专题06 有理数、代数式相关计算题专训（考题猜想，80题8种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题06 有理数、代数式相关计算题专训（80题8种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数四则混合运算 题型二 有理数中简便运算 题型三 合并同类项 题型四 绝对值的化简 题型五 整式加减中的化简求值 题型六 整式加减中的无关型问题 题型七 有理数、代数式中的新定义运算 题型八 有理数、代数式中的规律计算题 一．有理数四则混合运算 1．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 3．认真计算，并写清解题过程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．计算： (1) ； (2) (3) (4)． 5．计算 (1)； (2)． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1) (2) (3) (4) 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（简便运算）； (5) (6)． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 二．有理数中简便运算 11．下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 12．运用简便方法计算： (1)； (2)． 13．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 14．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 15．用简便方法计算 (1)； (2)． 16．下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 17．用简便方法计算： (1) (2) 18．小明在计算这道题时，他看到每一项的分母之间有倍数关系，所以他设．① 那么， ．② 接着他将，结果这样操作没有办法较为简便地计算出结果．于是，他拿着题目去问老师，老师告诉他，可以，得 ． ． ． 请你模仿上述求解的方法，进行计算： (1)； (2)． 19．简便计算： (1)； (2)． 20． 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 三．合并同类项 21．合并同类项 (1) (2) 22．计算： (1)； (2)． 23．合并同类项： (1)； (2)． 24．化简： (1) (2) 25．化简： (1)； (2)． 26．化简： (1)m2﹣3mn2+4n2+m2+5mn2﹣4n2． (2)7a2﹣2ab+b2﹣5a2﹣b2﹣2a2﹣ab． 27．化简： （1）2a﹣5b﹣3a+b； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy﹣2y+1． 28．化简 （1）； （2）． 29．计算： （1）；     （2）． 30．化简下列各式： （1） （2） 四．绝对值的化简 31．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 32．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 33．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 35．有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 36．有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 37．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 38．已知，，在数轴上的位置如图，化简．    39．有理数a、b在数轴上的对应点如图所示：    (1)填空（填“”、“”或“”）：a 0；b 0； ； (2)化简：． 40．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 五．整式加减中的化简求值 41．先化简，再求值：，其中，． 42．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 43．先化简，再求值． ，其中，． 44．先化简，再求值：，其中，． 45．先化简再代入求值：，其中，． 46．先化简，再求值．，其中，． 47．先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 48．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 49．已知代数式，． (1)求； (2)若x，y满足，求的值． 50．【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． 议一议 求代数式的值，其中、． 把，代入后求值． 把看成一个字母，这个代数式可以简化为． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为_____． 六．整式加减中的无关型问题 51．已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 52．已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 53．已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 54．已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 55．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 56．化简与求值：已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 57．已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 58．已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 59．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 60．定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 七．有理数、代数式中的新定义运算 61．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 62．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：． (1)________，________； (2)求的值； (3)求的值． 63．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 64．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如． 计算： (1)； (2) 65．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 66．【问题背景】 定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值．例如： ，； ，； ，； … 【问题再现】（1）计算：； 【拓展提升】（2）计算：． 67．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 68．定义一种新运算：观察下列式：；；． (1)请你想一想：用代数式表示 ； (2)若，那么 （用“>”、“<”或“=连接”）； (3)若，请计算：的值． 69．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)5与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 70．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 八．有理数、代数式中的规律计算题 71．观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 72．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____； （2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立； （3）拓展应用：计算． 73．探究发现： (1)填空：①______，______； ②______，______； (2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：． 74．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 75．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： _____； (2)求的值； 76．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 77．（1）填空：；；； （2）探寻（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； （3）计算． 78．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 79．阅读理解题： 【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，． （1）计算： ①______； ②______． （2）通过以上计算发现规律，得到______． 【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． （3）猜想出______（用n表示）． （4）依规律，直接求出的值为______． （5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______． 80．请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题06 有理数、代数式相关计算题专训（80题8种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数四则混合运算 题型二 有理数中简便运算 题型三 合并同类项 题型四 绝对值的化简 题型五 整式加减中的化简求值 题型六 整式加减中的无关型问题 题型七 有理数、代数式中的新定义运算 题型八 有理数、代数式中的规律计算题 一．有理数四则混合运算 1．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）直接利用加法运算法则计算即可； （2）直接利用减法运算法则计算即可； （3）把分母相同的数先加，再计算即可； （4）先把除法化为乘法，再计算即可； （5）直接利用分配律进行简便运算即可； （6）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 2．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．认真计算，并写清解题过程 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号是计算的关键． （1）先将带分数拆成整数与分数，再分类计算即可得到答案； （2）利用乘法分配律简算即可得到答案； （3）先将除法转换成乘法，再判定符号，按照运算顺序计算即可得到答案； （4）先算乘方，再利用乘法分配律的逆运算简算即可得到答案； （5）先化简绝对值，再分类计算即可得到答案； （6）先算乘方，再算除法，最后算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．计算： (1) ； (2) (3) (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查有理数的计算； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 5．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先去括号，然后再相加减即可； （2）先统一化成小数，把相加或相减是整数的先加减，最后再相加减即可； （3）先统一化成分数，把相加或相减是整数的先加减，最后再相加减即可； （4）利用乘法分配律进行计算． 本题考查了有理数的混合计算，利用转化法和凑整法简化计算，要熟练掌握去括号法则和乘法分配律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除法，再算加减法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后算加减法即可，注意乘法分配律的应用； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意抓住运算顺序和符号的判定． （1）先计算乘方，再算除法，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再计算乘除，最后算加减； （3）先算乘方，再化除法为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算除法和乘法，最后算加减法． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（简便运算）； (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘除法，再计算加减法即可； （3）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （4）先把原式变形为再利用乘法分配律求解即可； （5）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)36 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法的分配率计算即可； （3）先算乘除，再算加减即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 二．有理数中简便运算 11．下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了简便运算，熟练掌握加法与乘法的运算律是解题的关键； （1）根据乘法对加法的分配律进行计算即可求解； （2）根据分配律进行计算即可求解； （3）先计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （4）根据乘法交换律进行计算即可求解； （5）根据分配律进行计算即可求解； （6）根据加法交换律进行计算即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 12．运用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据算式的特点选择合适的简便方法是解题的关键． （1）运用乘法的交换律和结合律计算即可； （2）将除法转化为乘法后，运用乘法的分配律计算可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)35 (2)100 (3)4 【分析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）把除以化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算． （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）运用乘法分配律，再算减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 14．用简便方法计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数运算和乘法运算律； （1）运用乘法结合律求解即可； （2）运用乘法分配律求解即可； （3）运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 15．用简便方法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则、运算律等． （1）运用乘法分配律展开后，先计算乘法，再计算加减可得； （2）将原式变形为，再运用乘法分配律计算可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； 16．下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了有理数加减混合运算，掌握加法的交换律是解决问题的关键． （2）本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 【详解】（1）解：                      （2）解： 18．小明在计算这道题时，他看到每一项的分母之间有倍数关系，所以他设．① 那么， ．② 接着他将，结果这样操作没有办法较为简便地计算出结果．于是，他拿着题目去问老师，老师告诉他，可以，得 ． ． ． 请你模仿上述求解的方法，进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)510 (2)364 【分析】本题主要考查了有理数的混合，有理数加法的运算技巧，解题关键理解小明解题的方法，并能灵活运用． （1）设，求出，再列出算式求出即可； （2）设m＝1+3+9+27+81+243，求出3m，再列出算式求出3m﹣m，进而求出m即可． 【详解】（1）解：设， 则 ， ∴ ， ∴； （2）解：设， ∴， ， ， , ∴， ∴． 19．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，将变形为，再进行计算即可，利用乘法分配律，进行计算即可，熟练掌握有理数的混合运算顺序及法则是解此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20． 利用运算律有时能进行简便计算 例1   例2   请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)99900 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、乘法运算律，解答的关键是熟知运算法则和运算顺序． （1）将化为，然后利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用有理数的乘方运算和乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：． ； （2）解： ； （3）解： ． 三．合并同类项 21．合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算： （1）先移项，再合并同类项，即可求解； （2）先移项，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，按照整式的混合运算法则计算即可． （1）按照整式的加减运算法则合并同类项即可． （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 23．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项； （1）根据合并同类项的法则计算即可； （2）先去括号，再根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 24．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定同类项，再根据合并同类项法则直接计算即可； （2）将看作整体，确定同类项，再根据合并同类项法则直接计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 25．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母指数表示不变，据此计算即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝； （2）解： ＝ ＝． 【点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 26．化简： (1)m2﹣3mn2+4n2+m2+5mn2﹣4n2． (2)7a2﹣2ab+b2﹣5a2﹣b2﹣2a2﹣ab． 【答案】(1)m2+2mn2 (2)﹣3ab 【分析】（1）根据合并同类项法则化简即可； （2）根据合并同类项法则化简即可． 【详解】（1）解：原式 ＝m2+2mn2； （2）解：原式＝（7a2﹣5a2﹣2a2）﹣（2ab+ab）+（b2﹣b2） ＝﹣3ab． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 27．化简： （1）2a﹣5b﹣3a+b； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy﹣2y+1． 【答案】（1）﹣a﹣4b；（2）y2﹣2y+1 【分析】（1）（2）将同类项进行合并即可． 【详解】解：（1）2a﹣5b﹣3a+b ＝（2﹣3）a+（﹣5+1）b ＝﹣a﹣4b； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy﹣2y+1 ＝（2x2﹣2x2）+（5xy﹣2xy﹣3xy）+y2﹣2y+1 ＝y2﹣2y+1． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，解题关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 28．化简 （1）； （2）． 【答案】（1）-3x+5y；（2）． 【分析】（1）根据合并同类项法则合并同类项化简即可得答案； （2）先去括号，再根据合并同类项法则合并同类项化简即可得答案． 【详解】（1） =（2-5）x+（3+2）y =-3x+5y． （2） = =． 【点睛】本题考查合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变；熟练掌握合并同类项法则是解题关键． 29．计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据合并同类项法则计算即可，合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了整式的加减法，解题的关键是掌握合并同类项的计算能力． 30．化简下列各式： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意直接合并同类项进行计算即可得出答案； （2）由题意直接去括号进而合并同类项即可得出答案． 【详解】解：（1） （2） . 【点睛】本题主要考查整式的加减，熟练掌握并利用合并同类项方法是解题的关键． 四．绝对值的化简 31．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 32．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 33．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 34．有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 35．有理数a、b、c在数轴上位置如图，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较，绝对值的化简．熟练熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 由题意知，，即，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， ∴的值为． 36．有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：＜，＜，＞ （2）∵，， ∴ ． 37．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识， （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断； （2）利用绝对值的性质化简即可解决问题； （3）利用绝对值的性质化简即可解决问题 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ 38．已知，，在数轴上的位置如图，化简．    【答案】 【分析】此题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，结合数轴可得，，，从而去掉绝对值，然后合并即可，正确化简绝对值是解答本题的关键． 【详解】解：由，，在数轴上的位置可知，，， ∴， ， ， ． 39．有理数a、b在数轴上的对应点如图所示：    (1)填空（填“”、“”或“”）：a 0；b 0； ； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2)0 【分析】（1）由图可得：，从而解决此题； （2）由题意可得，，，据此去绝对值符号，再合并同类项即可得到答案； 【详解】（1）解：由图像得， ， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由图像得， ， ∴，，， ∴原式； 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较、绝对值、整式的加减运算，熟练掌握实数的大小关系、绝对值的定义、整式的加减运算法则是解决本题的关键． 40．问题探究：若，求的值． (1)请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母中有2个正，0个负时，______； ②当两个字母中有1个正，1个负时，______； ③当两个字母中有0个正，2个负时，______， 综上，当均不为零，______． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若均不为零，求的值． ②若均不为零，且，直接写出的值． 【答案】(1)①2；②0；③；0或2或 (2)①1或或3或；②1或 【分析】（1）①当两个字母中有2个正，0个负时，；②当两个字母中有1个正，1个负时，；③当两个字母中有0个正，2个负时，；然后作答即可． （2）①由题意知，当中有3个正，0个负时，；当中有2个正，1个负时，；当中有1个正，2个负时，；当中有0个正，3个负时，；然后作答即可；②由，可得，，，则，当中有2个正，1个负时，原式；当中有1个正，2个负时，原式；然后作答即可． 【详解】（1）解：①当两个字母中有2个正，0个负时，； 故答案为：2； ②当两个字母中有1个正，1个负时，； 故答案为：0； ③当两个字母中有0个正，2个负时，； 综上，当均不为零，0或2或， 故答案为：；0或2或． （2）①解：由题意知，当中有3个正，0个负时，； 当中有2个正，1个负时，； 当中有1个正，2个负时，； 当中有0个正，3个负时，； 综上所述，的值为1或或3或； ②解：∵， ∴，，， ∴， 当中有2个正，1个负时，原式； 当中有1个正，2个负时，原式； ∴的值为1或． 【点睛】本题考查了绝对值的化简．解题的关键在于正确的化简并分情况求解． 五．整式加减中的化简求值 41．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．首先通过去括号、合并同类项的步骤完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 42．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，2 (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减化简求值． （1）合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先去括号，再合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 43．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后代数求解即可． 【详解】 ∵， ∴原式． 44．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式加减的化简求值，正确掌握整式合并同类项法则是解题的关键． 先合并同类项，再将未知数的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 45．先化简再代入求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，先去括号，再合并同类项，最后代数求解即可．熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 46．先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，将原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值即可．熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 47．先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，再把给定字母的值代入计算，是解决问题的关键． （1）原式去括号后合并同类项得到最简结果，再将x的值代入计算即可求出值． （2）原式先去小括号合并同类项，接着去中括号合并同类项，再去大括号合并同类项，得到最简结果，最后将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 48．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 49．已知代数式，． (1)求； (2)若x，y满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的化简求值，绝对值的非负性，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先去括号，然后合并解题即可； （2）先根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 解得：，， ∴原式． 50．【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． 议一议 求代数式的值，其中、． 把，代入后求值． 把看成一个字母，这个代数式可以简化为． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为_____． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则把所求代数式进行化简，然后把的值整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）， ， 故答案为：． 六．整式加减中的无关型问题 51．已知代数式． (1)求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）根据题意将化简，然后令含y的项的系数为即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：∵， 又∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 52．已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将的式子乘3，再减去的式子，最后合并同类项即可； （2）根据题意得到：、，求出、的值即可． 本题考查了整式的加减，关键要利用合并同类项进行化简整式． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意不含x项和项 可得：， 解得：； ， 解得： 53．已知，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则，合并同类项法则将整式正确化简是解决问题的关键． （1）先化简，再把，代入化简后的结果，去括号、合并同类项化简即可； （2）因为的值与的取值无关，则的系数为0，列出方程即可得出结果． 【详解】（1），， ； （2），， ， 的值与的取值无关， ， ． 54．已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—化简求值、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，先去括号，再合并同类项即可得出答案； （2）把，代入（1）中化简后的式子计算即可得出答案； （3）根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时，原式； （3）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 55．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把，代入中，再根据整式的加减运算进行计算即可求解； （）由（）得，根据的值与的取值无关，可得，解之即可求解； 本题考查了整式的加减运算，整式的无关型问题，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ； （2）解：由（）得，， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 56．化简与求值：已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)，16 (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把A与B代入中，去括号合并得到最简结果即可； （2）由（1）中的结果变形，根据的值与x无关，确定出y的值即可． 【详解】（1）解：，， ， 当时，原式； （2）由（1）可知， 的值与的取值无关， ， ． 57．已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则求解即可； （2）由结果与x值无关，得到，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∵是常数，且的值与无关， ∴， ∴． 58．已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）计算，令x的项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵代数式中不含x的项， ∴， 解得： （2）解： 59．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 60．定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 七．有理数、代数式中的新定义运算 61．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴． 62．已知表示不超过x的最大整数，例如：，现定义，例如：． (1)________，________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，0.8； (2)1.1； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题关键是正确得出最大整数： （1）根据取整定义直接求值即可； （2）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可； （3）根据取整定义求出每一项的最大整数，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；0.8； （2）解： ； （3）解： 63．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 64．定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如． 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算， （1）原式利用新定义运算进行计算即可得到结果； （2）先根据新定义运算计算小括号里面的式子，再把所得的结果与小括号外面的数根据新定义运算进行计算即可； 熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴ ． 65．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，. (1)计算：______，______； (2)设，试比较的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值. 【答案】(1)2，2 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可； （2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小； （3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解 【详解】（1）解：， ， 故答案为：2，2； （2）解：，理由如下： ， ， ； （3）解：，且， ， ， 令， 当时，， ， ，即， 解得， 当时，， ， ，即， 解得， 综上可知，x的取值范围为：， 满足条件的x的最小值为． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 66．【问题背景】 定义一种新运算“*”：其运算结果的符号同号取正，异号取负，数值为其绝对值相加的和，0与图任何数进行“*”的运算都得这个数的绝对值．例如： ，； ，； ，； … 【问题再现】（1）计算：； 【拓展提升】（2）计算：． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的乘除混合运算，根据新定义运算法则计算即可． （1）按新定义下的运算法则先计算括号里面的，再算外面的即可． （2）根据题意分类讨论a的情况，然后根据分类按照新定义下的运算法则计算即可． 【详解】解：， 则 ； （2）当时， 原式； 当时， 原式； 当时， 原式； 综上，当时，原式；当时，原式；当时，原式． 67．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)，或或 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）根据新定义，用0减去，即可； （2）求出的和，进行判断即可； （3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可． 掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）是，理由如下： ， ∴a与b是关于3的组合式． （3）∵， ∴， 当时，；此时 当时，； 当时：；此时 ∵c与d是关于常数m的组合式， ∴当时，，， 当时，； 当时，， 综上：，或或． 68．定义一种新运算：观察下列式：；；． (1)请你想一想：用代数式表示 ； (2)若，那么 （用“>”、“<”或“=连接”）； (3)若，请计算：的值． 【答案】(1) (2)< (3)6 【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算， （1）根据题意可得新运算法则为，进一步即可求出答案； （2）根据新运算法则和整式的加减运算法则并结合解答即可； （3）根据新运算法则可得，然后再根据新运算法则和整式的加减运算法则整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ，， 故答案为： ； （2）∵， ∴， 故答案为：＜； （3）由，得， ∴． 69．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)5与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)，． (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据平衡数的定义即列出算式求出答案． （2）根据定义判断与2是否相等． 【详解】（1）， 与是关于1的平衡数， ， 与是关于1的平衡数． 故答案为：，． （2）和不是关于1的平衡数 因为 所以和不是关于1的平衡数． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 70．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴a与b是关于3的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数， ∴，即：， ∴， ∵x为正整数， ∴，；，；，；，；，； ，；，；，；，．．． ∴非负整数的值为：． 八．有理数、代数式中的规律计算题 71．观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键． （1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明； （2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解． 【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：， 理由如下： ； （2）解：① ； ② ． 72．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____； （2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立； （3）拓展应用：计算． 【答案】（1）0，1，2；（2），证明见解析；（3）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）计算出各个式子的值即可； （2）根据（1）中式子的特点，可以写出第个等式，然后再计算，即可说明第个等式成立； （3）先设，则，然后错位相减，即可得到所求式子的值． 【详解】解：（1），，，， 故答案为：0，1，2； （2）第个等式是， 理由： ， 第个等式是； （3）设，则， ， 即． 73．探究发现： (1)填空：①______，______； ②______，______； (2)根据上面的计算，你肯定能发现其中的规律，请利用你的发现来计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方计算法则和有理数的加法计算法则求解即可‘ （2）根据（1）计算的结果可得规律，据此先求出的结果，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：；； ②，， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得， ， 又， ∴以此类推可知， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，数字类的规律探索，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 74．新定义一种新运算“”，认真观察，寻找规律： ， ， ， ， (1)直接写出新定义运算律： ______； (2)新运算“”是否满足交换律？请说明理由； (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)新运算“”不满足交换律，见解析 (3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，理解定义的新运算是解题的关键． （1）从数字找规律进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）按照定义的新运算先进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：新定义运算律：， 故答案为：； （2）解：新运算“”不满足交换律， 理由：∵，， ∴； （3）解： ， 当时，原式． 75．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： _____； (2)求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）本题考查对题干运算规律的理解，根据题意得出，利用其规律表示出即可解题． （2）本题考查对题干运算规律的理解，根据（1）中规律，将、、、、，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，， ， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知， ． 76．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 77．（1）填空：；；； （2）探寻（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； （3）计算． 【答案】（1），，；（2），验证见解析；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字类规律探索，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）各式计算即可得出结果； （2）归纳总结得到一般性规律，验证即可； （3）利用一般性规律将原式变形后，计算即可得出答案． 【详解】解：（1），，， 故答案为：，，； （2）， 验证：左边右边， ； （3）， ． 78．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型—图形的变化类； （1）由图可知，第4个等式为从1开始连续4个奇数的和等于4的平方； （2）由图得出规律，第n个等式为从1开始连续n个奇数的和等于奇数个数的平方，由此可得答案； （3）首先将原式改写成，然后利用规律计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，第4个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为：， 故答案为：； （3） ． 79．阅读理解题： 【材料一】我们知道，根据乘方的意义：，，． （1）计算： ①______； ②______． （2）通过以上计算发现规律，得到______． 【材料二】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． （3）猜想出______（用n表示）． （4）依规律，直接求出的值为______． （5）根据材料一，材料二的规律，可得的值为______． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）①根据乘方的意义可知；②仿照题意进行求解即可； （2）根据题意可得； （3）观察可知； （4）根据（3）的规律代值计算即可； （5）根据题意把所求式子变形为，进一步得到，据此计算即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）； ； ； ……， 以此类推．， 故答案为：； （4）； （5） ． 80．请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算： （1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，先提，再通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． $$