ∴， 解得： 或；               （4）①， 即， 解得：； 故答案为：4． ②若， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：8或0． ③由题可知，， 又∵， ∴，， 即，， ∴代数式的最大值是，最小值是， 故答案为：7，0． 考点五 有理数混合运算及应用的压轴题 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S－S＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是(     ） A．42100－1 B．42020－1 C． D． 【答案】D 【分析】设S=1+4+42+43+…+42019，表示出4S，然后求解即可． 【详解】解：设S=1+4+42+43+…+42019， 则4S=4+42+43+…+42020， 因此4S-S=42020-1， 所以S=． 故选：D． 【点睛】本题考查了乘方，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】由题意可得，，，，再分类讨论，推理得出m、n的值即可． 【详解】解：由题意可得，，，， ， ①当时， ，， 与矛盾， 故不成立； ②当时， ， ， 符合题意， 故成立； ③当时， ，， 与矛盾， 故不成立； ④当时， ，， 与矛盾， 故不成立； 综上所述，； 故答案为：1；2． 【点睛】此题考查有理数的运算，正确理解题中的“格子乘法”的计算方法，熟练运用有理数的运算求解是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏常州·期中）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）出租车司机刘师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同） 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ (1)刘师傅走完第________次里程后，他距离地最远； (2)刘师傅走完第8次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (3)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； (4)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.5元，问刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)2 (2)在地的西方，离地有4千米 (3)可以不加油 (4)141元 【分析】（1）结合表中数据，分别计算每次里程后的位置，即可获得答案； （2）把表格中表示里程的数据相加即可得到答案； （3）先计算刘师傅这天上午行驶的总路程，再计算此时的耗油量，求解剩余的油量，与2升比较后可得结论； （4）由表格可知，第1次与第4次出租车为空载，根据收费规则列式求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：第1次里程后，距离地：千米， 第2次里程后，距离地：千米， 第3次里程后，距离地：千米， 第4次里程后，距离地：千米， 第5次里程后，距离地：千米， 第6次里程后，距离地：千米， 第7次里程后，距离地：千米， 第8次里程后，距离地：千米， 综上所述，刘师傅走完第2次里程后，他距离地最远． 故答案为：2； （2）， 由题意可知， 刘师傅走完第8次里程后，他在地的西方，离地有4千米； （3）千米， 升， 因为， 所以，刘师傅这天上午中途可以不加油； （4）由题意可知，上午第1和第4次里程空载， 所以元， 答：刘师傅这天上午走完8次里程后的营业额为141元． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用、有理数的加法的实际应用、绝对值的应用、分段收费的计算问题以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则并准确计算是解题的关键． 考点六 有理数中新定义运算 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例：，，，．则值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，确定各有理数是解题的关键． 由题意知，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏·期中）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）， ∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3）， ∴x＝6， 综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． (1)①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； (2)若，e是的“反比数”，求； (3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)0或 (3)6或或或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行分类讨论． （1）根据定义列式计算即可； （2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可； （3）根据中点定义得出，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比数”时，分别列式计算即可． 【详解】（1）解：①∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． （3）解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 考点七 代数式的值压轴题 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，代数式求值，解题的关键是根据，得出，根据，得出，再根据c为整数，得出，求出，，代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴， ∴，， ∴，， ∴或， ∴的值为； 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知三个有理数a、b、c，其积是负数，其和是正数，当时，代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法法则和乘法法则及有理数的绝对值的意义． 先根据有理数的加法法则和乘法法则判断a、b、c的符号，再化简x的值，最后再代入中求值即可． 熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键． 【详解】∵a、b、c三个数的积是负数， ∴这三个数为三个负数或两正一负， 又∵这三个数的和是正数， ∴这三个数只能为两正一负． 设， 则 ， ． 故答案为：1 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可； （2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可； （3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出， 结合得，结合问题变形为或，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5，； （2）由题意可知： ， 即， ； （3）m，n，p，q，…，是理想数列， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏南京·期中）已知代数式，当x=0时，该代数式的值为-1 （1）求c的值； （2）若x=1时，该代数式的值为-1，试求a+b的值； （3）若x=3时，该代数式的值为-10，试求当x=-3时该代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）将x=0时，代数式的值为-1代入可得答案； （2）将x=1时，代数式的值为-1代入可得答案； （3）由x=3时，代数式的值为，可得，再当x=-3时，利用整体代入法进行求解，即可得到答案. 【详解】解：把代入代数式， 得：． 把代入代数式， 得：， ∴； 把代入代数式， 得， 把代入代数式， 原代数式 ． 【点睛】本题主要考查代数式的求值，以及有理数加减混合运算，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键． 考点八 整式的的应用压轴 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的应用，整体代换运算；设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，由已知条件得，由两正方形之间的关系得，，由长方形的周长和可得 ，即可求解； 理解两正方形周长和两长方形周长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b， 两个正方形的周长和为60， ， ， ， ， 长方形的周长为48， ， ， ， ， ， ， ， 重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为； 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 【答案】12 【分析】先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出；再根据两个长方形的长相等得到等式，用和表示，代入中即可得出答案. 【详解】由图可知 ∴ 又 ∴ 故答案为12. 【点睛】本题考查的是整式的加减，解题的关键是理解题意得出等式. 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）工厂接到订单，需要边长为和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为的正方形卡纸，现决定将部分边长为的正方形纸片．按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，当时，裁剪正方形后剩余部分的面积为______； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的周长为______（用含的代数式表示）； (2)若将裁得的正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多5，则的值为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①16② (2)15 【分析】本题考查了列代数式及整式的运算，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键． （1）①根据面积差可得结论； ②根据图形可以直接得长边长，计算周长即可； （2）分别计算和的值，相减可得结论． 【详解】（1）解：①， 根据题意，得：； 故答案为：16； ②拼成的长方形的宽是：，长为， 拼成的长方形的周长为：； 故答案为：； （2）解：盒子底部长方形长比宽多5， 设盒子底部长方形的宽，则长， 则， ， 所以． 故答案为：15． 4．（23-24七年级上·江苏常州·期中）某超市在国庆期间对顾客购物实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 不超过500元 打9折 超过500元 其中500元打9折，超过500元的部分打7折 (1)小李一次购物600元，他实际付款 元； (2)若顾客在超市一次购物x元，写出他的实际付款金额； (3)如果小李前后两次购物合计1200元，第一次购物a元（），第二次购物元，若，小李前后两次购物共付款多少元？ 【答案】(1)520 (2)见解析 (3)元 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算；解题的关键是读懂题意，理解优惠方案． （1）根据不超过500元打9折，超过500元，其中500元打9折，超过500元的部分打7折列式计算即可； （2）分两种情况列式即可； （3）把两次付款相加即可． 【详解】（1）解： （元）； 故答案为：520； （2）当时，他的实际付款金额为元； 当时，他的实际付款金额为元； （3）第一次购物a元（）需付款元； 第二次购物元，，需付款元； ∵元， ∴小李前后两次购物共付款元． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）阅读并理解下列材料： 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点A、B重合，例如点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点M、N重合． 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中． (1)若a、b满足，则A，B两点之间的距离是______． (2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则与点C重合的点表示的数为______（用含a、b、c的代数式表示）； (3)若，，求代数式的值； (4)若，，，点A、B、C在数轴上开始运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B与点C分别以每秒4个单位长度和x个单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，的值不变，求x的值． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，非负数的性质，用数轴上的点表示有理数，整式加减的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）利用非负数的性质求得a、b的值，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）先求得折叠点的坐标为，设与点C重合的点表示的数为x，再列式计算即可求解； （3）根据题意求得，再整理原式，代入求解即可； （4）设运动为t秒，得到点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再利用两点之间的距离公式，整理得到，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则A，B两点之间的距离是； 故答案为：8； （2）解：使点A、点B重合的折叠点为， 设与点C重合的点表示的数为x， ∴， 解得 则与点C重合的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 整理得， ∴ ； （4）解：设运动为t秒，由题意得点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴ ， 当即时，的值不变． 考点九 数字、图形规律压轴题 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（　　）上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲、乙运动方向结合速度间的关系即可得出甲、乙第1次相遇在边上，甲、乙第2次相遇在边上，甲、乙第3次相遇在边上，甲、乙第4次相遇在边上，甲、乙第5次相遇在边上，，甲、乙相遇位置每四次一循环，再根据即可得出甲、乙第2022次相遇在边上． 【详解】解：甲的速度是乙的速度的3倍， 甲、乙第1次相遇时，乙走了正方形周长的， 甲、乙第1次相遇在边上， 甲的速度是乙的速度的3倍，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行， 甲、乙第2次相遇在边上，甲、乙第3次相遇在边上，甲、乙第4次相遇在边上，甲、乙第5次相遇在边上，， 甲、乙相遇位置每四次一循环， ， 甲、乙第2022次相遇在边上． 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据甲、乙运动的方向结合速度间的关系得出甲、乙相遇位置每四次一循环是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，即，，，……，，将等式左右同时相加得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴， ， ， …… ， ， 将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏常州·期中）【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)10， (2)13， (3) 【分析】（1）根据题意第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点，第n次继续增画点后，，用代数式表示即可； （2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，根据，，，可以推出； （3）由（2）可推得，两式相减，去括号化简即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得：第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第n次继续增画点后，， 也可以写成， ∴(共有n个这样的数) ∴ 故答案为：10，； （2）解：第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，， 第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，， 根据，，，， ∵，，， ∴ 故答案为：13，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有变化，分析其联系与区别，有时需要多画出几个图形进行观察，归纳时要注意数形结合思想． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）根据所给的等式，进行总结可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 第5个等式：； 故答案为：，． （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 以此规律可得，， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 考点十 整式加减中的无关类问题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，图①所示的小长方形两条边的长分别为1，m（m＞1），现将这样5个大小形状完全相同的小长方形不重叠地放入图②所示的大长方形中，图中未被覆盖部分用阴影表示，其面积分别为S1，S2．设面积为S1的长方形一条边为x．若无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变，此时S1﹣S2的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得再计算，根据结果与无关，令的系数为0即可求得的值． 【详解】解：∵的长为，宽为，的长为3，宽为， ∴，， 则 ， ∵无论x为何值，图中阴影部分S1﹣S2的值总保持不变， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，根据题意令化简后的式子中含项的系数为0是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 【答案】或 【分析】先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 3．（2023七年级上·江苏·期中）已知，． (1)若，，求的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将进行化简，再将，代入化简进行计算即可； （2）将，代入化简，令的系数为即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当， 时， 原式 ； （2）由（1）可知，， 的值与的取值无关， ， ． 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； (2)已知，且的值与x无关，求y的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与可得． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， 解得，， 答：当时，多项式的值与的取值无关； （2），， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 a … … 6 4 b 0 … … 3 1 … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_____，____． (2)【归纳规律】表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：____． (3)观察表格，下列说法正确的有_____（填序号）． ①当时，                 ②当时， ③当时，                 ④当时， (4)【应用迁移】若代数式与代数式（为常数且，），若无论x取何值，的值始终小于的值，分别写出a与m，b与n的关系：____，___ 【答案】(1)4，2 (2)x的值每增加1，的值就减少2 (3)① (4)， 【分析】（1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）两式相减，分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 故； 当时，， 故， 故答案为：4，2； （2）的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少2； 故答案为：x的值每增加1，的值就减少2； （3）①当时，，故①说法正确； ②当时，，故②说法错误； ③当时，，故③说法错误； ④当 时，，故④说法错误； 故答案为：①； （4）由题意可得：， 整理得， ∵若无论x取何值，的值始终小于的值， ∴， ∴，， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，分析清楚所给的数列之间的关系是关键． 考点十一 江苏地区期中考试压轴题型汇总 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) 【分析】（1）由点A表示的数是，根据两点之间的距离公式即可求解； （2）由，，再根据即可求解； （3）可求得当点P与点C重合时，，所以当点P从点B向点C运动时，，此时点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧，再根据两点间的距离公式代入即可求解； （4）可求得当点Q与点D重合时，，当时，点P表示的数是,则再分六种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，由（3）得；四是当，且时，则；五是当，且时，则；六是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是， ， 故答案为：16． （2）解：∵点B表示的数是6， ， ， ， 故答案为：. （3）解：当点P与点C重合时，则， 解得， 当点P从点B向点C运动时，， 点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧， ， 由，得， 解得：． （4）解：当点Q与点D重合时，则， 解得， 当时，点P表示的数是，即， ， 当，且时，则， 解得：； 当，且时，则， 解得：； 当，且时，由（3）得； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去； 当，且时，由（3）得， ， 解得，不符合题意，舍去； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去， 综上所述，t的值是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)4或8 (3)，6 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度有， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度有， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6； 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1)； (2) (3)①是；；②或4 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．    (1)填空：______，______； (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变?请说明理由； (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)当时，，当时，；当时，． 【分析】（）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论； （）先分别求出秒后、、三点所对应的数，就可以表示出，的值，从而求出的值而得出结论； （）先求出经过秒后，、两点所对应的数，分类讨论当时，点还在点处，当时，点在点的右边，当时，点在点的右边，从而得出结论； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： ∵经过秒后，、、三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，、两点所对应的数分别是，， 由解得， 当时，点还在点处， ∴， 当时，点在点的右边， ∴， 当时，点在点的右边， ∴． 7．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． (1)A、B两点之间的距离等于 ； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； (3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 【答案】(1)16 (2) (3)16；32 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、整式加减的计算等知识点，熟练掌握两点间距离的计算是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的公式即可求解； （2）设C点表示的数为x，则利用列方程解答即可； （3）在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，分别求出和的值，再代入，即可求出相应的定值． 【详解】（1）解：A、B两点之间的距离等于， 故答案为：16； （2）设C点表示的数为x， 则， 解得， 即C点表示的数为， 故答案为：； （3）解：①当小球Q开始运动的前两秒中，，， 所以， 故， 所以，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16； ②当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中， ， 所以， 而， 所以， 故 ， 所以,当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 综上，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16；当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 【答案】[初步感知]：（1）5（2）[拓展研究]：（1）4（2）5[实际应用]：18 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义． [初步感知]：（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式进行计算即可； [拓展研究]（1）根据绝对值的意义，得到当当在到之间时，的值最小，为到的距离，即可； （2）根据绝对值的意义，得到的最小值为4，的最小值为，根据，得到，，进而得到的最大值，再进行计算即可； [实际应用]根据题意，得到在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多，这样调动的车的数量最小，进而得到先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站，再从站调动6辆到站，此时调动的数量最小，求解即可． 解题的关键是掌握两点间的距离公式，以及绝对值的意义． 【详解】解：[初步感知]：（1）A、C两点之间的距离为； 故答案为：5； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为； 故答案为：； [拓展研究]（1）表示数轴上到1的距离与到4的距离之和， ∴当在到之间时，有最小值为：； 故答案为：3； （2）∵表示数轴上到1的距离与到的距离之和， ∴当在到1之间时，有最小值为； 同理：当在到2之间时，有最小值为； ∵； ∴，， ∴， ∴当，时，有最大值为； 故答案为：5； [实际应用]∵， ∴每个站点最终都应该有15辆车， ∵只能从相邻的公司调动，且一共调动的车辆数最小， ∴需要在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多， ∴先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站， 此时，站，站都是15辆车，站21辆，站9辆， 再从站调动6辆到站，此时站，站也都是15辆车， 共调动：辆； 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． (1)从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，若完成了8次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m． ①用含n的代数式表示m； ②求该位置距离原点O最近时n的值； (3)从如图的位置开始，当甲乙相遇时游戏结束，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值． 【答案】(1)6 (2)①；②该位置距离原点O最近时n的值是4 (3)k的值为3或4或5 【分析】（1）利用规则：若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，即可得结论； （2）根据题意乙赢次，则乙输了次，利用平移规则即可推算出结果； （3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离． 【详解】（1）解：完成了1次移动游戏，结果为平局，则甲向东移动1个单位长度到，乙向西移动1个单位长度到4， 移动后甲、乙两人相距个单位， 故答案为：6； （2）解：①乙赢了次， 乙输了次． 乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度， 乙赢了次后，乙停留的数字为：． 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； 乙输了次后，乙停留的数字为：， 根据题意得：， ． ②为正整数， 当时，该位置距离原点最近； （3）解：由题意可得刚开始两人的距离为8， 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位． 若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位． 若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度． 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位． 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位或1个单位． 甲与乙的位置相距3个单位，共需缩小个5单位． 当没有平局的情况，需要移5次，即； 当有一次平局的情况，还需要移3次，即； 当有两次平局的情况，还需要移1次，即； 的值为3或4或5． 【点睛】本题主要考查了列代数式，数轴的知识，解题的关键是掌握移动后甲乙距离变化的规律． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上点和点表示的数为，则与 之间的距离为．请回答下列问题： (1)①若，则的值为_____ ； ②，且为整数，则 x 的值为_____ ． (2)在数轴上，点分别表示数．动点沿数轴从点 开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动，设 点在数轴上表示的数为．在此过程中，点 的运动速度始终保持每秒个单位长度．设点的运动时间为秒． ①当_____时，； ②在整个运动过程中，请用含的代数式表示 【答案】(1)①；②， (2)①或；② 【分析】（1）①根据题意，表示数轴上到的距离等于2的数，据此即可求解； ②同①表示到与的距离等于3的数，据此即可求解． （2）①当时， 点表示的数为，时，点表示的数为，根据题意表示点与的距离，则点为1时，，即或，解方程即可求解； ②表示与的距离，分情况讨论，根据两点距离公式计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵表示数轴上到的距离等于2的数 ∴或 故答案为：； ②∵表示到与的距离等于3的数，且为整数， ∴， 故答案为：， （2）解：①如图，点分别表示数 ∴， ∵点的运动时间为秒， ∴到达时，， 当时， 点表示的数为， 当点从点返回时，即时，点表示的数为， ∵表示点与的距离， ∴点为1时，， ∴或， 解得或， 故答案为：或， ②表示与的距离， 当或， 解得或， 当时，点在点的左边， ∴， 当时，， 当时，点在点的右边， ∴， 当时，点从点返回，点在点的右边， ∴， 当时，， 当时，点在点的左边， ∴， 综上所述，， 即． 【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点距离，绝对值的意义，数形结合，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$